Tænkeboks: Bestem trekantens vinkler

Illustration: Ingeniøren

 

Illustration: Ingeniøren

Opgave 108:

I en ligebenet trekant er tegnet tre ekstra linjer. Hvor stor er vinkel x?

Regner man blot løs på vinklerne, bliver det meget kompliceret. Så i stedet gælder det om at indtegne et par smarte hjælpelinjer.

– – –

Vi bringer løsningen i ­næste nummer, og nedenfor kan I diskutere jeres forslag til løsninger.

Løsning på opgave 32: Tænkeboks: Regn med piger

Da der havde indsneget sig en fejl i opgaveteksten, gentager vi lige den rigtige her, idet vi beklager forvirringen blandt opgaveløserne:

Karl har to børn, og det samme gælder Ole. Jeg har mindst én pige, siger Karl. Mit ældste barn er en pige, siger Ole.

Hvad er sandsynligheden for, at Karl har to piger? Og hvad er sandsynligheden for, at Ole har to piger?

Løsning:

Sandsynligheden er 1/3 for, at Karl har to piger, men 1/2 for, at Ole har to piger. Forskellen er, at vi ikke ved, hvilket af Karls børn som er en pige, og der er derfor de tre muligheder pige-dreng, dreng-pige og pige-pige.

Når vi i Oles tilfælde har sat køn på et bestemt barn, er der kun de to muligheder pige-­dreng og pige-pige

Illustration: Ingeniøren
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Den løsning vi bliver præsenteret for som løsning på opgaven om pigerne er altså IKKE korrekt. Der må være tale om løsningen på en anden opgave i samme kategori. Nemlig den opgave hvor man på forhånd får oplyst at både Karl og Ole har 2 børn, hvor mindst den ene er pige. Og man derudover får oplyst at det fx er Oles ældste barn der er en pige. Så er løsningen korrekt.

Men det er jo ikke den opgave vi er blevet stillet. Vi får ikke at vide at Karl har mindst en pige og vi får heller ikke at vide at det er et bestemt af Oles børn der en pige. Løsningen på vores opgave kan derfor kun være 1/4 for Karl og 1/3 for Ole.

  • 5
  • 1

Det er ikke første gang at den opgave, som bliver skrevet, ikke er den opgave som skribenten tror han stiller.

Måske redaktionen skulle tage imod Børge Howalds tilbud om at levere opgaver. Det kan ihvertfald kun blive bedre.

To mænd med to børn hver. Den ene siger at det ældste af hans er en pige, den anden at mindst et af hans er en pige. Den opgave er jo lige så fornærmende nem, som det er sjusket at glemme den ene oplysning. Pfft.

  • 3
  • 0

fornærmende nem

Og så alligevel ikke. For nu er vi tilbage ved den oprindelige problemstilling om hvordan Ole er nået frem til sit udsagn og om det er den del der skal laves sandsynlighed på. Men nu har vi i det mindste en kontekst på/fra Karl. Jeg tænker ikke, der er grund til at åbne den debat igen.

  • 2
  • 0

på biblioteket. Nu vil jeg finde ud af, om det er bogen eller gengivelsen der går galt. Det er åbenlyst en forkert opgavetekst. Sidste opgave var der også fejl i, og sådan var gnavs niveau altså ikke

  • 2
  • 0

1/4 for Karl og 1/3 for Ole

1/4 for Karl og 1/2 for Ole,mener du. Opgavestilleren får faktisk den ene svar korrekt (under alt andet end helt urimelige antageler). Formelt set er opgaven ufuldstændigt stillet.

Men kommentaren til opgaveløsningen synes ikke at matche med opgaveteksten! Det er noget rod.

  • 1
  • 2

Umiddelbart ser jer masser af ubekendte vinkler, men også nok ligninger til at kunne bestemmer de ubekendte vinkler. Er der nogen, der kan se en smart løsning? Eller er det bare at gå igang med at løse 8 ligninger med 8 ubekendte? Det er sgu da ikke en sjov og interessant opgave, men bare dødsyg slaveregning. Hvad f...... gider det.

  • 0
  • 4

Pointen med opgaven er at du kan tegne et antal ekstra linjer ind (Jeg tænker det kan være halveringsvinkler eller rette vinkler(to stk, hvis opgaveteskten skal tages for pålydende)), som reducerer opgaven til noget der kan overskues i hovedet. Deri består det sjove ved opgaven.

Jeg har set denne eller en næsten identisk opgave før. Men jeg kan ikke huske løsningen og har ikke knækket den endnu.

  • 4
  • 0

De 2 linjer fra trekantens nederste hjørner skærer de modsatte sider i punkterne 1 og 2 hvis koordinater let kan beregnes. Herefter kan man (efter en voldsom trigonometri) beregne hældningen af linjen 1-2 til 30 grader. De 30 grader plus den søgte vinkel x er tilsammen 80 grader, hvilket giver resultatet. Der er en langt lettere geometrisk løsning, men den vil jeg ikke skrive, da jeg ikke selv har fundet på den.

  • 1
  • 0

Bestem trekantens vinkler. Det nemmeste er, at tegne sig til en løsning og det giver med passende nøjagtighed en vinkel x på 50˚. Man kan se på trekanten med halveret topvinkel på 10˚ og en stump vinkel på 120˚ . Men tegn selv.

  • 0
  • 0

Bestem trekantens vinkler.

Den skrå linie der fremkommer ved skæringen fra 50˚ og 60˚ linierne med trekantens skå ben kan let analytisk udregnes til 30˚ med vandret, og da vinklen med lodret på de skrå ben i trekanten er 10˚ findes den ubekendte vinkel x til at være 90˚- (30+10)˚ = 50˚ Der findes formentlig en endnu nemmere løsning men der er nok en der falder over den.

  • 0
  • 1

Det er en version af Langley's Adventitious Angles fra 1922. Den oprindelige opgave forsøger at finde en anden af vinklerne, men den originale løsning kan stadig bruges til at finde vores x.

Udfordringen ved opgaven er, at lommeregnere ikke fandtes (billigt), så opgaven skulle kunne løses kun ved at tegne hjælpelinjer. Selv med hjælpelinjer synes jeg dog, at der er en del brute-force involveret. Jeg kom frem til 50 grader ved brute-force og en enkelt hjælpelinje. Er sikker på, at der er en langt mere elegang løsning på det.

Selvfølgelig er der trigonometriske løsninger på opgaven, som er lidt mere sofistikerede. Der er åbenbart også en løsning på opgaven, som handler om refleksioner inden i en cirkel, som jeg ikke fatter brik af xD

  • 2
  • 0

Hvis jeg lægger de 3 vinkler sammen i den store trekant, så får jeg 130°, men de 3 vinker i trekanten skal tilsammen give 180°, derfor kan opgaven ikke løses udfra det foreliggende grundlag.

  • 0
  • 6

Hvis man drejer trekanten 180° og lægger den ved siden af, er det nemt at se at linien fra X fortsætter, men jeg har ikke rigtig kunnet bruge det til noget. Trekanten der dukker op med spids i X bliver så ligebenet givet løsningen, men jeg mangler at vise hvorfor

  • 0
  • 0

Du laver en kopi af figuren, drejer den 180° og lægger den op til originalen på venstre side.

Dér hvor linien fra X og 60° mødes vil så fortsætte ubrudt over i kopien (kan ses ved at kigge på vinklerne for diagonalerne i det fremkomne parallelogram).

Linien fra X til 50° og fra X til X-kopi er de ligebenede sider i en trekant (hvis X er 50°)

  • 0
  • 0

Jeg kan slet ikke følge dig. Venstre trekanttsides 2 dele er på 1,3473 og 1,5321, så din omvendte trekant må være forskudt, hvilket du ikke skriver. Desuden har "korden" længden 0,6840, der ikke er halvdelen af 50-linjen, der er på 1,2856, så der er ingen ligebenet trekant. ?????

  • 0
  • 0

Det kan jeg egentlig godt forstå, det er fordi jeg vrøvler. Mit ræsonnement med parallelgrammet er helt i skoven ... men hvis du forlænger linien fra X til den støder på venstre side i parallelogrammet er den ligebenet :-) Stol aldrig på en håndtegning ...

  • 1
  • 0

Løsningen til opgaven (spejlvendt) bringes af "Mind Your Decisions" på Youtube ( https://youtu.be/HQc-54hQ8kw ) Starter med at lægge en ligebenet trekant i bunden med 20 graders topvinkel. Med endnu en hjælpelinie kan man finde ligebenede trekanter og en enkelt ligesidet trekant. Derefter kan alle vinkler i figuren fastlægges.

  • 1
  • 0

Jeg kan bare ikke lide, man skal starte med at konstruere/kopiere en vinkel på 20° -- så kan min principielt bare løse opgaven ved at måle x

  • 0
  • 0

Jeg godtager ikke din indvending. Man skal ikke fysisk afsætte en trekant med topvinkel 20 grader. Man skal tænke sig denne trekant og så argumentetere logisk ud fra de to nye streger.

  • 1
  • 0

Jeg savner bevis for, at det er 2 rette linjer, der skærer gennem vinklespidsen ved X og ikke bare 4 enkeltlinjer, der ikke er i forlængelse af hinanden. For ellers er dette ikke nogen løsning.

Jeg er i tvivl om det er bevis nok. En ret linje der skærer 2 linjer der ikke er parallelle, vil skære dem med vinkler der varierer med vinkelforskellen mellem de 2 linjer. (lidt svært at formulere).

Med x = 50 grader skal den skære den spejlede trekants side med 30 grader, og det gør den.

  • 0
  • 3

Man kan faktisk ret nemt regne sig frem til løsningen. De nederste hjørner benævnes A og B og de to punkter oppe på siden af trekanten benævnes C og D. Dernæst lægges figuren ned således at linien AB bliver sammenfaldende med y-aksen i et koordinatsystem med (0,0) i B. Hvis vi siger, at længden af AB er 1 fås punktet D som skæringspunktet mellem linierne y=xtg(10) og y=1-xtg(40). Ligeledes fås punktet C som skæringspunktet mellem linierne y=xtg(30) og y=1-xtg(10). Vektoren DC er differensen mellem kooerdinaterne for punkt C og D = (1.3268-0.9848 , 0.7660-0.1736) = (0.3420 , 0.5924). Denne vektor har hældningen arctg(0.5924/0.3420) = 60° . Løsningen bliver så 60° minus hældningen af BD (=10° ) = 50°

  • 0
  • 3

Dette er ikke godkendt. Du benytter den slavemetode, opgaveteksten fraråder. Der er ingen mening i at dreje trekanten, for samme beregninger kan gøres på den oprindelige trekant. Din argumentation svigter og gør det nemt når du indfører talregninger og PÅSTÅR at en arcustangens er 60 grader, hvilket du jo ikke ved, om den er eksakt. Men beviset kræver en utrolig masse trigonometri-beregning.

  • 2
  • 2

Du har ret. Jeg burde ikke kalde det løsningen, men kun en slaveberegning, der naturligvis ikke beviser den exakte størrelse af vinklerne. Vedr. en rigtig løsning, så ser det ikke ud til, at der er fremkommet en smartere løsning end den, der nu har ligget på YouTube i 5 år, jvf. #35 og #17.

  • 1
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten