Tænkeboks: Drik den koldeste kaffe

Der står ikke noget om blandingsforholdet. Så kan du ikke bare hælde kaffen ud i vasken, umiddelbart efter den er brygget? Teknisk set, så vil der være en lille smule kaffe tilbage på fladerne i koppen. Vent i 10 minutter og hæld mælk i koppen. Så er det jo bare at beregne kølingsgraden af koppen. Hvis koppen er et engangskop lavet a tynd plastik, så vil den hurtig køle af og få samme temperatur som den omgivende luft. Så indholdet i koppen vil jo være 5 grader + en my grad højere, som skyldes at plastik koppen og termometeret i koppen, hvis der også er sådan en, afgiver varme til mælken. Men processen hvor koppen afgiver varme til mælken vil jo ske over tid. Så hvis du vil drikke det, når det er koldest fra koppen, så skal det gå ret hurtigt.

1. Bryg kaffen og hæld den på en engangskop lavet a tynd plastik.
2. Hæld kaffen ud i vasken umiddelbart efter den er brygget.
3. Bor et hul i bunden af koppen
4. Efter 10 minutter, læn hovedet tilbage og placér bunden af koppen i munden, således, at koppen står lodret med bunden nedad.
5. Hæld nu mælken i koppen. Mælken vil blande sig med de få rester af kaffe på siden af koppen og løbe direkte igennem hullet i koppen og ned i svælget.

Altså teknisk set er det stadig kaffe med mælk, eller mælk med kaffe.

Put kaffen i fryseren og vent til næste dag - så er den sikkert kold nok. Så, husk altid at have en kop frossen kaffe forberedt.

Hej Børge, har du ikke overset at smeltevarmen for -15˚C mælk er noget med ca. 334 kJ/kg ved 0˚C som det er for vand. Mælk er for 80 % vand. Er der ikke noget der vil ændre sig i dine beregninger.

ad.2 Der er intet i vejen med din løsning - godt gennemskuet tidligt i forløbet. Jeg har løst en anden opgave hvor evalueringen af temperaturen sker løbende og ikke først efter 10min., derfor den meget snævre løsning K=0,2 og M=0,8.

Jeg begyndte den store regnestok med varmekapaciteter etc... indtil det gik op for mig at opgaven ikke indeholder noget som helst om blandingsforhold og mængder.

Derfor må det være den koldeste kop drik man får hvis man tager mælken ud af køleskabet efter 9 minutter og 59 sekunder og på det sidste sekund fylder koppen 99.99% op med mælk, for derefter at putte 0.01% kaffe i direkte fra kaffemaskinen.

Så vil temperaturen være 5.0075C når vædskerne er blandet, og inden sekundet og derfor de 10 minutter er gået. ..... Efter nærmere tankevirksomhed, så kan det godt optimeres yderligere...

De 0.01% kaffe skal i koppen ved minut 0. Da vi ikke ved hvordan koppen isolerer, så kan kaffens temperatur i værste fald (ved 100% isolation fra koppen) være ca. 55C ( 20 + (80 - 20) * exp(-0.0015 * 10)) efter de 9.59 minutter er gået. Og i bedste fald er koppen så elendigt isoleret at kaffen er nået stue temperatur (20C).

I så fald vil den samlede temperatur ende med at blive (ved højisoleret kop) 5.005C, og ved elendig isoleret kop præcis 5.0015C hvilken er den lavest mulige temperatur med givne forudsætninger.

må man have i benene.

Jeg har lavet et lille forsøg. Og eftersom resultatet stemmer overens med min hypotese, vælger jeg at dele resultatet med jer ;)

Forsøget er lavet med 6 glas vand.

3 glas med hver 20 ml vand stilles i køleskabet i passende god tid. Mit køleskab viser sig at være 6C og ikke 5C. Men mit køkken er også lidt varmere end 20C

3 glas står klar på bordet. Jeg har markeret 100 ml med en marker, så jeg hurtigt kan hælde 80C vand op.

De kolde glas tages ud udmiddelbart før "kaffen" hældes op. Det hele foregår på en avis for at isolere lidt imod stenbordpladen.

Glas nr 1 får "mælken" blandet i med det samme. Glas nr 2 får mælken blandet i efter 5 minutter Glas nr 3 får mælken blandet i efter 10 minutter

Temperaturmålinger: Straks efter ophælndning og første opblanding. 1: 55C, 2: 60C, 3: 60C

Fem minutter efter start. Andet glas har fået mælken tilsat 1: 49,6C, 2: 47,6C, 3: 54,8C

Ti minutter efter start. Sidste glas har fået tilsat mælken. 1: 45,3C, 2: 43,7C, 3: 42,7C

12 minutter efter start, kaffen er bragt ind til sofabordet. 1: 43,4C, 2: 42,2C 3: 41,2C

Ikke meget, men dog efter min opfattelse signifikant forskel. Jeg hæfter mig ved at ikke en eneste måling falder ved siden af. I praksis betyder valg af kop og temperaturen af denne dog mere end tidpunktet for mælken.

Mulig bias: Jeg målte hver gang temperaturen på glas nr 1 først. Men målingen tog kort tid og jeg holdt termometret varmt i et fjerde glas, for ikke at stjæle varme, samt at kunne udføre målingen hurtigst muligt.

Mogens, hvorfor er #2 ikke rigtig, hvis du gør som du siger?

Det er nok ren fornemmelse, jeg kan ikke bakke det op med matematik. Så nu beskriver jeg det i meget lægmands termer.

Men Newtons afkølongslov siger at temperaturen ændres hurtigere jo større forskellen er til omgivelserne.

Mælkens temperatur er fra starten relativt tæt på omgivelsernes, så den når ikke at blive varmet mange grader.

Omvendt er kaffen mange grader fra omgivelserne, så i starten vil der ske en hurtig afkøling, som flader ud over tid. Tilføjer man mælken med det samme sænkes denne hurtighed med det samme. Desuden vil der ske en vis afkøling pga fordampning, som også begrænses når kaffen chokkøles med mælken.

Hvis vi antager 20% temperaturændring på 10 min. og lidt mere realistisk 1/6 mælk i den færdige kaffe får vi:

Med det samme: Blandingstemperatur 67,5C, som nedkøles til 58C på 10 min.

Efter 10 min: Kaffe 68C, mælk 8C, blanding giver 58C.

Jeg vil gerne vide hvor (hvis) jeg ræsonnerer forkert, jeg kan ikke se det.

Se bort fra #34, jeg blev fanget af redigeringsvinduet ...

Det "andet tilfælde" er når mælken kommes i med det samme -- det giver også 43,33C (55C blandet som nedkøles 1/3 på 10 min. med 35C/3 til 43,33C) -- og mælkens iblandingstidspunkt er ligegyldigt, det giver samme resultat. Også hvis du ændrer tidskonstanten eller forholdet mellem mælk og kaffe. Sluttemperaturen bliver den samme.

Forudsat mælken tages ud med det samme og vi regner med simple forudsætninger (så tidskonstanten er ens)

Det "andet tilfælde" er når mælken kommes i med det samme -- det giver også 43,33C (50C blandet som nedkøles 1/3på 10 min. til 43,33C) -- og mælkens iblandingstidspunkt er ligegyldigt, det giver samme resultat. Også hvis du ændrer tidskonstanten eller forholdet mellem mælk og kaffe. Sluttemperaturen bliver den samme.

Forudsat mælken tages ud med det samme og vi regner med simple forudsætninger (så tidskonstanten er ens)

ad. 2, Ved 2/3 punktet er kaffen 40 og mælken -10 og 2:1 giver 23,33C, (43,33C). Hvad er det andet tilfælde ?

ad.19, Jo der er forskel på hvornår mælken kommer i; kaffen nedkøles med 4C i samme tidsrum mælken opvarmes 1C.

ad.28. Ja den relative temperaturændring er den samme (ens tidskonstant) men den absolutte er 4 : 1.

Det gør at svaret i nr 1 må være korrekt

Mogens, hvorfor er #2 ikke rigtig, hvis du gør som du siger?

Men energi overførselen er ikke den samme

Nej men tidskonstanten er ens hvis man antager samme egenskaber og dermed halveringstiden (eller som i #2 "trediedelstiden" som jeg satte til 10 min. for at kunne regne i hovedet) -- vi er antageligt enige om, at temperaturen følger en ekspontialfunktion mod de 20 grader (med de simple forudsætninger)? Kan du vise hvor mit ræsonnement svigter i #2?

Hvis man må bruge alle kneb kan man få den færdige drik meget tæt på 5,00 C.

Tag den mælk fra du vil drikke. Hæld resten af mælken op i et fad. Stil koppen op i fadet. Rør rundt i både fad og kop i de ti minutter. Hæld mælken i koppen og nyd din kolde kaffe. Hele processen foregår selvfølgelig i køleskabet.

Realistiske forudsætninger må selvfølgelig være at mælken tages ud ved minut nul og opbevares i en kop der svarer til den kaffen opbevares i og skal drikkes af. Det gør at svaret i nr 1 må være korrekt.

Men energi overførselen er ikke den samme, dT for mælk og kaffe til 20C er ikke den samme 60 hhv 15 i udgangspunktet.

Er det blandingsforholdet mellem kaffe og mælk der afgør hvornår mælken skal tilsættes

Jeg er ikke enig. Hvis varmeafgivelsen er den samme for mælk og kaffe (læs: halveringstiden for temperaturforskellen til 20 grader er den samme), fås samme sluttemperatur i de to tilfælde, uanset forholdet mellem mælk og kaffe. Et eksempel er vist i #2

https://www.gea.com/en/beverage/coffee-tea/cold-brew-coffee.jsp

Hvis mælken tages ud af køleskabet når den skal bruges er det bedst at vente 10min med at komme mælken i , som Hans skrev i #1.

Hvis mælken tages ud af køleskabet med det samme (0min), har samme egenskaber og volumen som kaffen og opbevares i en beholder med samme egenskaber som kaffebeholderen. Er det blandingsforholdet mellem kaffe og mælk der afgør hvornår mælken skal tilsættes.

Ved forholdet K=0,2 M=0,8, 1:4 er det ligegyldigt hvornår mælken tilsættes, blandningen bliver 20C (0C relativt). Ved K større end 0,2 (M mindre end 0,8) skal mælken tilsættes når de 10min er gået. Ved K mindre end 0,2 skal der finregnes.

Min konklusion - ved brug af de sparsomme oplysninger og indførsel af egne forudsætninger, samt ikke mindst at drikken skal kunne kaldes kaffe - må være at mælke tilsætningen skal foregår efter de 10min er gået uanset om mælken tages ud med det samme eller når den skal bruges.

Hvis mælken tages ud samtidig som kaffen hældes op, er der lidt for mange ubekendte i form af tempeturændringshastigheden på kaffe/mælk, men er de ens burde det være ligemeget hvornår de blandes.

Opgaven er umulig eller alt for simpel afhængig af hvornår mælken tages ud.

En del af afkølingen/opvarmningen er konvektion, som ikke er lineært med temperaturdifferensen.

1. Lav kaffen for stærk
2. Fortynd kaffen med koldt vand
3. Tilsæt mælk

Hvis det er forbudt, hvad så med:

1. Hæld varm kaffe i koppen
2. Pak koppens bund og sider ind i vådt klæde
3. Isoler mælken med et viskestykke
4. Når de 10 minutter er gået, tilsættes mælken

Skal det være rigtig komplekst, skal man til at se på koppens geometri (især se på, hvor meget større overflade væsken får, efter der er hældt mælk i).

Nå, skal det ikke være så fint, gælder det naturligvis om, at få den størst mulige temperaturgradient, så mælken skal som udgangspunkt i til sidst.

Men hvem foretrækker kaffen kold?

opgaveteksten forsømmer at fortælle hvornår mælken tages ud af køleskabet (og at opgavebogens løsning bare antager at det sker når den hældes i kaffen).

Øh ... jeg var da ikke et øjeblik i tvivl om, at den skulle ud med det samme. Ellers er der jo ikken nogen (logisk) opgave overhovedet? Ja, vi kan bgeynde at lave rigtige beregninger med normale forudsætninger, men det var givet at det ikke var opgavens hensigt. Imponerende udredning i øvrigt, Børge!

Det er ikke muligt at uploade mine friske fire billeder af forsøgsopstillingen men billederne viser henholdsvis:

Højt men konkavt glas med dansk femkrone på bunden.

Lidt sort kaffe i glasset indtil man ikke kan se femkronen.

Glasset fyldes helt op med kogt vand fra en Gammel Dansk flaske da snaps ikke haves og man kan stadig ikke se femkronen fordi produktet imellem vejlængde og koncentration er konstant hvis glasset var cylindrisk ;-)

Men set igennem siden af glasset skimtes spritflasken.

Blandingsforhold 1:1, Sammen egenskaber for kaffe og mælk. Medfører ens kugler og ens afgivelse til omgivelser. 'k' valgt så det giver 'pæne' tal. Dvs. simpel blanding giver slut temperaturen. |dT_Kaffe/ dT_MælkPåBord|=|-23,6/5,9|=|60/-15| = 4https://www.test.airling.dk/Pictures/TestErlingBig/Kaffe01.jpg

Kaffen er +60 grader Celcius mere end stuetemperatur. Mælken derimod er –15 grader relativt. Da Newton's afkølingslov er lineær vil kaffens henholdsvis mælkens temperaturer forblive i forholdet +4 : –1 gange exp(–tiden/varmediffusionstidskonstanten) indtil de mixes. Alt afhængig af blandingsforholdet K : M imellem dem bliver temperaturen af drikken straks (4 K – M)/(K + M) gange exp(–tiden/varmediffusionstidskonstanten). Og derefter vil temperaturen tilnærme sig stuetemperatur med den samme eksponentielle tidsudvikling. Så jeg når frem til at det er lige meget hvornår drikken blandes. Det er tilmed ligemeget at den blandes. Piskefløde i kaffen!

Børge, kan du ikke forklare mig den logik?

Der skal ikke megen argumentation til at løse denne opgave med logik

Børge, kan du ikke forklare mig den logik? Hvis man tager mælken ud fra køleskabet med det samme (hvem gider rejse sig igen fra bordet?), er der ingen forskel på, hvornår mælken kommer i?

Hvem i alverden drikker kold kaffe?!

Det smager faktisk ganske udmærket ... hvis du vel og mærke selv har ristet det ;-)

Jeg slipper for hovedbruddet og drikker kaffen sort og varm, som jeg plejer! ;⁠-⁠) Hvem i alverden drikker kold kaffe?!

Ha ha. Hvis alle muligheder er i spil.

Traileren på Renaulten.

Læsse brostenene af og køleskabet på traileren.

Kaffekande og kop i bilen.

Køre op til min ven, som bor i Holte og som og har haft skæg og gået i skovmandskjorte siden vi læste på DTH.

For lidt statgaranti, omkring 0.4 til 700 mia kr fra Novo fonden og i løbet af 10-15 minutter har han udviklet en kold fusionsrektator eller lavet en Powerpoint præsentation, som kan køle kaffen ned til minus 10.000 grader, løse klimaproblemet, håndtere overbefolkning og give gratis energi til hele verden.

Fusionskraft Ja Tak!

T_1 er temperaturen ved t_s når mælken er iblandet. T(t) er temperaturforløbet for t < t_s.

ad#5 En prøve på en forklaring. Ligningen for afkøling af en kop kaffe er en kurve hvor y-aksen markerer temperaturaturen til t = 0 min. altså 80 ˚C og en vandret linie ved 20 ˚C som er kaffens sluttemperatur for t gående mod uendelig. Kurven nærmer sig over tid asymptotisk til den vandrette linie. Og jo større temperaturforskel der er mellem kaffe og omgivelser jo hurtigere afgiver kaffen sin varme. Kurven er derfor eksponetielt faldende mod de 20 ˚C Det går stærkt i starten men tager lang tid til sidst.

Hæld den ønskede mængde mælk i koppen og stil denne i køleskabet.

Tøm mælkekartonen og flæk den på langs.

Læg de to halve kartoner i køleskabet og fordel den ønskede mængde kaffe i dem for maksimal overflade.

Efter 10 minutter hældes kaffen i mælken.

Så vil den blandede drik være ret tæt på køleskabstemperatur.

😊

Selvom man putter rigtig meget mælk i, må den koldeste kaffe opnås ved at hælde mælken i tilsidst.

Se #2, det er ligegyldigt, hvis mælken ikke bliver stående i køleskabet. Det er andre faktorer der afgør kampen

Lyder som noget Andreas skal teste på sin næste færd:-)

Lyder som noget Andreas skal teste på sin næste færd:-) Hvornår (t_s) iblandes mælken i T_1 forløbet ? Hvis t_s er større en 0 må T_1 forløbet starte med T_1(0)=60

uden smålig hensyntagen til mindre vigtige ting.

Der skal ikke megen argumentation til at løse denne opgave med logik, sådan som det allerede er gjort. Men med formler ser situationen vanskeligere ud på grund af mange ukendte forhold. Jeg har dog prøvet at skære opgaven ind til benet for at bestemme temperaturvariationen uden smålig hensyntagen til mindre vigtige ting.

Min model er en frit svævende kaffekugle med radius r, overfladeareal A, masse m, densitet rho og varmefylde c. Den afgiver gennem sin overflade varme til omgivelserne med varmeovergangskoefficienten k. Jeg fokuserer på at bestemme variationen af kaffens temperatur T som funktion af tiden t. Temperaturen regnes med stuetemperatur som reference, så kaffen starter ved 60 grader og mælken ved -15 grader. Nu udtrykkes, at kaffens tab i termisk energi pr tidsenhed er lig med varmestrømmen ud af kaffen: [latex] \qquad \frac{d( m c T)}{dt} = - k\ A\ T [/latex] [latex] \qquad\rho \frac{4 \pi}{3} r^3 c \frac{dT}{dt} = -k\ 4 \pi r^2\ T[/latex] [latex] \qquad T = T_0\ e^{-\frac{3\ k}{\rho c r}t}[/latex]

Med T_0 = 60 grader får vi ved at blande med fx 4% mælk til tiden t_s en blandingstemperatur T_1 [latex] \qquad T_1 = [ 60\ e^{-\frac{3\ k}{\rho c r}t_s} + 0,04 \cdot (-15)]/ 1,04[/latex] [latex] \qquad T_1 = [ 60\ e^{-t_d} -0,60)]/1,04 \quad \textrm{med} \quad t_d =\frac{3\ k}{\rho c r}t_s [/latex] Her er forkortelsen t_d en dimensionsløs sluttid.

Når mælken i situation 2 iblandes fra starten, får vi en anden starttemperatur og en anden kugleradius R: [latex] \qquad T_0 =[60 - 0,04 \cdot (-15)]/1,04 [/latex] [latex] \qquad \frac{4\ \pi}{3} R^3 =1,04 \cdot \frac{4\ \pi}{3} r^3\quad \Rightarrow \quad R = \sqrt[3]{1,04} \ r [/latex] Indsættelse i eksponentialformlen med R i stedet for r giver så sluttiden [latex] \qquad T_2 =\frac{59,4}{1,04} e^{-t_d / \sqrt[3]{1,04}} [/latex] Af dette finder man for alle tider, at T_1 < T_2. Her er nogle eksempler: [latex] \qquad \ t_d \quad \ \ 0,0 \qquad 0,1 \qquad 0,2\qquad 0,3[/latex] [latex]\qquad T_1 \quad 57,12 \quad 51,63 \quad 46,66\quad 42,15 [/latex] [latex]\qquad T_2 \quad 57,12 \quad 51,75 \quad 46,88 \quad 42,48 [/latex]

Hæld mælk i koppen.

Sæt koppen i køleskabet.

Hæld mælken ud af kartonen.

Hæld kaffe i kartonen.

Sæt kartonen. i køleskabet.

10 minutter senere tag koppen ud og hæld kaffen fra kartonen i koppen.

Overvej om du har brug for hjælp

Argumentet er at der tabes mest varme så længe temperaturforskellen er stor, og det er den hvis mælken hældes i til sidst

Det er klart den logiske løsning Hans, men et eller andet siger mig, at det ikke kan være så nemt?

Jeg kan dog ikke få øje påfælden i den - det handler, som Svend er inde på, om at fjerne flest mulige joule fra kaffen, og det gør man ved størst mulig delta T.

Så længe vi ikke kender koppens geometri, masse eller varmefylde, kan vi ikke regne absolut på opgaven.

Det lyder som en nem opgave og det umiddelbare svar må være, at vente med at hælde mælk i kaffen til de 10 min. er gået.

Selvom man putter rigtig meget mælk i, må den koldeste kaffe opnås ved at hælde mælken i tilsidst.

fald/stigning

Hvis jeg antager et temp. fald/stigning mod 20C med 1/3 på 10 min. og dobbelt så meget kaffe som mælk, ender jeg med hovedregning på 43 1/3 grad i begge tilfælde.

Men koppens varmekapacitet og væskernes farve har også betydning og vil nok afgøre sagen

Kaffeopgaven.

Det lyder som en nem opgave og det umiddelbare svar må være, at vente med at hælde mælk i kaffen til de 10 min. er gået.