Spørg Scientariet: Hvad ville et menneske veje, hvis Jorden stod stille?

Lars Hastrup har spurgt:
Jeg prøvede at forklare min søn lidt om, hvorfor vi vejer mindre på Månen end på Jorden, og at vi ville veje mere, hvis Jorden stod stille - hvortil han spørger: Hvad ville et menneske veje, hvis Jorden stod stille?

Gabriel Strykowski, seniorforsker på DTU Space svarer:
Jeg vil starte med at præcisere spørgsmålet. Vejning handler om bestemmelse af masse (målt i kg). Et menneskets masse ændrer sig helt naturligt i løbet af dagen. Jeg vil i mit svar udelukke den slags massevariationer (som ikke har noget med Jordens rotation at gøre) og præcisere spørgsmålet til:

Hvad ville en vejning med den samme vægt bestemme den samme masse til, hvis Jorden holdt op med at rotere?
Massebestemmelse ved vejning kan beskrives vha. en simpel statisk ligevægt langs den lokale lodlinje. En masse m accelereres af den lokale tyngdeacceleration, som påvirker vægten med en kraft [latex] F_{tyngde} = m \cdot g
[/latex] Den modvirkes af en modsatrettet kraft fra vægten (f.eks. en fjederkraft)
[latex] F_{fjeder}[/latex] så at summen af alle kræfter på vægtens overflade er nul [latex] F_{tyngde} + F_{fjeder} =0[/latex]
og den vejede masse 'står stille'.

Vægten er fra fabrikken forsynet med en omregningsforskrift, der bruges af en standard-tyngdeacceleration på Jordens overflade og gør det muligt at omregne den ovennævnte kraftligning til en vejet masse [latex]m' = -F_{fjeder}/g_{0}[/latex]
I princippet, hvis den faktiske lokale tyngdeacceleration afviger fra g0, gælder [latex]m'\neq m[/latex].
Massebestemmelsesfejlen [latex]e_{m}\equiv(m'-m)/m[/latex]
vil på Jordens overflade være af en størrelsesorden på få promiller. En massebestemmelsesfejl på en promille svarer til 0,1 kg for en mand, der vejer 100 kg.

Det er værd at nævne i ovennævnte eksempel, at det er ikke fordi, at massen af det legeme, der vejes, ændres fra m til m'. Den tilsyneladende masseændring skyldes udelukkende en uoverenstemmelse mellem den standard tyngdeacceleration g0, der fastsættes fra fabrikkens side og den lokale tyngdeacceleration g.

Det kan udtrykkes mere eksplicit. Antag, at der ikke er andre fejl ved vejning end uoverenstemmelsen mellem g og g0. Der gælder:
[latex]m'\cdot g_{0}=m\cdot g \leftrightarrow m' = {g \over m_{0}} \cdot m [/latex]

Med andre ord: Problemet er kalibrering af vægten, så at g0 = g, som bevirker, at m' = m, dvs. den vejede masse, er den faktiske masse. For præcisionsvægte i laboratorier måler man undertiden g v.h.a. et tyngdeinstrument (en gravimeter) og sætter g0 = g.

Lad os nu vende tilbage til spørgsmålet. Hvis Jorden holdt op med at rotere, ville det (visse steder på Jorden) medføre, at den lokale tyngdeacceleration ændres fra g til g", så at den aflæste masse ved vejning m" er:
[latex]m" \cdot g_{0} = m \cdot g" \leftrightarrow m" = {g" \over g{0}} \cdot m[/latex]

Den relative masseændring ved vejning af den samme masse m før- og efter, at Jorden er holdt op med at rotere, er:
[latex]{m"-m' \over m'} = {g" - g \over g}[/latex]

Den relative tilsyneladende masseændring ved vejning er dermed identisk med den relative lokale tyngdeaccelerationsændring. Hvad er den?

På engelsk har man to ord, der minder om hinanden, og som ofte forveksles: 'gravity' og 'gravitation'. 'Gravity' vil på dansk (og noget upræcist) blive oversat til 'tyngdekraft'. Begrebet dækker mere præcist tyngdeaccelerationen, som måles i m/s2=N/kg, dvs. tyngdekraft pr. enhedsmasse.

Læs også: Forskere i vildrede: Uventet sammenhæng mellem tyngdekraften og dagens længde

For et punkt på Jordoverfladen er der to hovedbidrag til den lokale tyngdeacceleration: en (newtonsk) massetiltrækningsacceleration fra Jordens masser ('gravitation' på engelsk) og en centrifugalacceleration fra Jordens rotation. I matematisk fysik beskrives en acceleration som en vektor i et tredimensionalt rum.

Den lokale tyngdeacceleration for et punkt på Jordoverfladen er en sum af gravitationsaccelerationsvektor og centrifugalaccelerationsvektor. Gravitation holder os på Jordoverfladen, mens centrifugalacceleration prøver at slynge os ud i rummet.

Ved ækvator ligger de to vektorer på en linje (og er modsatrettede). Ved polerne står de vinkelret på hinanden. Centrifugalaccelerationen er en vektor, der alle steder er parallel med ækvatorplanen og vinkelret på Jordens rotationsakse. Størrelsesmæssigt er den proportional med afstanden fra rotationsaksen til et givet punkt på jordoverfladen.

Både på Nord- og på Sydpolen er centifugalaccelerationen nul, fordi rotationsaksen går igennem de to punkter (og den ovennævnte afstand er nul). Hvis Jorden holdt op med at rotere, ville det derfor næsten ikke ændre tyngdeaccelerationen ved polerne, og en massebestemmelse ved vejning ville vise præcist den samme værdi m" = m'.

Maksimaleffekten af den relative masseændring er ved ækvator. For at få en idé om størrelsesorden kan man bruge en model af Jordens tyngdeacceleration; normaltyngden. I denne model beskrives Jordens form som en simpel geometrisk figur, en omdrejningsellipsoide (som er en kugle, der er 'fladtrykt' ved polerne), og som roterer med samme vinkelhastighed som Jordens middelvinkelhastighed.

Læs også: Forvirrede forskere: Jo mere præcist vi måler tyngdekraften, desto mere mærkelige tal får vi

Desuden antages det, at Jordens masse ligger inden for ellipsoiden (fordelingen af massen inden for en ellipsoide er ikke defineret.) Med en sådan simpel matematisk model kan Jordens tyngdeacceleration som funktion af en geografisk længde, bredde og højde over ellipsoiden approximeres ret præcist.

Normaltyngdemodellen er vigtig. I geodæsi og geofysik studeres detaljer i tyngdeaccelerationens variation på og over Jorden vha. lokale (og målte) afvigelser af den faktiske tyngdeacceleration fra normaltyngdeaccelerationen; tyngdeanomalier.

Den klassiske Claireaut’s theorem fra 1738, hvor det matematiske grundlag for en eksperimental opstilling af normaltyngdemodellen formuleres, er en ligning, der knytter Jordens geometriske fladtrykning f med 'tyngdefladtrykning' f* og en størrelse m, der netop er forholdet mellem centrifugalaccelerationen og tyngdeaccelerationen ved ækvator.

For den nuværende geodætiske standardmodel GRS80 (som er meget tæt på WGS84, der bruges til GPS-navigation) bliver den bestemt til m = .00345.

Det betyder, at hvis Jorden holdt op med at rotere, ville den lokale tyngdeacceleration ved ækvator vokse med 3,5 promille. En mand på 100 kg ville så tilsyneladende veje 0,350 kg mere ved ækvator, hvis Jorden pludseligt holdt op med at rotere, og denne ændring ville gradvis gå mod nul med geografisk breddegrad fra ækvator til polerne.

Spørg fagfolket

Du kan spørge om alt inden for teknologi og naturvidenskab. Redaktionen udvælger indsendte spørgsmål og finder den bedste ekspert til at svare – eller sender spørgsmålet videre til vores kloge læsere. Klik her for at stille dit spørgsmål til fagfolket.

sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Jeg synes ikke besvarelsen kommer ind på personens massetilvækst som følge af den højere hastighed forårsaget af Jordens rotation.. Som bekendt øges et legemes vægt efterhånden som hastigheden stiger (lyshastighed = uendelig masse). Denne faktor elimineres jo også, hvis jorden ikke roterer...

  • 0
  • 1

Jeg synes ikke besvarelsen kommer ind på personens massetilvækst som følge af den højere hastighed forårsaget af Jordens rotation.. Som bekendt øges et legemes vægt efterhånden som hastigheden stiger (lyshastighed = uendelig masse).

Relativistisk massetilvækst sker kun relativt til andre systemer. Hvis du befinder dig i et rumskib med 99% af lysets hastighed vil du selv måle din massetilvækst til nul. Men kolliderer du med et andet rumskib på modsat kurs vil i gensidigt måle at den anden har en massetilvækst.

Mvh. Peter

  • 0
  • 0

Jeg synes ikke besvarelsen kommer ind på personens massetilvækst som følge af den højere hastighed forårsaget af Jordens rotation..

Beregningerne tager ikke hensyn relativistiske effekter, hvilket er rimeligt nok. Derimod mener jeg, der bør tages hensyn til at jorden vil være kugleformet, hvis den ikke roterer.

  • 0
  • 0

Det hører dog også med til svaret, at Jordens ellipsoideform i sig selv er forårsaget af centrifugalkraft pga. rotation. Hvis rotationen ophørte, ville fladtrykningen forsvinde, og Jorden ville opnå kugleform (dette ville naturligvis tage lidt tid, men det ville ske). Det betyder, at et punkt på på jordoverfladen ved ækvator ville flytte sig ~21 km tættere på Jordens massemidtpunkt. Omvendt ville polerne fjerne sig ~21 km. Ændring i afstand fra massemidtpunkt påvirker tyngdeaccelerationen. Den bliver ofte approksimeret vha. den radiale tyngdegradient, som er ca. 3.086e-6 s^-2. For 21km svarer det altså til, at tyngdeaccelerationen ville falde 0.0648 m/s^2 ved polerne. Ved ækvator vil den samlede effekt af selve fjernelse af centrifugalaccelration samt ændring i afstand til jordens centrum for tyngdeaccelerationen til at stige med. Antages, at tyngdeaccelration ved ækvator først var 9.7805 m/s^2, fås en samlet forøgelse på 9.7805 m/s^2*0.00345+0.0648m/s^2. Det svarer til en forøgese på ca. 1%.

  • 1
  • 0

Er det ikke i omegnen af -7km ved ækvator og +14km ved polerne?

Jo, jeg var lige hurtig nok til hovedløst at grave de 21 km frem fra et tilfældigt website. -7 km og +14 km finder jeg også ved at balancere volumenet af den nuværende ellipsoide og en kugle. Så den samlede ændring af tyngden ved ækvator er altså noget mindre, nemlig ca. 6 promille, men altså stadig noget mere end de 3.5 promille, der hidrører fra selve den fjernede centrifugale acceleration.

Desuden er det ikke rigtig, at det ville tage lang tid at opnå den mere perfekte sfæriske form. Spørgsmålet er jo dog helt hypotetisk,(...)

Spørgsmålet en naturligvis hypotetisk. Hvis man stoppede rotationen med et snuptag, ville formændringen tage lang tid nok til, at store landområder nær polerne (fx Danmark) ville nå at blive oversvømmet. Formændringen ville ifølge denne: http://authors.library.caltech.edu/45392/1... ske over en tidskala på ~3000 år.

  • 0
  • 0

Her er mit forsøg:

Jordens tyngdeacceleration ved overfalden varierer efter hvor man er. Jeg har valgt at bruge 9.82 m/s^2.

Centripetalkraften på et objekt: F = mv^2 / r hvor m er objektets masse, v er den tangentiale hastighed, og r er radius.

Eksemple for person på 100 kg, der befinder sig ved ekvator.

-Hastigheden ved overfladen: Radius ved ekvator: 6.378.137 m Jordens omkreds ved ekvator: 40.075.160 m Omløbstid: 23 timer, 56 minuter og 4 sekunder = 86164 s Hastighed: 40.075.160 m / 86.164 s = 465 m/s

-Centripetalkraften: F_centrip = 100 kg * 465 m/s ^2 / 6.378.137 m = 3,39 N.

-Kraften på kroppen fra Jordens tyngeacceleration ved overfladen: F = a * m, hvor a er acceleration og m er masse. F_tyngde = a*m = 9.82 m/s^2 * 100 kg = 982 N

-Relative forskel: F_centrip / F_tyngde = 0,00345 = 0,345%

Altså en forskel på cirka 345 g.

Eksemple for person på 100 kg, der befinder sig i Danmark. Radius af omdrejning ved Danmark: 3.180.945 m Hastighed: 19.986.467 m / 86.164 s = 232 m/s F_centripetal = 100 kg * 232 m/s ^2 / 3.180.945 m = 1,69 N. F_tyngde = 982 N (samme som før) Relative forskel = 0,172%

Altså en forskel på cirka 172 g.

Forskellen er proportionel med vægten. For en person på 80 kg, i Danmark, er forskellen ca. 138 g, og for en person på 50 kg, er den 86 g.

(Det er faktisk forkert blot at lægge de 0,345% til, for at finde nye tyngdeacceleration, da den vi i forvejen bruger, er den hvor de 0,345% allerede er trukket fra. Ellers er det som at forsøge at finde prisen eksl. moms, ved at trække 25% fra prisen inkl. moms). Man skal i stededet dividere med 99,655%. I dette tilfælde er forskellen dog langt mindre end præcisionen.)

  • 0
  • 0

Sætter man Danmarks breddegrad til 56 (ikke 60) og nøjes man med komposanten af F_centripetal ind mod Jordens centrum får man vist nærmere 0,11% på fjedervægten.

Ja, breddegraden var lidt forkert, og du har ret. :) Jeg havde glemt at tænke på retningen af kraften, når det ikke er ved ækvator.

Jeg har regnet igennem for den 56. breddegrad, og bruger man kun komposanten af centripetalkraften mod centrum, bliver forskellen ca. 0,11%. Dog vil det korrekte være, at bruge alle komposanter og beregne den nye vektor for den totale kraft, hvorved forskellen bliver ca. 0,13%.

(alt sammen skrevet med større præcision end jeg kan stå inde for, med de tal jeg har brugt)

  • 1
  • 0

Det der foregives at være et spørgsmål, er i virkeligheden et tankedril, baseret på vrangforestilling om virkeligheden. Alle gode intentioner til trods.

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten