Tænkeboks: Byg en kasse optimalt
more_vert
close

Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
Ved at tilmelde dig accepterer du vores Brugerbetingelser, og at Teknologiens Mediehus og IDA-gruppen lejlighedsvis kan kontakte dig om arrangementer, analyser, nyheder, tilbud mm via telefon, SMS og email. I nyhedsbreve og mails fra Teknologiens Mediehus kan findes markedsføring fra samarbejdspartnere.

Tænkeboks: Byg en kasse optimalt

Illustration: MI grafik

Ugens nye opgave kommer fra professor Lars Døvling Andersen fra Institut for Matematiske Fag ved Aalborg Universitet:

Opgave 6: Der skal fabrikeres kasser uden låg, dvs. hver kasse har fem rektangulære sider, den sidste flade er åben.

Af hensyn til overflade­behandling eller materialeforbrug skal hver kasse have et overfladeareal (summen af de fem siders arealer) på 0,48 kvadratmeter.

Hvad skal en kasses sidelængder være for at give maksimalt rumfang?

– – –

Vi bringer løsningen i næste uge, men fra søndag eftermiddag ligger opgaven på denne adresse: ing.dk/fokus/taenkeboksen, hvor I kan diskutere jeres forslag til løsninger.

/ Lynch

Illustration: MI Grafik
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Først blev jeg lidt irriteret ... endnu en gymnasieogave! Men så fandt jeg ud af, at det gælder om at finde den elegante måde at løse den på — uden at finde formlen for rumfanget og maksimere det ved differentering.

Den kan løses ganske nemt (i hovedet) ved en simpel beregning. Andre?

  • 0
  • 0

Ja, man ved jo, at hvis det var en lukket kasse, man skulle lave med max indhold pr. overflade, så skulle det være en ligesidet kubus. Den skal så bare skæres over. Så har man to af de ønskede kasser. De indeholder så hver 32 liter.

  • 3
  • 1

En kubus har både "top" og "bund", men her er fraset én af dem - om det er den ene eller anden må du selv afgøre ...

Dit problem er at overfladearealet skal være 0,48 m², hvilket kun passer med dine mål hvis man har 4 sider. Sidelængden skal være 30,98 cm hvis overfladen skal passe. Dette giver så 29,74 liter, hvilket er mindre end de 32 andre har fundet frem til. Når det er sagt finder jeg det stadig ikke bevist at 0,4 x 0,4 x 0,2 m³ er den optimale størrelse. Men i det mindste passer den med opgaveparametrene.

  • 1
  • 1

Det ligner nu mest en kubus med sidelængerne 34,6410162 [cm] - eller deromkring.

Så har du hverken top eller bund.

Jeg får sidelængderne til at være 0.30983866 (+ nogle flere decimaler):

Det største rumfang er en kubus. Når der ikke skal være låg, er der fem sider, så hver sides areal er 0.48 m2 / 5 = 0.096 m2.
Siderne er kvadratiske, så hver sidelængde er kvadratroden af 0.096, som er ~0.31 m.

Hvordan nogen mener at man skal lave en fuld kubus og skære den over på midten, eller have en højde som er det halve af de andre sidelængder forstår jeg til gengæld ikke...?

  • 0
  • 0

Hvordan nogen mener at man skal lave en fuld kubus og skære den over på midten, eller have en højde som er det halve af de andre sidelængder forstår jeg til gengæld ikke...?

Tag to ens af de ønskede kasser. Sæt dem sammen på den åbne flade, så får du en lukket kasse med 6 flader. Denne lukkede kasse skal have et overfladeareal på 0.48 m^3, og rumfanget er størst hvis det er en terning. Hver flade bliver 0.16 m^3, dvs. terningen har kantlængden 0.4 m.

(Det var den lange udgave af Eriks svar i nr. 2, som er den elegante løsning).

  • 0
  • 0

Efter gentagne kollegiale opfordringer meddeles hermed en mindre korrektion, da der havde indsneget sig en banal parallaksefejl under aflæsningen på min fotondrevne lommecomputer i visitkortformat - for 34,6410162 [cm] - eller deromkring - læs 30,9838668 [cm] - eller deromkring.

Nogle amerikaneres øjemål er nu ikke mere, hvad det har været ...

  • 0
  • 0

Jeg opstillede et udtryk for volumen som funktion af grundfladens sidelængde. Det giver en simpel 3. grads ligning som her optimum for sidelængde = 0.4 m. Højden bliver så 0.2 m.

  • 0
  • 0

Min tilgang er i princippet den samme som Henrik Eriksens - og det helt uden algebraiske ligninger af højere grad ...


Din tilgang bygger på en forudsætning om, at en kubus altid giver størst rumfang med et givent areal. Men den forudsætning holder ikke, hvis nogle af siderne mangler. Så er det et andet sideforhold, der er optimalt.

Der er i denne tråd argumenteret logisk og letforståeligt for, hvorfor løsningen med en halv kubus er den rigtige.

Selv hvis du ikke forstår forklaringen, så kan du jo hurtigt selv regne efter og konstatere, at din kasse har mindre rumfang end den løsning, der allerede er fundet. Altså kan din løsning ikke være den rigtige.

Så giver det simpelthen ikke mening, at du bliver ved med at fremture.

  • 2
  • 1

Det er genialt blot at skære en terning over, men er det nu også den optimale løsning?
Hvordan viser man at det er det optimale?
Samme princip, man tager to af disse bokse og laver en lukket kasse af dem. Hvis ikke højden er den halve sidelængde får du ikke en terning, som er kassen med det største rumfang for et givent areal.

  • 0
  • 1