Simpel matematikopgave gav læserstorm
more_vert
close

Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
By signing up, you agree to our Terms & Conditions and agree that Teknologiens Mediehus and the IDA Group may occasionally contact you regarding events, analyzes, news, offers, etc. by telephone, SMS and email. Newsletters and emails from Teknologiens Mediehus may contain marketing from marketing partners.

Simpel matematikopgave gav læserstorm

En sand læserstorm har ramt min mailbox efter jeg i Ingeniørens papirudgave den 28. maj skrev om en simpel matematikopgave hentet fra dette års Gathering for Gardner-symposium (G4G9), som blev afholdt i marts i Atlanta.

Læserstormen viser, hvor let intuitionen kan gå fløjten, når det drejer sig om selv simpel sandsynlighedsregning. Men som matematikeren Keith Devlin fra Stanford University skriver på hjemmesiden for Mathematical Association of America om samme problem, som jeg omtalte:

»Fortunately, the math does not lie. Provided you put your intuitions to one side and set up the problem correctly, the math will give you the right answer.«

Tænk dig godt om

Nu er du advaret, før jeg her først gentager problemet fra fredagens papirudgave:

Gary Foshee stillede følgende opgave til mødedeltagerne: »Jeg har to børn. Det ene er en dreng født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, jeg har to drenge?« Et spørgsmål i bedste Gardner-stil, og med et svar, som nok vil overraske de fleste. Ifølge New Scientist tilføjede Gary Foshee dette: »Det første I spekulerer på er nok: Hvad har tirsdag med dette at gøre? Alt, er svaret«. Hold gerne en lille tænkepause ...

Hvis vi i første omgang glemmer tirsdags-oplysningen, er svaret let at finde. Foshees børn er en af fire kombinationer DP, PD, DD eller PP, som alle er lige sandsynlige, hvis vi slet ingen oplysninger har om børnene. Da vi ved, at det ene barn er en dreng, kan vi udelukke kombinationen PP. Ud af de tre tilbageværende kombinationer er den ene DD. Så sandsynligheden for, at Foshee har to drenge, er 1/3. Nu kan man gentage teknikken med tirsdags-oplysningen. Vi kalder drengen, der er født en tirsdag for DTi. Vi opdeler kombinationerne i fire grupper:

Det første barn er DTi - det andet barn er en pige født på en af ugens syv dage. Det er syv kombinationer.

Det første barn er en pige født på en af uges syv dage - det andet barn er DTi. Det er endnu syv kombinationer.

Det første barn er DTi - det andet barn er en dreng født på en af ugens syv dage. Det er yderligere syv kombinationer.

Det første barn er en dreng født på en af ugens syv dage - det andet barn er DTi. Det er nu kun seks nye kombinationer, idet kombinationen med begge drenge født på en tirsdag allerede er medtaget. 13 af de i alt 27 kombinationer består af to drenge. Så sandsynligheden er altså 13/27, som er meget forskellig fra 1/3.

Artiklen sluttede med ordene. "Det havde du nok ikke ventet".

Så kom læserstormen

Det var langt fra alle læsere, der købte denne forklaring.

Allerede i weekend indløb de første mail, som siden er kommet fra universitetsansatte forskere, tidligere medarbejdere ved Ingeniøren og gode ingeniører. Alle har forsøgt at forklare mig, at jeg tager fejl.

De fleste hævder, at svaret er 1/2 i begge situationer. Jeg har dog også fået lige så skråsikre henvendelser om, at svaret på tirsdagsspørgsmålet er 6/13 og 10/21.

Flere læsere har jeg kommunikeret direkte med. Det har efter et par mails frem og tilbage resulteret i svar tilbage som disse:

"Du har selvfølgelig ret og har givet mig en fantastisk aha-oplevelse. Tak for det!"

" Tak Jens - det overbeviser mig."

Mange af mine kollegaer på redaktionen har jeg også haft svært ved at overbevise. Min gode kollega Robin Engelhardt var den eneste, som umiddelbart kunne give et rigtigt svar. Men har også skrevet om det rene drenge/pige spørgsmål på side 298 i sin udmærkede bog 'Ergo - naturvidenskabens filosofiske historie'. Så Robin vidste, at sandsynligheden er 1/3 for, at far med to børn har to drenge, hvis vi ved, at han har mindst en dreng.

Over for nogle af læserne, jeg har kommunikeret direkte med, har jeg forsøgt mig med denne forklaring: Lad os antage, at der findes 100.000 familier med to børn. 25.000 af disse består af en storebror-lillebror, 25.000 består af en storebror-lillesøster, 25.000 består af en storesøster-lillebror og 25.000 består af en storesøster-lillesøster.

Når Foshee nu fortæller, at han har mindst en dreng, så kan vi udelukke kategorien storesøster-lillesøster. Vi har nu 75.000 familier, hvor der er to drenge i 25.000 familier. Sandsynligheden for to drenge er altså 25.000/75.000 = 1/3.

Til gengæld er sandsynligheden naturligvis 1/2 for, at en søn i tobørns-familie har en bror - men det er altså et helt andet spørgsmål.

Da jeg i mandags spurgte Robin, som kom hoppende ind på redaktionen på krykker efter en badmintonskade og som derfor ikke havde set min artikel i papiravisen, om sandsynligheden så var mindre end 1/3, netop 1/3 eller større end 1/3, når man medtog tirsdagsoplysningen, svarede han straks, at den måtte være større end 1/3 - på grund af den nye oplysning. Han havde naturligvis ret.

Du er ikke alene i båden

Hvis du stadig ikke er overbevist, så har Keith Devlin et par trøstende ord: »If you are still having doubts about all of this, take consolation in the fact that you are not alone.«

Årsagen til at jeg skrev om problemet i fredags var, at Martin Gardner, der gennem 25 år skrev klummen Mathematical Games i Scientific American, døde den 22. maj - 95 år gammel. Gardner deltog selv i de to første Gathering for Gardner-symposier afholdt i 1993 og 1996, og som siden 1996 er afholdt hver andet år.

Hvis man taster "Foshee Tuesday Boys" ind i Googles søgefelt vælter det frem med links til hjemmesider og blogs over hele verden, hvor dette problem i disse dage og timer diskuteres. Før du eventuelt skriver et debatindlæg her på siden, så var det måske en god idé lige at se med andre steder. Men nu er debatten åben på ing.dk.

Dokumentation

Keith Devlins forklaring
Alex Bellos udlægning af Foshees spørgsmål

Kære Jens,
jeg diskuterede opgaven med en ven i går aftes, og vi kom frem til en ganske interessant iagttagelse: Jo flere oplysninger vi har om den ene dreng (at han er født på en tirsdag; at han har en kanariefugl; at han spiller fodbold; etc.) jo hurtigere kommer vi tæt på en 50% sandsynlighed for at det andet barn også er en dreng (med reglen: jo mere sjældne attributter i kender, jo tættere på 50%). Hvis vi derfor formulerer opgaven sådan her: "Gary Foshee har to børn, hvor det ene barn er en dreng SOM JEG KENDER GODT, hvad er sandsynligheden for, at det andet barn også er en dreng" - så vil svaret være 50%. Idet det første barn kendes "til fulde", udgår det fra de bayesianske betingelser, og problemet reduceres til at beregne sandsynligheden for at et hvilket som helst barn er en dreng eller pige (som er ca. 50%).

Da vi blev lidt mere fulde, udvidede vi tankelegen til at analogisere problemet til kollapset af en bølgefunktion: Når alle informationer er målt, forsvinder den kontinuerte distribution af udfaldsmuligheder, og vi står tilbage med et diskret problem. Det brugte vi så et par timer mere på, indtil der til sidst kun var eet muligt udfald tilbage: at komme i seng.

  • 1
  • 0

Er der nogen, der ud fra ovenstående kan give en sandsynlighed for, at Robin havde mareridt efter sin fuldemandsdiskussion?

Jeg synes nok at Robin kommer lidt langt ud i tovene her.

Det er kun oplysninger om drengen, der også siger noget om hans søskende der kan forandre sandsynligheden fra 1/3.

At "sige noget om" kan i den forbindelse enten været et direkte udsagn, eller, som her, ved at angive drengens association med et element i et lukket sæt, som alle børnene er associeret til.

Kanariefuglen hjælper således ikke, med mindre vi ved at alle børnene har et kæledyr og kender mængden af for familien potientelt acceptable kæledyr.

Ligeledes for fodbolden, hvis vi ikke ved hvor mange sportsgrene han kunne vælge imellem og at hans søskende også går til en sport fra samme mængde, hjælper det heller ikke.

Poul-Henning

  • 0
  • 0

En sjov opgave lidt i samme genre er Monty Hall problemet (se http://da.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall-pr...)
Jeg citerer:

"Monty Hall-problemet er en opgave, som handler om sandsynlighed, og som er løst baseret på det amerikanske tv-program Let's Make a Deal. Problemet har fået navn efter programmets vært, Monty Hall. ...

Antag, at du medvirker i et tv-program, og du får givet muligheden for at vælge mellem tre døre: Bag en af dørene er der en bil; bag de to andre en ged. Du vælger en dør, lad os sige nr. 1, og spilstyreren, som ved, hvad der er bag dørene, åbner en anden dør, lad os sige nr. 3, bag hvilken der befinder sig en ged. Han spørger dig nu: "Vil du hellere vælge dør nr. 2?" Er det nu en fordel af vælge om?"

God fornøjelse!

  • 0
  • 0

Hvis spørgsmålet udvides til at omfatte syv fædre, hver med to børn, hvoraf en er en dreng født på en af ugens dage (far 1 har en dreng født mandag, far to har en dreng født tirsdag osv), så har hver far stadig den samme sandsynlighed for to drenge. Dermed forbliver sandsynligheden for to drenge også generelt set (da alle ugedage er inklusiv) ifølge argumentet 13/27 for at begge er drenge, forudsat den ene er en dreng. Ugedagen må jo så være ligegyldig.

Dette er jo i strid med forudsætningen om at sandsynligheden er 1/3. Et fint paradoks. Find fejlen.

  • 0
  • 0

Tirsdagen giver da ingen mening...
Den udelukker jo ikke noget.
Ligesom at der er en dreng giver heller ikke "bonus" oplysninger.
Hvis nogen venter et barn, er det 50/50 dreng/pige.
Hver fødsel for sig, hvis ikke forældrenes bio data er tilgængelig.
Det er noget helt andet at sige hvad er sandsynligheden for at xx børn med yy fordeling.
Eller at 48 børn er født onsdage.....

  • 0
  • 0

Erik Kristiansen hoppede i fælden og brugte sin intuition til at komme frem til en forkert konklusion.

Lidt i stil med Troels Dyhr Pedersens kommentar kan man opstille et nyt spørgsmål på denne måde:

Jeg har to børn, den ene er dreng, der enten er født en mandag, tirsdag, onsdag, torsdag, fredag, lørdag eller søndag. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge.

Svaret kan udregnes på to måder.

Den lette. Nu giver ugedagene ingen information, så svaret på være 1/3.

Den svære. Vi ser på alle kombinationer, hvor drengen er født en søndag, dernæst en mandag osv. - og fraregner alle dobbeltkombinationer. Jeg har omhyggeligt skrevet alle kombinationer op og optalt alle to-drenge tilfælde. Det er ikke så svært, som det lyder, men kræver blot et helt A4-ark - det giver sandsynligheden (12/27 + 11/27 +10/27 + 9/27 + 8/27 + 7/27 +6/27)/7 = 63/(27*7) = 1/3.

Det er betryggende, at både den lette og den svære udregning giver samme resultat.

  • 0
  • 0

En sjov opgave lidt i samme genre er Monty Hall problemet (se http://da.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall-pr...)
Jeg citerer:

"Monty Hall-problemet er en opgave, som handler om sandsynlighed, og som er løst baseret på det amerikanske tv-program Let's Make a Deal. Problemet har fået navn efter programmets vært, Monty Hall. ...

Antag, at du medvirker i et tv-program, og du får givet muligheden for at vælge mellem tre døre: Bag en af dørene er der en bil; bag de to andre en ged. Du vælger en dør, lad os sige nr. 1, og spilstyreren, som ved, hvad der er bag dørene, åbner en anden dør, lad os sige nr. 3, bag hvilken der befinder sig en ged. Han spørger dig nu: "Vil du hellere vælge dør nr. 2?" Er det nu en fordel af vælge om?"

God fornøjelse!

Den er da nem. Du har en tredjedels chance for at ramme rigtigt første gang. Så hvis mulighederne reduceres fra 3 til 2, så er der ⅔ chance for at bilen er i den quizmasteren ikke åbner.

  • 0
  • 0

Jeg er ikke i tvivl om det er den rigtige løsning du har der ;)
Men min lille hjerne kan alligevel ikke forstå følgende:
Hvis man betragter de to drenge som store- og lillebror, så kan DTi være lillebror og hans storebror er også født tirsdag? Og DTi kan være storebror og hans lillebror er også født en tirsdag? Jeg kan derfor ikke lige se hvorfor man kan afskrive den ene af de to muligheder.

Enlighten me please :)

  • 0
  • 0

[quote]En sjov opgave lidt i samme genre er Monty Hall problemet (se http://da.wikipedia.org/wiki/Monty_Hall-pr...)
Jeg citerer:

"Monty Hall-problemet er en opgave, som handler om sandsynlighed, og som er løst baseret på det amerikanske tv-program Let's Make a Deal. Problemet har fået navn efter programmets vært, Monty Hall. ...

Antag, at du medvirker i et tv-program, og du får givet muligheden for at vælge mellem tre døre: Bag en af dørene er der en bil; bag de to andre en ged. Du vælger en dør, lad os sige nr. 1, og spilstyreren, som ved, hvad der er bag dørene, åbner en anden dør, lad os sige nr. 3, bag hvilken der befinder sig en ged. Han spørger dig nu: "Vil du hellere vælge dør nr. 2?" Er det nu en fordel af vælge om?"

God fornøjelse!

Den er da nem. Du har en tredjedels chance for at ramme rigtigt første gang. Så hvis mulighederne reduceres fra 3 til 2, så er der ⅔ chance for at bilen er i den quizmasteren ikke åbner.[/quote]

&#8532 skulle have været to-tredjedele.

  • 0
  • 0

Til Thomas Smith:

Fordi du ikke ved om den dreng, som Foshee omtaler som værende født en tirsdag er storebror eller lillebror, er du nødt til at afskrive den ene kombination.

Hvis Foshee havde sagt: Jeg har to børn, den ældste er en dreng født en tirsdag. Så var svaret et andet. Regn selv ud, hvilket.

  • 0
  • 0

Poul-Henning, ja man skal kende frekvenserne af drenge/piger som har kanariefugle eller går til fodbold, men det er et praktisk problem, ikke et principielt problem.

Prøv at regne på to yderligere udvidelser af Jens' opgave (glem tirsdagsoplysningen):
1. Foshees dreng er født mellem kl 2 og 3 om natten
2. Foshees dreng er født den 2. august.

Den første giver sandsynligheden 47/95 for at det andet barn er en dreng og den anden giver 729/1459 - altså progressivt tættere på 0,5, dvs. 50 procent. Ergo: jo sjældnere attributter vi kender hos drengen, jo mere reduceres opgaven til common-sense reaktionen hos de fleste: at det bare er et spørgsmål om fifty-fifty for det andet barn.

  • 0
  • 0

Prøv at regne på to yderligere udvidelser af Jens' opgave (glem tirsdagsoplysningen):
1. Foshees dreng er født mellem kl 2 og 3 om natten
2. Foshees dreng er født den 2. august.

Men Robin, her fedter du bare rundt i samme lukkede delete sæt (tiden) som i den oprindelige opgave.

Kan du ikke se at dette er radikalt forskelligt fra dine hypoteser om kæledyr og sportsgrene ?

Det er ikke ligegyldigt hvad vi ved om drengen, kun viden i mængder delt med søskende kan forandre sandsynligheden.

Poul-Henning

  • 0
  • 0

Jeg er ikke helt enig i dette stykke:

"Det er nu kun seks nye kombinationer, idet kombinationen med begge drenge født på en tirsdag allerede er medtaget."
Hvis du fratager denne mulighed, så medregner du kun at Dti er storebror, ikke at han er lillebror.
Hvorfor skal men ikke medregne dette?
Det skulle give 13/28 og ikke 13/27 - skulle jeg mene?

Med venlig hilsen,
Jørgen

  • 0
  • 0

Hvis beregningen for sandsynlighed ikke er i overensstemmelse med et stort statistisk grundlag, hvor mon fejlen så ligger?

Det at have født en dreng på en tirsdag er jo ikke anderledes end at have født ham resten af ugens dage. Så det skulle helst ikke have indflydelse på den generelle sandsynlighed for at have fået to drenge. Det leder altså mig i retning af at tro at beregningen ikke holder.

  • 0
  • 0

Troels Dyhr Pedersen tror ikke, beregningen holder.

Men det drejer sig ikke om tro, det drejer sig om ganske simpel matematik, som kan udføres med folkeskolekundskaber.

Jeg gentager artiklens hovedsynspunkt: Intuition og sandsynlighedsregning er en farlig cocktail.

  • 0
  • 0

Med fare for at underminere hele fundamentet for den ellers interessante opgave. Så er det sådan at der er højere sandsynlighed for at få søskende af samme køn. Jeg ved dog ikke om det er påvist at det følgeren moderen eller faderen.

http://altomboern.dk/node/488101

  • 0
  • 0

Ja - og der fødes lidt flere drengebørn end pigebørn, osv.

Heldigvis har alle andre i debatten set bort fra disse detaljer, som kun vil være forstyrrende for den matematiske diskussion, som foregår her.

Den diskussion, som Christian Bess lægger op til, kan være nok så interessant, men den vedrører ikke emnet, så den foreslår jeg, vi dropper.

  • 0
  • 0

Jeg bruger ikke min intuition. Jeg påpeger bare at der er et mistænkeligt forhold i det at den reelle sandsynlighed for at han har to drenge tilsyneladende påvirkes af hvilken dag den ene dreng er født. Hvis det argument passer, så kan ikke alle dage i ugen have lige stor indflydelse.

Hvis jeg nu sagde at den ene dreng hed lars, fremfor at han var født en tirsdag, ville det så ændre sandsynligheden? Hvis ikke, hvad er da kriteriet for at en oplysning kan ændre sandsynligheden?

Jeg uddyber lige mit argument: Statistisk set vil 1 ud af tre fædre med to børn have 2 drenge. Det er altså ikke i harmoni med at det nærmer sig 1 ud af to fædre, hvis den første er født på en ugedag (idet jeg antager at tirsdag er lige så sandsynligt som enhver anden ugedag).

Det er et paradoks, som alt andet lige kræver en forklaring.

  • 0
  • 0

..kun viden i mængder delt med søskende kan forandre sandsynligheden.
-Poul-Henning

Ja, men hvilken slags viden er ikke det? Rødhåret (ca. 2%)? Kanariefugl (ca. 1%)? Foldbold (50% for drenge, 10% for piger)?

Jeg kan ikke se noget principielt i den indvending.

  • Robin
  • 0
  • 0

En ud af tre fædre med to børn vil ikke have to drenge. En af ud fire fædre med to børn vil have to drenge.

En ud af tre fædre med to børn og som har mindst en dreng, vil have to drenge.

Hvilke kriterier, der kan ændre sandsynligheden, diskuterer Robin og Poul Henning.

  • 0
  • 0

Ja, men hvilken slags viden er ikke det? Rødhåret (ca. 2%)? Kanariefugl (ca. 1%)? Foldbold (50% for drenge, 10% for piger)?

Disse tal varierer fra land til land og fra familie til familie, det er slet ikke en opgave i Gardners ånd hvis man skal ringe til Danmarks Statistik for at finde svaret.

Men selv hvis du ringer til Danmarks Statistik, hjælper det ikke dit argument:

Kun hvis du kender disse sandsynligheder med temmelig stor nøjagtighed, en nøjagtighed der skal nærme sig de øvrige sandsynligheder du roder med, holder dit argument vand.

Hvis du f.eks anvender en forkert sandsynlighed for fodboldspil (USA eller Europa ?) får du et helt forkert resultat og du ville være bedre stillet ved at se bort fra denne oplysning.

Implicit i Bayes formel, er at du kender sandsynlighederne præcist, hvis ikke det er tilfældet, skal du igang med covariansmatricer og andet langhåret for at komme videre.

Derfor virker opgaven, som den er stillet, fordi sandsynligheden for at en vilkårlig dag er tirsdag er præcist 1/7 og (underforstået) sandsynligheden for at barn fødes som dreng er præcist 1/2.

Men kanariefugle og fodbolde har alt for uldne sandsynligheder til at de kan hjælpe dig.

Poul-Henning

  • 0
  • 0

Beklager Jens, men det kan jeg ikke forstå.

Hvis man ikke ved om det er storebror eller lillebror kan man da netop ikke afskrive den ene kombination???
Det svarer da til at sige at man ikke får at vide om søskende er en pige, og dermed afskrive alle de kombinationer? :S

  • 0
  • 0

Over for nogle af læserne, jeg har kommunikeret direkte med, har jeg forsøgt mig med denne forklaring: Lad os antage, at der findes 100.000 familier med to børn. 25.000 af disse består af en storebror-lillebror, 25.000 består af en storebror-lillesøster, 25.000 består af en storesøster-lillebror og 25.000 består af en storesøster-lillesøster.

Når Foshee nu fortæller, at han har mindst en dreng, så kan vi udelukke kategorien storesøster-lillesøster. Vi har nu 75.000 familier, hvor der er to drenge i 25.000 familier. Sandsynligheden for to drenge er altså 25.000/75.000 = 1/3.

Til gengæld er sandsynligheden naturligvis 1/2 for, at en søn i tobørns-familie har en bror – men det er altså et helt andet spørgsmål.

Matematik har altid været brugt til at manipulere folls "sunde fornuft" - tænk på Achileus og skipadden eller "mor Karen er en sten".

Når man tager udgangspunkt i dit sidste citerede afsnit, så kan den sunde fornuft sige, hvad der er galt, da sandsynligheden for, at en dreng i en familie har en bror må være den samme, som at der er to drenge i familien.

Fejlen ligger i en misforståelse af, hvad oplysninger udelukker af mulighederne.

Når vi ved, at der ikke er to piger, så er der kun 75.000 familier tilbage.
Af disse har 25.000 to drenge og 50.000 en pige og en dreng. - Altså 1/2.
- Du trækker altså ikke de 25.000 fra "normalfordelingen" (og får derfor 75.000 i stedet for 50.000), før du udregner sandsynligheden, hvorfor du ikke gør brug af dine oplysninger fuldt ud.

Hvilken dag, drengen er født på, udelukker derimod ingen mulighed, å den oplysning giver også 1/2.

Mvh Peder Wirstad

  • 0
  • 0

bare en lille smule.
Sandsynligheden for, at Foshee har to drenge er ca. 50 %, idet vi kender kønnet på den ene, og der fødes næsten lige mange af hver slags, men der er to grunde til, at sandsynligheden er lidt over 50 %: Der fødes generelt lidt flere drenge end piger, og der er nogle familier, der 'samler på' det ene køn, og der er lidt større sandsynlighed for, at Foshees familie, der jo allerede har en dreng, hører til dem, der samler på drenge, end at de hører til dem, der samler på piger.

  • 0
  • 0

Nu er det en menneskealder siden jeg beskæftigede mig med sandsynlighedsberegning, som jeg fandt vanskeligt. Jeg lærte dog at bestå eksamen ved den simple konstelleation at sandsynligheden var forholdet mellem positive hændelser og maximale hændelser.
Det reddede mig ved eksamen dengang. Alt det med at gange sandlynligheder fattede jeg ikke men at finde forholdet mellem posiive og maximale udfald. Det reddede min eksamen.

  • 0
  • 0

Jeg er enig med alle i, at her slår intuitionen ikke helt til. Så prøv i stedet i et regneark at opstille alle 296 kombinationsmuligheder: nemlig køn og ugedage på den førstefødte (2x7) kombineret med køn og ugedag på den næstfødte.
Tæl så sammen og du vil finde, at kun 27 af de 296 giver udfaldsrummet defineret af Dti-oplysningen. Tæl så, hvormange af de kombinationer, der har to drenge. Det er og bliver 13.

  • 0
  • 0

Det er sørgeligt at så mange matematiske hjerne er faldet for dette trick (tricket er, at man overtaler folk til at tro løsningen er 13/27)

Kun ved hjælp af omskrivning af opgaven kommer man frem til mærkelige resultater:
f.eks. Der er 2 børn, vi kender det ene (Dreng), hvad er det andet? (Dreng eller pige)

Hvordan nogen så starter med DD PP DP PD, er ud over min forstand? For derefter at komme frem til 1/3 ??, vi kender allerede 1 barn, hvornår det er født er lige meget. Der er kun 2 valgmulighedeR: DP og DD, --> 1/2

Selv hvis man medtager ugedagene, får vi: DTi og en dreng; 7 muligheder (en hver dag)
og
DTi og en Pige; 7 muligheder (En hver dag)

Ergo 7/14 for at det er DD = 1/2

Når folk nu er i gang med at opfinde informationer og omstille spørgsmålet, hvorfor har man så ikke taget naboens børn med :S De er præcis ligeså ligegyldige.

Fortsæt endelig med at pine jer selv med dårligt matematik over forvirrede matematikkere...

  • 0
  • 0

Synes det er let nok at følge din forklaring med PP DP PD DD men da spørgsmålet ikke nævner noget om rækkefølgen DD er født i så betyder det at DP og PD er et og samme resultat hvilket igen giver dig 50 % chance. Så nej matematik lyver ikke men din metode at forstå opgaven gør!

  • 0
  • 0

Men kanariefugle og fodbolde har alt for uldne sandsynligheder til at de kan hjælpe dig.

Poul-Henning

Lur mig om ikke du tar fejl. Antag at et ud af 100 børn har kanariefugle, eller antag at 17 ud af 100 børn har kanariefugle - i begge tilfælde vil det indskrænke opgavens udfaldsrum betragteligt.

At en dreng er født en tirsdag er jo også afhængigt af mange ydre faktorer (selvom statistikken i sidste ende udjævner dem til 1/7).

  • Robin
  • 0
  • 0

Så meget energi som bliver lagt i dette emne, så er der da lys i tunnelen, i forhold til at vores inovative samfund regner den ud en dag.

Jo mere vi ved , des mere vi ikke ved.

Men holdt fest det er sjovt at følge med i.

  • 0
  • 0

Kære Robin.
Det er 100% ufilosofisk og 100% sprogligt betinget.
Du giver jo lige præcist selv begrundelsen for at sandsynligheden er 50%, idet du indregner de bayesianske betingelser, fordi teksten i spørgsmålet definerer "DET ene er..." ikke "ET AF.....", og hermed har man elimineret den tirsdagsfødte dreng fra beregningen, og dermed har man kun de 50% tilbage.
Jeg kan give jer begge ret i, at svaret er 1/3 hvis formuleringen havde været "ET AF børnene er en dreng...."

  • 1
  • 0

Hoved pointen er, at det er lige meget hvilket barn der er født først. Når du regner sandsynlighed og kender en del af udfaldet, må du aldrig starte med at regne sandsynlighed for det første udfald ud :(

Forestil dig 3 terninger. Den første viser 6, hvad er sandsynligheden for at de alle viser 6? (6-6-6)
Svar: Den første information er egentlig lige meget, den fjerner et 6-tal fra (6-6-6) så der er (6-6) tilbage. Herfra 1/6 per terning, giver 1/36 sandsynlighed for 6-6-6 pga. informationen.

På samme måde kan drengen der er født på en tirsdag samle et familie billede op og kigge på det. Der er kun 2 udfald af hvad hans søskende kan være. Enten dreng eller pige. D eller P.... opsætningen af DP PD DD PP er helt forkert og fører egentlig til hele misforståelsen i opgaven.

Svaret: 1/2 (Ingen intuition, rent logic)

  • 1
  • 0

Jeg er lidt forvirret over indlægget.
Kaster jeg en terning, er der 1/6 sandsynlighed for at det bliver en sekser.
Nu fortæller jeg så, at jeg lige har slået 4 seksere.
Dvs. at sandsynligheden for at jeg slår 5 seksere i træk er 1/6.
Terninger og livmødre regner ikke med statistik!

  • 0
  • 0

Hej,

Mangler der ikke konsekvens i udfalds mulighederne?

I ræsonomentete med dd/dp/pd gør man forskel på lille/store søskende i det ene tilfælde men ikke i det andet.

Altså artiklen tager højde for om pigerne er født som Store søster eller Lille søster..

Men ikke for at opgave stilleren kunne tale om både storebror eller lillebror (der er født om tirsdagen)
Jeg kan heller ikke læse ud af opgaven at det næste barn IKKE er født om tirsdagen...

giver det ikke følgende udfalds rum
S= Store bror/søster
L= Lille bror/søster
D=dreng
P=pige

Derfor

SD+LD / SD+LP / LD + SP / LD + SD

Altså 2 tilfælde ud af 4 hvor den omtalte dreng har en bror..

Fortæl endelig hvordan jeg tager fejl hvis det er tilfældet...

  • 0
  • 0

Bernhard:
Dit eksempel med terninger giver svaret på "hvad er sandsynligheden for at slå 3 seksere med 3 terninger, givet at den første terning viser 6, altså P(666|6)"

På samme vis er Mortens eksempel: P(66666|6666)=1/6.
Det er ikke det samme som sandsynligheden for at slå 5 seksere i træk, som er P(66666)=(1/6)^5

Den oprindelige gåde handler om såkaldte "epistemisk sandsynlighed" - hvilke sandsynligheder tillægger man den viden man har om familien. Læs Keith Devlins forklaring:
http://www.maa.org/devlin/devlin_04_10.html

  • 0
  • 0

Drop matematikken og se på det som et upræcist formuleret spørgsmål. For eksempel, hvor mange "n'er" er der i Nanna? Er man matematiker og ser spørgsmålet på tryk, svarer man 3, hører man spørgsmålet i en anden sammenhæng svarer man 2. Det hele afhænger af de forudsætninger man læser ind i spørgsmålet.

  • 1
  • 0

Hvis du f.eks anvender en forkert sandsynlighed for fodboldspil (USA eller Europa ?) får du et helt forkert resultat og du ville være bedre stillet ved at se bort fra denne oplysning.

Det kommer vel helt an på, hvordan du definerer "bedre stillet". Kan jeg f.eks. sætte bare en øvre grænse for sandsynligheden fodboldspil, ja så kan jeg jo opdatere mine sandsynligheder med Bayes og være sikker på, at de er bedre end dine uopdaterede.

Og Robin har jo ret i sin "asymptotiske" pointe: Når først vi har tilstrækkeligt mange oplysninger om den ene dreng, så ender man tæt på 50-50. Selvom de enkelte oplysninger måske er forbundet med "uldne" sandsynligheder, så kan man sagtens forestille sig, at de tilsammen har lille sandsynlighed og præcis hvor lille er så ikke så vigtigt.

mvh

Uffe

  • 0
  • 0

Kære Michael, jeg forstår ikke din distinktion mellem

"DET ene er..." og "ET AF....."

Jeg kan ikke se forskellen. Men vi kan være enige i, at løsningen er meget afhængig af formuleringen af spørgsmålet.
-Robin

  • 0
  • 0

Selvom de enkelte oplysninger måske er forbundet med "uldne" sandsynligheder, så kan man sagtens forestille sig, at de tilsammen har lille sandsynlighed og præcis hvor lille er så ikke så vigtigt.

Kun hvis du ved hvor "uldne" de er. Hvis du tror at en given sandsynlighed er 10% mens den i virkeligheden er 90%, så ødelægger det dit resultat meget mere end det gavner.

Poul-Henning

  • 0
  • 0

[quote]Selvom de enkelte oplysninger måske er forbundet med "uldne" sandsynligheder, så kan man sagtens forestille sig, at de tilsammen har lille sandsynlighed og præcis hvor lille er så ikke så vigtigt.

Kun hvis du ved hvor "uldne" de er. Hvis du tror at en given sandsynlighed er 10% mens den i virkeligheden er 90%, så ødelægger det dit resultat meget mere end det gavner.

Poul-Henning[/quote]

Nu er det jo lidt en ekstrem fejl, men får jeg 20 oplysninger og opdaterer med 90%, hvor det skulle være 10%, så får jeg stadig cirka 1/2. Du ignorerer alle oplysningerne og får 1/3.

Uffe

  • 0
  • 0

Mathematics is just like English or Danish a language.
As a mathematician, you can create grammar or rule for your enviroment or you model some observed phenomena and code them.
If what you wrote is about telling people that their language(let s say English) is not complete or precise then you should do better. If not then your sentence is not mentioning any thing about the order so is DP and PD count as one? Cause when you write your problem in English then the human intuition is the rule.

  • 0
  • 0

For resultatet afhænger af hvordan spørgsmålet tolkes.
Det er dermed ikke de forskellige resultater, som er et problem. Det er mere udgangspunktet for beregningen, som er årsag til de forskellige resultater.

  • 0
  • 0

Bestem selv sandsynligheden :

Siden 9/11 har der jo været en lidt forøget "flyve-skræk", fordi "der kunne jo være en selvmords-bomber med flyet"

Uden at opfordre folk til terror, kunne en mulig løsning dog være selv at medbringe en bombe.

Sansyndligheden for at 2 uafhængige personer skulle have bomber med på det samme fly, må derved (statistisk) siges at være kraftigt reduceret . . .

;-) Petter

  • 0
  • 0

Drop matematikken og se på det som et upræcist formuleret spørgsmål. For eksempel, hvor mange "n'er" er der i Nanna? Er man matematiker og ser spørgsmålet på tryk, svarer man 3, hører man spørgsmålet i en anden sammenhæng svarer man 2.

... og er man matematiker, som kan læse symboler, så er svaret også 2.

:-)

  • 0
  • 0

Den oplysning vi får, er dette: Jeg har to børn.
Ikke dette: Jeg vil få to børn.
Eller dette: Jeg har et barn, og vil få et mere.

Personen med sandsynlighedsregneren står et sted i processen.
Eks: hvis jeg vil kaste plat eller krone 10 gange, så er der en vis (lav) sandsynlighed for, at alle bliver krone.
Hvis jeg har kastet 10 gange, og alle er blevet krone. Og jeg så herfra vil beregne sandsynligheden for plat, så forbliver den 50%.

Vi får at vide: Jeg har to børn - og altså står vi uden for processen.

Hvis vi antager, at chancen (risikoen) for dreng eller pige er 50/50, så er der jo 4 kombinationsmuligheder, men da vi får at vide at den ene er en dreng, så er der kun 2 muligheder for den anden!

Når opgaven (som foregiver at handle om statistik) indvolverer begreber som mandag, tirsdag.. osv. så kan man jo allerede se, at det er kørt helt af sporet:
Ville alle matematiske/statistiske formler skulle skrives om hvis man f.eks. globalt blev enige om at udvide ugen (man-, tirs-, ons-, tors-, fre-, lør-, søn-) til også at indeholde en ottende fri-dag?
Næppe. Så jeg vil altså fastholde at opgaven er en (meget underholdende) fake-opgave.

Og dermed vil jeg hævde, at (som spørgsmåler er stillet) svaret er 50%.

  • 0
  • 0

Ved løsningen vil jeg beregne forholdet mellem sandsynligheden for at have én dreng, født på en tirsdag, og to drenge, hvoraf den ene er født på en tirsdag.

Sandsynligheden for at føde en pige (P) er 1/2
Sandsynligheden for at føde en dreng (D) er 1/2
Sandsynligheden for at føde en dreng (DTi) på en tirsdag er 1/21/7
Sandsynligheden for at føde en dreng (D-Ti) på en anden dag er 1/2
6/7

Først beregnes sandsynligheden p() for at han har mindst én dreng født på en tirsdag, enten som nr 1 eller 2:

p(DTi)+p(P)p(DTi)+p(D-Ti)p(DTi)=1/21/71/1+1/21/21/7+1/26/71/21/7
=1/14+1/28+6/196=18/5488

Dernæst beregnes sandsynligheden for netop to drenge, heraf mindst én født på en tirsdag.

p(D-Ti)p(DTi)+p(DTi)p(D)
=1/26/71/21/7+1/21/7*1/2
=6/196+1/28=6/5488

Heraf ses at sandsynligheden for netop to drenge er præcis en tredjedel af sandsynligheden for at have mindst én dreng født på en tirsdag.

Hvis dette ikke er korrekt er jeg åben for kritik.

  • 0
  • 0

Første sætning skal lige præciseres således "...sandsynligheden for at have MINDST én dreng, født på en tirsdag, og NETOP to drenge, hvoraf MINDST den ene er født på en tirsdag."

  • 0
  • 0

Gary Foshee har (påstår han, så det må vi jo tro på) 2 børn. De er altså allerede undfanget og født - deres køn er bestemt. Altså har han enten 2 drenge eller også har han ikke to drenge. Der er intet at regne på i opgaven. Svaret er enten 0 eller 1.

Terningerne ER kastet og resultatet er bestemt. Inden man slår med en terning er sandsynligheden for at slå en sekser 1/6, men når terningen ER kastet, er sandsynligheden for at udfaldet af det konkrete eksperiment blev en sekser 0 eller 1.

Vi kunne også spørge "Hvad er sandsynligheden for at Gary Foshee hedder Gary Foshee" og så begynde at se på en masse statistisk over navnefrekvenser. Men det rigtige resultat er 1.

  • 0
  • 0

Tror nu ikke man kan overføre sansynlighedsregning til mennesker på den måde. nu er en kvinde jo ikke gravid i et tilfældigt antal døgn, selvom det kan svinge. er sikkert bare en matematikers våde drøm at alt kan sættes i bås på den måde. jeg køber den ikke.

  • 0
  • 0

Tja, den skulle der tænkes lidt over. Som tidligere nævnt skal der præciseres til "Sandsynligheden for at have MINDST én dreng, født på en tirsdag".
Resultatet der umiddelbart synes noget mærkelig må skyldes at sandsynligheden for at mindst en dreng har en given attribut fx en ugedag naturligvis er større hvis der er 2 drenge end hvis der kun er en.

(D - P -> førstefødt dreng, andenfødt pige)

P(mindst 1 dreng på en tirsdag|D - D) = 2/7 - 1/49 = 13/49

P(mindst 1 dreng på en tirsdag|D - P) = 1/7

P(mindst 1 dreng på en tirsdag|P - D) = 1/7

P(mindst 1 dreng på en tirsdag|P - P) = 0

Dette giver så

P(D-D | (mindst 1 dreng på en tirsdag) = 13/49 * 49/27 = 13/27

P(P-D | (mindst 1 dreng på en tirsdag) = 1/7 * 49/27 = 7/27

P(D-P | (mindst 1 dreng på en tirsdag) = 1/7 * 49/27 = 7/27

P(P-P | (mindst 1 dreng på en tirsdag) = 1/7 * 49/27 = 0

De 49/27 = 1/
(P(mindst 1 dreng på en tirsdag|D - D)
P(mindst 1 dreng på en tirsdag|D - P)
P(mindst 1 dreng på en tirsdag|P - D)
P(mindst 1 dreng på en tirsdag|P - P)) =
1/(13/49 1/7 1/7 0) = 49/27

  • 0
  • 0

Der er 3 muligheder: PP-DD-PD (Rækkefølgen PD eller DP indgår ikke) Da PP kan udelukkes er sandsynligheden for DD=1/2.

Spørgsmålet om hvorvidt drengen har en bror eller faderen har to sønner er nøjagtig det samme.

Udvider man det lidt til at spørge om drengen har en storesøster, lillesøster, storebror, lillebror ser man, at to ud af de fire muligheder kan bruges. Igen er sandsynligheden 1/2.

Spørger man om sandsynligheden for en lillebror er den 1/4, ligesom sandsynligheden for en storebror også er 1/4.

Så skulle den ged vist være barberet :-))

  • 0
  • 0

Hov, jeg glemte lige plusserne i tidligere indlæg

De 49/27 = 1/
(P(mindst 1 dreng på en tirsdag|D - D) +
P(mindst 1 dreng på en tirsdag|D - P) +
P(mindst 1 dreng på en tirsdag|P - D) +
P(mindst 1 dreng på en tirsdag|P - P)) =
1/(13/49 + 1/7 + 1/7 + 0) = 49/27

  • 0
  • 0

Jeg er med på 13/27 holdet. Jeg har tidligere set den formuleret som en opgave med et spil kort (det giver nogle andre sandsynligheder, men det er samme problemstilling):

Tag et normalt spil kort (52 kort) og giv tretten kort til en modspiller. Hvis han nu siger "jeg har et es", hvad er chancen så for at han også har et es mere ? Er chancen for et ekstra es den samme, hvis han i stedet siger "jeg har spar es" ?

  • 0
  • 0

Alla med åtminstone normal bildning vet att det föds fler pojkar än flickor... 103-107/100.... (Kina är en manipulativ ytterlighet).

Så har vi nästa försvårande omständighet:

De som har utlösning sällan föder flest flickor.....
Såsom alla andra djur kan även vi människor jämna ut könsskillnader i den population vi lever i.

Då sperma är färsk är det 80% chans för pojke, efter lång tid blir det tvärt om.

Kanske vi var pollygama tidigare, så efter anfallskrig, fick pojkarna älska mycket och då byarna blev härjade då männen var på jakt fanns det få kvinnor att älska med?

Om frågan ställts korrekt skulle den vart som följer:

Ett givet ögonblick sker en händelse med 50% sannolikhet... ett ögonblick något år senare sker ännu en händelse med sannolikhet 50% att den var samma.

Med vilken sannolikhet var bägge händelserna lika?

Så kan det gå när inte hatten är på.... ;o)

Annars har ni det gamla självklara som alla borde klara.

Det finns ... 3 upp och nervända burkar, under en ligger en vinst...
Du får välja en.... varpå tävlingsledaren tar bort en av de andra och säger:
-Den jag tar bort innehåller inte vinsten, vill du byta?

Det handlar bara om intelligens att svara på den frågan... och det är inte en fråga som är felaktigt ställd som den i denna tråd....

  • 0
  • 0

Du skriver:

Det første barn er DTi - det andet barn er en pige født på en af ugens syv dage. Det er syv kombinationer.

Det første barn er en pige født på en af uges syv dage - det andet barn er DTi. Det er endnu syv kombinationer.

Det første barn er DTi - det andet barn er en dreng født på en af ugens syv dage. Det er yderligere syv kombinationer.

Det første barn er en dreng født på en af ugens syv dage - det andet barn er DTi. Det er nu kun seks nye kombinationer, idet kombinationen med begge drenge født på en tirsdag allerede er medtaget. 13 af de i alt 27 kombinationer består af to drenge. Så sandsynligheden er altså 13/27, som er meget forskellig fra 1/3.

Mit spørgsmål er: Hvis D1Ti - D2Ti og D2Ti - D1Ti kun tælles 1 gang, hvorfor skal DTi - PTi og PTi - DTi så begge tælles?

Er der i virkeligheden tale om at sandsynligheden er 13/26? Altså 1/2?

  • 0
  • 0

Jeg ville løse opgaven på følgende måde:
Vi ved med 100% sandsynlighed, at tirsdagsdrengen enten er førstefødt eller sidstefødt, og at sandsynligheden for hvert af disse tilfælde er 50%.
Hvis ti-drengen er førstefødt er spørgsmålet om sandsynligheden for, at Foshee har to drenge, det samme som sandsynligheden for, at det andet barn er dreng, hvilket er 50%. Samlet sandsynlighed: 50% x 50% = 25%.
Hvis ti-drengen er sidstefødt, fås tilsvarende 50% sandsynlighed for, at førstefødte er dreng. Igen fås samlet 25%. I alt giver det 50% sandsynlighed for to drenge, og så er det i øvrigt ligegyldigt, hvilken dag den kendte dreng er født.
Fotæl mig lige, hvad der er galt i dette ræsonnement.

  • 0
  • 0

En stor del af misforståelserne kommer af at det er en opgave der er oversat fra engelsk:
I have two children. One is a boy born on a Tuesday. What is the probability I have two boys?

Den danske tekst: Jeg har to børn. Det ene er en dreng født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, jeg har to drenge?

Den danske formulering udelukker i mine øjne ikke at det andet barn også er en tirsdagsdreng.
Man kunne gætte på at det var intensionen, men i min sprogforståelse er det ikke entydigt.

  • 1
  • 0

Både den danske og den engelske tekst har det fint med to tirsdagsdrenge. Jens Ramskov har også det tilfælde med og det giver de 13/27. Det er så også det tilfælde, som smider grus i Niels Bjarnes beregning, for enten er begge børn tirsdagsdrenge (1/27) eller tirsdagsdrengen er førstefødt og det andet barn er en dreng født på en anden ugedag (6/27) eller omvendt (6/27).

Det gode ved den her opgave er at forklaringer ikke hjælper :-)

  • 0
  • 0

Tilføjelse: Det er også ligegyldigt, om man ved, at "Det ene er en dreng født en tirsdag", eller "Et af dem er en dreng født en tirsdag"; samme ræsonnement.

  • 1
  • 0

Kære Jens Ramskov.

Du skriver, at din pointe er, at sandsynlighedsregning og intuition er en farlig cocktail. Det er det ikke - det går faktisk rigtigt godt i spænd sammen.

Problemet er her at omsætte teksten til et matematisk/statistisk udtryk - dvs. fjerne tvetydigheder - så vi ved, hvilke hændelser, der skal findes sandsynligheder for og hvilke hændelser vi kan betinge med (oplysninger). Kort sagt: der mangler en stringent fortolkning af opgaveteksten.

Så når du løser opgaven fortolker du teksten uden at skrive det matematiske udtryk op som svarer til din fortolkning, og det er derfor, at der opstår misforståelser - folk er uklare over, hvordan netop du (og andre) har fortolket opgaven.

Så pointen er, at samme tekst kan fortolkes på flere måder. Det kan matematiske udtryk ikke. Og dermed er pointen gammelkendt. Omend interessant i dette sådant setup :-).

  • 0
  • 0

Vi ved at Foshee har to børn og vi ved at den ene er en dreng. Så kunne man tro at sandsynligheden for at den anden er en pige er lige så stor som at det er en dreng. Det er nemt at indse at det ikke er tilfældet da udsagnet: "Den ene er en dreng" udelukker to piger. Det giver det rigtige svar 1/3.
At udsagnet født på en tirsdag skulle ændre det er ikke matematisk korrekt. Der er kun fire muligheder for kønnene af to børn og det er kun den ene mulighed der forsvinder ved oplysningerne.
Hvad hvis vi i stedet for oplysningen om ugedagen havde fået klokkeslettet for fødselen? Så ville vi få forskellige resultater jo mere nøjagtigt tidspunktet blev opgivet. Angiver vi tidspunktet med stigende nøjagtighed vil sandsynlighedens grænseværdi være 1/2.
Men det ændrer ikke på at antallet af mulige udfald af piger og drenge i en gruppe på to er fire og at kun den ene kombination er blevt udelukket med udsagnet at den ene er en dreng.
Så det rigtige svar er 1/3.
Vi skal over i astrologien, hvor fødselstidspunktet hævdes altafgørende for personens skæbne, for at finde tilsvarende sludder.
Stakkels Martin Gardner, han kan ikke protestere.

  • 0
  • 0

Jeg har tænkt så det knager, og jeg kan sagtens følge Keiths forklaring. Jeg kan også sagtens sætte hans matematik op. Men der er et problem med den.

I min verden er den ganske enkelt sat forkert op.

Jeg er oprindelig ingeniør, men gik senere i min afhandling over og blev sprogforsker. Oplysningen om tirsdag giver ingen mening, hverken matematisk eller sprogligt. Den er kun støj, og har ingen indflydelse på problemet.

Keith sætter fire kombinationer op. Pige/Pige, Dreng/Pige, Pige/Dreng og Dreng/Dreng.

Han påstår derefter, at der er een der ikke kan eksistere, nemlig Pige/Pige.

Det er forkert.

Der er to kombinationer der ikke kan eksistere. Vi ved at Keith har en dreng. Denne dreng optager een af pladserne. Enten til højre eller til venstre. Han kan ikke skifte frem og tilbage, fordi eksemplet med at placeringen skulle have noget med tirsdag at gøre, er meningsløs.

Indtager Keiths dreng pladsen på venstre side eksisterer der to løsninger, nemlig Dreng/Dreng, og Dreng/Pige.

Pige/Dreng eksisterer ikke, for Keiths Dreng er ikke en pige.

Løsningen er ½.

  • 1
  • 0

Yderligere tilføjelse:
Jens Ramskov skriver i opgaven: "Foshees børn er en af fire kombinationer DP, PD, DD eller PP, som alle er lige sandsynlige, hvis vi slet ingen oplysninger har om børnene. Da vi ved, at det ene barn er en dreng, kan vi udelukke kombinationen PP.".
Det er rigtigt, men da vi ved, at det ene barn er dreng, er sandsynligheden for udfaldet DD pludselig forøget til det dobbelte af DP og PD, og wupti, så er sandsynligheden for to drenge 50%.
På samme måde med brøkerne. De 27 udfald er ikke lige sandsynlige, når vi ved, at den ene er en tirsdagsdreng.
Fortæl mig, hvad der er galt med mit ræsonnement om 50% herover.

  • 0
  • 0

Formuleringen skal forståes som at attribtten gælder MINDST en dreng. Grunden til at en ved første øjekast betydningsløs oplysning har betydning er at jo flere drenge der er i flokken, jo størrer er sandsynligheden for at en given attribut der forekommer med en given sandsynlighen findes hos mindst en af dem.
Havde udsagnet istedet for været "mindst et at børnene er født på en tirsdag" havde kønsfordelingen i flokken været uden betydning for sandsynligheden for dette, og udsagnet havde været uden betydning for udregningen.

Formuleringen skal forståes som at attribtten tirsdag gælder MINDST en dreng

P(mindst 1 dreng på en tirsdag|D - D) = 2/7 - 1/49 = 13/49
P(mindst 1 dreng på en tirsdag|D - P) = 1/7
P(mindst 1 dreng på en tirsdag|P - D) = 1/7
P(mindst 1 dreng på en tirsdag|P - P) = 0

Dette giver så

P(D-D | (mindst 1 dreng på en tirsdag)/
(
P(mindst 1 dreng på en tirsdag|D - D)
P(mindst 1 dreng på en tirsdag|D - P)
P(mindst 1 dreng på en tirsdag|P - D)
P(mindst 1 dreng på en tirsdag|P - P)
)

13/49 / (13/49 1/7 1/7 0)

= 13/27

Hvis der mentes gælder for netop 1 ser regnestykket istedet sådan ud

P(netop 1 dreng på en tirsdag|D - D) = 2 * 1/7 ' 6/7 = 12/49
P(netop 1 dreng på en tirsdag|D - P) = 1/7
P(netop 1 dreng på en tirsdag|P - D) = 1/7
P(netop 1 dreng på en tirsdag|P - P) = 0

Dette giver så

P(D-D | (netop 1 dreng på en tirsdag)/
(
P(netop 1 dreng på en tirsdag|D - D)
P(netop 1 dreng på en tirsdag|D - P)
P(netop 1 dreng på en tirsdag|P - D)
P(netop 1 dreng på en tirsdag|P - P)
)

12/49 / (12/49 1/7 1/7 0)

= 12/26

Sandsynligheden er asymptotisk til 1/2, jo mindre sandsynlighed der er for den kendte attribut, selvfølgelig når der regnes med ideelle forhold (P(D) = P(P) = 1/2 samt udsagnet er et attributten gælder for mindst 1 dreng)

Hvis attributen eksempelvis er født 4. Maj, og der ikke regnes med skudår samt alle datoer lige sandsynlige, P(4. Maj) = 1/365 fås:

P(mindst 1 dreng 4. Maj|D - D) = 2/365 - 1/(365*365) = 729/133225

P(mindst 1 dreng 4. Maj|D - P) = 1/365

P(mindst 1 dreng 4. Maj|P - D) = 1/365

P(mindst 1 dreng 4. Maj|P - P) = 0

Dette giver så

P(D-D | (mindst 1 dreng 4. Maj) = P(mindst 1 dreng 4. Maj|D - D)/
(
P(mindst 1 dreng 4. Maj|D - D)
P(mindst 1 dreng 4. Maj|D - P)
P(mindst 1 dreng 4. Maj|P - D)
P(mindst 1 dreng 4. Maj|P - P))
) =

(729/133225) / (1459/133225) =
729/1459 altså ca. 0,499657

Til top | Besvar | Citer

  • 0
  • 0

Jeg vil i øvrigt lige bemærke at eksemplet med gameshow hosten der åbner den tredje dør, efter at deltageren har åbnmet den ene, giver 1/3 fordi udgangspunktet er 3 døre.

Dette eksempel er IKKE det samme. Her er udgangspunktet ikke 3 kombinationer, men - grundet de sproglige problemer Keith uforvarende roder sig ud i - kun 2.

  • 1
  • 0

Det er stadig helt ligegyldigt om det gælder MINDST een dreng. At begynde at opstille piger og drenge født på forskellige dag giver ingen mening på baggrund af den foreliggende oplysning.

Hvis oplysningen skal give mening, skal den tolkes i et ganske særligt sprog genereret i sandsynlighedsregningen - et sprog der med andre ord ikke relaterer sig til de diskurser og logikker der danner grundlag for det almindelige talesprog.

I så fald betyder oplysningen noget helt andet end det den rent sprogligt antyder, og kunne i realiteten betyde hvad som helst.

At koble en attribut på gør hverken fra eller til.

  • 0
  • 0

Jeg har fundet en måde at forstå problemet på der er soleklar og lader selv intuitionen komme på rette spor...

Først uden tirsdagsinformationen: Kønnet for hvert barn er med 50% sandsynlighed dreng. Det svarer til at slå plat/krone to gange og gemme de to mønter under hver hånd.

Hvis man siger: den ene mønt er plat (uden at definere hvilken), så har man blot udelukket muligheden for to kroner - altså er der tre muligheder tilbage og én af dem er begge plat. Sandsynligheden for dette er 1/3.

Siger man at mønten under højre hånd er plat, så er den ude af spillet, og sandsynligheden for to plat er 1/2.

Med tirsdagsinformationen svarer det til at slå med 14-sidede terninger i stedet, da udfaldsrummet er syv ugedage med dreng eller pige (D1 - D7, P1 - P7) for hvert barn.

Ved vi at et barn er en tirsdags-dreng vil det sige at en terning har slået D2. Det kan være den ene terning, den anden, eller begge der har slået D2. Tæller man alle mulighederne sammen kommer man trivielt til det korrekte svar, voila :)

  • 0
  • 0

Hey

Jeg vover lige pelsen. Jeg synes allerede at jeg i gymnasiet (og det er mange år siden) at det første man gør i sandsynlighedsregning er: At dække sit udfaldsrum 100%...

Mand med to børn: udfaldsrum = {D+D, D+P, P+P} = 100%

Man må antage at sandsynligheden for D eller P er ukorrellerede og 50% ved hvert forsøg.

Sansynlighed for D+D = 1/(1+1+1) = 1/3

Møøø... tirsdagsoplysningen er "støj". Selvf. kan man godt opdele udfaldsrummet yderligere ved at medtage alle ugedagene, og rækkefølgen af kønnene, endda skostørrelser - men det ændre ikke ved det basale: Dæk dit udfaldsrum.

Wrong???

  • 0
  • 0

Jeg har fundet en måde at forstå problemet på der er soleklar og lader selv intuitionen komme på rette spor...

Først uden tirsdagsinformationen: Kønnet for hvert barn er med 50% sandsynlighed dreng. Det svarer til at slå plat/krone to gange og gemme de to mønter under hver hånd.

Hvis man siger: den ene mønt er plat (uden at definere hvilken), så har man blot udelukket muligheden for to kroner - altså er der tre muligheder tilbage og én af dem er begge plat. Sandsynligheden for dette er 1/3.

Siger man at mønten under højre hånd er plat, så er den ude af spillet, og sandsynligheden for to plat er 1/2.

Med tirsdagsinformationen svarer det til at slå med 14-sidede terninger i stedet, da udfaldsrummet er syv ugedage med dreng eller pige (D1 - D7, P1 - P7) for hvert barn.

Ved vi at et barn er en tirsdags-dreng vil det sige at en terning har slået D2. Det kan være den ene terning, den anden, eller begge der har slået D2. Tæller man alle mulighederne sammen kommer man trivielt til det korrekte svar, voila :)

Dit eksempel er helt korrekt sat op og giver mening, hvis man sprogligt kan udrede, at oplysningen om fødselsdagen skal lede til at man ønsker en udredning for fødedagen for det andet barn også.

Men det gør det rent sprogligt ikke.

At indlede sig på en diskussion om ugedage har med andre ord ingen relevans for løsningen. Det er simpelthen for søgt.

Derudover så kan du ikke gå udfra dit "faldforsøg" hvor du flippper to mønter, fordi den ene mønt allerede er flippet for dig, og den viser plat. Din opgave går med andre ord ud på at flippe den anden.

De fleste vil påstå at eksemplet med de tre døre og dette eksempel er det samme. Men det er det ikke.

I eksemplet med de tre døre står du fra start overfor 3 lukkede døre. Det gør du ikke i dette eksempel. I dette eksempel er den ene dør åbnet for dig FØR du vælger - ikke efter.

  • 0
  • 0

Hey

Jeg vover lige pelsen. Jeg synes allerede at jeg i gymnasiet (og det er mange år siden) at det første man gør i sandsynlighedsregning er: At dække sit udfaldsrum 100%...

Mand med to børn: udfaldsrum = {D+D, D+P, P+P} = 100%

Man må antage at sandsynligheden for D eller P er ukorrellerede og 50% ved hvert forsøg.

Sansynlighed for D+D = 1/(1+1+1) = 1/3

Møøø... tirsdagsoplysningen er "støj". Selvf. kan man godt opdele udfaldsrummet yderligere ved at medtage alle ugedagene, og rækkefølgen af kønnene, endda skostørrelser - men det ændre ikke ved det basale: Dæk dit udfaldsrum.

Wrong???

Igen er det ikke korrekt at du har fire valgmuligheder.

De fire valgmuligheder optræder kun fordi der uforvarende inddrages et tidsperspektiv i form af antagelsen om, at man skal skelne mellem en lillebror/storesøster og en storebro/lillesøster kombination. I så fald har man 3 udfald, nemlig D/P, P/D og D/D.

Men at udlede dette krav til beregningen blot på baggrund af at Keith nævner at den ene er født på en tirsdag er sprogligt rent volapyk.

Vi ved stadig, som udgangspunkt, at den ene er en dreng. Om han er storebro eller lillebror er hele sagen helt uvedkommende.

  • 1
  • 0

Det eneste problem er det sproglige. Skal opgaven forstås som at han har præcist ét drengebarn som er født en tirsdag, eller at hans ene drengebarn er født en tirsdag, og det kan det andet barn i øvrigt også være.

Den første mulighed begrænser mulighederne for en DD kombination, da vi nu har afgrænset 1/7 af DD familierne fra at tælle med. Den anden fortolkning udelukker ingen af DD familierne hvorfor sandsynligheden er præcis 50%.

  • 0
  • 0

Prøv at omformulere opgaven til:

Jeg har to børn.
Hvor stor er den statistiske sandsynlighed for at de begge er drenge og at mindst en af dem er født en tirsdag.

Omkring 19:30 kom der er par gode indlæg som illustrer forskellen mellem ovenstående og fx formuleringen:

Jeg har 1 dreng som er født en tirsdag. Nu skal jeg have et barn mere. Hvor stor er sandsynligheden for at jeg ender med 2 drenge.

I den udgave er "tirsdag" bare støj og det eneste interessante er hvilken hvilket køn nr 2 barn får.

Pyh - det er længe siden der stod statistik og sandsynlighedsregning på skemaet.

Sjov diskussion af følge med i. Illustrer meget godt hvorfor statistik skal tolkes med varsomhed.

Fik en gang anbefalet "How to lie with statistics" af en matematik professor. Måske skulle man prøve at læse den en dag......

http://en.wikipedia.org/wiki/How_to_Lie_wi...

8-) Palle

  • 0
  • 0

Men det gør det rent sprogligt ikke.

Ja, problemstillingen er alene sproglig... Jeg var også dybt forundret i starten. Opgaven kan tolkes på forskellige måder.

Nu hvor jeg ikke kan sove alligevel, her er en formel der regner sandsynligheden ud for to drenge blandt to børn, når man ved at ét barn er dreng og at denne dreng faktisk er én bestemt ud af X muligheder:

P = (X2-1) / (X4-1)

god nat...

  • 0
  • 0

Jeg forstår ikke helt dit svar.

Jeg får jo præcis 1/3, og siger intet i rækkefølgen. {D+D, D+P, P+P} dække de 3 muligheder for sammensætning i udfaldsrummet, rækkefølgen underordnet.

Det der kan være svært er at definere udfaldsrummet korrekt, da det er let at overse muligheder/kombinationer i komplekse situationer. Specielt hvis de ikke er ukorrellerede (uafhængige)

  • 0
  • 0

Sjov diskussion af følge med i. Illustrer meget godt hvorfor statistik skal tolkes med varsomhed.
8-) Palle

Statistik skal ikke tolkes, statistik er som matematik - eksakt. Bygger på en række forudsætninger, og er de sande er resultateterne ikke til diskussion. Froudsætninger og metode kan diskuteres, ikke resultatet.

Det du hentyder til er formodentlig at når man støder på statistik i medier/blandt politikere, så beskrives det ofte så kort og uden forudsætninger, at det kan "tolkes".

Hvem har ikke hørt en politiker sige ordene "Det mener jeg ikke" om et statisktik resultat. Det er volapyk at sige at man ikke "mener" at statistik er korrekt. Desvære er sandheden blevet politiseret i vores populær-politiske tidsalder hvor intet må tage mere end 10 sekunder i en TV-avis.

SORRY.... det var vist et sidespring ;o)

  • 0
  • 0

den gamle diskussion mellem frekventister og bayesianere, hvor førstnævnte (klassiske, "gammeldags" statistikere) har svært ved at kapere implikationen af a priori sandsynligheder og formlen for betingede sandsynligheder, der så fint er vist af Ove Noer ovenfor (tak Ove, så slap jeg selv for at lave opstillingen .-) Og at netop så mange af os "falder i", illustrerer vist meget godt, at bayesians statistik ofte ER anti-intuitiv!

Og ja: eksemplet med show-værten er korrekt og svarer til drenge-børnene: man skal selvfølgelig ALTID ombestemme sig og vælge den dør, som værten ikke har åbnet, da sandsynligheden er størst for, at hovedpræmien er bag denne. Prøv at ekstrapolere til en million døre: Hvis han åbner de 999.998 af dem, vil du så stadig holde fast på dit valg? :P Helt anderledes stiller det sig, hvis døren går op af sig selv, fx pga jordskælv, for da er sandsynligheden for hovedpræmien den samme, da jordskælvet - i modsætning til værten - IKKE har nogen a priori viden om, hvor præmien befinder sig.
'nat

  • 0
  • 0

Og ja: eksemplet med show-værten er korrekt og svarer til drenge-børnene: man skal selvfølgelig ALTID ombestemme sig og vælge den dør, som værten ikke har åbnet, da sandsynligheden er størst for, at hovedpræmien er bag denne. Prøv at ekstrapolere til en million døre: Hvis han åbner de 999.998 af dem, vil du så stadig holde fast på dit valg? :P Helt anderledes stiller det sig, hvis døren går op af sig selv, fx pga jordskælv, for da er sandsynligheden for hovedpræmien den samme, da jordskælvet - i modsætning til værten - IKKE har nogen a priori viden om, hvor præmien befinder sig.
'nat

Du har glemt at argumentere for at game-show eksemplet og drengebørns eksemplet er det samme.

Det er de ikke.

I det første har du som udgangspunkt 3 udfald.

I det andet har du kun 2.

  • 0
  • 0

Lige en sidste bemærkning af informations teknisk karakter der er vigtig at præcisere for at svaret entydigt er 13/27.

Den der vælger hvilken værdi den ekstra attribut har, har ikke på forhånd kendskab til sandhedsværdien af denne, hvad mange af os nok har taget for givet.

Som det er formuleret her:

"Gary Foshee stillede følgende opgave til mødedeltagerne: »Jeg har to børn. Det ene er en dreng født en tirsdag"

Bliver det noget uldent hvis vi antager at GF selv vælger værdien tirsdag med kendskab til sine børn.

Det burde nok være formuleret noget i retning af:

Gary Foshee stillede følgende opgave til mødedeltagerne: »Jeg har to børn. Det ene er en dreng, nævn en ugedag, og jeg vil sige om jeg har en dreng født denne ugedag

En af mødedeltagerne siger tirsdag, uden at kende noget til GF's børn.

GF svarer Ja, jeg han en søn født på en tirsdag.

  • 0
  • 0

[quote]Sjov diskussion af følge med i. Illustrer meget godt hvorfor statistik skal tolkes med varsomhed.
8-) Palle

Statistik skal ikke tolkes, statistik er som matematik - eksakt. Bygger på en række forudsætninger, og er de sande er resultateterne ikke til diskussion. Froudsætninger og metode kan diskuteres, ikke resultatet.
[/quote]

Helt enig Jesper.
Det vi ser i pressen er en konklusion, taget på baggrund af noget vi ikke kender - og i de fleste tilfælde, af en person som ikke ved ret meget om hverken statistik eller forudsætningerne.
Matematikken bag er sikkert helt ok.
Men koblingen til virkeligheden er svær.

Hvad kan vi bruge et svar til hvis vi ikke kender (eller forstår) spørgsmålet.

Og så tilbage til emnet......
8-) Palle

  • 0
  • 0

Lad mig først takke alle, som har deltaget i debatten - hvis kvantitet og kvalitet ikke har skuffet mig - og som nået mindst samme højder som andre debatter i udenlandske medier om det samme problem.

Jeg kan dog næppe bidrage med mere end jeg allerede har gjort. Hvis jeg skal kommentere flere indlæg, vil det for mit vedkommende begynde at gå i selvsving. Jeg holder mig altå til Keith Devlin og Alex Bello, som der er link til under artiklen.

  • 0
  • 0

Med risiko for at hælde benzin på bålet:
Se på de omvendte sandsynligheder i stedet:
Først udfaldsrummet: Køn x ugedag = 196. Ingen af dem skal være Dti: 13 x 13 =169 som trukket fra 196 er 23.
Så er der de gunstige: Dreng/Ugedag x Dreng/ugedag=49 minus Ikke-tirsdag x ikke-tirsdag = 6x6 = 36, sum trukket fra 49 giver 13.
Gunstige/ mulige = 13/27

  • 0
  • 0

Man hved at han har een dreng. Lige meget hvad som er sagt mener jeg at sandsynligheden for at han har en dreng till er 50%, sandsyndligheden for en pige som andet barn er også 50%: Egentlig ikke eftersom der bliver födt flere piger end drenge. Ca 105 mod 100 da bliver %-erne 48/52: "Ujävnheden" er dog "ophävet" inden de unge er 20 år.

  • 0
  • 0

Man kan jo prøve selv at udføre eksperimentet. Måske er det overdrevet at få to børn med et statistisk signifikant antal kvinder så man kunne nøjes med at slå Plat eller Krone.

Kast én mønt to gange og notér resultatet. Udfør eksperimentet tilstrækkeligt mange gange. Fjern alle resultater der er Plat/Plat. Se hvor stor en del af resten der er Krone/Krone.

Det bliver lidt sværere at få tirsdags-informationen med i denne forsimpling af eksperimentet, så der må vi nok ud i den virkelige verden.

Bortset fra dette fastholder jeg, at som problemet er beskrevet, så er det oprindelige eksperiment allerede udført. GF ved selv om han har to drenge eller ej. Han ved altså enten at sendsynligheden er 0 eller 1. Og det kan jo ikke være sådan at forskellige mennesker får forskellige sandsynligheder (så havde det været meget nemmere at bestå eksamen i sandsynlighedsteori for 25 år siden).

  • 0
  • 0

Når et barns mor skal have en lille, så er det komplet ligegyldigt for barnets køn om det første barn er født på en tirsdag eller ikke, i undfangelsesøjeblikket påvirker det ikke sædcellernes kamp for at komme først, hvad et tidligerede født barn har af legetøj, husdyr, legekammerater eller hvilken ugedag han er født. Sandsynligheden afhænger alene af en ting, nemlig kønsfordelingen drenge/piger, som Gardner ikke har medtaget - han er vant til at regne sandsynligheder på terningekast - det gælder ikke for undfangelsen.
Sandsynligheden for om der fødes drenge eller piger afhænger af flere ting - bl.a. den ægteskabelige aktivitet omkring undfangelsesøjeblikket, sædkvalitet etc. Tæt på 50% - lidt overvægt af drenge i krigstider p.g.a. ovenstående effekt.

At indregne tidligere hændelser har intet at gøre med sandsynlighedern, alt nulstilles i det aktuelle eksempel i undfangelsesøjeblikket. Hvilken dato eller dag det første barn blev født er ganske underordnet.
Hvis man går igennem en af to døre som et meget benyttet eksempel fra en underholdningsudsendelse i USA fortæller, så er alle foregående hændelser ligegyldige, når valget foreligger, er der 50% chance for at ramme rigtigt. Hvad der tidligere er foregået er ganske underordnet.

Mvh. Per A. Hansen

  • 1
  • 0

Jeg vil anbefale alle skeptikerne til at simulere forsøget til de har et passende antal observationer.
En terning kan sikkert anvendes, men ellers kan opgaven på kort tid løses med et regneark.

Mvh,
Ole

  • 0
  • 0

Nu skal jeg forklare, hvorfor løsningerne 1/3 og 13/27 er forkerte, og hvorfor Ramskovs og Foshees urokkeligehed kan rokkes.
Vi sætter et par andre opgaver ind før den beskrevne:
Først kommer Foshee med opgaven, at han har to børn, og hvad er sandsynligheden for to drenge. Vi har her fire udfald, som er lige sandsynlige: DP, PD, DD, PP. Altså sandsynligheden 25% for to drenge.
Næste dag siger Foshee, at den førstefødte er en dreng. Hvad er nu sandsynlighedne for to drenge. Vi har nu udfaldene DP og DD, som er lige sandsynlige. Altså 50% sandsynlighed for to drenge. Jeg formoder alle er enige indtil nu.
Nu viser det sig, at Foshee har Alzheimer Light, og han siger næste dag til os, at det er hans sidstefødte, som er dreng. Vi kan nu ikke bruge oplysningerne fra dagen før. Vi får nu udfaldene PD og DD. Igen 50% for to drenge. Alle enige?
Næste dag har Foshee glemt endnu mere, og han kan nu kun huske, at han har i hvert fald en dreng. Vi er nu nået til den stillede opgave i artiklen. Vi kigger på løsninger fra de to foregående dage, som hver må have sandsynligheden 50% i denne sidste opgave. Er alle enige? Vi har altså nu udfaldene DD, DP, DD og PD, alle med samme sandsynlighed. Oplysnigen om mindst en dreng har derfor forøget sandsynligheden for DD til det dobbelte. Den oprindelige ligelige sandsynlighed mellem udfaldene gælder ikke mere, når vi har den nye oplysning.
Resultat: 50% for to drenge. Det er i øvrigt samme resultat, som jeg fik 2-6 kl. 22:02 med overskriften "50%", udregnet på en lidt anden måde.
Man kan sikkert med samme metode nå frem til, at oplysnigen om tirsdagen er ligegyldig, og løsningen her også er 50%, fordi sandsynlighederne for udfaldene ikke er lige store, når vi kender oplysningerne. Det vil jeg overlade til andre at udføre.
Mon Ramskov og Foshee stadig er urokkelige?
Jeg er, indtil man har vist mig fejlene i mine beregninger 2-6 kl. 22:02.

  • 0
  • 0

Jeg er urokkelig.

Den måde, du har udregnet 2-6 kl. 22:02 er forkert, og det skyldes, at Foshees sprørgsmål åbner for den mulighed, at han kan have to drenge, der begge er født en tirsdag. Du kan derfor ikke dele udregningen op i to tilfælde, som du gør. Du kun udregne sandsynligheden under et, som jeg har beskrevet i den oprindelige artikel.

Beklager, men længere rækker mine pædagogiske evner ikke.

  • 0
  • 0

... 13 x 13 =169 som trukket fra 196 er 23.
...

Bortset fra at der skal stå 27, så er det den bedste forklaring.

Man anvender simpelthen definitionen på betinget sandsynlighed og tæller op.

  • 0
  • 0

Nu skal jeg forklare, hvorfor løsningerne 1/3 og 13/27 er forkerte, og hvorfor Ramskovs og Foshees urokkeligehed kan rokkes.
Vi sætter et par andre opgaver ind før den beskrevne:
Først kommer Foshee med opgaven, at han har to børn, og hvad er sandsynligheden for to drenge. Vi har her fire udfald, som er lige sandsynlige: DP, PD, DD, PP. Altså sandsynligheden 25% for to drenge.

enig.

Næste dag siger Foshee, at den førstefødte er en dreng. Hvad er nu sandsynlighedne for to drenge. Vi har nu udfaldene DP og DD, som er lige sandsynlige. Altså 50% sandsynlighed for to drenge. Jeg formoder alle er enige indtil nu.

enig!

Nu viser det sig, at Foshee har Alzheimer Light, og han siger næste dag til os, at det er hans sidstefødte, som er dreng. Vi kan nu ikke bruge oplysningerne fra dagen før. Vi får nu udfaldene PD og DD. Igen 50% for to drenge. Alle enige?

enig - med det forbehold at hans oplysninger kan være forkerte.

Næste dag har Foshee glemt endnu mere, og han kan nu kun huske, at han har i hvert fald en dreng. Vi er nu nået til den stillede opgave i artiklen. Vi kigger på løsninger fra de to foregående dage, som hver må have sandsynligheden 50% i denne sidste opgave. Er alle enige? Vi har altså nu udfaldene DD, DP, DD og PD, alle med samme sandsynlighed. Oplysnigen om mindst en dreng har derfor forøget sandsynligheden for DD til det dobbelte. Den oprindelige ligelige sandsynlighed mellem udfaldene gælder ikke mere, når vi har den nye oplysning.
Resultat: 50% for to drenge.

uenig. Mindst een dreng uden at vide om han er først eller nr. 2 reducerer sandsynligheden for to drenge til 1/3 da vi har mulighederne DD, DP og PD.

Man kan sikkert med samme metode nå frem til, at oplysnigen om tirsdagen er ligegyldig, og løsningen her også er 50%, fordi sandsynlighederne for udfaldene ikke er lige store, når vi kender oplysningerne.

Helt uenig. Tirsdagsoplysningen medfører en sandsynlighed for to drenge på 13/27 - som forklaret i artiklen. Vi begynder vitterlig at køre i ring her (fordi sandsynligheden for at nogen svarer uenigt er tæt på 100 procent)

  • 0
  • 0

Min beregning 2-6 22:02 udelukker på ingen måde to tirsdagsdrenge. Den tager slet ikke stilling til tirsdage eller nogen anden dag.
Du har ikke tilbagevist min beregning. Jeg har derimod vist, hvorfor de oprindelige sandsynligheder ændres, når vi har har nye oplysninger, og har dermed tilbagevist dine beregninger.

  • 0
  • 0

...
Næste dag har Foshee glemt endnu mere, og han kan nu kun huske, at han har i hvert fald en dreng. Vi er nu nået til den stillede opgave i artiklen. Vi kigger på løsninger fra de to foregående dage, som hver må have sandsynligheden 50% i denne sidste opgave. Er alle enige? ...

Nej! De to foregående dage havde vi mere information. Så beregningerne fra de dage kan vi ikke bruge i denne udregning.

  • 0
  • 0

Fint nok at man anlægger forskellige sandsynligheder under hensyntagen til en 'tirsdag' - hvad i alverden skulle den oplysning bruges til?

Der står jo intet om at andre ikke måtte være født på en tirsdag.

Noget helt andet er, at hvis der havde stået, at der på den pågældende tirsdag var fuldmåne, vestenvind, sam at man havde vendt kvinden rigtig, så ville sandsynligheden for en dreng være > 50% (pr. stk).

En anden ting, og det er emperi, er, at hvis førstefødte er en dreng (hvilket ikke fremgår af 'opgaven'), så er sandsynligheden for endnu en dreng også > 50%.

Empirisk kender jeg en del, der grumme gerne ville have en pige (efter en, eller flere, dreng)e, men efter nr. 4 dreng besluttede de at sige stop.

Så matematik er godt, men naturen opfører sig ikke altid efter 'matematikkens' regler.

(I min familie er der en overvægt af drenge, så jeg vil nok angive en empiriske sandsynlighed for 2 drenge til 75%+)

  • 0
  • 0

Som tidligere nævnt kan det kun anbefales at simulere for at overbevise sig selv (og andre) - om ikke andet så også for at opnå forståelse af opgaven.

En pseudo-kode er (1, ..., 7 = D_mandag, ..., D_søndag og 8, ..., 14 = P_mandag, ..., P_søndag):
1) Simulér søskendepar, dvs. to tal B1 og B2 mellem 1 og 14 (alle lige sandsynlige - så ja, vi glemmer noget biologi her, men fred være med det)
2) Hvis B1 = 2 ELLER B2 = 2, så "gem" søskendeparret - ellers smid dem væk
3) Simulér N af sådanne søskendepar
4) Tæl nu sammen hvor mange af de "gemte" søskendepar opfylder at begge er drenge (vi ved at den ene er født tirsdag, ellers var de smidt væk) og kald dette M
5) Sammenlign nu M/N med 13/27

Jeg har simuleret 1 mio. af søskendepar, der opfylder betingelsen. Jeg får:
13/27 = 0.4814815
481751/1e+06 = 0.481751

Så det er ganske okay, må man sige.

Jeg har brugt følgende R-script (http://www.r-project.org):

simulations <- 1000000

cat("13/27 =", 13/27, "\n")

(1, ..., 7) = (D_mandag, ..., D_søndag)
(8, ..., 14) = (P_mandag, ..., P_søndag)

sim.children <- function(simulations = 10000) {
if (simulations <= 0) stop("simulations <= 0")

children.mat <- matrix(NA, nrow=simulations, ncol=2)

# Use while to ensure that we get the desired number of
# pairs of children fulfilling the requirements
n <- 1
while (n <= simulations) {
sim <- sample.int(14, 2, replace=TRUE)

if (sim[1] == 2 || sim[2] == 2) {  
  children.mat[n, ] &lt;- sim  
  n &lt;- n+1  
}    

}

return(children.mat)
}

children <- sim.children(simulations)

indices.two.boys <- apply(children, 1, function(x) { return(x[1] <= 7 && x[2] <= 7) })
two.boys <- sum(indices.two.boys)
cat(two.boys, "/", simulations, " = ", two.boys / simulations, "\n", sep="")

  • 0
  • 0

Robin,

"uenig. Mindst een dreng uden at vide om han er først eller nr. 2 reducerer sandsynligheden for to drenge til 1/3 da vi har mulighederne DD, DP og PD."

Ud fra samme argumentation, skal man ikke regne med både DP og PD, men kun et af tilfældene; således at mulighederne er DD og DP; og derfor sandsynlighed 1/2.

Mvh, Jørgen

  • 0
  • 0

...Oplysnigen om mindst en dreng har derfor forøget sandsynligheden for DD til det dobbelte. Den oprindelige ligelige sandsynlighed mellem udfaldene gælder ikke mere, når vi har den nye oplysning.
Resultat: 50% for to drenge. ..

Sådan fungerer kausalitet ikke. Foshees tiltagende dårlige hukommelse ændrer ikke børnenes køn med tilbagevirkende kraft.

  • 0
  • 0

Nu er denne slags opgaver næppe stillet for at løse praktiske problemer, men mere som sjove tankeeksperimenter. Derfor er der ingen grund til, at der "går for meget biologi i den".

Ok, så lad os udelade det biologiske, og forholde os til 'opgaven'.

Jeg går ud fra, at 'tirsdag' er ligegyldig, da der ikke bliver nævnt, at man ikke må være født samme ugedag.

Så står vi tilbage med følgende udfald (som tidligere nævnt) PD,DP,DD - men der mangler stadig en oplysning om der er tale om en dreng som førstefødte, og sandsynligheden for endnu en dreng, eller eller en tiilfældigt udvalgt person, der proklamere 2 børn - heraf den ene en dreng.

Der er jo fanden til forskel, da PD udelukkes hvis førstefødte er en dreng - men igen oplysninger udelades, så jeg kan ikke rigtig tage denne opgave seriøst.

  • 0
  • 0

For overhovedet at tale om sandsynligheder, må man have et veldefineret eksperiment, som kan udføres vilkårligt mange gange og hvor udfaldet af to eksperimenter altid er indbyrdes uafhængige.

Hvis eksperimentet udføres N gange med gunstigt udfald A forekommende n gange, da er sandsynligheden for for A lig med grænseværdien af n/N for N gående mod uendelig. (Stringent kan man således ikke tale om sandsynligheden for udfaldet af et enkelt eksperiment.)

Foshees formulering af spørgsmålet giver ikke umiddelbart en definition af hvilket eksperiment der er tale om, så det må man tolke lidt på.

En mulighed er, at eksperimentet består i at lade Foshees kone føde to børn, hvilket i sagens natur ikke kan udføres i praksis vilkårligt mange gange. Som tankeeksperimet kan vi dog godt forestille os at vi laver et replay at begivenheder fra kort før undfangelse af den førstefødte indtil kønnet af den sidstfødte er fastlagt.

  • 0
  • 0

Andreas,
Men hans tiltagende hukommelse i den oprindelige opgave (fra mindst én dreng til mindst én tirsdagsdreng) kan åbenbart godt ændre sandsynligheden for børnenes køn med tilbagevirkende kraft ;0)

Børnene har de køn, de har haft hele tiden - med 100 pct sikkerhed. Vores (opgavens) problem er, at vi kun ser en del af virkeligheden. Sandsynlighedsregningen tjener til - på baggrund af de foreliggende (partielle) informationer - at beregne odds. Det vi beregner er ikke, hvad der skete ved børnenes undfangelse. Vi beregner vores chance for at gætte rigtigt, når vi ser en variende del af virkeligheden.

  • 0
  • 0

Det burde nok være formuleret noget i retning af:

Gary Foshee stillede følgende opgave til mødedeltagerne: »Jeg har to børn. Det ene er en dreng, nævn en ugedag, og jeg vil sige om jeg har en dreng født denne ugedag

En af mødedeltagerne siger tirsdag, uden at kende noget til GF's børn.

GF svarer Ja, jeg han en søn født på en tirsdag.

Fremragende pointe. Alternativt skal GF antages altid at nævne tirsdag frem for den evt. anden drenge-fødselsdag i de tilfælde, hvor han har to drenge.

De rene tælle-argumenter glemmer let, at GF kan vælge mellem at nævne to dage i de fleste af de tilfælde, hvor han har to drenge. Antager man at han vælger tilfældigt, så er "tirsdagsoplysningen" faktisk uden indflydelse.

Uffe

  • 1
  • 0

Endnu en måde at anskue det på:
Vi bevæger os fra nul viden til fuld viden om ét af børnene: Fra p=1/4 til p=1/2.
Ved vi intet om nogen af børnene er p(2 drenge)=1/4. Ved vi at én er en dreng stiger p til 1/3. Ved vi, at én er en dreng, der er født på en tirsdag stiger det til 13/27. Ved vi, at én er en dreng med cpr-nummer xxxxx.xxx må vi nok sige, at p=1/2 for at der er to drenge.

  • 0
  • 0

Her er endnu en formulering af den første del af opgaven (uden tirsdag):

De fleste falder i fælden p=1/2, fordi de antager således:

Jeg har allerede ÉN dreng, hvad er sandsynligheden for at mit NÆSTE barn bliver en dreng? Svaret er (naturligvis) p=1/2.

Men i opgaven spørges der således:

Jeg HAR allerede TO børn. Den ene er er en dreng. Hvad er sandsynligheden for at den anden også er en dreng. Her er udfaldene følgende: DP, PD og DD. I to af de tre udfald er der piger. Sandsynligheden for at det andet barn er en pige er derfor 2/3. Følgelig er sandsynligheden for en dreng p=1/3.

Men den med tirsdag kan jeg ikke lige give en let forklaring på...

  • 1
  • 0

Så vidt jeg kan se er den fundamentale fejl i artiklens opsætning af problemet at den endelige brøk 13/27 bare er et forhold mellem muligheder, ikke sandsynligheder. Selvom alle muligheder i dette tilfælde er lige sandsynlige, er det ikke den korrekte måde at beregne sandsynligheden på.

For at beregne sandsynligheden skal du finde forholdet mellem sandsynligheden for to drenge (heraf et tirsdagsdrengebarn) og bare ét tirsdagsdrengebarn. Dette skyldes at førstnævnte er en delmængde af sidstnævnte.

Den anden fejl der er begået er at det er nødvendigt at skelne mellem drenge født på tirsdage med p-værdi 1/21/7 og drenge født på andre dage med p-værdi 1/26/7.

Måden problemet illustreres ved at at optegne et hændelsestræ med far i centrum, og så tegne muligheder derudaf. Første barn kan være a) dreng på tirsdag , b) dreng på en anden dag og c) pige. Andet barn har identiske muligheder og sandsynligheder.

Sandsynligheden for en kombination findes ved at gange sandsynligheder sammen. De to mulige udfaldsrum (DTI+dreng og DTI+dreng/pige) ) findes ved at addere de relevante fundne sandsynligheder.

  • 0
  • 0

Bjarne,
Du skriver: "Her er udfaldene følgende: DP, PD og DD."
Vil nu stadig holde fast i, at der er en mulighed mere.

Hvis DP er forskellig fra PD, så skal DD også tælles to gange (storebror/lillebror).

Donald/Petra
Petra/Donald

David/Donald
Donald/David

Mvh,
Jørgen

  • 0
  • 0

Jeg tror det er en matematisk vittighed.
Statestikken giver at sansynliheden for at han HAR 2 drengebørn er 1/3 dvs. datid.
Men sansynligheds beregning, som er fremtid, dvs. hvis vi skruer tiden tilbage til det tidspunkt hvor moderen føder barn nummer 2, så er sansynligheden for at dette barn skulle blive et drengebarn 50%.
Finten i spørgsmålet er "har" 2 børn, og så sansynlighed.
Deforuden så er der beregningen med DD, PD og DP, hvor man i den ene udelukker Dstore-bror/Dlille-bror på en tirsdag, det er endnu en matematisk finte mht. udfaldsrum. Analogien skulle ellers have været at PtiDti = DtiPti hvis Dti(store-bror)Dti(lille-bror)=Dti(lille-bror)Dti(store-bror) ;-)

Så alt i alt en vittighed.
mvh
Allan

  • 1
  • 0

Jeg skrev lige et lille program der simulerer situationen:

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Collections;

namespace SimChildren
{
class Program
{
struct Family
{
public bool boyFirst;
public byte weekdayFirst;
public bool boySecond;
public byte weekdaySecond;
// 0 = monday, 1 = tuesday etc.
}
static void Main(string[] args)
{
Random ran = new Random();
int NrOfFamilyes;
ArrayList familyes = new ArrayList();
ArrayList familyesMinOneBoy = new ArrayList();
ArrayList familyesMinOneTuesdayBoy = new ArrayList();
Console.Write("Antal familier ");
NrOfFamilyes = int.Parse(Console.ReadLine());
for (int i = 0; i < NrOfFamilyes; i++) {
Family f = new Family();
f.boyFirst= ran.Next(2)<1;
f.weekdayFirst = (byte)ran.Next(7);
f.boySecond= ran.Next(2)<1;
f.weekdaySecond = (byte)ran.Next(7);
familyes.Add(f);
}
Console.WriteLine(NrOfFamilyes.ToString() + " Familier med 2 børn creeret!");
Console.WriteLine("Fjerner nu familier med 2 piger");
foreach (Family f in familyes)
if (f.boyFirst || f.boySecond)
familyesMinOneBoy.Add(f);
Console.WriteLine("Der er nu " + familyesMinOneBoy.Count + " familier tilbage");
Console.WriteLine("Fjerner nu familier uden en søn født tirsdag");
foreach (Family f in familyesMinOneBoy)
if ((f.boyFirst && f.weekdayFirst == 1) || f.boySecond && f.weekdaySecond == 1)
familyesMinOneTuesdayBoy.Add(f);
Console.WriteLine("Der er nu " + familyesMinOneTuesdayBoy.Count + " Tilbage");
Console.WriteLine("Tæller hvor mange af disse der har 2 sønner");
int twoSon = 0;
foreach (Family f in familyesMinOneTuesdayBoy)
if (f.boyFirst == f.boySecond == true)
twoSon++;
Console.WriteLine("Der er nu " + twoSon + "familier tilbage!");
Console.WriteLine("Simuleret sandsynlighed = " + (Double)twoSon / (Double)familyesMinOneTuesdayBoy.Count);
Console.WriteLine("Matemtisk korrekt resultat 13/27 cirka lig" + 13.0 / 27.0);
}
}
}

Her er 2 kørsler hver med 1 million familier, de kommer pænt tæt på de 13/27

Antal familier 1000000
1000000 Familier med 2 børn creeret!
Fjerner nu familier med 2 piger
Der er nu 750004 familier tilbage
Fjerner nu familier uden en søn født tirsdag
Der er nu 138039 Tilbage
Tæller hvor mange af disse der har 2 sønner
Der er nu 66463familier tilbage!
Simuleret sandsynlighed = 0,481479871630481
Matemtisk korrekt resultat 13/27 cirka lig0,481481481481481
Press any key to continue . . .

Antal familier 1000000
1000000 Familier med 2 børn creeret!
Fjerner nu familier med 2 piger
Der er nu 749450 familier tilbage
Fjerner nu familier uden en søn født tirsdag
Der er nu 137090 Tilbage
Tæller hvor mange af disse der har 2 sønner
Der er nu 66280familier tilbage!
Simuleret sandsynlighed = 0,483478007148589
Matemtisk korrekt resultat 13/27 cirka lig0,481481481481481
Press any key to continue . . .

  • 1
  • 0

Svaret i artiklen er naturligvis rigtigt. Jeg tror grunden til de mange fejlberegninger folk laver er at de enten misforstår opgaven eller misforstår fortolkningen af sandsynlighedsregning.

Opgaven er som følger: Ud af alle par af to børn hvor mindst én er en dreng født på en tirsdag, i hvor mange par er der to drenge? Dette tal, divideret med det totale antal par af to børn, er den søgte sandsynlighed, og er den eneste (kategori af) korrekte fortolkning(er).

Det kan måske hjælpe intuitionen at se på det på følgende måde. Først lidt terminologi.

x = sandsynligheden for at en dag er en tirsdag, dvs. 1/7. Dette kunne også være sansynligheden for 1. marts (1/365 på et standardår) eller andet. Vi antager at hvad det end er, er det et lavt tal.

P = sandsynligheden for at et barn er en pige = 1/2.
Dx = sandsynligheden for at et barn er en dreng OG x. Da x er lav, er dette tal typisk ret lavt (nemlig 1/2 * x).
Dy = sandsynligheden for at et barn er en dreng OG IKKE x. Er af samme grund typisk næsten 1/2.

Nu kan de forskellige udfald i opgaven deles i følgende kasser, hver med to dele af udfaldsrummet ("A B" betyder i det følgende "første barn, andet barn"):

Kasse 1 - "Dx P" og "Dx Dy": Da Dy er næsten 1/2, vil de to udfald i kassen være ca. lige store (med en svag overvægt af P).

Kasse 2 - "P Dx" og "Dy Dx": Det samme som i kasse 1. Desuden vil kasse 1 og kasse 2 af oplagte grunde være lige store.

Kasse 3 - "Dx Dx": Da x er lav, er denne kasse meget lille.

I hvor mange tilfælde er der så to drenge? Alle I kasse 3 er to drenge, men der er næsten ingen i den kasse. Næsten halvdelen i kasse 1, og næsten halvdelen i kasse 2 er to drenge. Altså, næsten halvdelen i alt (de to kasser er lige store). I opgaven var svaret 13/27.

Hvis x ikke er "en tirsdag" men noget endnu mindre sandsynligt, kommer man endnu tættere på 1/2, da kasse 3 så bliver endnu mindre, og P og Dy vil ligge endnu tættere.

  • 0
  • 0

Per Hansen skriver:

Jeg er oprindelig ingeniør, men gik senere i min afhandling over og blev sprogforsker. Oplysningen om tirsdag giver ingen mening, hverken matematisk eller sprogligt. Den er kun støj, og har ingen indflydelse på problemet.

Det er forkert, som man kan se på den oprindelige beregning (som også udgør et godt argument for at oplysningen rent faktisk HAR indflydelse på problemet). Din påstand er derimod uunderbygget i dit indlæg.

Keith sætter fire kombinationer op. Pige/Pige, Dreng/Pige, Pige/Dreng og Dreng/Dreng. Han påstår derefter, at der er een der ikke kan eksistere, nemlig Pige/Pige. Det er forkert.

Nej, det er rigtigt. Keith kan have en eller to drenge. Hans udtalelse betyder "jeg har mindst en dreng". Det kunne både være den ældste, den yngste eller begge to.

Løsningen er ½.

Du påstår med denne løsning at, blandt alle par af børn med mindst én dreng, er der to drenge i halvdelen af dem. En simpel simulation eller selv en optælling blandt alle du kender der har netop to børn vil vise at dette er forkert (forudsat du kender en del :-p).

  • 1
  • 0

Hmm inspireret af programmet og 100000 familiers eksemplet:
PD + DP = 50000
DD = 25000

PD + DP med tirsdags dreng = 1/7 a 50000
DD med tirsdags dreng = 13/49 a 25000

heraf får man: (13/49) / (13/49 + 2/7) = 13/27.

mvh
Allan

  • 0
  • 0

Jeg skrev lige et lille program der simulerer situationen:

[...]

Antal familier 1000000
1000000 Familier med 2 børn creeret!
Fjerner nu familier med 2 piger
Der er nu 749450 familier tilbage
Fjerner nu familier uden en søn født tirsdag
Der er nu 137090 Tilbage
Tæller hvor mange af disse der har 2 sønner
Der er nu 66280familier tilbage!
Simuleret sandsynlighed = 0,483478007148589
Matemtisk korrekt resultat 13/27 cirka lig0,481481481481481
Press any key to continue . . .

Fint initiativ, men endnu bedre: Lad fædrene med mindst en dreng lege Gary Foshee, tage til Gardner møde og komme med ugedagsoplysningen/blive spurgt, så kunne du illustrere din egen præcisering fra et tidligere indlæg: Hvis de selv skal komme med ugedagsoplysningen, så kan fædrene med to drenge, født på forskellige dage vælge mellem TO ugedage at nævne (uden at lyve), og vælger de tilfældigt, så ender du med, at 1/3 af alle dem, der siger f.eks. "tirsdag" har to drenge. Hvis de bliver spurgt gælder de 13/27, da dem med drenge på to dage nu har større chance for at sige "ja, jeg har en dreng født på en tirsdag".

Uffe

  • 0
  • 0

Vi er enige om at hvis vi ikke får at vide dagen drengen er født i er sansynligheden 1/3.
Det påstås at sandsynligheden bliver 13/27 hvis vi får at vide at drengen er født på en tirsdag.
Jeg har prøvet om man vi samme resultat hvis vi fik at vide at han var født på en onsdag. Ja det gør vi, vi ville få samme resultat uanset hviken dag han var født. Altså bare vi får at vide at han er født på en af ugens dage så får vi 13/27 i stedet for 1/3.
Så er mit naive spørgsmål: Hvorfor får vi et andet resultat når vi får noget at vide vi vidste i forvejen?

  • 0
  • 0

Det er afgørende hvordan oplysningen om kønnet og ugedagen er opstået. Jens Ramskovs beregning er korrekt i det tilfælde hvor manden sagde: "Jeg har to børn," hvorefter en anden spurgte: "Har du en søn som er født på en tirsdag?" og fik svaret "ja." Men manden med børnene valgte selv hvilken oplysning han ville give, og så kan problemet håndteres anderledes.

Lad os se på det simple problem hvor kun kønnet oplyses:

Manden har to børn. Uden flere oplysninger er sandsynlighederne:
p(DD)=p(DP)=p(PD)=p(PP).
Så fortæller han os at den ene er en dreng. Hvis han også har en datter kunne han lige så godt have nævnt hende.
p(D|DP)=p(D|PD)=p(P|DP)=p(P|PD)=0.5,
mens P(D|DD)=1.
Brug af Bayes sætning giver:
p(DD|D)=p(D|DD)p(DD)/p(D)=1*0.25/0.5=0.5.

Jeg har her brugt at sandsynligheden for at få oplyst dreng er
p(D)=p(D|DD)p(DD)+p(D|DP)p(DP)+p(D|PD)p(PD)=10.25+0.50.25+0.50.25=0.5.

Med denne tilgang giver tirsdagsoplysningen ingen ændring.

  • 0
  • 0

Meget, meget smukt, Rune!

Det må også betyde, at hr. Engelhardt helt oppe i toppen af tråden har ret: Jo mere vi kender til drengen, jo tættere på 1/2 er sandsynligheden for at der er to drenge.

Hvis vi ved ét eller andet om drengen, som kun kan gælde for denne dreng, er sandsynligheden for to drenge øjeblikkelig blevet til 1/2, da der så ikke kan være nogen drengepar i Runes kasse 3.

  • 0
  • 0

Jeg viste tidligere nedenstående beregning, som jeg nu har korrigeret for en meget uheldig regnefejl. Facit fremkommer nu som 13/27.

KORRIGERET TEKST:
Ved løsningen vil jeg beregne forholdet mellem sandsynligheden for at have MINDST én dreng, født på en tirsdag, og NETOP to drenge, hvoraf MINDST den ene er født på en tirsdag.

Sandsynligheden for at føde en pige (P) er 1/2
Sandsynligheden for at føde en dreng (D) er 1/2
Sandsynligheden for at føde en dreng (DTi) på en tirsdag er 1/21/7
Sandsynligheden for at føde en dreng (D-Ti) på en anden dag er 1/2
6/7

Først beregnes sandsynligheden p() for at han har mindst én dreng født på en tirsdag, enten som nr 1 eller 2:

p(DTi)+p(P)p(DTi)+p(D-Ti)p(DTi)=1/21/71/1+1/21/21/7+1/26/71/21/7
=1/14+1/28+6/196=756/5488

Dernæst beregnes sandsynligheden for netop to drenge, heraf mindst én født på en tirsdag.

p(D-Ti)p(DTi)+p(DTi)p(D)
=1/26/71/21/7+1/21/7*1/2
=6/196+1/28=364/5488

Heraf ses at sandsynligheden for netop to drenge er :
364/756=13/27

(Fejlen bestod i at jeg havde ganget mine sidste brøker sammen istedet for at addere dem)

Som tidligere nævnt synes jeg stadig det er forkert at opstille kombinationer som artiklen og tage forholdet mellem disse, uden at gøre udtrykkeligt opmærksom på at sandsynligheden er identisk for alle kombinationer.

  • 0
  • 0

Det er afgørende hvordan oplysningen om kønnet og ugedagen er opstået. Jens Ramskovs beregning er korrekt i det tilfælde hvor manden sagde: "Jeg har to børn," hvorefter en anden spurgte: "Har du en søn som er født på en tirsdag?" og fik svaret "ja." Men manden med børnene valgte selv hvilken oplysning han ville give, og så kan problemet håndteres anderledes.

Netop, det er her, det går galt for Foshee. Det er jo et faktum, at han har en søn som er født på en tirsdag. Men for at kunne komme med det udsagn må han på forhånd vælge hvilken dreng, han ønsker at oplyse ugedagen for fødslen for i tilfældet med to drenge. Det er en helt essentiel forudsætning for at han kan komme med sit udsagn!! Og bemærk at han bare har oplyst ugedagen for fødslen af det udpegede barn (som åbenbart var en tirsdag).

Da den første dreng er kendt og kan udelukkes fra beregningerne, er der kun et barn tilbage at beregne sandsynligheden for. Og den er simpelthen 1/3 for dreng, idet DD, DP og PD er lige sandsynlige (jeg er i 1/3 lejren). Tirsdags-oplysningen har absolut ingen indflydelse på resultatet!

  • 0
  • 0

Sannolikhet är gynnsamma/möjliga.

Möjliga:
Dti kan ha storasystrar födda på 7 olika veckodagar och lika många lillasystrar, så kan han ha en storebror född på 7 olika dagar.
Storebror(ti) kan ha systrar på samma vis och lillebröder på 6 olika dagar då fallet lillebror storebror tisdag redan är med i utfallsrummet.
27

Gynnsamma:
7+6=13

Svar: 13/27.....

Det skulle vara trevligt om någon av er som använder enbart ett logiskt resonemang och där av får sannolikhet 1/2, kunde se fel i mitt resonemang.

Så avslutar jag med att se i toppen och finner att Jens hade resonerat nästan exakt som jag....

Problemet med de tre dörrarna, brukar gå att öka förståelsen av genom att ändra antalet, en gång gick jag så här långt:

Det finns 100 dörrar bakom en finns en vinst, du väljer en dörr och programledaren öppnar 98 och visar att de är tomma.
-Vill du byta till den dörr programledaren inte öppnat?

Kuriosa:

Jag såg en liknande tävling i Norge, där det till sist bara var 5kronors eller 5miljonersboxen kvar.... tjejen sålde inte sin box för 2,7miljoner....
Det visade sig att hon fick gå hem med 5kr...

  • 0
  • 0

Tirsdags-oplysningen har absolut ingen indflydelse på resultatet!

Læs lige Runes beskrivelse igen:

Al information om drengen vil indskrænke sandsynligheden for, at der findes et drengepar, hvor informationen gælder for begge drenge - og dét er hele humlen i opgaven.

  • 0
  • 0

Sune kl 16:17:

Du påstår med denne løsning at, blandt alle par af børn med mindst én dreng, er der to drenge i halvdelen af dem. En simpel simulation eller selv en optælling blandt alle du kender der har netop to børn vil vise at dette er forkert (forudsat du kender en del :-p).

Ja...tror dog, at du har skrevet forkert.

Par med to børn, hvoraf det ene er en dreng; af denne mængde vil ½delen være rent drengesøskendeflok.

  • 0
  • 0

Jeg går ud til 1000 familiefædre, som har oplyst at han har to børn, heraf mindst én dreng. Det må antages at der statistisk set er 1/3 af disse fædre som har to sønner.

Først går jeg til 500 fædre, som uden opfordring yderligere fortæller mig hvilken ugedag deres ene søn er født på. Jeg beregner nu sandsynligheden for at de har to sønner til 0,4815 udfra de 13/27.

Dernæst går jeg til 500 fædre som ikke giver flere oplysninger. Jeg ændrer ikke min antagelse om at sandsynligheden for to sønner er 1/3.

Problemet er nu at jeg har besøgt to grupper som før besøget havde identiske statistikker, mens de efter besøget er vidt forskellige.

Her kommer min pointe: Jeg skal slet ikke indregne sandsynligheden for at den ene søn er født på en tirsdag, for det er 100 % sandsynligt eftersom han har sagt det. Jeg skal heller ikke regne på sandsynligheden for at den anden er født en tirsdag, for det er irrelevant.

  • 0
  • 0

Hermed en anbefaling til gør-det-selv-visualisering og et bud på hvad der skiller vandene.

Forskellen mellem "50% & 50%"-folket på den ene side og "1/3 & 13/27"-folket på den anden side ligger i opfattelsen af spørgsmålet - ved vi hvilket barn der er den "sikre" dreng?

(Jeg forudsætter alt andet lige at der er nøjagtig 50% chance for at få en dreng når man får et barn, uanset om der er søskende i forvejen og hvilket køn de måtte have.)

Hvis man bekender sig til "50% & 50%" skyldes det at man opfatter spørgsmålet som:
"Du ser to børn og foran dig og får udpeget barnet til højre som "dreng født på en tirsdag". Hvad er så sandsynligheden for at barnet til venstre er en dreng?"
Den er selvfølgelig 50%, tirsdag eller ej.

(Udskift "barnet til højre" med "lillebror" eller "storebror", så har vi Foshee's spørgsmål - næsten...)

Resultatet er 50% hvis man antager at vi ved hvilket af de to børn der er den "sikre" dreng, for så er han udelukket fra sandsynlighedsberegningen, som så kun vedrører ét barn.

Hvis man bekender sig til "1/3 & 13/27" er det fordi man opfatter spørgsmålet som:
"Her er 2 børn. Det ene er en dreng født på en tirsdag, men du ved ikke hvilket af børnene det er. Hvad er sandsynligheden for at de begge er drenge?"

Lad os holde tirsdag udenfor først:
Der er 4 kønskombinationer med lige stor sandsynlighed, 25% til hver, og den ene (pige/pige) er udelukket, det giver så 1 ud af de tre resterende muligheder, 1/3.
Ret enkelt.
Ramskov prøver at illustrere det med 100.000 familier og illustrationen synes jeg virker fint, jeg købte den intuitivt - men den overbeviser ikke dem, der fanges ubevidst af at de tror at de ved hvilket barn der er den "sikre" dreng.

Jeg var mere skeptisk overfor tirsdags-problemet da det er meget længe siden jeg har haft kombinatorik, men blev overbevist ved at sætte mig med et regneark og lave matricen med samtlige udfald (DMa, DTi... dvs. 14x14 kombinationer) med et 1-tal i hvert felt og så slette de udelukkede kombinationer (udfald uden DTi i hverken 1.-akse eller 2.-akse, det efterlader 27) og tælle de positive udfald (mindst 1 DTi, det er 13). Det giver 13/27.

Hvis vi bliver i regnearket, får vi en fremragende visualisering af ovenstående problematik - om vi skal antage at vi ved hvilket barn der er den "sikre" dreng eller at det kan være begge børn. Hvis man antager at vi ved at det er barnet på 1. aksen, så reduceres det mulige udfaldsrum fra 27 til 14 og sandsynligheden er 7/14 (dreng født på en vilkårlig ugedag).

Derudover illustrerer regnearket fint hvordan man ved at tilføje attributter kan bevæge sig asymptotisk mod 1/2: Hvis man tilføjer 1 attribut med mange mulige udfald (f.eks. specifik dato) så bliver det ( 365 dage * 1 køn * 2 børn - 1 fællesudfald ) / ( 365 dage * 2 køn * 2 børn - 1 fællesudfald ) = 729 / 1459 = 0,49966. Ganske fascinerende.

Samme regnestykke gør sig selvfølgelig gældende uden dags-attributten: (1 køn * 2 børn - 1 fællesudfald ) / (2 køn * 2 børn - 1 fællesudfald ) = 1/3

Jeg tolker spørgsmålet som artiklens forfatter og Gary Foshee gør - at vi ikke ved hvilket barn han omtaler når han siger at han har én dreng.

Any further comments?

  • 0
  • 0

Vi er enige om at hvis vi ikke får at vide dagen drengen er født i er sansynligheden 1/3.
Det påstås at sandsynligheden bliver 13/27 hvis vi får at vide at drengen er født på en tirsdag.
Jeg har prøvet om man vi samme resultat hvis vi fik at vide at han var født på en onsdag. Ja det gør vi, vi ville få samme resultat uanset hviken dag han var født. Altså bare vi får at vide at han er født på en af ugens dage så får vi 13/27 i stedet for 1/3.
Så er mit naive spørgsmål: Hvorfor får vi et andet resultat når vi får noget at vide vi vidste i forvejen?

Det naturligvis ligegyldigt om det er tirsdag, onsdag, rødhåret eller hvad der spørges om så længe man kender den statistiske sandsynlighed for dette. Når jeg skriver spørges om er det netop den der vælger fx at spørge om tirsdag ikke i forvejen kender svaret, og således får noget ekstra information om situationen i og med at der kan svaret både ja og nej til spørgsmålet.

For at demonstrere dette har jeg lavet mit lille program fra før om så det på grundlag af det samme genererede familie datasæt nu laver optællingen for alle ugedage, og bagefter på samme datasæt vender situationen og laver samme analyse mht. 2 piger for alle ugedage.

using System;
using System.Collections.Generic;
using System.Linq;
using System.Text;
using System.Collections;

namespace SimChildren
{
class Program
{
struct Family
{
public bool boyFirst;
public byte weekdayFirst;
public bool boySecond;
public byte weekdaySecond;
}
static void Main(string[] args)
{
string[] weekdays = { "Mandag", "Tirsdag", "Onsdag", "Torsdag", "Fredag", "Lørdag", "Søndag"};
Random ran = new Random();
int NrOfFamilyes;
ArrayList familyes = new ArrayList();
ArrayList familyesMinOneBoyGirl = new ArrayList();
ArrayList familyesMinOneWeekdayBoyGirl = new ArrayList();
Console.Write("Antal familier ");
NrOfFamilyes = int.Parse(Console.ReadLine());
for (int i = 0; i < NrOfFamilyes; i++) {
Family f = new Family();
f.boyFirst= ran.Next(2)<1;
f.weekdayFirst = (byte)ran.Next(7);
f.boySecond= ran.Next(2)<1;
f.weekdaySecond = (byte)ran.Next(7);
familyes.Add(f);
}
Console.WriteLine(NrOfFamilyes.ToString() + " Familier med 2 børn creeret!");
Console.WriteLine("Fjerner nu familier med 2 piger");
foreach (Family f in familyes)
if (f.boyFirst || f.boySecond)
familyesMinOneBoyGirl.Add(f);
Console.WriteLine("Der er nu " + familyesMinOneBoyGirl.Count + " familier tilbage");
for (byte day = 0; day < 7; day++)
{
Console.WriteLine("Fjerner nu familier uden en søn født " + weekdays[day]);
foreach (Family f in familyesMinOneBoyGirl)
if ((f.boyFirst && f.weekdayFirst == day) || (f.boySecond && f.weekdaySecond == day))
familyesMinOneWeekdayBoyGirl.Add(f);
Console.WriteLine("Der er nu " + familyesMinOneWeekdayBoyGirl.Count + " Tilbage");
Console.WriteLine("Tæller hvor mange af disse der har 2 sønner");
int twoSon = 0;
foreach (Family f in familyesMinOneWeekdayBoyGirl)
if (f.boyFirst == f.boySecond == true)
twoSon++;
Console.WriteLine("Der er nu " + twoSon + "familier tilbage!");
Console.WriteLine("Simuleret sandsynlighed = " + (Double)twoSon / (Double)familyesMinOneWeekdayBoyGirl.Count);
familyesMinOneWeekdayBoyGirl.Clear();
}
familyesMinOneBoyGirl.Clear();
Console.WriteLine("Fjerner nu familier med 2 drenge");
foreach (Family f in familyes)
if (!f.boyFirst || !f.boySecond)
familyesMinOneBoyGirl.Add(f);
Console.WriteLine("Der er nu " + familyesMinOneBoyGirl.Count + " familier tilbage");
for (byte day = 0; day < 7; day++)
{
Console.WriteLine("Fjerner nu familier uden en datter født " + weekdays[day]);
foreach (Family f in familyesMinOneBoyGirl)
if ((!f.boyFirst && f.weekdayFirst == day) || (!f.boySecond && f.weekdaySecond == day))
familyesMinOneWeekdayBoyGirl.Add(f);
Console.WriteLine("Der er nu " + familyesMinOneWeekdayBoyGirl.Count + " Tilbage");
Console.WriteLine("Tæller hvor mange af disse der har 2 døtre");
int twoSon = 0;
foreach (Family f in familyesMinOneWeekdayBoyGirl)
if (!f.boyFirst == !f.boySecond == true)
twoSon++;
Console.WriteLine("Der er nu " + twoSon + "familier tilbage!");
Console.WriteLine("Simuleret sandsynlighed = " + (Double)twoSon / (Double)familyesMinOneWeekdayBoyGirl.Count);
familyesMinOneWeekdayBoyGirl.Clear();
}
}
}
}

En kørsel med 1000000 simulerede familier ses her:

Antal familier 1000000
1000000 Familier med 2 børn creeret!
Fjerner nu familier med 2 piger
Der er nu 749820 familier tilbage
Fjerner nu familier uden en søn født Mandag
Der er nu 138223 Tilbage
Tæller hvor mange af disse der har 2 sønner
Der er nu 66556familier tilbage!
Simuleret sandsynlighed = 0,481511759982058
Fjerner nu familier uden en søn født Tirsdag
Der er nu 137654 Tilbage
Tæller hvor mange af disse der har 2 sønner
Der er nu 66166familier tilbage!
Simuleret sandsynlighed = 0,480668923532916
Fjerner nu familier uden en søn født Onsdag
Der er nu 136766 Tilbage
Tæller hvor mange af disse der har 2 sønner
Der er nu 66034familier tilbage!
Simuleret sandsynlighed = 0,482824678648202
Fjerner nu familier uden en søn født Torsdag
Der er nu 138596 Tilbage
Tæller hvor mange af disse der har 2 sønner
Der er nu 66850familier tilbage!
Simuleret sandsynlighed = 0,482337152587376
Fjerner nu familier uden en søn født Fredag
Der er nu 137826 Tilbage
Tæller hvor mange af disse der har 2 sønner
Der er nu 66447familier tilbage!
Simuleret sandsynlighed = 0,482107875146924
Fjerner nu familier uden en søn født Lørdag
Der er nu 136890 Tilbage
Tæller hvor mange af disse der har 2 sønner
Der er nu 65862familier tilbage!
Simuleret sandsynlighed = 0,481130834976989
Fjerner nu familier uden en søn født Søndag
Der er nu 138025 Tilbage
Tæller hvor mange af disse der har 2 sønner
Der er nu 66437familier tilbage!
Simuleret sandsynlighed = 0,48134033689549
Fjerner nu familier med 2 drenge
Der er nu 749808 familier tilbage
Fjerner nu familier uden en datter født Mandag
Der er nu 137552 Tilbage
Tæller hvor mange af disse der har 2 døtre
Der er nu 66335familier tilbage!
Simuleret sandsynlighed = 0,482253983947889
Fjerner nu familier uden en datter født Tirsdag
Der er nu 138210 Tilbage
Tæller hvor mange af disse der har 2 døtre
Der er nu 66587familier tilbage!
Simuleret sandsynlighed = 0,481781347225237
Fjerner nu familier uden en datter født Onsdag
Der er nu 137851 Tilbage
Tæller hvor mange af disse der har 2 døtre
Der er nu 66274familier tilbage!
Simuleret sandsynlighed = 0,480765464160579
Fjerner nu familier uden en datter født Torsdag
Der er nu 137662 Tilbage
Tæller hvor mange af disse der har 2 døtre
Der er nu 66276familier tilbage!
Simuleret sandsynlighed = 0,481440048815214
Fjerner nu familier uden en datter født Fredag
Der er nu 137858 Tilbage
Tæller hvor mange af disse der har 2 døtre
Der er nu 66468familier tilbage!
Simuleret sandsynlighed = 0,482148297523539
Fjerner nu familier uden en datter født Lørdag
Der er nu 137759 Tilbage
Tæller hvor mange af disse der har 2 døtre
Der er nu 66509familier tilbage!
Simuleret sandsynlighed = 0,482792412836911
Fjerner nu familier uden en datter født Søndag
Der er nu 137475 Tilbage
Tæller hvor mange af disse der har 2 døtre
Der er nu 66290familier tilbage!
Simuleret sandsynlighed = 0,482196763047827
Press any key to continue . . .

Som det ses ligger alle 14 simulerede sandsynligheder tæt på de teoretiske 13/27

  • 0
  • 0

Troels:

Problemet er nu at jeg har besøgt to grupper som før besøget havde identiske statistikker, mens de efter besøget er vidt forskellige.

Nej, de to grupper vil altid have identiske statistikker.

Der bliver jo ikke spurgt om, hvordan fordelingen i en population er, men hvordan du vurderer sandsynligheden for to drenge, hvis du får at vide at den ene er dreng + en ekstra oplysning.

Hvis du ikke ved andet end kønnet om drengen er sandsynligheden for to drenge 1/3, og hvis du ved så meget om drengen, at han er unik, er sandsynligheden 1/2.

Det er lige meget, hvad du ved om drengen, men jo mere dét, du ved, skiller drengen ud, jo mere ændres sandsynligheden fra 1/3 mod 1/2.

At vide at drengen er født på en tirsdag skiller ham kun lidt ud fra andre drenge, men at vide at han har ét modermærke, hedder Hugo og er spejder skiller ham meget ud fra mængden af drenge og påvirker dermed sandsynligheden for to drenge stærkt mod en værdi på 1/2.

  • 0
  • 0

Læs lige Runes beskrivelse igen:

Kan ikke finde nogen Rune i den her diskussion. Til gengæld er der en, der hedder Sune.

Al information om drengen vil indskrænke sandsynligheden for, at der findes et drengepar, hvor informationen gælder for begge drenge - og dét er hele humlen i opgaven.

Nej, det vil ej. Hvis informationen gælder for begge drenge, gælder den også for en af dem. Og du er nødt til at vælge en af drengene for at kunne give information om EN dreng. Er informationen for de to drenge forskellig, så afhænger den videregivne information af, hvilken dreng du tænker på. Er informationen ens for de to drenge (begge født på samme ugedag), så giver udfaldet af valget af dreng (storebror eller lillebror) det samme resultat, men der er stadigvæk foretaget et valg. Når du har foretaget et valg, ved du ALT om den udvalgte dreng og INTET om det andet barn.

  • 0
  • 0

Eftersom statistikken for de to grupper ikke kan ændres uagtet at fædrene i den ene gruppe vælger at give mig information om deres søn, da må min vurdering af sandsynligheden altså være fejlagtig hvis jeg ændre vurdering baseret på den tilkomne information. For sandsynlighed skal jo meget gerne passe med statistikken i en stor population, ikke?

  • 0
  • 0

Først undskyld til Sune, at jeg i farten anførte hans navn forkert ovenfor!

Ole:

Nej, det vil ej. Hvis informationen gælder for begge drenge, gælder den også for en af dem.

Men det er jo den modsatte slutning!

Hvis informationen er unik for én dreng, kan den ikke gælde for to drenge, og derfor vil den påvirke sandsynligheden jvf. Sunes meget klare beskrivelse af problemet ovenfor.

  • 0
  • 0

Tænk på en mand der har en søn, du ved ikke hvilken ugedag han er født. Spørg ham om han har mindst en søn født på en given ugedag. Der er nu en sandsynlighed på 1/7 for at han svarer ja og en sandsynlighed på 6/7 for at han svarer nej.

Tænk nu på en mand der har 2 sønner, igen uden at du har viden om fødselsugedagen. Spørg ham om han har mindst en søn født på en given ugedag. Idet det kan være sandt for den ene eller den anden eller begge, er der nu en sandsynlighed på 1/7 1/7 - 1/49 = 13/49 for at han svarer ja, og en sandsynlighed på 1 - 13/49 = 36/49 for at han sparer nej.

Altså højere sandsynlighed for at ja i det sidste tilfælde.

Vi fylder børneflokken op med piger, altså 1 pige til den første og 0 til den anden, således at de begge har to børn. Denne ekstra pige har ikke indflydelse på sandsynligheden for at der svares ja, da der netop eksplicit spørges til en DRENG født på en given ugedag.

Det ses herved at kønsfordelingen af børneflokken har indflydelse på sandsynligheden for at der svares ja. Dette giver korrelationen mellen ugedag og køn.

At opgaven oprindelig er formuleret således at faderen selv vælger ugedagen, der spørges til, er ikke helt korrekt, idet det kan misforståes som ugedagen er valgt ud fra en viden om børnene. Det er vigtigt at ugedagen er tilfældig valgt.

  • 0
  • 0

Eftersom statistikken for de to grupper ikke kan ændres uagtet at fædrene i den ene gruppe vælger at give mig information om deres søn, da må min vurdering af sandsynligheden altså være fejlagtig hvis jeg ændre vurdering baseret på den tilkomne information. For sandsynlighed skal jo meget gerne passe med statistikken i en stor population, ikke?

Nej, din vurdering af sandsynligheden ændrer sig blot, jo mere information du får om den første dreng. Begge sandsynligheder er rigtige, de er blot baseret på forskellige informationsniveau.

Du ændrer jo ikke på virkeligheden (= populationen), men blot på, hvad du kan sige om populationen, jo mere information, du får.

Hvis du ved alting, kan du sige alting med 100% sandsynlighed (nå, ja, altså ikke i kvantemekanik...)

  • 0
  • 0

Men det er jo den modsatte slutning!

Hvis informationen er unik for én dreng, kan den ikke gælde for to drenge, og derfor vil den påvirke sandsynligheden jvf. Sunes meget klare beskrivelse af problemet ovenfor.

Ingen har sagt, at informationen er unik for én dreng, tværtimod, se Andreas' indlæg lidt længere oppe. Den engelske tekst siger: I tell you I have two children, and (at least) one of them is a boy born on a Tuesday.

  • 0
  • 0

Jeg har lige læst lidt med på kommentarerne hos Alex Bellos - se link under artiklen - hvor jeg hentede inspiration til at skrive min artikel først i papirudgaven af Ingeniøren og siden i denne netversion.

Det er spændende og tankevækkende som den engelske og danske diskussion på mange måder minder om hinanden.

Lad mig gengive Alex Bellos kommentar til sine læsere fra den 31. maj: "Thank you everyone for all these comments! I’d like to say I’m surprised at all the attention the question has received, but actually i think that probability questions are fascinating and controversial and I secretly thought it might touch a mathematical nerve…."

I modsætning til Alex Bellos var jeg dog med mit kendskab til læserne på ing.dk rimelig sikker på, at debattråden ville blive lang på ing.dk.

Men som Alex Bellos siger også jeg tak for interessen.

  • 0
  • 0

Ole:

Ingen har sagt, at informationen er unik for én dreng, tværtimod, se Andreas' indlæg lidt længere oppe.

Informationen er 1/7 unik for drengen og rykker derfor sandsynligheden for endnu en dreng fra 1/3 til tæt på 1/2 (= 13/27). Hvis vi har endnu mere unik information om drengen, f.eks. at han er født en bestemt dag (= 1/365 unik) rykker sandsynligheden endnu tættere på 1/2.

For at gentage: det er knivskarpt formuleret ovenfor af Sune.

G'nat.

  • 0
  • 0

Er enig i at opgaven er sprogligt tricky formuleret. det fremgår jo tydeligvis af denne tråd. men den er ikke forkert formuleret :)
Fælden mange er hoppet i, inkl jeg selv i starten, er at vi ikke bliver bedt om at udregne sandsynligheden for at få to drenge, givet man allerede har et. Men det er heller ikke det der står. Der står HAR TO DRENGE, IKKE FÅ. Vi skal med andre ord udregne sandsynligheden for at han HAR to drenge GIVET DE OPLYSNINGER VI FÅR.
Vi har udfaldet Dp Pd Dd Pp.
Første bogstav er stort for at vise førstefødte.
Vi kan udelukke Pp fra mulige udfald. Vi har IKKE fået oplysninger, der fortæller fødselsrækkefølgen - en 100 % unik atribut.
Det er derfor vi ikke kan placere tirsdagsdrengen med 100 % sikkerhed til venstre eller højre og derved udelukke den ene dreng pige kombination, og således minimere udfaldet til to og ende på 1/2.

Til gengæld giver ugedags atributen os en anden mulighed for at skelne mellem to drenge - dog ikke med 100 % sandsynlighed, da to tirsdagsdrenge er en mulighed. Mens der uden nogen viden om drengene ikke kan skelnes mellem forskellige dobbelt drenge udfald, vil en voksende grad af særegenhed gående mod uendeligt medføre flere og flere unikke udfaldskombinationer af dobbelt drenge - kombinationer der kan skelnes fra hinanden.
Dermed nærmer vi os samme sandsynlighed som ved den eksklusive skelnen - nemlig førstefødte/sidstefødte. Eksklusiv fordi der aldrig kan være to førstefødte... men selv ved et antal DD kombinationer gående mod det uendelige, vil der være een genganger kombination, hvor den ene derfor skal fjernes som unik udfald.

Det var et forsøg på den intuitive forklaring.
God nat ;-)

Dernæst, DD DP PD PP snakken. Den er lidt tricky. Men grunden til vi ikke skelner mellem først og sidst født dreng er at

Man kunne styrke den ved at gøre klart at

  • 0
  • 0

Är detta en förlängning av din paradox?

Av de 1000 fäderna har statistiskt 333 två söner.

Men om du spør alle fäder om en födselukedag för en dreng och får mer upplysning, ökar antalet som har två drenger.??????

Då har du ändrat gruppen bara med information.

de tusen har blivit 7 grupper med var og en 13/27 i sannolikhet för två drenger...

Aj aj no fikk jeg hodepine.....

  • 0
  • 0

Jeg møder en gammel ven, som har fået to børn. Han har medbragt det ene, en søn. Jeg beregner sandsynligheden for at hans andet barn er en dreng, til 1/3.

Jeg møder næste dag en stor skare af gamle venner der alle har to børn. Vennerne ved jeg har en ligelig fordeling mellem DP, PD, DD og PP. Halvdelen har medbragt en søn, den anden halvdel en datter. Jeg ved at statistisk set er andelen af mine venner med to sønner 1/4, så tør jeg stadig sætte sandsynligheden for at en given ven med en søn til stede også har en søn derhjemme til 1/3?

Min vurdering af sandsynlighed er åbenbart afhængig af om jeg skal forholde mig til en population eller et individ.

  • 0
  • 0

Troels:

Jeg møder en gammel ven, som har fået to børn. Han har medbragt det ene, en søn. Jeg beregner sandsynligheden for at hans andet barn er en dreng, til 1/3.

Nej, det gør du ikke. Du beregner det til 1/2 fordi du kender alt til den søn, han har medbragt. Du kan se ham og han er derfor unik for dig, da den eventuelle anden søn jo ikke kan være fuldstændig magen til den søn, du ser foran dig.

  • 0
  • 0

Jeg har altså meget svært ved at følge 1/3 lejren.

Jeg holder fortsat fast i at det sproglige sejler og er meningsløst, med mindre det tolkes i et særligt sandsynlighedssprog.

Men 1/3 lejren må give op.

I opsætter 3 udfald: P/D, D/P og D/D.

Men i denne opstilling må der være et fjerde udfald, nemlig en D/D mere.

Når i medtager D/P og P/D må det være fordi i skelner på rækkefølge, eller med andre ord storesøte/lillebror og Storebror/lillesøster.

I så fald må der også være en skelnen mellem Storebror/lillebror og lillebror/Storebror.

Og så bliver jeres resultat pludselig 1/4.

Det illustrerer vist også meget godt at oplysningen om "tirsdag" er meningsløs.

  • 0
  • 0

Av de 1000 fäderna har statistiskt 333 två söner.
...
Då har du ändrat gruppen bara med information.

Der kom vist en aftensnaps for meget indenbords...
Det er ikke gruppen der er ændret, blot din àpriori viden om gruppen, og dermed din opfattelse eller forventning til dens sammensætning
;-)

  • 0
  • 0

Troels:
[quote]Jeg møder en gammel ven, som har fået to børn. Han har medbragt det ene, en søn. Jeg beregner sandsynligheden for at hans andet barn er en dreng, til 1/3.

Nej, det gør du ikke. Du beregner det til 1/2 fordi du kender alt til den søn, han har medbragt. Du kan se ham og han er derfor unik for dig, da den eventuelle anden søn jo ikke kan være fuldstændig magen til den søn, du ser foran dig.[/quote]

Lidt ekstra info. Forskellen er helt præcis dette:

Hvis du ikke kender noget særligt til din vens ene søn, kan vennen med en vis sandsynlighed godt have to sønner, som deler flere karakteriska: fødselsdag, hårfarve etc., men hvis du kender meget til én søns karakteristiska er sandsynligheden for at en eventuel anden søn har samme karakterika meget mindre. Og det vil ændre sandsynligheden for at det andet barn er en søn til noget, der er tættere på 1/2.

  • 0
  • 0

Jeg har altså meget svært ved at følge 1/3 lejren.

Jeg holder fortsat fast i at det sproglige sejler og er meningsløst, med mindre det tolkes i et særligt sandsynlighedssprog.

Men 1/3 lejren må give op.

I opsætter 3 udfald: P/D, D/P og D/D.

Men i denne opstilling må der være et fjerde udfald, nemlig en D/D mere.

Når i medtager D/P og P/D må det være fordi i skelner på rækkefølge, eller med andre ord storesøte/lillebror og Storebror/lillesøster.

I så fald må der også være en skelnen mellem Storebror/lillebror og lillebror/Storebror.

Og så bliver jeres resultat pludselig 1/4.

Det illustrerer vist også meget godt at oplysningen om "tirsdag" er meningsløs.

Prøv at læs min kommentar fra i aftes 2330 tiden.
Du er ikke i stand til at skelne mellem dd og dd uden noget viden om mindst en af drengene. Med en 100% unik viden, Fx at han er førstefødte, eller faktisk er en pige (:-)), vil du kunne udelukke et af de tre udfald og ende på 1/2. Uden nogen viden overhovedet (ej heller køn), er svaret 1/4.
Vi bliver ikke spurgt om populationer, men om hans drenge, givet DEN INFORMATION vi får til at skelne med.

  • 0
  • 0

Hej Jens
Der har været flere indlæg, der har givet det korrekte svar, men det har tillsyneladende ikke rokket ved noget, så for at få afsluttet denne lange tråd, vil jeg prøve at tydeliggøre svaret.
For det første: Foshees beregning er i modstrid med sig selv. Han beregner sandsynligheden for, at der er to drenge under forudsætning af at den kendte dreng er født på en tirsdag til 13/27, men han har intet steds brugt, at drengen specielt er født på en tirsdag. Med andre ord ville han få samme resultat, hvis han havde forudsat, at drengen var født på en hvilken som helst anden ugedag.
Men derved er vi jo ovre i det tidligere tilfælde, som ifølge Foshee giver resultatet 1/3.
Mindst et af resultaterne må derfor være forkert.
Spørgsmålet er dernæst: Hvor er der begået fejl?
Betragt først tilfældet, hvor der intet vides om børnene. Her angiver Foshee, at der er fire kombinationer med samme sandsynlighed nemlig DP, PD, DD, og PP.
Det er imidlertid ikke rigtigt. Når han skelner mellem DP og PD, bør han også være konsekvent og tage hensyn til de individuelle drenge, og tilsvarende med pigerne.
Vi får derfor seks mulige kombinationer med samme sandsynlighed nemlig DP, PD, D1D2, D2D1, P1P2 og P2P1.
Når vi nu ved, at den ene er en dreng, kan de to sidste kombinationer udelukkes, og vi får to kombinationer med to drenge ud af i alt fire.
Sandsynligheden er derfor 1/2.
I tilfældet med tirsdagsdrengen begår Foshee en tilsvarende fejl ved i sidste del af beregningen at skrive, at tilfældet med de to drenge allerede er medregnet. Det er det ikke på grund af den ændrede rækkefølge.
Derfor får vi for dette tilfælde sandsynligheden 14/28=1/2, der er konsistent med det første resultat.

Mvh. Tom

  • 0
  • 0

Hej Tom

Jeg og mange andre i denne debat har forsøgt at forklare de simple beregninger efter bedste evne. Dels hvorfor 1/3 og 13/27 er de rigtige svar, og hvorfor 1/2 er forkert.

Mine pædagogiske evner er udtømte, og jeg kan næppe bidrage med yderligere forklaringer. Det er naturligvis rigtigt, at det er ligegyldigt om drengen er født en tirsdag, onsdag eller anden dag - det rokker ikke ved sandsynlighedene.

Den observation fik mig til at stille en ny variant af spørgsmålet længere oppe i tråden. Den gentager jeg her:

Jeg har to børn, den ene er dreng, der enten er født en mandag, tirsdag, onsdag, torsdag, fredag, lørdag eller søndag. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge.

Svaret kan udregnes på to måder.

Den lette. Nu giver ugedagene ingen information, så svaret på være 1/3.

Den svære. Vi ser på alle kombinationer, hvor drengen er født en søndag, dernæst en mandag osv. - og fraregner alle dobbeltkombinationer. Jeg har omhyggeligt skrevet alle kombinationer op og optalt alle to-drenge tilfælde. Det er ikke så svært, som det lyder, men kræver blot et helt A4-ark - det giver sandsynligheden (12/27 + 11/27 +10/27 + 9/27 + 8/27 + 7/27 +6/27)/7 = 63/(27*7) = 1/3.

Det er betryggende, at både den lette og den svære udregning giver samme resultat.

Når man har matematikken på sin side, kan man roligt være urokkelig.

  • 0
  • 0

Tom:

For det første: Foshees beregning er i modstrid med sig selv. Han beregner sandsynligheden for, at der er to drenge under forudsætning af at den kendte dreng er født på en tirsdag til 13/27, men han har intet steds brugt, at drengen specielt er født på en tirsdag.

Jo, han har. Sandsynligheden for at en dreng er født på en tirsdag (=1/7) indgår i sandsynlighedsberegningen.

Han kunne lige så godt være født på en anden ugedag, men hvis vi får en anden oplysning om drengen med en anden sandsynlighed, ændres sandsynligheden for endnu en dreng.

Det må efterhånden fremgå meget klart af tråden.

  • 0
  • 0

Det er imidlertid ikke rigtigt. Når han skelner mellem DP og PD, bør han også være konsekvent og tage hensyn til de individuelle drenge, og tilsvarende med pigerne.
Vi får derfor seks mulige kombinationer med samme sandsynlighed nemlig DP, PD, D1D2, D2D1, P1P2 og P2P1.

Nej sandsynligheden for to drenge eller to piger, hvor man får den yngste først er 0;-)

  • 0
  • 0

Vi får derfor seks mulige kombinationer med samme sandsynlighed nemlig DP, PD, D1D2, D2D1, P1P2 og P2P1.

Mvh. Tom

Det vil nu sige, at i alle to-børnsfamilier, hvor vi ikke kender til noget som helst, er sandsynligheden for at det er to børn med forskelligt køn nu 1/3 :-)
Det kan vist ikke passe... for den kan vist ikke ændres til andet end 1/2

  • 0
  • 0

Jo, der er jo kendt noget: deres relative alder.
Som Tom nøje, og rigtigt, skriver (men ikke klippet med i dit citat):

"Når han skelner mellem DP og PD, bør han også være konsekvent og tage hensyn til de individuelle drenge, og tilsvarende med pigerne."

Problemet er jo, at 1/3 folkene nogle gange tager højde for børnenes relative alder, men ikke konsekvent; hvorfor der mangler nogle muligheder i udfaldsrummet.

  • 0
  • 0

Problemet er jo, at 1/3 folkene nogle gange tager højde for børnenes relative alder, men ikke konsekvent; hvorfor der mangler nogle muligheder i udfaldsrummet.

Når man har fået to børn er der nu engang fire muligheder hvis man ikke indrager yderligere oplysninger: PP, DD, PD, DP hvor første bogstav er førstfødte. Dette (håber jeg) er ubestrideligt!... hvis man så ved at det ikke er to piger, må det være klart at der nu ("a posteriori" altså EFTER den oplysning er taget i betragtning) er 1/3 sandsynlighed for hver af de resterende udfald, herunder "to drenge".

Ved inddragelse af fødselsdato må man opdele udfaldsrummet på anden vis, som jeg fx gør i mit indlæg højere opppe med titlen "Intuition ved hjælp af kasser".

  • 0
  • 0

Tjo, enig i det meste.
Først din opsummering: PP, DD, PD, DP. Enig heri, NÅR INTET ANDET ER KENDT.

Nu bliver der smidt betingelser på, og så ændrer det sig; herunder har fødselsrækkefølgen betydning, og udfaldsrummet øges fra fire muligheder til 12.
Det vil jeg anskueliggøre ved hjælp af navne.

Pia / Petra (din PP)
Dan / Darwin (din DD)
Pia / Dan (din PD)
Dan / Pia (din DP)

Hvis du mener, at både Pia/Dan og Dan/Pia skal medregnes (altså kun i dette tilfælde er fødselsrækkefølgen vigtig, men ikke i andre); så skal følgende muligheder også medregnes, ellers mangler konsekvens.

Pia / Darwin (PD)
Petra / Pia (PP)
Petra / Dan PD)
Petra Darwin (PD)
Dan / Petra (DP)
Darwin / Pia (DP
Darwin / Petra (DP)
Darwin / Dan (DD)

PPerne bliver smidt ud, så er udfaldsrummet 10 hændelser. Ud af disse, er to DD; altså 40% sandsynlighed for, at hvis man har to børn, hvoraf et er en dreng, er det andet også en dreng.

Herefter kommer ugedagsoplysningen oveni.

  • 0
  • 0

Det er helt centralt at kende sammensætningen af populationen. Hvis ikke vi kender den regner vi jo bare på sandsynlighederne for at han har fået en dreng på en tirsdag. Men det er jo ikke nødvendigt eftersom vi VED at han har fået en dreng på en tirsdag. Han må derfor tilhører en population af fædre som har det tilfælles, at de har mindst én dreng født på en tirsdag.

Den relevante population er en delmængde af den generelle population bestående af DD, PD og DP, som er lige fordelt med 1/3 til hver.

Ud af den generelle population vælger vi nu alle, som har mindst én dreng født på en tirsdag. Eftersom fædre med to drenge har dobbelt så stor chance for at komme med i den nye population, så ændres fordelingen i den nye population til 1/4 for DP, 1/4 for PD og 1/2 for DD.

Dermed er sandsynligheden for at en given far fra denne population faktisk har to drenge lig med 1/2.

Det havde du nok ikke regnet med :)

  • 0
  • 0

Det er blot betinget sandsynlighed. Udfaldsrummets antal 14x14 (Dma,Ti,On... osv)
Så er sandsynligheden
P(D|Dti)= P(D fælles Dti)/P(Dti)
Simpel optælling, alle udfald har lige stor sandsynlighed, giver 13/27.
Det er faktisk det er er gjort i artiklen.
Nå betinget sandsynlighed var jo også svært

  • 0
  • 0

Sandsynligheden for to gange krone er 1/4, hvis man kaster to mønter.

Sandsynligheden for to gange krone er 1/3, hvis man kaster to mønter - og ved, at en af dem er krone.

Sandsynligheden for to gange krone er 1/2, hvis man tegner et kryds på den ene mønt, kaster to mønter og får at vide, at mønten med krydset er krone.

Så jo, viden ændrer sandsynlighederne.

  • 0
  • 0

Det er jo ikke nogen ny opgave.
Den står i mindst to bøger (Den meget anbefalelsesværdige "The Drunkard's Walk" er den ene af dem)
Jeg plejer at bruge følgende eksempel (fra den anden bog) efter jeg har gennemgået Monty Halls paradoks og opgaven med 3 børn:
A og B spiller kort. A spørger B om hun har en konge svaret er ja. Der er en sandsynlighed for at B har mindst en konge til på hånden, lad os kalde den for p1.
Ny situation. A spørger B om hun har spar konge på hånden. Igen er svaret ja. Der er igen en sandsynlighed for at B har mindst en konge til. Lad os kalde den for p2.
Det overrasker de fleste, at p1 ikke er lig p2.
I øvrigt er det værd at nævne at Paul Erdös selv efter at have fået forklaret Monty Hall problemet, ikke ville acceptere, at det ikke er 50-50.
Marilyn Vos Savant blev også bestormet af vrede læsere (en del af dem var matematikprofessorer!) efter hun skrev at det ikke var 50-50.

  • 0
  • 0

I den ånd opgaven er givet, er det klart at sandsynligheden for en dreng og en pige er lige stor. Tilsvarende er sandsynligheden for at blive født på en given ugedag 1/7. Dvs. for det ældste barn er hver af de 14 muligheder for kombination af køn/ugedag lige stor. Det samme gælder for det yngste barn (og de er ikke født samtidigt).

Dvs. for kombinationen af begge børn er der 14x14 = 196 mulige udfald, som alle er lige sandsynlige (og summen er 1). Disse kombinationer kan overskueligt gengives i en tabel. For en god ordens skyld er det ældste barn øverst, det yngste barn til venstre.

Hvis vi ved, at det ene barn er en dreng, reduceres udfaldsrummet (den grå del udgår); der er nu kun 147 muligheder tilbage med den viden vi har (det er ligesom det, der ligger i begrebet sandsynlighed). Dette er de røde og grønne felter. De grønne felter viser nu de udfald, hvor der er to drenge – 49 felter, eller 1/3 af udfaldsrummet (hvor alle muligheder er lige sandsynlige). Ergo er der 1/3 sandsynlighed for 2 drenge, når vi ved han har en dreng. Se tabellen her: http://micki.dk/1.jpg

Næste eksempel (tabel her: http://micki.dk/2.jpg):
Hvis vi ved, at det ene barn er en dreng født på en tirsdag, reduceres udfaldsrummet (den grå del udgår); der er nu kun 27 muligheder tilbage med den viden vi har. Dette er de røde og grønne felter. De grønne felter viser nu de udfald, hvor der er to drenge – 13 felter, eller 13/27 af udfaldsrummet (hvor alle muligheder er lige sandsynlige). Ergo er der 13/27 sandsynlighed for 2 drenge, når vi ved han har en dreng.

  • 0
  • 0

A og B spiller kort. A spørger B om hun har en konge svaret er ja. Der er en sandsynlighed for at B har mindst en konge til på hånden, lad os kalde den for p1.
Ny situation. A spørger B om hun har spar konge på hånden. Igen er svaret ja. Der er igen en sandsynlighed for at B har mindst en konge til. Lad os kalde den for p2.
Det overrasker de fleste, at p1 ikke er lig p2.
I øvrigt er det værd at nævne at Paul Erdös selv efter at have fået forklaret Monty Hall problemet, ikke ville acceptere, at det ikke er 50-50.
Marilyn Vos Savant blev også bestormet af vrede læsere (en del af dem var matematikprofessorer!) efter hun skrev at det ikke var 50-50.

Glimrende eksempel der illustrerer det samme som den oprindelige opgave, og at det er vigtigt at værdien af den ekstra attribut vælges uden kendspab til og der vil blive svaret ja eller nej. Hvis vi ændrer 2. situationen til:

Ny situation. A spørger B om hun har en konge og beder hende i så fald om at oplyse farven.
B svarer ja, jeg har spar konge.

Så ville p1 = p2.

  • 0
  • 0

Hej Jens

Jeg er glad for, at vi er enige om, at det er ligegyldigt, om drengen er født en tirsdag eller en hvilken som helst anden ugedag.
Det vil altså sige, at resultatet ifølge Foshhe skulle være 13/27 uanset hvilken ugedag drengen er født. Men det betyder jo, at resultatet skulle være det samme som i hans første udregning, som jo forudsætter, at vi ikke kender ugedagen, og som giver resultatet 1/3. Derfor er der en modstrid, som jeg ikke forstår, at du kan benægte.

Mvh.

Tom

  • 0
  • 0

I første del viste jeg at fædre med to drenge har dobbelt sandsynlighed for at blive indregnet i populationen af fædre med mindst én dreng født på en tirsdag. Dette illustreres også af Kim Bygums tabeller.

Grunden til at det ikke bliver 1/2, men kun 13/27, skyldes det faktum at lige præcis fædre med 2 drenge født på tirsdage ikke får fordoblet deres sandsynlighed for at blive indregnet i populationen, for de blev indregnet med den første dreng født på en tirsdag og fik ikke chancen med andet barn. Dermed bliver populationen på 27 kombinationer fremfor 28, og med 13 succeser fremfor 14.

  • 0
  • 0

Ny situation. A spørger B om hun har en konge og beder hende i så fald om at oplyse farven.
B svarer ja, jeg har spar konge.

Så ville p1 = p2.

Netop, og heri ligger noget vigtigt i mange folks misforståelse af den oprindelige opgave; det virker som om mange antager at oplysningen om "født på en tirsdag" er af denne karakter, dvs. en efterfølgende oplysning som derfor ikke skal tages hensyn til i beregning af sandsynligheden.

Men det er jo en a priori-oplysning, som opgaven skal forstås, hvilket gør hele forskellen.

  • 0
  • 0

Til gengæld er sandsynligheden naturligvis 1/2 for, at en søn i tobørns-familie har en bror – men det er altså et helt andet spørgsmål.

Et helt andet spørgsmål?
Ja, ordlyden er forskellig!
Men det er godt nok subtilt at skulle skelne mellem sandsynligheden for, at en tillfældig dreng i en tilfældig tobørnsfamilie har en bror eller ej, - og om en tilfældig far for en tobørnsfamilie, indeholdende i alt fald én dreng, har en dreng mere eller ej.
Jeg formoder det ikke ændrer på den tilfældige drengs sandsynlighed for at have en bror, at han selv er født på en tirsdag...
Debatten viser vist at vi, der holder på de 1/2 godt kan fylde en båd...
Ellers kan vi hente hjælp hos vores engelsksprogede meddebatører ovre på Axel Bellos blog.

  • 0
  • 0

Det sjove er at her går Ramskov galt i byen - den nævnte sandsynlighed er også 1/3...
Hvis den skulle være 50% skulle der have stået "førstefødte" eller "får en bror" - eller noget andet der angiver sønnens position i søskendeparret.

Til alle 50%-fetichisterne - kig på Kim Bygums 2 tabeller på http://micki.dk/1.jpg og http://micki.dk/2.jpg så giver det hele mening, incl. 13/27.
Det forudsætter at man er åben for at der er en mulighed for at det ikke er 50% eller 1/3 for den sags skyld...

  • 0
  • 0

Med betydelig risiko for ikke at have forstået noget ...

Gary Foshee stillede følgende opgave til mødedeltagerne: »Jeg har to børn. Det ene er en dreng født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, jeg har to drenge?«

Jeg formoder at opgaven skal forstås således at Foshee allerede har fået sine to børn og at han ikke specielt har blandet sig i tidspunkt for fødsel samt at der er en lige fordeling på kønnet.
Foshee har ikke skabt 'udfaldet' med nogen form for selektion og selvsagt udtaler han sig først om køn og ugedag efter at 'stikprøven' ;-) er udtaget.

Vi skal så nu udtale os om sandsynlighed for om begge børn er drenge og her rammer Poul Christiansen jo helt præcis med 'Svaret er enten 0 eller 1'.
Udfaldet er allerede en realitet og al snak om sandsynlighed er meningsløs.

Men historien drejer sig jo netop ikke om Foshee's to børn men om et spil med nogle givne regler, hvor vi så skal fastslå en eksakt sandsynlighed for spiludfald.
Vi kan hurtigt blive enige om at spillet grundlæggende var det samme hvis det var eksempliciceret med særlig præference for to piger når den ene var pige.
Eller at det nu i stedet var onsdag barnet var født.
Lad os så derfor lave et simpelt spil som opfører sig som eksemplet fra Foshee

Vi laver to bunker med spillekort - i hver hver bunke er der et rødt og et sort.
Vi trækker nu et tilfældigt kort fra hver bunke.

I stedet for af bede Foshee kigge et kort tager vi i stedet blot at vender et tilfældigt og så spørge om det andet er samme farve.
Her vil man hurtigt kunne erkende at denne sandsynlighed er ½.

Nu kan vi så udvide hver bunke til 7 røde og 7 sorte kort hver især med værdier fra et til syv.
Vi udtager et kort fra hver bunke og kigger farven og værdien på det ene af dem.
Ændrer det noget?
Næ, sandsynligheden for samme farve på det andet kort er stadig ½

Alle disse krumspring omkring 1/3 og 13/27 er kun relevante hvis Foshee har været 'agent' under stikprøveudtagningen og sikret sig at kassere alle udfald som ikke matchede nogle a priori besluttede kriterier som han senere havde tænkt sig at fremlægge.
Men denne situation synes ingenlunde at have været tilfældet i hans eksempel med sine to børn.
Hele miseren består i, hvorvidt der ses på spillet i en a priori betragtning, altså at det er drenge og tirsdage vi går efter.
Men eksemplet er ikke et a priori spil - vi har blot en 'agent' som løfter sløret for en del af fakta omkring et givet udfald.

  • 0
  • 0

I opgaven ved man at den ene, eller den anden dreng(førstefødte/sidstfødte) er en dreng. Ergo er der naturligvis 1/3 mulighed for to drenge. Hvis man ikke tror det så find en mønt og slå plat/krone med den 2 gange i træk. Dette kan så gentages så mange gange som muligt, og tæl så mulighederne op. NB: Husk at slette alle plat/plat eller alle krone/krone.

Hvis nu jeg lod mig rive med og accepterede, at muligheden for 2 drenge var ½, ville samme regler vel gælde for f.eks 10 børn, altså at der var samme sandsynlighed for at få 5 drenge og 5 piger, som der var for at få 10 drenge? Lad os lige se på den en gang:
Hvis manden fortæller, han har 10 børn og en af dem er en dreng, hvad er da sandsynligheden for at all 10 er drenge? Der må være 10 muligheder, ifølge denne teori, da der jo ikke skal tages højde for rækkkefølgen. (1D9P, 2D8P...9D1P,10D) Og sandsynligheden for 10 drenge bliver dermed 10 %!, da alle muligheder ifølge denne tankegang er lige sandsynlige. Nu er det de færreste, der kender folk med 10 børn, men prøv igen mønten:Vælg først eksempelvis krone som pige og udeluk kast, hvor det skulle lykkedes dig at få 10 * krone. Kast den 10 gange i træk og skriv antallet af krone og plat ned og se om du får 10*plat i 10 % af tilfældene.
Til sammenligning vil den anden anden metode, som jeg vil mene er korrekt, tage højde for rækkefølgen og der vil nu være 99 muligheder(n^2-1, hvor n er antallet af børn for n= 2 er der altså 3 muligheder) og chancen for 10 *plat er dermed ca 1%.

  • 0
  • 0

At dømme efter debatten her, må der være mange (alle 50-procenterne), som gerne vil spille følgende spil med mig.

Vi tager to mønter. Jeg kaster dem begge uden min modspiller ser dem. Jeg kigger på dem og kan gøre et af to:

  1. Hvis begge mønter er plat, kaster jeg mønterne om.

  2. Hvis en eller begge mønter er krone, går spillet videre, og mønterne vises.

  3. Hvis resultatet er krone + krone får min modspiller 110 kroner af mig.

  4. Hvis resultatet er krone + plat, får jeg 100 kroner af min modspiller.

Lyder det ikke som et fordelagtigt spil for alle jer, der i det helt indledende spørgsmål mener, at sandsynligheden for to drenge er ½? I vil jo i det lange løb tjene en femmer pr. spil, hvis jeres argument er rigtigt.

Jeg vil også gerne spille og føler mig ganske overbevist om, at jeg tjener 30 kr. pr. spil. (På tre spil vil jeg vinde 200 og tabe 110).

Som en anden vist også skrev tidligere, handler opgaven i virkeligheden om odds for et væddemål - børnene er jo født, ligesom mønterne er kastet.

  • 0
  • 0

Ramskov begynder med en situation, hvor han siger, der er 4 muligheder pd, dp, dd og pp. derefter siger han, at muligheden pp ikke eksisterer, og derfor er der kun tre muligheder tilbage. pd, dp og dd. Men er det rigtigt ?
Sagen er jo, at pd betyder, at pigen er født før drengen, og dp betyder, at drengen er født før pigen. dd betyder, at det er ligegyldigt, hvilken dreng, der er født først, og pp betyder, at det ligegyldigt, hvilken pige, der er født først.
Men nu indfører han en ekstra oplysning, nemlig d(ti), den ene dreng er født på en tirsdag, og så er det jo ikke mere ligegyldigt, om man har kombinationen d(ti)d eller kombinationen dd(ti). De to kombinationer er jo ikke identiske. Hvis man mener noget andet, må man jo forklare, hvorfor d(ti)p er forskellig fra pd(ti), medens d(ti)d ikke er forskellig fra dd(ti).

  • 0
  • 0

Well - Jan Broch Nielsen, nu er dit punkt 1 ikke et element som på nogen måde indgår i Foshee's opgave.

Det er udelukkende noget du, på linie med Ramskov og mange andre, selv har dedukteret.

Og i øvrigt dedukteret forkert!

  • 0
  • 0

Der er tydeligvis uenighed om tolkningen af opgaven, og vist også en del fejlagtige sammenligninger med møntkast og lignende. Måske skulle opgaven have været stillet som: "Hvad er sandsynligheden for at en mor, som har født to børn, har netop to drenge hvoraf mindst een af dem er født en tirsdag?" Så burde man kunne overbevise sig selv, f.eks. med Kims nydelige tabel, om at resultatet er givet korrekt af opgavestilleren.

I stedet spekuleres der i at faren nødvendigvis må vide hvilke køn hans børn har, men det er jo ikke det der er essensen i opgaven, men i stedet af finde sandsynligheden for netop den givne fordeling.

Hvis man også er uenig i resultatet af Monty Hall opgaven, bør man nok starte der, Man selv kan klippe to geder og en ferrari (eller hvad der nu spilles om) ud af et blad og prøve sig frem. Det springende punkt er her er quizmasteren altid viser en ged, altså ikke en tilfældig låge.

  • 0
  • 0

Hej Tom

Du skriver:

Det vil altså sige, at resultatet ifølge Foshhe skulle være 13/27 uanset hvilken ugedag drengen er født. Men det betyder jo, at resultatet skulle være det samme som i hans første udregning, som jo forudsætter, at vi ikke kender ugedagen, og som giver resultatet 1/3. Derfor er der en modstrid, som jeg ikke forstår, at du kan benægte.

For at forstå, at der ikke er en modstrid, skal man nok lige have den præcisering med som Rune påpeger et sted ovenfor: Foshee skal antages at blive spurgt: "Har du en dreng født på en tirsdag?" og så svare ja. Givet det svar, er der 13/27 sandsynlighed for, at han har to drenge. Den sandsynlighed er den samme, hvis tirsdag erstattes med en anden ugedag. Grunden til at dette ikke medfører modstrid med de 1/3 af alle familier med mindst en dreng, der faktisk har to, er følgende: Har man to drenge født på forskellige ugedage, ja så kan man svare ja til spørgsmålet formuleret med to forskellige ugedage! Man kan altså ikke dele folk op efter hvilken ugedag, de vil svare ja til at have fået en dreng på: Nogen vil så optræde i to grupper.

Præciseres den oprindelige formulering i stedet til: Foshee vælger tilfældigt en ugedag, på hvilken han har fået et drengebarn og nævner denne, ja så er oplysningen uden indflydelse og vi beholder de 1/3 som vores estimat.

Uffe

  • 0
  • 0

Måske skulle opgaven have været stillet som: "Hvad er sandsynligheden for at en mor, som har født to børn, har netop to drenge hvoraf mindst een af dem er født en tirsdag?"

Ja, det ville da have være meget lettere at nå til enighed om.
Men så ville opgaven jo heller ikke have været så interessant.

Måske kunne du, eller Uffe Poulsen, prøve at give et bud på en mere systematisk spilbeskrivelse som matcher det Foshee har udsat os for.

Din omskrivning er i hvert fald ikke i tråd med Foshee's familiebeskrivelse.

  • 0
  • 0

Jeg tror ikke jeg er den rette til at give nogen stringent opstilling, giver bare mit besyv med, Søren :-)

Jeg kan godt se at hvis man læser opgaven som: "Jeg har allerede en dreng der er født en tirsdag; hvad er sandsynligheden for at det næste barn er en dreng", ja så havner man på 50 %, men alle er vist enige om det ikke er det der spørges om. Jeg læser den umiddelbart som jeg har beskrevet ovenfor, altså to drenge hvoraf mindst een er født på en tirsdag. Hvis man tolker det anderledes, så får man et andet resultat. Hmmm... men spændende læsning.

  • 0
  • 0

Et resultat endnu nærmere 1/2 end 13/27 får man, hvis man ændrer startoplysningen fra født på en tirsdag til født juledag.
Så ændres (27-1)/(47-1)=13/27 til
(2365-1)/(4365-1)= meget tæt på 1/2

(idet jeg her ser bort fra år med 366 dg)

Sjovt er det godt nok, at sandsynligheden ændres fra 1/3 til 1/2, når "(mindst) en dreng" ændres til "(mindst) en dreng født juledag"!

  • 0
  • 0

Hvis jeg ellers har forstået Karl Popper ret, så er vores opgave her ikke at eftervise at Foshee har ret, men at betvivle og falsificere det.
Til dette formål kan man vel skifte Point of View og se det fra den med sikkerhed eksisterende søns side.
Med andre ord: Drage nogle konsekvenser af 13/27-postulatet og se om de holder vand.
Vil nogen indlade sig på at få andet end 50% sandsynlighed ud af bror/ikke-bror forholdet set fra sønnens side?
Er det urimeligt at forlange sagen skal kunne ses fra sønnens side, med mindre selvfølgelig spørgsmålet i sin grundsubstands er uklart formuleret?

  • 0
  • 0

Hvis jeg ellers har forstået Karl Popper ret, så er vores opgave her ikke at eftervise at Foshee har ret, men at betvivle og falsificere det.
Til dette formål kan man vel skifte Point of View og se det fra den med sikkerhed eksisterende søns side.
Med andre ord: Drage nogle konsekvenser af 13/27-postulatet og se om de holder vand.
Vil nogen indlade sig på at få andet end 50% sandsynlighed ud af bror/ikke-bror forholdet set fra sønnens side?
Er det urimeligt at forlange sagen skal kunne ses fra sønnens side, med mindre selvfølgelig spørgsmålet i sin grundsubstands er uklart formuleret?

Det er naturligvis rimeligt at se det fra den ene søns synspunkt

Hvis denne søn har en søster er der 1/7 sandsynlighed for at hans far har mindst 1 søn født på en given ugedag, nemlig denne søn selv.

Hvis han istedet har en bror er der 2/7 -1/49 sandsynlighed for at hans far har mindst 1 søn født på en given ugedag, enten ham selv, hans bror eller dem begge.

Derfor ændres sandsynligheden for en bror også fra hans synspunkt fra 1/3 til 13/27 når en given ugedagsattribut indføres

  • 0
  • 0

Fejlslutningen omkring i denne lange diskussion kommer fra at man ikke forholder sig til at pige-pige udfaldet smides væk som en del af Foshee opgaven.

Dette har en ganske enkel konsekvens, hvis man hæver blikket inden man regner sandsynligheder.

I et udfaldsrum, hvor PP er smidt væk, vil man kun have udfaldene DD, DP og PD, og de er hver især lige sandsynlige.
Dette betyder at fordelingen dreng/pige i stikprøvepopulationen er forskudt i drenge retningen.
Dette kan ses ved de tre udfald, hvor der er dobbelt så mange drenge som piger.
Dette betyder at vi ikke skal regne dreng/pige hver med ½ sandsynlighed men derimod dreng med 2/3 og pige med 1/3.

Nu kan analysen gøres a priori baseret svarende til de lange udredninger der er lavet omkring 1/3 og 13/27 argumenterne.

Med de nye grundlæggende sandsynligheder får vi DD med 4/9 , PP med 1/9 og DP med 4/9 sandsynlighed.
Her ses så med al tydelighed at der er samme sandsynlighed for DD som for DP.

Altså, når Foshee som agent har forskudt de grundlæggende sandsynligheder ved at smide PP udfaldet ud af stikprøvepopulationen, når vi til den ½ som alle for længst burde have forvisset sig om.

QED

  • 0
  • 0

Jeg har fulgt med i debatten om dette sjove spørgsmål, og kan ikke sige andet end at Gary er en udmærket tryllekunstner. Han sidder nok og griner i skægget et eller andet sted.
Først får han Jens Ramskov til at hoppe på 1/3 sandsynlighed ved at lade muligheden en pige og en dreng tælle dobbelt, hvor det siger sig selv at såfremt rækkefølgen er uden betydning kan de kun tælle 1 gang, ergo 50 % sandsynlighed. Derefter blander han et totalt ligegyldig tirsdag ind i historien, og kommer ud med 13/27, hvorefter han får folk til at fokusere på forskellen mellem 1/3 og 13/27.
De 13/27 kommer han frem til ved dette resonnement

"Det første barn er en dreng født på en af ugens syv dage - det andet barn er DTi. Det er nu kun seks nye kombinationer, idet kombinationen med begge drenge født på en tirsdag allerede er medtaget. 13 af de i alt 27 kombinationer består af to drenge. Så sandsynligheden er altså 13/27, som er meget forskellig fra 1/3."
Her ligger fidusen i at han udelukker de to tirsdage, men dem har han taget fra et andet sæt forudsætninger, så det er forkert at udelukke dem.
Hvis vi ikke bider på krogen får vi 14/28, og så er den hjemme.
Godt klaret Gary.

  • 0
  • 0

Frem for QED er man fristet til at foreslå at der skrives "SøS" eller "PAH" eller andet lignende ;-))
Der er netop tale om en manglende forståelse, eller distinktion, i forhold til a'priori begrebet! Hvordan ens forestilling om odds ændres fra 1/4 imod 1/2 når der kommer flere initiale (a'priori) informationer til.
PP forsvinder ikke fuldstændigt ud af bevistheden (momentant) - den bliver gradvist "tvunget" ud som de tidligere eksempler med 1/365 også viser.

  • 0
  • 0

Så du mener at man skulle medtage (dreng født på to tirsdage) + (dreng født på to tirdage), BEGGE i den samlede population???

Du er ikke matematiker eller blot ingeniør - vel???

  • 0
  • 0

Utroligt det her har gået hele jorden rundt. Det får mig til at tænke på religion for pøblen.

Raymund Nielsen er inde på det rigtige.

»Jeg har to børn. Det ene er en dreng født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, jeg har to drenge?«

Lige til metoden:
Hans ene dreng er givet. Det efterlader et barn der kan være en dreng eller en pige. Det giver ½.

Først og fremmest:
”Det ene er en dreng født en tirsdag.” Han kan både være ældst og yngst.
Så som udgangspunkt er rækkefølgen ligegyldig, men kan selvfølgelig godt tages med. (Det er heri begge Gary Foshee's fejl består)

Gary Foshee's første fejl.

Hvis vi i første omgang glemmer tirsdags-oplysningen, er svaret let at finde. Foshees børn er en af fire kombinationer DP, PD, DD eller PP, som alle er lige sandsynlige, hvis vi slet ingen oplysninger har om børnene. Da vi ved, at det ene barn er en dreng, kan vi udelukke kombinationen PP. Ud af de tre tilbageværende kombinationer er den ene DD. Så sandsynligheden for, at Foshee har to drenge, er 1/3.

Idet at rækkefølgen ligegyldig, er DP og PD det samme. Derfor bliver det til ½ for to drenge.

Hvis du gerne vil have rækkefølgen med bliver det således. Æ for ældst, Y for yngst.
DÆ-PY, PÆ-DY, D1Æ-D2Y, D2Æ-D1Y, P1Æ-P2Y og P2Æ-P1Y. Uden dobbelt pigerne bliver det DÆ-PY, PÆ-DY, D1Æ-D2Y, D2Æ-D1Y. Det giver ½.

Nu til Gary Foshee's anden fejl.

Det første barn er DTi - det andet barn er en pige født på en af ugens syv dage. Det er syv kombinationer.

Det første barn er en pige født på en af uges syv dage - det andet barn er DTi. Det er endnu syv kombinationer.

Det første barn er DTi - det andet barn er en dreng født på en af ugens syv dage. Det er yderligere syv kombinationer.

Det første barn er en dreng født på en af ugens syv dage - det andet barn er DTi. Det er nu kun seks nye kombinationer, idet kombinationen med begge drenge født på en tirsdag allerede er medtaget. 13 af de i alt 27 kombinationer består af to drenge. Så sandsynligheden er altså 13/27, som er meget forskellig fra 1/3.

Nu tager han lige pludseligt højde for rækkefølgen. Derfor for han de 4 inddelinger som jeg allerede har været inde på: (DÆ)-PY, PÆ-(DY), (D1Æ)-D2Y, D2Æ-(D1Y), her med parentes om Dti. Som giver ½.

Det er så her at han snyder sig selv og åbenbart en stor gruppe mennesker.

Det han faktisk gør er at starte med at sige at rækkefølgen er væsentlig, men ophæver den når det gælder samme dag. (D1Æ)-D2Y(tirsdag) er ikke lige med D2Æ(tirsdag)-(D1Y).

Så nej, der er ikke kun seks nye kombinationer men også syv.
Så det ender med 14 af de i alt 28 kombinationer. Det giver også ½.

Så selvom sandsynlighedsregning nogle gange, især for den mindre intelligente hjerner, kan virke helt mærkelig. Hænger sandsynlighedsregning og intuition i dette tilfælde helt fint sammen.

  • 0
  • 0

At en masse uddannede menneske bruger tid på en så ligegyldig opgave. Det eneste forhold man efter min mening kan medregne er den statistiske forskel på antallet af fødte piger kontra antallet af fødte drenge. Drenge 51% piger 49%

  • 0
  • 0

Om jeg er matematiker eller ej kan vel være det samme. Sagen er at matematik har den begrænsning at den kun kan bruges til at regne på noget der er sat op ved hjælp af logik. Hvis logikken er forkert vil det matematiske resultat også blive forkert.
Hvis i ikke vil at vi tager de to tirsdagsdrenge med to gange, er den logiske konsekvens at en af hvert køn, begge født på en tirsdag, også kun tæller en gang.
Så har vi 13/26. For min skyld ingen alarm, der er frit valg mellem 13/26 og 14/28.
Det har alle dage været tryllekunstnerens fidus at få folk til at fokusere på noget uvedkommende, og det er i den grad lykkedes for Gary. Tillykke til ham.

  • 1
  • 0

Med DÆ-PY, PÆ-DY, D1Æ-D2Y, D2Æ-D1Y, P1Æ-P2Y og P2Æ-P1Y opstillingen er det pludselig mere sandsynligt at få to børn af ens køn end af forskelligt køn. Det giver vist ikke mening... Hvis man har to drenge vil den ene nødvendigvis være ældre end den anden.

  • 0
  • 0

Hvis vi nu siger, at runder med plat-plat annuleres (i stedet for at blive spillet om), vil du så spille?

Og hvorfor ikke?

Nej, naturligvis ikke.

Og det er fordi dit spil er et andet end Foshee's og at sandsynligheden i dit spil er 1/3.

Men prøv nu at se på dine to mønter og udtal dig på samme møde som Foshee gør det.
Du må gerne selv vælge, hvornår det er krone eller plat som er din præference.

  • 0
  • 0

Med det forbehold at jeg ikke har læst alle indlæggene (der orker jeg ikke), vil jeg mene, at ingen af jer har ret!
Sagen er den at en vis procentdel af fødslerne er enæggede tvillinger, og de er jo som bekendt altid af samme køn! Med de oplysninger der er i regnestykket, kan man ganske enkelt ikke give noget præcist svar, da procentdelen af enæggede tvillingefødsler ikke er oplyst!!!

  • 0
  • 0

Här begår du ett fel
"Hvis du gerne vil have rækkefølgen med bliver det således. Æ for ældst, Y for yngst.
DÆ-PY, PÆ-DY, D1Æ-D2Y, D2Æ-D1Y, P1Æ-P2Y og P2Æ-P1Y. Uden dobbelt pigerne bliver det DÆ-PY, PÆ-DY, D1Æ-D2Y, D2Æ-D1Y. Det giver ½."

Om du vill göra så måste du ha med D1Æ-P1Y D2Æ...osv.. det ger 1/3...

Om du vill kan du se problemet så här:
Du har ett mynt, på ena sidan står det P på den andra D.

Nu kastar du myntet 2 ggr och funderar på hur många lika sannolika kombinationer du kan få..
P-D P-P D-D D-P om du vet att du ett av kasten får D ger det, P-D D-D D-P... 1/3

Gör ett snarlikt problem, ge drengerne och pigerne namn: Per Adam Eva Lisa, då får du sex. kombinationer. PA PE PL AE AL EL, vet du att en är dreng ger det 1/5 att begge är drenger... eller 1/6 om du inget vet.. he he , men det är ett helt annat problem...

Så kan du gå vidare med myntet med sidorna P och D och se vad det blir om minst ett D är sannolikhet 1/7..
Då får du 13/27
Eller?

  • 0
  • 0

Har du overvejet, hvad dit resultat betyder for antallet af drengebørn i verden?

Ud af alle familier med netop to børn har 75 procent en søn. Og så skulle halvdelen af dem altså have en søn mere.

Det giver 1.125 sønner i 1.000 tobørnsfamilier. Af symmetrigrunde må der så også være 1.125 døtre, så de 1.000 tobørnsfamilier i alt har 2.250 børn - og dermed ikke er tobørnsfamilier alligevel.

  • 0
  • 0

Tirsdagsdrengeproblemet kan forstås ud fra et ret enkelt argument.

At have en søn, født på en tirsdag, er mere sandsynligt i en 2-drengefamilie end i en 1-drengefamilie - der er jo to drenge, som begge kan være født en tirsdag.

Altså må der være større sandsynlighed for, at vi har fat i en to-drengefamilie, når det er kendt, at den ene dreng er født en tirsdag (eller noget andet for den sags skyld er kendt - forskellen i sandsynlighed afhænger af sandsynligheden for den kendte egenskab).

Det viser så også, hvorfor svaret på den indledende opgave uden ugedage IKKE kan være ½. Hvis det var tilfældet, skulle sandsynligheden for to drenge jo være over ½, hvis den ene er født tirsdag.

  • 0
  • 0

Hver gang en familie skal have en dreng, får de en syvfladet terning til at kaste med for at finde fødselsugedagen. Hvad er sandsynligheden for at komme blandt de udvalgte efter Foshees første screening: Man skal slå en toer for tirsdag.
Familier med én dreng har hermed én terning at kaste med, familier med to drenge har tilsvarende to terninger at kaste med. Dette gør, at todrengsfamilierne har cirka den dobbelte sandsynlighed for at være blandt de udvalgte, og derfor er der efter Foshee’s første screening en stor overhyppighed af todrengsfamilier. At sandsynligheden ikke er helt dobbelt så stor, beror på at det kun giver enkelt, og ikke dobbelt gevinst at slå to toere.

HansLarsen

  • 0
  • 0

@ Jan Broch Nielsen

Vi tager to mønter. Jeg kaster dem begge uden min modspiller ser dem. Jeg kigger på dem og kan gøre et af to:

  1. Hvis begge mønter er plat, kaster jeg mønterne om.

  2. Hvis en eller begge mønter er krone, går spillet videre, og mønterne vises.

  3. Hvis resultatet er krone + krone får min modspiller 110 kroner af mig.

  4. Hvis resultatet er krone + plat, får jeg 100 kroner af min modspiller.

Det er rigtig dejligt at du med på at udforske opgaven i en simplificeret udgave som ikke involverer Foshee's børn.
Det bliver så makabert når man skal forholde sig til de mange udfald med to piger .

Et simpelt spørgsmål til dig:
Kan vi blive enige om at punkt 1 i dit spil ikke matcher Foshee's beskrivelse?

Jeg har tidligere beskrevet et spil som matcher Foshee setuppet - kan du anerkende dette?

Kan du beskrive nogle a priori karakteristika for den subpopulation med to børn og mindst en dreng?

  • 0
  • 0

Nu er jeg ike nogen ørn til at læse java, jeg er mere hjemme i pascal og sql, men jeg vil gøre et forsøg på at kommentere koden som jan har skrevet.
han skriver
"Er du stadig ikke overbevist vil jeg bruge det ultimative våben. Argument ud fra kode i stedet for ord. Kigger man på den yderste if-sætning:

1.if((k1 == 1 &&d1 == 2) || (k2 == 1 &amp&amp d2 == 2)){
2. if(k1 == 1 && k2 == 1){
3. // Begge børn var drenge
4. }
5.}
Når der står || i en if-sætning ved vi at sætningen er sand hvis enten det der står til venstre eller det der står til højre er sandt. Højresiden bliver således kun evalueret hvis venstresiden er falsk.
Er venstresiden (k1 == 1 && d1 ==2) sand, så er der derefter 7 muligheder for drenge, samt 7 muligheder for piger. Er venstresiden falsk, og højresiden (k2 == 1 && d2 == 2) sand er der nu kun 6 muligeder for dreng, da vi ved at venstresiden var falsk, og en eventuel dreng altså ikke kan være født en tirsdag. men der er stadig 7 muligheder for piger. Altså har vi 27 muligheder, hvoraf 13 er drenge. 13/27

For mig at se ligger humlen i at han tester på tirsdag på begge sider samtidig og dermed får de to tirsdagsdrenge underrepræsenteret endnu en gang.
Det kunne være sjovt om han lavede en lignende simulering uden tirsdagen, mon han kommer til 1/3 eller 1/2?

For mig at se er det interresante med denne diskussion hvordan Ramskov redder sig ud af den,
han har i min verden kun 2 muligheder:
1, Han indrømmer at han er hoppet på limpinden.
2, Han tilkendegiver at han har optrådt som tryllekunstnerens assistent.
Til dem der har lyst til at lege videre foreslår jeg følgende 2 varianter.
1, drengen er født om dagen.
2, drengen er født kl 12.00.00 den 29 februar.

  • 0
  • 0

Skift point og view til børnenes mor!
Det er HENDE, der kaster mønten i form af tilfældigheden i udfaldet af hendes fødselsveer.
Der er således kun tale om én mønt, der ER kastet 2 gange, når vi får lov at kigge indenfor hos familien.
Den ene gang (vi ved ikke hvilken) blev det P (for Per).
Hvilken sandsynlighed er der for at andet kast resulterede i Dorthe eller Poul?

  • 0
  • 0

Morten Knudsen:

Så selvom sandsynlighedsregning nogle gange, især for den mindre intelligente hjerner, kan virke helt mærkelig. Hænger sandsynlighedsregning og intuition i dette tilfælde helt fint sammen.

Hvis jeg var dig, ville jeg skynde mig at dukke mig inden dén bemærkning kommer fløjtende tilbage i hovedet på dig!

  • 0
  • 0

hey hov, hvad sker der lige her. professorer og kloge mennesker? der er ingen grund til at lave overkill på sådan et spørgsmål. hvis vi prøver at kigge på spørgsmålet kan vi hurtigt komme frem til at der kun er en variabel, og den er om det sidste barn er en dreng eller en pige(vi må gå ud fra at tvekøn ikke bliver talt med, så vidt vides er det også forholdsvist sjælendt at de popper frem). dette skyldes at vi har fået angivet at den ene er en dreng, og tirsdagen har ingen indflydelse på udfaldet af det andet barn(hvis i mener andet skal i være velkomne til at argumentere for det modsatte, og gør det venligst så almindelige mennesker kan forstå sammenhængen). som jeg ser det er tirsdagen kun med for at forvirre!

da vores eneste variable kun har to udfaldsmuligheder er det derfor 50/50!

  • 0
  • 0

Jeg vil betro jer en hemmelighed.

Jeg har to børn. Og et af dem er en dreng.

Nu er jeg rigtig glad, fordi så mange kan fortælle mig at sandsynligheden for at mit andet barn er en pige er dobbelt så stor som at det er en dreng.

Jeg er særlig glad, fordi jeg ønsker mig en pige.
Og jeg har hørt fra fødegangen at jeg inden for den sidste time er blevet far til et velskabt barn. Men de glemte at sige kønnet.
Men jeg er ikke bekymret!

Ups - nu er jeg alligevel, for nu har jeg fortalt jer at jeg har et barn som er født inden for den sidste time.

Og nu er der pludselig kun 50% chance for at jeg får min pige :-(

Just joking - det er ikke inden for den sidste time, men nu siger jeg ikke mere. Jeg foretrækker at have 2/3 chance for at skulle ud at se en datter :)

Kære venner - Foshee har sgu narret alle trediedelene.

  • 0
  • 0

Nu begynder det at blive interresant. Jeg har lavet en simpel excel random simulering af 2000 familier med 2 børn.
Det giver ca 500 med 2 piger, ca 500 med 2 drenge, og ca 1000 med en af hver.
Det er også fint nok, for det vi har lavet er gældende for familier hvor vi intet ved i forvejen.
Hvis vi derimod fastlåser barn 1 til at være en dreng får vi ca 1000 familier med en af hver, og 1000 familier med 2 drenge.
Sådan som jeg læser Frederik Backes forsøg, svarer det til første del af mit.
Lad mig høre din mening Frederik. Det ville jo være rart hvis vi kunne nå til enighed om 1/3 contra1/2, som en begyndelse.

  • 0
  • 0

Hvis man fastlåser barn 1 til at være en dreng, så svarer det til dette fra artiklen:
"Til gengæld er sandsynligheden naturligvis 1/2 for, at en søn i tobørns-familie har en bror – men det er altså et helt andet spørgsmål "

Vi får oplyst, at barn1 ELLER barn2 er en dreng. Hvilket netop giver de 3 muligheder: DD, DP, PD.

  • 0
  • 0

Du kastar ett mynt två ggr var dag en vecka och det står D på ena sidan och P på den andra.

Utfallsrummet för var dag blir D-P D-D P-D P-P.

Nu ska du i stället bestämma antalet gynnsamma genom antalet möjliga då du enbart vet att någon som kastat mynt på detta vis fått minst ett D en tisdag, så har ett ytterligare slumpmässigt kast givit D eller P.

Då får du 7P som första kast för Dti och 7P som andra kast, så 7D som första kast och Dti som andra men bara 6D som andra och Dti, ty.

Det finns ingen första eller andra för att kasta myntet två ggr samma dag och få samma sida upp bägge gånger.

Jag tror att vi lurar oss genom att se individer, där det kan bara storebror eller lillebror, men om du använder samma mynt och gör två kast med samma resultat, finns ingen turordning.

Nu har problemet övergått till pedagogik och retorik, vilket är mycket mer givande än grundproblemet :o)

  • 0
  • 0

Søren søndergaard:

Just joking - det er ikke inden for den sidste time, men nu siger jeg ikke mere. Jeg foretrækker at have 2/3 chance for at skulle ud at se en datter.

Ja - og 1/3 chance for derefter at opdage at det barn, du allerede har er en dreng!

Ja, jeg véd godt, at det er omsonst og nærmest masokistisk at anføre det:

Da du allerede ved at dit første barn er en dreng, er din sandsynlighed for at det næste barn er en dreng 1/2.

En udenstående som kun ved, at ét af dine børn er en dreng kan kun sige at dit andet barn er en dreng med en sandsynlighed på 1/3.

Forunderligt at det ikke er indlysende, hvis man har læst de første ca. 30 indlæg i denne tråd.

Og forunderligt at mange kan være så skråsikre på deres (fejlagtige!) intuition, når det ovenfor både logisk, beregningsmæssigt, grafisk, ved simulering osv. er eftervist at sandsynlighederne er som oprindeligt anført i Ramskovs artikel: hhv. 1/3 og 13/27.

Og lidt skræmmende at tilsyneladende uddannede og oplyste mennesker kan trodse alle disse fakta og alligevel skråsikkert hævde at verden er som deres intuition tilsiger dem!

Men det var vel egentlig også pointen i artiklen...

  • 0
  • 0

En till...

Nu är det sju träffält som utgör hela träffområdet.

Det finns en behållare med obegränsat med lika många svarta och vita projektiler, som skjuts iväg så de samtidigt träffar målområdet.

Nu vet vi att en vit projektil träffade ett specifikt område.

Då finns inte längre turordningsvariabeln.

Det blir 7 alternativ för den andra projektilen som i sin tur kan vara vit eller svart.

Nu blir det 7gynnsamma/ genom 14 möjliga ...1/2 eller 50%... bara av att jag tog bort turordningen...

Sug på den du Ramskov ;o) och jag hm... ofta är det lärorikare att ha fel än rätt...

  • 0
  • 0

Da du allerede ved at dit første barn er en dreng, er din sandsynlighed for at det næste barn er en dreng 1/2.

En udenstående som kun ved, at ét af dine børn er en dreng kan kun sige at dit andet barn er en dreng med en sandsynlighed på 1/3.

Ja netop. Hvis man ikke kan være enige i denne præcise formulering, så er der nok ikke mere at sige i den sag.

  • 0
  • 0

En meget spændende debat, som faktisk viser sandsynlighedsregningens natur utroligt godt.

Der kan vist ikke længere være nogen tvivl om at den opstillede matematik holder vand. Det er en stor hjælp for overbevisningen at udføre simuleringen og rent faktisk se at tallene passer. Der er dog et problem ved hele scenariet som i mine øjne gør den ellers korrekte matematik ubrugbar.

I sagens natur fortæller sandsynlighedsregning dig kun hvor mange gange du i teorien ville gætte rigtigt hvis du stillede 1000 fædre op ved siden af hinanden og spurgte dem om hvor mange sønner de havde. Forudsætningen herfor ville dog være at de alle havde mindst én søn med fødselsdag på en tirsdag og det er her at "magien" forsvinder.

Ligesom med quiz-showet hjælper det gevaldigt på forståelsen hvis man gør oplysningen mere specifik end en ugedag og f.eks. benytter fødselsdatoen. Hvis man foretager beregningerne vil man da få en sandsynlighed der ligger meget tæt på 50% og årsagen er langt mere åbenlys. Hvis fædrene "udvælges" på en så specifik oplysning som en dato betyder det pludselig rigtigt meget om de har én eller to sønner. Med to sønner er der dobbelt så stor sandsynlighed for at den ene har fødselsdag på den givne dato og fædre med to sønner vil derfor komme til at udgøre en større del af det samlede udvalg.

Det jeg (og tilsyneladende også rigtig mange andre) oprindeligt havde svært ved at acceptere, var at Foshee skulle kunne ændre sandsynligheden for at han havde to sønner, ved blot at opgive en fødselsdag. Det kan han heller ikke, viser det sig, for hvis matematikken skal holde, så må han ikke selv vælge dagen. For at det passer, så skal dagen være fastlagt på forhånd og den skal være valgt uafhængigt af hans sønner. Hvis den valgte dato tilfældigvis passer på én af hans sønner, så vil der rigtigt nok være en god chance for at han rent faktisk har to, men ellers ikke. Ved selv at vælge dagen, kan han ikke medtages i mængden af fædre og matematikken gælder derfor ikke.

Dette er selvfølgelig kun min vurdering og jeg er ingen matematiker, men jeg synes selv at det giver mening :-)

  • 0
  • 0

Han har en dreng Dti. Det andet barn kan være født før eller efter og være en dreng eller en pige.

En pige der er født før: P-Dti
En pige der er født efter: Dti-P
En dreng der er født før: D-Dti
En dreng der er født efter: Dti-D

Er der flere muligheder?

Jeg kan ikke se andet end at det er ½.

Nu med ugedage(for at holde styr på den oplyste dreng sættes der parentes om ham(Dti):

En pige der er født før:
Pma-(Dti)
Pti-(Dti)
Pon-(Dti)
Pto-(Dti)
Pfr-(Dti)
Plø-(Dti)
Psø-(Dti)

En pige der er født efter:
(Dti)-Pma
(Dti)-Pti
(Dti)-Pon
(Dti)-Pto
(Dti)-Pfr
(Dti)-Plø
(Dti)-Psø

En dreng der er født før:
Dma-(Dti)
Dti-(Dti)
Don-(Dti)
Dto-(Dti)
Dfr-(Dti)
Dlø-(Dti)
Dsø-(Dti)

En dreng der er født efter:
(Dti)-Dma
(Dti)-Dti Ny kombination, er ikke det samme som Dti-(Dti)
(Dti)-Don
(Dti)-Dto
(Dti)-Dfr
(Dti)-Dlø
(Dti)-Dsø

Jeg kan ikke se andet end at det er ½.

  • 0
  • 0

@Niels Myrtue

Der kan vist ikke længere være nogen tvivl om at den opstillede matematik holder vand. Det er en stor hjælp for overbevisningen at udføre simuleringen og rent faktisk se at tallene passer.

Åh jo, simuleringer er da gode, særligt når tingene bliver komplekse.

Men deres troværdighed kræver trods alt at de jo faktisk simulerer det spil som Foshee faktisk beskrev.

Hvordan tror du Foshee vil have formuleret opgaven, hvis han havde to piger?

Eller hvis han nu havde synes det var sjovere at tale om piger i sine opgaver og faktisk havde en dreng og en pige?

Uden en a priori beskrivelse af spillet vil al tale om sandsynlighedsberegning være nonsens.

Dette gælder også for Monty Hall opgaven, som jo kan blive ganske interessant alt efter, hvilket spil quiz-master vælger at anvende.

Jeg har tidligere beskrevet et spil som matcher Foshee opgave - hvad mener du om den?

Den gør da i hver fald at man i sit systematiske testsetup ikke behøves at kassere udfald med to piger.

Endelig hvis man i simulationerne tilføjede det antal piger og drenge som indgår i den anvendte stikprøvepopulation, så vil det stå ganske klart hvordan der pilles på vægten.

  • 0
  • 0

@Bjarne Jensen

Da du allerede ved at dit første barn er en dreng, er din sandsynlighed for at det næste barn er en dreng 1/2.

En udenstående som kun ved, at ét af dine børn er en dreng kan kun sige at dit andet barn er en dreng med en sandsynlighed på 1/3.

Nu er det jo sådan at min præsentation til omverdenen er helt identisk med Foshee's.

Og det jeg ved om kønnene for mine to børn, er akkurat det samme som dem der skal gætte sandsynlighed.

Så er det sgu underligt at du mener at jeg sagtens kan forvente 1/2 mens alle andre skal forvente 1/3.

Rækkefølgen af børnene er ligegyldig - det kan du selv forvisse dig om ved en lettere omskrivning af min fortælling.

Og synes du ikke det er imponerende som sandsynlighed kan hoppe fra 1/3 til en 1/2 og tilbage til 1/3 ud fra en ganske ligegyldig detalje?

Jeg kunne jo også have fortalt at min søn sad med et spil kort og trak spar es.
Og vupti hoppede det kvalificerede gæt fra 1/3 til 1/2.

Please - you have been fooled.
Også af grafer og simulationer.

  • 0
  • 0

Hej igen,
Hvis vi holder på en grundsandsynlighed på 1/3, som kan forsvares ud fra opgavens ordlyd, kan mit oprindelige udgangspunkt ikke bruges. Hvis vi så følger 1/3 lejrens argumentation stiger sandsynligheden for at det andet barn også er en dreng ca således:
drengen er født i 1 halvdel af året = 42,9%
han er født tirsdag = 48,15%
han er født i januar = 48,95%
han er født den 1 i måneden = 49,6%
han er født juleaften = 49,97%
Så alle jer der ønsker et barn til af samme køn som i har i forvejen: Husk barnets fødselsdag, og helst også klokken. Andet kan denne joke vist ikke bruges til.
Og til alle jer der er bange for at jeg er matematiker, skal jeg hilse og sige at jeg normalt holder mig til teknisk anvendt matematik.

  • 0
  • 0

Om ikke andet kan denne tråd da bruges som retningslinie for hvem jeg vil tillægge trovædighed i andre debattråde.

Mit yndlings citat er:

Så selvom sandsynlighedsregning nogle gange, især for den mindre intelligente hjerner, kan virke helt mærkelig. Hænger sandsynlighedsregning og intuition i dette tilfælde helt fint sammen.

Karsten

  • 0
  • 0

Søren Søndergaard:

Og synes du ikke det er imponerende som sandsynlighed kan hoppe fra 1/3 til en 1/2 og tilbage til 1/3 ud fra en ganske ligegyldig detalje?

Nej, for jeg har læst mange af de kvalificerede indlæg og har forstået opgaven.

  • 0
  • 0

Det, som gør at rigtig mange ikke forstår det her (og jeg håber det mest er ikke-ingeniører, for sandsynlighedsregning er da vistnok et obligatorisk kursus, og den her opgave er sine pudsigheder til trods et banalt eksempel på betinget sandsynlighed!), er at de tror at de relative sandsynligheder ændrer sig. DET GØR DE IKKE. Det, der ændrer sig (ud fra det vi ved), er udelukkende udfaldsrummet. Når først det er klart, er det indlysende hvorfor tilsyneladende absurde resultater dukker frem.

  • 0
  • 0

Så alle jer der ønsker et barn til af samme køn som i har i forvejen: Husk barnets fødselsdag, og helst også klokken. Andet kan denne joke vist ikke bruges til.

Med al respekt, så viser den bemærkning at du ikke har forstået opgaven ... den siger INTET om sandsynligheden for at et kommende barn er en dreng (som altid med de simplificerede forudsætninger er 1/2).

  • 0
  • 0

@Michael,

Jeg plejer at bruge følgende eksempel (fra den anden bog) efter jeg har gennemgået Monty Halls paradoks og opgaven med 3 børn:
A og B spiller kort. A spørger B om hun har en konge svaret er ja. Der er en sandsynlighed for at B har mindst en konge til på hånden, lad os kalde den for p1.
Ny situation. A spørger B om hun har spar konge på hånden. Igen er svaret ja. Der er igen en sandsynlighed for at B har mindst en konge til. Lad os kalde den for p2.
Det overrasker de fleste, at p1 ikke er lig p2

der er en afgørende forskel på eksemplet med dreng/pige fordelingen og dit eksempel med et kortspil. Den spiller, der indrømmer at sidde med en konge, har jo et kort mindre end de andre, når man skal regne på samdsynligheden for endnu en konge - ikke?
Hvis vi ser bort fra kønsfordelingen på fødte drenge og piger, så undfanges barnet længe før opgaven stilles. Når et barn undfanges er det da ligegyldigt om der allerede er født et barn, ligesom det er ligegyldigt om det er født på en tirsdag, om det har spastisk parese eller er dregn eller pige.
Kønnet på den nyfødte bestemmes i undfangelsesøjeblikket - og kan sættes til 50%.

Mvh. Per A. Hansen

  • 0
  • 0

Ud fra de givne oplysninger må svaret være 1/2. Jeg vil forsøge at argumentere imod de andre løsninger:
1/3 - Dette giver kun mening hvis 2 piger oprindeligt ville have været en mulighed, men så ville han jo ikke have kunnet finde en eneste dag i ugen, hvor han havde en dreng der var født...
13/27 - I argumentet for denne løsning bliver der, godt skjult, lige pludseligt indført en ekstra oplysning som vi ikke oprindeligt havde: Da den anden mulighed for en bror født på en tirsdag elimineres, forudsættes det lige pludseligt at DTi ikke kan have en storebror født på en tirsdag, men kun en lillebror!

  • 0
  • 0

Som det rigtigt peges ud er det her et klassisk eksempel på betinget sandsynlighed. De kan være svære at bevise med ord, men formlerne lyver ikke.

Sandsynligheden for at A indtræffer når B gælder kan beskrives ved Bayes formel:

P(A|B) = P(B|A)*P(A) / P(B)

Sætter vi A til "begge børn er drenge" og B til "mindst en dreng født tirsdag ud af to børn" kan vi nu udregne de forskellige sandsynligheder:

Chancen for at få to drenge er 25%:

P(A) = 1/4

Har man to drenge kan kan man udregne sandsynligheden for at mindst en af disse er født en tirsdag. Enten er de begge født tirsdag (1/49) eller også er den første født tirsdag, men den anden ikke. Ellers er den anden født tirsdag men den første ikke.

P(B|A) = 1/49 + 1/76/7 + 6/71/7 = 13/49

Chancen for at have mindst en dreng født en tirsdag ud af to er 27/196, da man i halvdelen af tilfældende vil have 1 dreng, med 1/7 change for at være født en tirsdag. I 1/4 af tilfældende har man 2, og har derefter P(B|A) chanche for tirsdag:

P(B) = 1/21/7 + 1/413/49 = 27/196

Sættes sammen:

P(A|B) = (13/49) * (1/4) / (27/196) = 13/27

Check evt: http://en.wikipedia.org/wiki/Bayes'_theorem for mere om formlen

  • 0
  • 0

Meget lig det ovenstående kan det nemt bevises at sandsynligheden er 1/3, hvis tirsdagsoplysningen udelades:

A = to drenge
B = mindst 1 dreng ud af to børn

Chance for 2 dredge = 25%:
P(A) = 1/4

Chancen for mindst en dreng, hvis to drenge = 100%
P(B|A) = 1

Chancen for mindst 1 dreng er 3 ud af fire:
P(B) = 3/4

Chancen for 2 drenge, hvis mindst 1 dreng
P(A|B) = 1*(1/4) / (3/4) = 1/3

  • 0
  • 0

Her er mit bud på en udredning v.h.a. simpel kombinatorik.

Først overvejer vi, hvor mange forskellige kombinationer af to børn, der findes, hvis man skelner mellem køn og ugedage og antager, at de to køn og de syv ugedage er lige sandsynlige.
Det første barn kan enten være en dreng eller en pige, som kan være født en af ugens syv dage.
Tilsvarende med det andet barn.
I alt er der derfor 272*7 = 196 forskellige kombinationer af to børn.

Hvad ved vi så om de to børn?

»Jeg har to børn. Det ene er en dreng født en tirsdag.«

"Det ene er..." kan nemt forlede os til at tro, at vi ved noget om det ene af børnene, men det gør vi ikke. Vi ved ingenting om hverken det ene eller det andet barn. Om hverken det ene eller det andet barn ved vi, om det er en dreng eller en pige, eller på hvilken ugedag, det er født.

Her er, hvad vi ved om de to børn:

Blandt børnene er der mindst ét, som er en dreng født på en tirsdag.

Bemærk nu, at vi kan omskrive denne viden til:
- Der er ikke to piger, og
- der er ikke en pige plus en dreng født onsdag-mandag, og
- der er ikke en dreng født onsdag-mandag plus en pige, og
- der er ikke to drenge født onsdag-mandag.

Vi kan altså udelukke en lang række kombinationer.
Lad os tælle dem alle og trække dem fra de 196 kombinationer, som vi kom frem til før.

To piger: Begge kan være født en af ugens syv dage, så det giver 77 = 49 kombinationer.
En pige plus en dreng født onsdag-mandag: 7
6 = 42 kombinationer.
En dreng født onsdag-mandag plus en pige: 67 = 42 kombinationer.
To drenge født onsdag-mandag: 6
6 = 36 kombinationer

I alt kan vi altså udelukke 49+42+42+36 = 169 kombinationer ud af de oprindelige 196.
Vi har derfor 196-169 = 27 kombinationer tilbage.

»Hvad er sandsynligheden for, jeg har to drenge?«

Lad os prøve, om vi ikke kan tælle os frem til svaret.
Vi er nede på 27 kombinationer og ønsker at vide, hvor mange af dem, der indeholder to drenge:

  • Enten er begge børn drenge født en tirsdag, eller
  • den første dreng er født en tirsdag, og den anden dreng er født onsdag-mandag, eller
  • den første dreng er født onsdag-mandag, og den anden dreng er født en tirsdag.

To drenge født en tirsdag: 11 = 1 kombination. Bemærk, at vi ikke kan skabe flere kombinationer ved at bede de to drenge, som begge er født tirsdag, om at bytte plads!
En dreng født en tirsdag plus en dreng født onsdag-mandag: 1
6 = 6 kombinationer.
En dreng født onsdag-mandag plus en dreng født en tirsdag: 6*1 = 6 kombinationer.

I alt 1+6+6 = 13 kombinationer af to drenge ud af de 27 kombinationer med to børn, hvoraf mindst ét er en dreng født en tirsdag.

Altså er svaret 13/27.

  • 0
  • 0

Jeg plejer at bruge følgende eksempel (fra den anden bog) efter jeg har gennemgået Monty Halls paradoks og opgaven med 3 børn:
A og B spiller kort. A spørger B om hun har en konge svaret er ja. Der er en sandsynlighed for at B har mindst en konge til på hånden, lad os kalde den for p1.

Michael Agermose Jensen har med ovennævte fra Monty Hall illustreret, hvor Foshee's opgave adskiller sig, og hvorfor vi får denne lange diskussion.

Trediedelerne har følgende spil i hovedet:

Foshee kommer på scenen og fortæller at han har to børn.
Herefter bliver han spurgt om han har en dreng, hvortil han svarer ja.
Nu er sandsynligheden for at han har to drenge 1/3.

Men forskellen i Foshee's opgave er at han netop ikke bliver spurgt, men selv proklamerer at han har en dreng.

Hvad mon Foshee ville have proklameret hvis han havde to piger?

Og hvis han har en dreng og pige - hvornår ville han så vælge at bruge pige hhv. dreng i sin proklamation?

A priori spilbetingelsene kan som minimum beskrives som uklare - og nærmere som bevidst vildledende.

  • 0
  • 0

Denne lange tråd er meget bemærkelsesværdigt.

Den oprindelige præmis i artiklen er netop, at man ved omhyggelig sandsynlighedsregning vil komme frem til et resultat, som umiddelbart strider mod intuitionen.

På trods af at opgaven er klart formuleret og kan løses ved omhyggelig sandsynlighedsregning (herunder rigtig bestemmelse af udfaldsrummet), og beregningen til overflod er eftervist i tråden ved en fin simulering af bl.a. Frederik Bache (den 05.06.2010 kl 14:12), er der stadig mange som med stor ihærdighed påstår, at at resultatet netop intuitivt må være forkert!

Man begynder at forstå, hvorfor bl.a. konspirationsteorier er så svære at aflive...

  • 0
  • 0

[quote]Jeg plejer at bruge følgende eksempel (fra den anden bog) efter jeg har gennemgået Monty Halls paradoks og opgaven med 3 børn:
A og B spiller kort. A spørger B om hun har en konge svaret er ja. Der er en sandsynlighed for at B har mindst en konge til på hånden, lad os kalde den for p1.

Michael Agermose Jensen har med ovennævte fra Monty Hall illustreret, hvor Foshee's opgave adskiller sig, og hvorfor vi får denne lange diskussion.

Trediedelerne har følgende spil i hovedet:

Foshee kommer på scenen og fortæller at han har to børn.
Herefter bliver han spurgt om han har en dreng, hvortil han svarer ja.
Nu er sandsynligheden for at han har to drenge 1/3.

Men forskellen i Foshee's opgave er at han netop ikke bliver spurgt, men selv proklamerer at han har en dreng.

Hvad mon Foshee ville have proklameret hvis han havde to piger?

Og hvis han har en dreng og pige - hvornår ville han så vælge at bruge pige hhv. dreng i sin proklamation?

A priori spilbetingelsene kan som minimum beskrives som uklare - og nærmere som bevidst vildledende.[/quote]

Det lyder som du argumenterer for at der er forskel på:

1) "En mand har to børn, den ene er en dreng født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for at han har to drenge?"

og

2) "Jeg har to børn. Den ene er en dreng, født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for at jeg har to drenge?"

Jeg har læst hele tråden og forstået 1/3 og 13/27 argumenterne. De læses ud fra 1) = 2).

Vil du ikke forklare mig (og de mange andre) hvad forskellen er, når du nu besidder indsigt i dette?

Til dit eget tidligere eksempel ( 6/6 21:02):

Jeg vil betro jer en hemmelighed.

Jeg har to børn. Og et af dem er en dreng.

Nu er jeg rigtig glad, fordi så mange kan fortælle mig at sandsynligheden for at mit andet barn er en pige er dobbelt så stor som at det er en dreng.

Jeg er særlig glad, fordi jeg ønsker mig en pige.
Og jeg har hørt fra fødegangen at jeg inden for den sidste time er blevet far til et velskabt barn. Men de glemte at sige kønnet.
Men jeg er ikke bekymret!

Ups - nu er jeg alligevel, for nu har jeg fortalt jer at jeg har et barn som er født inden for den sidste time.

Og nu er der pludselig kun 50% chance for at jeg får min pige :-(

Just joking - det er ikke inden for den sidste time, men nu siger jeg ikke mere. Jeg foretrækker at have 2/3 chance for at skulle ud at se en datter :)

Her kommer du desværre med et forkert eksempel (hvilket jo fjerner troværdighed fra dine øvrige udtalelser). Du spørger:
"Jeg har en søn. Hvad er sandsynligheden for at mit NÆSTE barn BLIVER en søn"

Herved kender du jo aldersrækkefølgen - dit ældste barn er en søn - og du kan udelukke DP fra de mulige udfald.
ENHVER EKSTRA VIDEN OM ET AF DE TO (FØDTE!!!) BØRN VIL ÆNDRE SANDSYNLIGHEDEN FOR ET GIVET UDFALD.
DETTE KALDES BETINGET SANDSYNLIGHED....

Jeg synes generelt det er sørgeligt at folk udtaler uden at have læst hele tråden - uden jeg ved om du falder i denne kategori - og generelt blot gentager argumenter uden at modargumentere på en ny måde de utallige forklaringer der er givet på 1/3 og 13/27.

Jeg ser derfor frem til at du bidrager med en matematisk forklaring på forskellen på 1) og 2) - da jeg glimtvis i tråden aner at der rent faktisk er en sådan
(jeg tror dog (teologi... :-D) at forskellen på nævnte kortspils eksempel med navngivne ES og børne udfalds eksemplet er, at i kortspil er det UDEN TILBAGELÆGNING - der er kun et SPAR ES - mens det med tirsdagsfødte børn er MED tilbagelægning. Er denne tolkning korrekt? Eller er der noget andet (matematik) i spil?)

BONUS Spørgsmål:
DER FOREFINDES TO GRUPPER AF LØSNINGER (A= 1/2 & 1/2 og B= 1/3 & 13/27). HVAD ER SANDSYNLIGHEDEN FOR AT EN LÆSER SVARER A, GIVET HAN IKKE HAR LÆST TRÅDEN?
:-D

  • 0
  • 0

[quote]
Da du allerede ved at dit første barn er en dreng, er din sandsynlighed for at det næste barn er en dreng 1/2.

En udenstående som kun ved, at ét af dine børn er en dreng kan kun sige at dit andet barn er en dreng med en sandsynlighed på 1/3.

Ja netop. Hvis man ikke kan være enige i denne præcise formulering, så er der nok ikke mere at sige i den sag.[/quote]

ej, nu må i stoppe. se her:

vi er enige om at tirsdag ikke betyder noget, og at der til at starte med er 4 mulige udfald, hvis man ikke ved nogle af kønnene.
vi har:
dd dp pd pp.
fire udfald
hvis vi så får at vide at den første er en dreng, kan vi udelukke de to sidste da de begge starter med piger.
i siger så at hvis man kun ved at den ene er en dreng, men ikke ved om han kom først eller sidst
at man så kun kan udelukke pp, hvilket til dels er sandt, men samtidig ved vi også at enten pd eller dp kan udelukkes, for vi ved jo at der er en dreng på en af pladserne, så derfor er der stadig kun 50/50

  • 0
  • 0

hvilket til dels er sandt,

Øv, jeg ville ellers ikke sige mere, men det her må have tre kommentarer. Det er godt nok for langt ude.

  1. Hvad betyder "til dels sandt" - enten er det sandt eller også er det ikke.

  2. Vi er - lige modsat hvad du skriver - enige om, at tirsdagen betyder rigtig meget og ændrer sandsynligheden - kig på de tabellerede udfaldsrum, beregningerne og simuleringerne før du skriver.

  3. Hvordan kan du udelukke enten dp eller pd ved hjælp af oplysningen om, at et af børnene er en dreng - der er jo en dreng i begge tilfælde? Derfor er de begge sande.

Nu lover jeg, at det er sidste indlæg.

  • 0
  • 0

at man så kun kan udelukke pp, hvilket til dels er sandt, men samtidig ved vi også at enten pd eller dp kan udelukkes, for vi ved jo at der er en dreng på en af pladserne, så derfor er der stadig kun 50/50

Hehe den var meget god. Nu ændres sandsynligheden på baggrund af, at vi ved, hvis den ene løsning er korrekt så er den anden ikke?? Dit problem er, at du hverken kan udelukke pd eller dp, da du ikke har den nødvendige info. Hvilket jo netop er det hele opgaven handler om.

  • 0
  • 0

tirsdagen har kun betydning fordi i tillægger den en betydning. den er ikke relevant for udfaldet om det sidste barn er en dreng eller pige, og hvis det er, så forklar mig lige hvordan det har en betydning for om mit barn der bliver født er en dreng eller pige, at sidst jeg knaldede var en helligdag?

i forhold til det sidste så har vi:
pp pd dp dd
her står de i den række følge som de blev født. igen, når vi kender at det første barn er en dreng kan vi skære de to første fra, da begge di førstefødte er piger. så står vi tilbage med en 50/50.
men hvis vi så ikke ved om den angivne dreng er førstefødte, mener i at man kun kan udelukke pp, og det er til dels sandt, fordi at det er den eneste som vi 100% sikkert kan sige at denne er det ikke. men vi ved samtidig at drengen enten er den første fødte eller nummer 2, hvorfor vi ved at enten pd eller dp kan udelukkes. derfor kan det igen skrues ned til 50/50 for at den sidste er en pige, da den ene af de sidste to muligheder der indeholder en pige kan udelukkes.

  • 0
  • 0

Fra mit indlæg 13:50

BONUS Spørgsmål:
DER FOREFINDES TO GRUPPER AF LØSNINGER (A= 1/2 & 1/2 og B= 1/3 & 13/27). HVAD ER SANDSYNLIGHEDEN FOR AT EN LÆSER SVARER A, GIVET HAN IKKE HAR LÆST TRÅDEN?
:-D

Gætter jeg korrekt, ANDREAS, når jeg tilskriver dig ikke at have læst hele tråden?

Husk P= gunstige udfald/mulige udfald.

Det er netop det at vi ved noget om MINDST EN af børnene, der gør at vi kan differencere mellem to drenge, hvorfor DD bliver til mere end eet muligt såvel som gunstigt to-drengsudfald.

En UNIK viden om en af drengene (f.eks. at han er født først eller sidst) vil give P = 1/2. Dette er den foretrukne løsning blandt tvivlerne, men her tager mange tvivlere udgangspunkt i netop at de tror at tirsdagsdrengen er førstefødt. Første eller sidstfødt viden gør, at vi kan fjerne enten PD eller DP - sådan som du gerne vil. MEN VI VED IKKE HVILKEN AF BØRNENE, DER ER TIRSDAGSDRENGEN! DETTE ER ESSENTIELT!!!

Vidste vi at tirsdagsdrengen var første eller sidstefødt, var tirsdagsoplysningen uvæsentlig :-)
Fødselsrækkefølgen er UNIK og >UNIK findes ikke :-)
Jeg tror dette er fejltolkningen for de fleste tvivlere.

MINDRE END UNIK VIDEN placerer os et sted mellem 1/4 og 1/2.
For der er vel INGEN der påstår, at sandsynligheden for at HAVE to drenge, GIVET du har to børn, er andet end 1/4??!!

Kan du ikke fortælle hvilken del af dette, du ikke forstår?
vh
Jacob

  • 0
  • 0

Der skal vel også være plads til lidt humor, undskyld jeg glemte en smiley.
Hvis vi nu vender den om og spørger "hvilket problem/spørgsmål vil det oprindelige løsningsforslag kunne besvare korrekt" kunne følgende bud måske være en mulighed:
I en forsamling af 2000 to børns familier spørger vi "Hvor mange af jer har mindst en søn" Svaret vil være 1500, 500 med to sønner og 1000 med en af hver.
hvis vi så spørger de 1500 "hvor mange af jer har en søn der er født tirsdag" ville svaret vel være 1/7 af 1000(143) + 1/7 af 500(71) + 1/7 af de resterende 6/7 af 500(61), sådan ca 275, hvoraf 71 + 61 (132) stammer fra familier med 2 drenge. nu får vi 132/275, der ligger rimelig tæt på 13/27 , eller 48%. Hvis nogen gider regne decimalbørn skulle det ikke undre mig at vi fik 13/27.
Men som flere før mig har været inde på, det er en helt anden opgave end den gary oprindelig stillede, for han valgte selv sin tirsdag. Nærmer vi os noget der duer?

  • 0
  • 0

Forhåbentligt griner du af dig selv Andreas for du har fat i den ultra korte ende. Du kan ikke begrænse dit løsningsrum på baggrund af information du ikke har. Da du ikke ved om drengen er den førstefødte eller ej kan du ikke bruge informationen til at begrænse dit løsningsrum. Det er logik for burhøns det her.

  • 0
  • 0

men jeg må nok også indrømme at min hjerne ikke drejer i samme tempo som jeres, så kan ikke følge med i jeres udregninger, men forklar mig i stedet på menneskeligt plan hvordan det kan være at tirsdagen har en indflydelse. for i min verden hænger det sådan sammen at først blev min bror født, hvad dag det ved jeg sgu ikke, men om det var en tirsdag, onsdag eller hvad det nu var, har vel ingen reel indflydelse på om jeg blev en dreng eller pige. og hvis det ikke har det, er det jo ikke nødvendigt at tage dagen med i betragtning? og nej jeg har heller ikke læst hele tråden igennem, vil dog nu forsøge på det, men vær venlig at svar på mit spørgsmål

på forhånd tak, Andreas

  • 0
  • 0

så du siger altså at hvis vi har tre mulige udfald, dd pd dp men vi ved at enten dp eller pd er udelukket, så er der stadig kun 1/3 sandsynlighed for at det er dd?

Ja. For du ved ikke noget om hvilken en det er. Du kan altså ikke begrænse dit løsningsrum. Det hjælper ikke noget, at du ved dp er forkert hvis pd er korrekt. Det giver lidt sig selv. Hvis en løsning er korrekt her så er de andre forkerte.

  • 0
  • 0

nej, men du ved jo at det kun er to af de resterende tre som er sandsynlige, og du ved at du kan udelukke enten dp eller pd, som begge to vil betyde at der er en søster, hvorfor du så kan sige at søsteren har 1/2, og drengen har 1/2.

  • 0
  • 0

Sandsynligheden for at føde en dreng er ikke den samme som for en pige. Men måske mangler opgaven at sige at man ikke må bruge viden fra virkeligheden?

  • 0
  • 0

Hela tricket är att det finns en turordning, om tisdag byts mot en av 7 möjliga födelseorter, betyder det ingenting.

Jag har två barn, bägge födda i Danmark det ena är en son född i Syddanmark ...

(så vet vi att det bara finns 7 regioner medtaget Grönland och Färöarna som varsin region till de 5 övriga och alla tillhör Danmark)..

Det blir analogt med att vi tar bort tidsrummet och inför att all tid är samtid, men händelser i samtid måste infalla på en given veckodag...(vet det är abstrakt)

Det blir ett barngevär med två pipor som lika gärna och oberoende av varandra kan avfyra pojk eller flick projektiler och avfyras samtidigt.

Vet vi att en pojkprojektil från den ena pipan träffade en tisdag, så finns det 7 möjliga träffytor för den andra pipan och två olika projektiler...

7gynnsamma/14möjliga...

Var det bra pedagogik?

Eller bara kokad svensk.....

Personligen anser jag att ett mynt som kastas två ggr/dag och har sidorna P D är bäst, Vi får reda på att ett av kasten gav D en tisdag, hur stor chans att ett annat kast gav D.
Ty det går inte att ge en turordning till två kast med samma resultat samma dag... 13/27

Nej jag ger mig, jag är nog en mycket usel pedagog....

Det vore trevligt om någon med bättre pedagogik kunde förklara så intuitionen överges för logiken.

P.S. såklart läste jag sannolikhetslära som en stor del i matematiskstatistik på KTH tekn fys, men det är fusk att använda de redskapen.
Det starka är att med ord omskrivningar och liknelser, nå fram.

Eller hur?

  • 0
  • 0

Beklager, men jeg orkede kun at læse halvdelen af dette massive antal indlæg, så måske har nogen i nederste halvdel også gennemskuet det, men jeg var forundret over at ingen fanget den (synes jeg) åbenlyse fejl i tirsdags-beregningen, som forfatteren havde begået, nemlig at antallet af udfald kun skal opgøres i relation til konteksten "Dreng eller Pige". Hvilken ugedag de er født, hårfarve og antallet af modersmærker er aldeles irrelevant, da slutspørgsmålet "Hvad er sandsynligheden for at det er 2 drenge" ikke forholder sig til disse parametre.

Citat:
"Det første barn er DTi - det andet barn er en pige født på en af ugens syv dage. Det er syv kombinationer."
Svar:
FORKERT! I henhold til konteksten er der kun ET udfald: Dreng-Pige. Hvilken ugedag hun er født er lige som antallet af fregner aldeles irrelevant.

Citat:
"Det første barn er en pige født på en af uges syv dage - det andet barn er DTi. Det er endnu syv kombinationer."
Svar:
FORKERT! I henhold til konteksten er der kun ET udfald: Pige-Dreng.

Citat:
"Det første barn er DTi - det andet barn er en dreng født på en af ugens syv dage. Det er yderligere syv kombinationer."
Svar:
FORKERT! I henhold til konteksten er der kun ET udfald: Dreng-Dreng.

Citat:
Det første barn er en dreng født på en af ugens syv dage - det andet barn er DTi. Det er nu kun seks nye kombinationer, idet kombinationen med begge drenge født på en tirsdag allerede er medtaget. 13 af de i alt 27 kombinationer består af to drenge. Så sandsynligheden er altså 13/27, som er meget forskellig fra 1/3. "
Svar:
FORKERT! I henhold til konteksten er der kun ET udfald: Dreng-Dreng, og da denne kombination allerede er beskrevet ovenfor, så udgår denne af sammetællingen.

Ergo: Dette passer med de tidligere beskrevne scenarier, nemlig at 1 ud at 3 udfald giver den efterlyste kombination Dreng-Dreng.

Et helt analogt eksempel er dette: En mand kaster 2 mønter og siger til sin blinde ven:
"En af mønterne landede på plat, hvad er sandsynligheden for, at begge mønter landede på plat?".
Resultatet er naturligvis 1/3, men manden kunne så spørge: "Den mønt der landede på plat var en svensk krone. Hvad er så nu sandsynligheden?"
Hvis man skulle følge Forshee, Robin og andre ligesindedes tankegang, så ville svaret være: "Det kommer an på hvor mange forskellige mønter der findes".
Hvilket jo nonsens: Typen af mønt jo er irrelevant for udfaldet og ligesom ugedagen i det oprindelige eksempel er det kun en afledningsmanøvre.

  • 0
  • 0

Jag kan inte låta bli...
Genom att bägge barnen föds i samma ögonblick men kanske olika veckodager (all tid är samtid, i analogi de två projektilerna som samtidigt träffar en yta indelad i 7 områden) så blir PD och DP en händelse och vi får bara DD och DP 1/2...

Genom det kan man kanske inse att om vi återinför tidsordningen så blir två kast med samma krona samma dag och med samma utfall inte något som går att dela i två händelser... 13/27.....

  • 0
  • 0

Kan man ud fra denne tråd beregne sandsynligheden for, at det næste indlæg efter dette er enigt med den oprindelige artikels beregning?

Kan man estimere, hvor mange naturvidenskabeligt højt uddannede, der faktisk ikke kan sandsynlighedsregning, men er overbevist om, at de kan? :-)

  • 0
  • 0

Efter uppgiften skulle de frågat, "vad är tisdag?"
"en veckodag"
Hmmmm Maya hade 18 veckor med 20 dagar så en årlig extra vecka med 5... De korrigerade skottår genom två kalendrar som möttes typ vart 53:de år (hoppas jag mins rätt) då var det några högtidsdagar, så löpte kalendrarna vidare.
De skulle nog ansett att det är en kuggfråga.

  • 0
  • 0

Hej Jens med mange flere.

Du og Foshee har ret. Jeg indrømmer, at jeg tog fejl.
Det der generede mig ved løsningen var, at når resultatet ville være det samme, hvis man havde valgt en anden ugedag, så måtte det også være det samme, hvis man intet vidste om hvilken ugedag, drengen var født.
Dette argument er imidlertid ikke rigtigt, fordi resultaterne ikke er uafhængige.
Jeg tror ikke (uden at have set alle indlæggene igennem), at dette punkt har været omtalt i tråden.
Betragt følgende opgave, der afklarer punktet:
En far fortæller, at han har to børn, hvoraf en er en dreng født på en tirsdag.
En anden far fortæller, at han har to børn, hvoraf en er en dreng født på en onsdag.
Osv. hele ugen rundt.
Hvad er forholdet mellem antallet af to-drenge fædre og samtlige to-børns fædre med mindst en dreng?

Hvis vi først ser bort fra ugedagen, er der som Foshee angiver de tre lig store grupper DP, PD og DD. De er hver på en fjerdedel af hele gruppen af to-børns fædre, og DD gruppen er derfor 1/3 af de tre grupper tilsammen.
Hvis vi derefter tager hensyn til ugedagene, kan vi begynde med tirsdagsdrengen. I forhold til ovennævnte fjerdedelsgruppe får vi da brøkdelene for hver af grupperne 1/7, 1/7 og 1/7+1/7-1/49, der giver sandsynligheden 13/27 i overensstemmelse med Foshee.
Ser vi dernæst på onsdagsdrengen, får vi da tilsvarende 1/7 og 1/7 for de første to grupper, men for den tredje gruppe får vi 1/76/7+1/76/7-1/49. (Fordi DtiDons og DonsDti allerede var talt med ved beregningen for tirsdagsdrengen)
For torsdagsdrengen får vi stadig 1/7 og 1/7 for de to første grupper, men for den tredje gruppe får vi 1/75/7+1/75/7-1/49.
Fortsætter vi ugen igennem og summerer, får vi således ”brøkdelen” 2 for familierne med kun en dreng.
For 2-drenge familierne får vi 1/49(2(7+6+5+4+3+2+1)-7) =1
Vi får altså, at antallet af 2-drengefamilier udgør brøkdelen 1/3 af samtlige familier med 1 dreng i overensstemmelse med Foshees første resultat, og der er ikke længere nogen modstrid.

Med venlig hilsen

Tom

  • 0
  • 0

nej, men du ved jo at det kun er to af de resterende tre som er sandsynlige, og du ved at du kan udelukke enten dp eller pd, som begge to vil betyde at der er en søster, hvorfor du så kan sige at søsteren har 1/2, og drengen har 1/2.

Nej nej og nej. Du ved, at hvis du har et bestemt stykke information (om drengen er førstefødt eller ej), så kan du begrænse dit løsningsrum, men du har IKKE den information altså kan du ikke mindske dit løsningsrum og derfor bliver det ikke nemmere at gætte rigtigt. Alle tre muligheder er sandsynlige, da du IKKE ved om knægten han snakker om er førstefødt eller ej.

Og her bare for sjov et forsøg på at forklare på en måde der ikke ødelægger matematikken med intuition.

Forestil dig at du har fire kugler i en bowle. To sorte og 2 hvide. Den ene sorte har en hvid prik og den ene hvide har en sort prik. Dine fire forskellige kugler er så kun sort (dd), kun hvid (pp), sort med hvid prik (dp) og hvid med sort prik (pd). En mand (eller dame for den sags skyld) trække en kugle uden at du ser med og lægger den tilbage. Nu kommer du ind og skal gætte hvilken kugle han tog. Men han er en flink fyr så han fortæller dig at der i hvert fald er sort på kuglen. Du kan altså fjerne den der kun er hvid. Hvad er sandsynligheden nu for at gætte hvilken en manden tog? Nu skulle du gerne rent intuitivt sige 1/3. Også selv om du ved, at hvis han havde fortalt dig om den sorte farve var kuglen eller prikken på kuglen (svarende til om drengen er førstefødt eller ej) så kunne du have fjernet den ene af kuglerne med to farver. Det fortalte han nemlig ikke og derfor kan du ikke fjerne den ene af de to-farvede kugler.

  • 0
  • 0

Jeg tror egentligt ikke jeg kan se problemet/"paradokset" i det her. Enten er jeg retardo, eller også har der aldrig været et problem: Jeg undre mig over det deles op i en så stor tidsenhed som 7 dage på en uge. Det må anses som en begrænsning der ødelægger almindelig sund matematik og sandsynlighedsberegning.
Det skulle snarere deles op i uendeligt antal tid pr. uge.
Så vil vi igen få vores 1/3.

  • 0
  • 0

@Rolf Ask Clausen

Kan man ud fra denne tråd beregne sandsynligheden for, at det næste indlæg efter dette er enigt med den oprindelige artikels beregning?

Kan man ud fra denne tråds oprindelige artikel fastslå, hvordan Foshee's formulering ville have været, hvis han havde to piger?

Kan man ud fra denne tråds oprindelige artikel fastslå, hvordan Foshee's formulering ville have været, hvis han havde en dreng og en pige?

Mener du det har en betydning?

Måske du vil være os matematiske ignoranter behjælpelige med en entydig spilbeskrivelse, som den oprindelige artikel har lagt til grund for sine beregninger?

  • 0
  • 0

Et helt analogt eksempel er dette: En mand kaster 2 mønter og siger til sin blinde ven:
"En af mønterne landede på plat, hvad er sandsynligheden for, at begge mønter landede på plat?".
Resultatet er naturligvis 1/3, men manden kunne så spørge: "Den mønt der landede på plat var en svensk krone. Hvad er så nu sandsynligheden?"
Hvis man skulle følge Forshee, Robin og andre ligesindedes tankegang, så ville svaret være: "Det kommer an på hvor mange forskellige mønter der findes".
Hvilket jo nonsens: Typen af mønt jo er irrelevant for udfaldet og ligesom ugedagen i det oprindelige eksempel er det kun en afledningsmanøvre.

Nu har jeg to gange lovet at holde min mund, men hvis jeg ikke kommenterer dette, kan jeg ikke sove i nat.

Det har kæmpestor betydning, hvis den platte mønt er en svensk krone.

Der er tre forskellige tilfælde:

  1. Du kaster med to svenske mønter. Sandsynligheden for to gange plat er 1/3.

  2. Du kaster med netop 1 dansk og netop 1 svensk krone. Du oplyser, at den svenske krone er plat. Sandsynligheden for to plat er så ½. Den svenske krone er kendt, så de er kun sandsynligheden for at slå plat med den danske mønt, der betyder noget.

  3. Der er en eller anden sandsynlighed for, at hver af mønterne er en svensk krone - fx ved at du trækker de to mønter fra hver sin pose med et antal danske og svenske mønter. Sandsynligheden for to gange plat er nu et sted mellem 1/3 og ½ - afhængigt af sandsynligheden for at en mønt er svensk.

Forklaringen er, at der er større sandsynlighed for at en af mønterne er en plat, svensk krone, når begge mønter er plat - al den stund, at der er to platmønter, der kan være svenske. I tilfældet plat-krone er der kun en platmønt, der kan være svensk.

Det er bevist både med tabeller og simuleringer for tirsdagsdrengen tidligere i tråden, så måske du skulle kigger der.

Jeg vil ikke for tredje gang love, at jeg ikke vil blande mig - men jeg håber det.

  • 0
  • 0

Mange får problemet galt i halsen fordi de lægger vægt på en manglende årsagssammenhæng mellem en ugedagsoplysning og hændelsen at få et barn af et vist køn og dermed fuldstændig negligerer ugedagsoplysningen. Det må være klart, at der ikke er en årsagssammenhæng mellem det at få et barn på en bestemt ugedag og kønnet på det næste barn.

Men det er heller ikke det opgaven går ud på! Ugedagsoplsyningen påvirker alene den måde man tæller på når antal mulige udfald af dreng/pige/ugedag kombinationen skal optælles. Og det er også på den måde ugedagsoplysningen kommer til at påvirke sandsynligheden. Det er altså ikke hverken snyd, humbug eller sproglige paradokser, men ren og skær optælling. Opgaven er derfor mere en kombinatorisk udfordring.

Det samlede antal kombinationer når køn og ugedag for to børn kombineres er:
14x14=196 (Tæl selv efter inden der kommenteres, f.eks. i en 14x14 matrix)

Når vi får oplysningen om at det ene barn er en dreng født en tirsdag indskrænkes udfaldsrummet til:
27 (Tæl selv efter inden der kommenteres)

Når sandsynligheden skal findes for at barn nr. 2 er en dreng skal vi tælle antal dreng-dreng kombinationer ud af de 27 som udfaldsrummet blev indskrænket til og det er:
13 (Tæl selv efter inden der kommenteres)

Dvs. svaret på opgaven er:
13/27

Alle seriøse kommentarer skal simpelthen forholde sig til kombinatorikken ellers bliver det bare en gang kværulantisk vås.

  • 0
  • 0

Og i øvrigt mener jeg, at det er fuldstændig irrelevant, hvad opgavestilleren ville have sagt under andre omstændigheder. Vi må forholde os til, hvad opgavestilleren rent faktisk sagde. Egentlig er det jo ligegyldigt for opgaven, om opgavestilleren overhovedet har nogle børn - eller har 25 piger. Han kunne jo lige så godt have sagt: Forestil dig en mand, der har to børn osv.

  • 0
  • 0

Hej Jens med mange flere.

Du og Foshee har ret. Jeg indrømmer, at jeg tog fejl.

  • en masse udregninger.

Tom, du begår samme fejltagelse som de øvrige: Du foretager en masse beregninger på et fejlagtigt grundlag.
Prøv at gå tilbage til udgangspunktet: Spørgsmålet er: Hvad er sandsynligheden for, at begge børnene er drenge?
Bemærk, at der stilles ingen betingelser i selve spørgsmålet, der relaterer sig ugedage eller andet, så uanset hvad der gives af yderlige oplysninger om den ene dreng (som ikke giver oplysninger om det andet barn), så er det irrelevant i relation til spørgsmålet og dermed opgaven.
Så med udgangspunkt i spørgsmålet, så er der 2 hændelser (fødslen af de 2 børn) der hver især kan have 2 (og kun 2) relevante udfald: Dreng eller ikke dreng (i visse kredse også kaldet Pige), hvilke ialt giver de 2 x 2 = 4 mulige udfald, som er relevante for opgaven, og da de ene udfald udelukkes fra starten, så er vi nede på 3.
Der er altså IKKE tale om 27 forskellige mulige udfald, som har relevans for opgaven, da de vil alle vil blive klumpet sammen i de 3 tilbageværende udfald (DD, DP og PD), der har relevans for konteksten.

Et analogt eksempel, som måske kan gøre det mere klart: Hvis faren i stedet for ugedagen havde oplyst, at drengen havde et lille modersmærke 2cm over navlen. Hvordan ville Foshees regnestykke så se ud? Antallet af udfald for placering af modersmærker for det andet barn ville være uendelige, og er er dermed med til at udstille, at det er nonsens at tage disse out-of-context oplysninger med i sin sandsynlighedsberegning.

  • 0
  • 0

Et analogt eksempel, som måske kan gøre det mere klart: Hvis faren i stedet for ugedagen havde oplyst, at drengen havde et lille modersmærke 2cm over navlen. Hvordan ville Foshees regnestykke så se ud? Antallet af udfald for placering af modersmærker for det andet barn ville være uendelige, og er er dermed med til at udstille, at det er nonsens at tage disse out-of-context oplysninger med i sin sandsynlighedsberegning.

Den oplysning ville faktisk ændre sandsynligheden for to drenge fra 1/3 til meget tæt på ½, fordi den ene dreng nu kan identificeres næsten 100 procent. Forklaringen er givet 25 gange (mindst) tidligere i tråden.

  • 0
  • 0

Kære Poul,

Du er gal på den. Ugedagsoplysningen kan - og skal - bruges til optællingen på den måde at et barn kan fødes på en ud af 7 dage. På samme måde som et barn kan antage en ud af to kønsformer. Matematisk set kombinerer vi bare to hændelser, her: ugedag og køn.
For nu at forfølge dit eksempel med modermærket 2 cm overe navlen, så er det bare endnu en hændelse som vi sagtens kunne integrere i udregningen hvis vi havde data for hvordan vi skulle tælle modermærker 2 cm over navlen. Det er selvfølgelig bare lidt mere besværligt end med ugedage og køn, hvor vi har fuldstændig styr på optællingen, nemlig hhv. 7 (man, tir, ons, tor, fre, lør, søn) og 2 (dreng, pige)

Gør dig selv den tjeneste at tegne en 14x14 tabel med de mulige kombinationer og du vil måske får en aha oplevelse.

  • 0
  • 0

@Poul Bundgaard

Dreng eller ikke dreng (i visse kredse også kaldet Pige), hvilke ialt giver de 2 x 2 = 4 mulige udfald, som er relevante for opgaven, og da de ene udfald udelukkes fra starten, så er vi nede på 3.

Hvordan er det lige du kan vide at Foshee kun udelukker det ene udfald?

Det kan da være at han hvis han havde haft blot en pige ville have formuleret opgaven med 'pige' som information.

Det er af dette grund at det skal være en som ikke kender udfaldet som skal spørge Foshee om han har en dreng.
Kun her vil 1/3 betragtningen passe.

  • 0
  • 0

[quote]
Et analogt eksempel, som måske kan gøre det mere klart: Hvis faren i stedet for ugedagen havde oplyst, at drengen havde et lille modersmærke 2cm over navlen. Hvordan ville Foshees regnestykke så se ud? Antallet af udfald for placering af modersmærker for det andet barn ville være uendelige, og er er dermed med til at udstille, at det er nonsens at tage disse out-of-context oplysninger med i sin sandsynlighedsberegning.

Den oplysning ville faktisk ændre sandsynligheden for to drenge fra 1/3 til meget tæt på ½, fordi den ene dreng nu kan identificeres næsten 100 procent. Forklaringen er givet 25 gange (mindst) tidligere i tråden.[/quote]

Husk at læse opgaven - det er der filmen knækker. Opgaven går ikke ud på at identificere noget som helst - det er en meget simpel sandsynlighedsberegning, hvor en masse kloge mennesker er lokket på vildspor af en snedigt plantet (men for opgaven irrelevant) oplysning (ugedagen).

  • 0
  • 0

Kære Poul,

Du er gal på den. Ugedagsoplysningen kan - og skal - bruges til optællingen på den måde at et barn kan fødes på en ud af 7 dage. På samme måde som et barn kan antage en ud af to kønsformer. Matematisk set kombinerer vi bare to hændelser, her: ugedag og køn.
For nu at forfølge dit eksempel med modermærket 2 cm overe navlen, så er det bare endnu en hændelse som vi sagtens kunne integrere i udregningen hvis vi havde data for hvordan vi skulle tælle modermærker 2 cm over navlen. Det er selvfølgelig bare lidt mere besværligt end med ugedage og køn, hvor vi har fuldstændig styr på optællingen, nemlig hhv. 7 (man, tir, ons, tor, fre, lør, søn) og 2 (dreng, pige)

Gør dig selv den tjeneste at tegne en 14x14 tabel med de mulige kombinationer og du vil måske får en aha oplevelse.

Hvorfor skal jeg tegne en 14x14 tabel, når opgaven siger at jeg skal tegne en 2x2 tabel? Husk, for at kunne løse opgaven skal man forstå spørgsmålet.

  • 0
  • 0

Kære Poul,

Hvis du vælger at bortkaste ugedagsoplysningen får vi en helt anden opgave, som også er interessant, men ikke det, der bliver spurgt efter. Det er tydeligt, at du ikke har forstået at ugedagen betyder noget for optællingen og du har således ikke tolket opgaven korrekt.

  • 0
  • 0

Hvorfor skal jeg tegne en 14x14 tabel, når opgaven siger at jeg skal tegne en 2x2 tabel? Husk, for at kunne løse opgaven skal man forstå spørgsmålet.

Ja, netop - og det gør du ikke.

Husk at opgavens helt overordnede formål er at illustrere, hvor galt man kan komme afsted, når man bruger sin intuition (til at se bort fra tirsdagen, som man fejlagtigt opfatter som irrelevant) i stedet for systematisk at undersøge de matematiske kendsgerninger.

Du er sådan set et rigtig godt eksempel på det.

Hvis du har ret, ville 14 gange 14 tabellen jo bare kunne trækkes sammen til 2 x 2 tabellen. Så opstil den nu og vis os, at de er identiske.

  • 0
  • 0

Nu har jeg to gange lovet at holde min mund, men hvis jeg ikke kommenterer dette, kan jeg ikke sove i nat.

Jan, jeg håber du er gået i seng... ;-)

Jeg synes du blander forskellige scenarier sammen i omgang svensk pärevälling, som jeg ikke lige har lyst til at skulle beregne en samlet sandsynlighed ud fra, men jeg mener, at det kan siges noget mere simpelt:

Scenarie: Der er kastet 2 mønter, og det er oplyst, at den ene mønt er plat svensker (Förlåt til broderfolket ;-)).
Ser vi bort fra nationaliteten, er vi enige om, at der ville der være 3 relevante udfald (PP, PK, KP), hvoraf kun den ene (PP) giver gevinst, og dermed har vi sandsynligheden 1/3.
Så siger vi, at den platte også er Svensk, men det gør jo ingen forskel, idet du ikke ved om det er den første eller anden mønt der er plat + svensk, og dermed har du stadig de 3 ovennævnte mulige udfald og dermed den samme sandsynlighed.

  • 0
  • 0

Så prøver vi lige med en tabel.
Se den på: http://www.balmer-arbjerg.dk/tirsdagsdreng...

Det samlede antal kombinationer når køn og ugedag for to børn kombineres er:
14x14=196 (samlede antal felter i tabellen)

Når vi får oplysningen om at det ene barn er en dreng født en tirsdag indskrænkes udfaldsrummet til:
27 (Alle felter med X)

Når sandsynligheden skal findes for at barn nr. 2 er en dreng skal vi tælle antal dreng-dreng kombinationer ud af de 27 som udfaldsrummet blev indskrænket til og det er:
13 (Alle blå felter)

Dvs. svaret på opgaven er:
"Antal blå felter"/"Antal X felter" = 13/27

  • 0
  • 0

[quote]

Hvorfor skal jeg tegne en 14x14 tabel, når opgaven siger at jeg skal tegne en 2x2 tabel? Husk, for at kunne løse opgaven skal man forstå spørgsmålet.

Ja, netop - og det gør du ikke.

Husk at opgavens helt overordnede formål er at illustrere, hvor galt man kan komme afsted, når man bruger sin intuition (til at se bort fra tirsdagen, som man fejlagtigt opfatter som irrelevant) i stedet for systematisk at undersøge de matematiske kendsgerninger.

Du er sådan set et rigtig godt eksempel på det.

Hvis du har ret, ville 14 gange 14 tabellen jo bare kunne trækkes sammen til 2 x 2 tabellen. Så opstil den nu og vis os, at de er identiske.[/quote]
Jan, jeg kender det godt fra mit arbejde som software udvikler dette fænomen, som jeg synes at kunne iagttage i denne debat: Nemlig at have rodet sig ud i noget dybt kompliceret, for så (typisk efter en nats søvn) pludseligt at opdage, at det i virkeligheden var meget mere simpelt end man troede fra starten, fordi man havde set sig blind på noget, som i virkeligheden var irrelevant.
Det er nemlig meget simpelt, hvis man går struktureret frem:
Scenarie: Der er 2 børn. Her kan vi så allerede beregne, at der er 4 mulige udfald af kønsfordelingen (PP, PD, DP, DD), og vi antager alle 4 udfald har samme sandsynlighed.
Opgaven lyder så, at skal du finde sandsynligheden for at de begge er drenge, dvs. udfaldet DD. På dette tidspunkt er sandsynligheden dermed 1/4.
Vi får så 2 bonus oplysninger:
1) Det ene barn en dreng. Ganske brugbar oplysning, idet den eliminerer det ene udfald (PP), og hæver dermed sandsynligheden til 1/3.
2) Den omtalte dreng er født på en tirsdag. Dette er til gengæld en ganske ubrugelig oplysning, idet denne ikke hverken eliminerer nogen af de 3 tilbageværende udfald eller på anden måde ændrer den indbyrdes sandsynlighed mellem dem.
Og dermed står vi tilbage med sandsynligheden 1/3.

At begynde at beregne nye udfald på basis af ugedag, hårfarve, antal fregner eller andet på det ene barn er helt fejlagtigt, når disse oplysninger ikke påvirker sandsynligheden af nogen af de oprindelige udfald.

Så dit spørgsmål om hvordan man får din 17x17 matrix ned i en 2x2, så er det meget simpelt: Tag indholdet i de enkelte celler og afgør, om de hører under kategorien DD, PP, DP eller PD, og put dem så forsigtigt over i den rigtige celle i 2x2 kassen. ;-)

  • 0
  • 0

Hej poul,
Er det poul fra dtu hold 1992? :)
Anyway, vi er tilbage til den sproglige tolkning af opgaven. Du afviger dog fra de fleste tvivlere ved at svare 1/3 - de fleste svarer 1/2.
Men hvordan kan du vælge en betinget sandsynlighed - p(2 drenge|en dreng), og herved vælge at bruge den ene givne information, uden at læse den anden givne information (tirsdagsfødslen) som en ligeværdig betingelse i den betingede sandsynlighed?
Med din tekstfortolkning bør dit svar være 1/4, da du ikke bruger drenge information, den er bare røg. Det rene spørgsmål, uden røg, er således: jeg har to børn. "Hvad er sandsynligheden for jeg har to drenge?" Tirsdagsdreng er retorisk røg i følge dig, da der ikke efterfølgende står "givet jeg har mindst en dreng født på en tirsdag." Eller har jeg misforstået dig?
Det ligger jo i vores tolkning at der står et usynligt "givet de oplyste informationer om det ene barn", samt at det er underforstået at det er P for to drenge, der født på en ugedag, der søges (givet at mindst en dreng er født en tirsdag). Men da alle børn er født på en ugedag, er dette ikk nævnt.
Vh
Jacob

  • 0
  • 0

Det der virkeligt undrer mig her er, hvorfor så mange er så ivrige efter at få den ugedag med ind i ligningen!

Vi kan lave et 100% analogt eksempel med 2 mønter, som er kastes og man skal beregne sandsynligheden for at få plat-plat. Og ligesom i den oprindelige opgave gives der 2 oplysninger:
1) Den ene mønt er landet på plat.
2) Og den ligger i venstre side af bordet.

Hvor mange ville her overveje at benytte oplysning 2 i sandsynlighedsberegningen?

  • 0
  • 0

@Jacob

Nej, jeg fik mine videregående uddannelser overstået i 80'erne. ;-)

Jeg mener ikke det er et spørgsmål om fortolkning af teksten - jeg mener det er et spørgsmål om at skille skæg fra snot: Brug kun de oplysninger der er relevante for opgaven og forkast de øvrige.

Måske mit seneste svar til Jan kan måske svare på dine spørgsmål.

  • 0
  • 0

Det der virkeligt undrer mig her er, hvorfor så mange er så ivrige efter at få den ugedag med ind i ligningen!

Vi kan lave et 100% analogt eksempel med 2 mønter, som er kastes og man skal beregne sandsynligheden for at få plat-plat. Og ligesom i den oprindelige opgave gives der 2 oplysninger:
1) Den ene mønt er landet på plat.
2) Og den ligger i venstre side af bordet.

Hvor mange ville her overveje at benytte oplysning 2 i sandsynlighedsberegningen?

Undskyld jeg citerer mig selv, men det gik lige op for mig hvad forskellen på de to opgaver er: I den oprindelige opgave giver punkt 2) mulighed for at opfinde et regnestykke af en passende udfordrende sværhedsgrad ved at indlemme ugedagen i beregningen. Og så overser man, at dette punkt er ligeså irrelevant for resultatet som møntens landingsområde...

  • 0
  • 0

@poul
Hver ekstra detalje du får om en af mønterne giver dig mulighed for at øge antallet af mulige udfald.
Hvis vi går jeg fra, at mønterne i dit eksempel kun kan lande i venstre eller højre side, har du nu ændret dit udfaldsrum.
Du kan nu nemlig få:
ph ph, ph pv, pv ph, pv pv
kh kh, kh kv, kv kh, kv kv
ph Kh

Også videre.
Kombinerer du færdigt og tæller de gunstige udfald, ser du nu at P(TO PLAT|mindst en plat i venstre side) er lidt større end 1/3, men mindre end 1/2.
Da det er sent, må du selv kombinere færdigt.
Din ekstra oplysning ændrede sandsynligheden for to plat i DET ALLEREDE UDFØRTE kast af to mønter.
Det er intuitivt lettere at forstå, hvis vi kigger på den omvendte betingede sandsynlighed: det er mere sandsynligt at man har et venstre plat hvis begge kast er plat, frem for et venstre plat givet een plat.
Analogt stiger din sandsynlighed for dobbelt plat som lander på det todelte bord, når du får at vide at der mindst er en venstre plat, frem for du kun vidste der var en plat der kunne ligge hvor som helst.

  • 0
  • 0

Problemet er at folk fokuserer på de 4 muligheder der er, når man ikke allerede har den første dreng: PD, DP, DD, PP
Her er der selvfølgelig ¼ chance for DD.
Ved at vi starter med én dreng, må vi selvfølgelig fjerne PP og ender så med PD, DP, DD. Men hvor vi før ikke kunne skelne mellem D og D, får vi nu, at den ene dreng vi har, kan være fire steder.
P(D), DP, DD
PD, (D)P, DD
PD, DP, (D)D
PD, DP, D(D)

Hvis man ikke vil tage stilling til rækkefølgen ved DD, må man heller ikke gøre det ved PD, DP.

Denne fejlantagelse fjerner en mulighed og får 2/4 til at blive til 1/3 og 14/28 til at blive 13/27.

Her er den som den skulle have set ud uden oplysningen tirsdag:

Han har en dreng Dti. Det andet barn kan være født før eller efter og være en dreng eller en pige.

En pige der er født før: P-Dti
En pige der er født efter: Dti-P
En dreng der er født før: D-Dti
En dreng der er født efter: Dti-D

Er der flere muligheder?
Eller er der nogle der ikke skal være der?

Nej vel!

Det er ½.

Lad os tage den uden rækkefølge:
Han har en dreng Dti. Det andet barn kan være en dreng eller en pige.

Dti-D
Dti-P

Det er også ½.

Nu med ugedage(for at holde styr på den oplyste dreng sættes der parentes om ham(Dti):

En pige der er født før:
Pma-(Dti)
Pti-(Dti)
Pon-(Dti)
Pto-(Dti)
Pfr-(Dti)
Plø-(Dti)
Psø-(Dti)

En pige der er født efter:
(Dti)-Pma
(Dti)-Pti
(Dti)-Pon
(Dti)-Pto
(Dti)-Pfr
(Dti)-Plø
(Dti)-Psø

En dreng der er født før:
Dma-(Dti)
Dti-(Dti)
Don-(Dti)
Dto-(Dti)
Dfr-(Dti)
Dlø-(Dti)
Dsø-(Dti)

En dreng der er født efter:
(Dti)-Dma
(Dti)-Dti
(Dti)-Don
(Dti)-Dto
(Dti)-Dfr
(Dti)-Dlø
(Dti)-Dsø

(Dti)-Dti er ikke det samme som Dti-(Dti). Så ville Pma-(Dti) også være det samme som (Dti)-Pma

Så dette giver også ½.
Puha. For, at tirsdag oplysningen skulle have haft indflydelse på sandsynligheden, ville ikke bare have forpurret intuition men også logik.

Af hvad jeg kan se drejer det sig om at navngivningen er for dårlig.

Bare fordi at de oplysninger du har på to børn er ens, gør ikke at de er den samme.

Til dem der gerne vil bruge mønter. Prøv at give den ene har et hak. Eller brug en svensk som en anden nævnte:)

Det dette kan lære os er, at selvom man har en Ph.D(Jens Ramskov) eller holder store foredrag(Gary Foshee) kan man godt tage fejl.

Det viser os også at mange som udgangspunkt har en god intuition, men desværre er uden evne til at formidle den.
Og at flere af dem bukker under for retorisk pres uden argument som:

”Men Foshees konklusion er urokkelig. ”

”Læserstormen viser, hvor let intuitionen kan gå fløjten, når det drejer sig om selv simpel sandsynlighedsregning.”

”Tænk dig godt om
Nu er du advaret”

”De fleste hævder, at svaret er 1/2 i begge situationer. Jeg har dog også fået lige så skråsikre henvendelser om, at svaret på tirsdagsspørgsmålet er 6/13 og 10/21. ”

”Flere læsere har jeg kommunikeret direkte med. Det har efter et par mails frem og tilbage resulteret i svar tilbage som disse:

”Du har selvfølgelig ret og har givet mig en fantastisk aha-oplevelse. Tak for det!”

” Tak Jens – det overbeviser mig.” ”

Jeg skrev selv til Jens Ramskov med spørgsmålet fra starten:

”Han har en dreng Dti. Det andet barn kan være født før eller efter og være en dreng eller en pige.

En pige der er født før: P-Dti
En pige der er født efter: Dti-P
En dreng der er født før: D-Dti
En dreng der er født efter: Dti-D

Er der flere muligheder?
Eller er der nogle der ikke skal være der?”
Citat Mig

Jeg fik ikke svar på spørgsmålet, men bare endnu en fremstilling af deres fejlberegning. Heri brugte han også retorisk fremlægning:

”Lad mig svare på denne måde:

Min ven kaster en mønt op i luften og spørger mig: Med hvilken sandsynlighed vil du sige, at jeg har fået ’krone’. Der er to lige sandsynlige muligheder, plat eller krone, så jeg siger straks: ½.

Min ven siger: Rigtigt.”

Hvert punkt slutter med ”Min ven siger: Rigtigt.” Denne form for retorik er brugt i flere religioner. Den er designet til at give lytteren en fornemmelse af at hans ven, og dermed prædikanten, kender den endegyldige sandhed.

Jeg vil her gerne takke Jens Ramskov for at have vist mig hvor usaglig sådanne retoriske udtagelser, uden argumenter, er. Det gjorde mig netop opmærksom på mine egene tilbøjeligheder til det. Her er nogle sætninger fra mit første indlæg som jeg vil stræbe efter ikke at bruge fremover:

”Utroligt det her har gået hele jorden rundt. Det får mig til at tænke på religion for pøblen.”

”Så selvom sandsynlighedsregning nogle gange, især for den mindre intelligente hjerner, kan virke helt mærkelig. Hænger sandsynlighedsregning og intuition i dette tilfælde helt fint sammen.”

Jeg vil så til mit forsvar sige at jeg ikke er skribent på Ingeniøren, men bare en interesseret nørd med alt for meget tid til rådighed.

Denne form for prædiken burde ikke være i en artikel i ingeniøren.

PS:
Bjarne Jensen: Dit indlæg fik mig til at tvivle og føle at hovmod står for fald. Mest af alt fordi jeg fuldtud havde fuldt min intuition, stik imod hvad Jens Ramskov havde ”advaret”, uden at have gennemtænkt problemstillingen helt, samtidigt med at jeg kom med arrogante retoriske kommentarer. Uden disse kommentarer, havde der ikke været noget problem. Så tak for det. Men jeg tror nu stadigt ikke jeg behøver at dukke mig.

  • 0
  • 0

Hej, jag tror jag förstår hur du känner dig....

Kasta ett mynt två ggr var veckodag.
Med sidorna P och D.
Ty två barn kan vara födda vilken veckodag som helst men inte fler än två på en veckodag.

Då får du 14X14 kombinationer.

Eller hur?

Så tar du bort alla som inte innehåller en Dti

Se http://www.balmer-arbjerg.dk/t....png ovan

Där har du utfallsrummet, eller kan du tillföra eller avföra något?

Så tar du bort alla utom DD..

Om du kastar ett mynt två ggr, finns det fyra kombinationer var dag.

Om du tar bort PP finns det tre, ty du kan inte få DD på två olika vis.

  • 0
  • 0

Pyh, det her har kostet en del nattesøvn - især fordi det irriterede mig, at selv om al logik sagde, at tilfældige oplysninger om den ene dreng ingen indflydelse burde have på sandsynligheden af kønsfordelingen, så kunne jeg ikke pin-pointe hvad der gik galt i folks udregning af 13/27 resultatet. Men under morgenbruseren var den der pludselig!

Det er i det sidste udsagn det går galt:
"Det første barn er en dreng født på en af ugens syv dage - det andet barn er DTi. Det er nu kun seks nye kombinationer, idet kombinationen med begge drenge født på en tirsdag allerede er medtaget."

Men dette kan man ikke, fordi man lige inden har optalt 7 udfald, hvor der er også er 2 drenge og hvor det første barn er DTi. Problemet er her, at faren kun beskriver ET af børnene som en dreng født på en tirsdag. Vi ved ikke hvilken af dem, men vi kan kun tage udfaldene med fra en af drengene.
Dermed elimineres de sidste 6 udfald, og regnestykket bliver dermed 7/21, som jo så giver 1/3.

  • 0
  • 0

Scenarie: Der er kastet 2 mønter, og det er oplyst, at den ene mønt er plat svensker (Förlåt til broderfolket ;-)).
Ser vi bort fra nationaliteten, er vi enige om, at der ville der være 3 relevante udfald (PP, PK, KP), hvoraf kun den ene (PP) giver gevinst, og dermed har vi sandsynligheden 1/3.
Så siger vi, at den platte også er Svensk, men det gør jo ingen forskel, idet du ikke ved om det er den første eller anden mønt der er plat + svensk, og dermed har du stadig de 3 ovennævnte mulige udfald og dermed den samme sandsynlighed.

Poul, du kunne jo prøve at kaste mønterne...

Jeg har lige gjort det. I mangel af en svensk krone brugte jeg to danske tiere, hvor den ene var mærket med et tydeligt kryds.

Jeg kastede 100 gange og fik 29 gange PP, 23 gange KK og 48 gange PK. Sandsynligheden for PP er 29% - nogenlunde tæt på de forventede 25%.

Så udelukkede jeg de 23 KK. Nu er der 29 PP ud af 77 udfald. Det giver en sandsynlighed på 30% for PP. Nogenlunde tæt på de forventede 33%.

Hermed ser vi, at sandsynligheden ændrer sig med den yderligere viden, at mindst den ene mønt er P.

Men jeg skrev også ned, hvornår mønten med krydset (den svenske kroner) var plat. Det var den i 55 kast - nogenlunde tæt på de forventede 50%. Der var 26 P'K og (selvfølgelig) 29 P'P.

Dermed er sandsynligheden for PP på 53 procent - nogenlunde tæt på de (af mig, men ikke af dig) forventede 50%, fordi vi nu ved så meget om den ene mønt, at vi kan se forskel på dem.

Prøv selv at kaste mønterne, så lærer du hurtigt at intuitionen ikke slår til. Sværere er det ikke - og det er faktisk dit eget eksempel, jeg har brugt...

Det er altså ret logisk, at sandsynligheden stiger, når man fastholder antallet at positive udfald (PP) og reducerer udfaldsrummet med ny viden, selv om denne viden ikke påvirker sandsynligheden for at slå P eller K. Men åbenbart ikke Poul-intuitivt.

Bare ærgerligt, at det er nødvendigt at kaste med mønter, når langt bedre og endnu mere overbevisende simuleringer er udført tidligere i tråden...

  • 0
  • 0

de vil alle vil blive klumpet sammen i de 3 tilbageværende udfald (DD, DP og PD), der har relevans for konteksten.

Ja, det er rigtigt, men nu har de tre udfald ikke samme sandsynlighed (fordi de nu ikke hver er på 49/147), men henholdsvis 13/27, 7/27 og 7/27.

  • 0
  • 0

Hvorfor skal jeg tegne en 14x14 tabel, når opgaven siger at jeg skal tegne en 2x2 tabel? Husk, for at kunne løse opgaven skal man forstå spørgsmålet.

Fordelen ved en 14x14 tabel er, at dér er alle udfaldende lige sandsynlige ... og nej, du har ikke forstået spørgsmålet

  • 0
  • 0

Du har helt ret. Sandsyndligheden er stadig 1/3.

!!!!! EN TREDJE DEL !!!!

Jeg måtte også sove på problemet. En bridgespillende kollagas hint om, at det lignede en problem som kaldes "reglen om begrænset valg", fik mig på rette spor.

Der rigtig nok 14 kombinationer med pige/dreng+tirsdag. Der er en kombi med begge dreng+tirsdag, og 12 kombi med dreng+tirsdag/dreng+anden dag.

!!!!! MEN !!!!!!

Halvdelen af de sidste 12 falder bort, idet det faderen hveranden gang vil vælge, at fortælle den anden drengs fødsels-ugedag.

Dermed bliver regenstykket:
(1+12/2)/ (7 + 7 + 1 + 12/2) = 7/21 = 1/3

Altså som alles intuition siger, ændres sandsynligheden IKKE af en anden uafhængig hændelses udfald!

  • 0
  • 0

@Jan

Men jeg skrev også ned, hvornår mønten med krydset (den svenske kroner) var plat. Det var den i 55 kast - nogenlunde tæt på de forventede 50%. Der var 26 P'K og (selvfølgelig) 29 P'P.

Dine beregninger er sådan set korrekte, men du overser en enkelt ting: I mit eksempel er det kun oplyst, at den ene mønt er svensk - det nævnes ikke, at den anden også kan være svensk. Ved at sætte prik på den ene mønt og ikke den anden, så antager du, at den anden mønt ikke er svensk, og dermed får du et andet resultat.

Hvis vi skal relatere dit eksempel til den oprindelige opgave, så svarer det til at vi omskriver farens udsagn til: "Den FØRSTEFØDTE" er en dreng". Dermed elimineres både udfaldene PD og PP, og dermed bliver sandsynligheden 1/2, ligesom i dit eksempel.

  • 0
  • 0

Pyh, det her har kostet en del nattesøvn - især fordi det irriterede mig, at selv om al logik sagde, at tilfældige oplysninger om den ene dreng ingen indflydelse burde have på sandsynligheden af kønsfordelingen, så kunne jeg ikke pin-pointe hvad der gik galt i folks udregning af 13/27 resultatet. Men under morgenbruseren var den der pludselig!

Det er i det sidste udsagn det går galt:
"Det første barn er en dreng født på en af ugens syv dage - det andet barn er DTi. Det er nu kun seks nye kombinationer, idet kombinationen med begge drenge født på en tirsdag allerede er medtaget."

Men dette kan man ikke, fordi man lige inden har optalt 7 udfald, hvor der er også er 2 drenge og hvor det første barn er DTi. Problemet er her, at faren kun beskriver ET af børnene som en dreng født på en tirsdag. Vi ved ikke hvilken af dem, men vi kan kun tage udfaldene med fra en af drengene.
Dermed elimineres de sidste 6 udfald, og regnestykket bliver dermed 7/21, som jo så giver 1/3.

@Poul:
Hvis vi læser teksten som om der står: "jeg har NETOP en tirsdagsdreng", så har du ret i at sandsynligheden ændres en smule - men ikke til 1/3. Den ændres i stedet til 12/26, en smule lavere end hvis begge drenge kan være tirsdagsdrenge. Den sproglige forklaring er, at du fjerner et gunstigt udfald såvel som et muligt udfald, hvilket selvfølgelig sænker sandsynligheden en smule.
Den matematiske forklaring er, at at de sidste seks udfald ikke fjernes (tvekønnet udfald ændres ikke):
- Dtir født først kan kombineres med dreng født på en af seks ugedage (alle undtagen tirsdag) = seks udfald
- Dreng født på en af seks ugedage (alle undtagen tirsdag) kan stadig kombineres med DTir = seks udfald
Vi har således 12/26.

Men manden siger netop ikke "den ene er en dreng, og kun han er født en tirsdag". Under alle omstændigheder giver stadig ikke 1/3, men tæt på 1/2.

@Morten Knudsen:
Du bliver ved at ville skelne mellem drengene i DD, uagtet der ikke er givet nogen information til at gøre dette i casen med 1/3 som svar.
Der kan netop skelnes mellem DP og PD fordi de to børn kan adskilles på køn (en unik atribut). Dette er kombinatorik grundkursus.

Citat:
"Hvis man ikke vil tage stilling til rækkefølgen ved DD, må man heller ikke gøre det ved PD, DP.

Denne fejlantagelse fjerner en mulighed og får 2/4 til at blive til 1/3 og 14/28 til at blive 13/27."

Du kan ikke fjerne en af DP PD udfaldende, da du ikke ved hvilken...Det er en grundpille i sansynlighedsregning:
P= gunstige udfald / mulige udfald. Der findes ikke halv-gunstige eller halv-mulige udfald :-)
Det er et muligt udfald såfremt du ikke med 100 % sikkerhed kan fjerne det.

Du skriver:
"En pige der er født før: P-Dti
En pige der er født efter: Dti-P
En dreng der er født før: D-Dti
En dreng der er født efter: Dti-D

Er der flere muligheder?
Eller er der nogle der ikke skal være der?”
Citat Mig"
Ja, der er flere muligheder. Hvis Dtir skal beskrives ved andet end sit køn, skal de andre også. Dette er altså almen kombinatorik. Derved får du Jens' 13/27 og ikke 1/2.
Ellers tillægger du tirsdagsdrengen en 100 % unik attribut - han er den eneste der kan være født på en ugedag - de andre er bare født :-) (kan du selv se dette paradoks)
Ved en 100 % unik attribut svarer det til viden om fødselsrækkefølgen, hvor vi jo kan fjerne enten DP eller PD og får 1/2 - lige som du gør her.

nyt citat:
"Nu med ugedage(for at holde styr på den oplyste dreng sættes der parentes om ham(Dti):
(Dti)-Dti er ikke det samme som Dti-(Dti). Så ville Pma-(Dti) også være det samme som (Dti)-Pma

Så dette giver også ½.
Puha. For, at tirsdag oplysningen skulle have haft indflydelse på sandsynligheden, ville ikke bare have forpurret intuition men også logik."

Her begår du din store brøler (igen). Du putter parentes omkring den kendte Dti, "så du kan holde styr på ham." Fantastisk. Men den oplysning har du jo netop ikke fået.
Du kan NETOP IKKE skelne mellem to drenge født på en tirsdag. Hvilken oplysning bruger du til det?
Blev han født i en parentes som eneste barn og kan nu altid iagttages iført sin parentes? :-D
Hvis du ikke har fået dette at vide, kan du ikke bruge denne oplysning.

Sandsynlighed P = gunstige / mulige udfald. Kombinatorik benyttes til at bestemme de mulige udfald og alle disse skal være unikke kombinationer. Betvivler du dette?

  • 0
  • 0

Jeg nærlæste det oprindelige spørgsmål.

Jeg vil nok holde på at svaret til begge spørgsmål, med og uden tirsdag er 50%, idet der både med hensyn til valg af køn og med hensyn til valg af dato er et (begrænset) valg.

Hvis opgaven havde lydt: "givet, at vi kigger på mængden af familier, hvorom det gælder, at de mindst har en dreng og, at denne dreng er født en tirsdag, hvad er da sandsynligheden for, at den anden er en dreng"

Men det er en anden opgave end den stillede. For hvis opgavestilleren havde både en pige og en dreng, kunne han ligeså godt have fortalt at den ene var en pige, medmindre vi ved, at han altid vil sige dreng, hvis den ene er en dreng.

Altså hvis du nogensinde får en opgave: "Jeg har to børn, den ene er en pige, hvad er kønnet på den anden." Må du svare: 100% pige! Fordi hvis den ene havde været en dreng, ville du ikke have stillet opgaven.

  • 0
  • 0

Dermed bliver regenstykket:
(1+12/2)/ (7 + 7 + 1 + 12/2) = 7/21 = 1/3

Altså som alles intuition siger, ændres sandsynligheden IKKE af en anden uafhængig hændelses udfald!

De var da rart, at der var andre der også kunne se lyset (selvom nogen sikkert stadig vil kalde det "blålyset";-) ).

Tankevækkende, at så mange forstandige mennesker kan forledes til at tro på noget, som er så logisk/intuitivt indlysende forkert, med lidt finurlig fejlbehæftet matematisk input kombineret med omgang namedropping...

  • 0
  • 0

Citat Sten 09:54.

Du har helt ret. Sandsyndligheden er stadig 1/3.

!!!!! EN TREDJE DEL !!!!

Jeg måtte også sove på problemet. En bridgespillende kollagas hint om, at det lignede en problem som kaldes "reglen om begrænset valg", fik mig på rette spor.

Der rigtig nok 14 kombinationer med pige/dreng+tirsdag. Der er en kombi med begge dreng+tirsdag, og 12 kombi med dreng+tirsdag/dreng+anden dag.

!!!!! MEN !!!!!!

Halvdelen af de sidste 12 falder bort, idet det faderen hveranden gang vil vælge, at fortælle den anden drengs fødsels-ugedag.

Dermed bliver regenstykket:
(1+12/2)/ (7 + 7 + 1 + 12/2) = 7/21 = 1/3

Altså som alles intuition siger, ændres sandsynligheden IKKE af en anden uafhængig hændelses udfald!

Her har du nok fat i noget rigtigt. Men det forudsætter, at vi ændrer opgaveteksten en smule:
"En mand med to børn bliver spurgt om køn og fødselsugedag på det ene barn og svarer: en dreng født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for at han har to drenge"
vs.
"En mand har to børn, heraf er den ene en dreng født en tirsdag"
Opgave teksten gør ikke 100 % klart hvilken af de to udlægninger, der er korrekt. Derfor kan din tolkning nok forsvares.
Som også nævnt af andre tidligere i tråden.

Alle andre udlægninger udviser manglende forståelse for kombinatorik og sandsynlighedsregning.

Så jeg foreslår at alle fremtidige indlæg starter med at nævne hvilken af de to tolkninger man forholder sig til (er der andre tolkninger, der har substans i den oprindelige tekst?)

  • 0
  • 0

Update:
jeg ser du (sten) har tilføjet en kommentar før jeg trykkede "send".
Vil du ikke være så venlig at forklare den seneste udlægning vha kombinatorik - med andre vise hvordan spørgerens valg af data til sit spørgsmål indvirker på resultatet.
Du har allerede vist at han hver anden gang ville vælge den anden dreng når han har to drenge. Vil du vise påvirkningen af de to øvrige (DP PD)?

Afviser du, at opgaveteksten ligesåvel kunne tolkes
som "En mand har to børn. Den ene en dreng født en tirsdag."??
Vi er enige om, at din tolkning i hvert fald holder.

vh
Jacob

  • 0
  • 0

@Morten Knudsen

En pige der er født før: P-Dti
En pige der er født efter: Dti-P
En dreng der er født før: D-Dti
En dreng der er født efter: Dti-D

Er der flere muligheder?
Eller er der nogle der ikke skal være der?

Nej vel!

Det er ½.

Husk, at ikke alle udfald behøver at have samme sandsynlighed!
Vi ved, at ved den fødselsrate vi forudsætter (50% chance for dreng/pige ved hver fødsel) så er sandsynligheden ens for hhv. PP, DD, PD og DP, nemlig 1/4. Og når vi udelukker PP, så bliver det 1/3 til hver.

I dit eksempel skal udfaldene Dti-P og P-Dti dermed begge tildeles sandsynligheden 1/3, men da D-Dti og Dti-D skal dele om den sandsynlighed, der er tildelt DD (1/3), så er der kun 1/6 sandsynlighed til hver.

Husk, at hvis du opdeler et udfald i sub-udfald, så må summen af sub-udfaldenes sandsynlighed ikke overstige sandsynlighed for det overordnede udfald.

Det er også det der går galt i den oprindelige opgave: Her bliver PP opdelt i flere sub-udfald end DP og PD, og da det fejlagtigt antages, at alle sub-udfaldene har samme sandsynlighed, så får man et skævt resultat.

  • 0
  • 0

Morten Knudsen:

PS:
Bjarne Jensen: Dit indlæg fik mig til at tvivle og føle at hovmod står for fald. Mest af alt fordi jeg fuldtud havde fuldt min intuition, stik imod hvad Jens Ramskov havde ”advaret”, uden at have gennemtænkt problemstillingen helt, samtidigt med at jeg kom med arrogante retoriske kommentarer. Uden disse kommentarer, havde der ikke været noget problem. Så tak for det. Men jeg tror nu stadigt ikke jeg behøver at dukke mig.

Morten, vil du og alle de andre, der hævder noget andet end det man kan komme frem til ved ædruelig sandsynlighedsregning, så være så venlige at forklare, hvorfor Frederik Bache's fine simulering tidligere i tråden ikke er i overensstemmelse med jeres påstande.

Bemærk, at det er en jordnær simulering uden nogen andre antagelser, end at det er børn født på en eller anden ugedag - altså så tæt på virkeligheden vi kan komme:

http://webvaerk.dk/demo/tuesday-boy/

  • 0
  • 0

Bjarne, som Sten har påpeget ovenfor, så kan opgaven med rette tolkes anderledes, ud fra den givne tekst. Du bør derfor angive hvad din tolkning er, som jeg anførte kl 10:57 i dag.

vh

  • 0
  • 0

Jacob Barford:

Bjarne, som Sten har påpeget ovenfor, så kan opgaven med rette tolkes anderledes, ud fra den givne tekst. Du bør derfor angive hvad din tolkning er, som jeg anførte kl 10:57 i dag.
vh

"Jeg har to børn. Den ene er en dreng, som er født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?"

Det bliver ikke klarere - og mindre omformuleringer ændrer intet.

  • 0
  • 0

SÅ fattede jeg (vistnok) endelig sammenhængen:
Den hjemmeside ledte mig på sporet: http://webvaerk.dk/demo/tuesday-boy/

Denne påviser 13/27 sandsynligheden i et nogenlunde lignende scenarie, men formuleringen af opgaven er afgørende anderledes:

I nærværende opgave (Opg1) er formuleringen: "Jeg har to børn. Den ene er en dreng, som er født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?"

I webvaerk (Opg2) lyder det: "Først genereres to tilfældige børn (enten dreng/pige og født en af ugens syv dage), derefter undersøges om en af disse er en dreng født tirsdag." Ved et hit beregnes sandsynligheden for 2 drenge.

Forskellen på de 2 scenarier er:
I Opg1 oplyser en i forvejen udvalgt far, at det ene af hans 2 børn er en dreng og er født en tirsdag. Familien er dermed ikke udvalgt efter at drengen er født præcist en tirsdag, og derfor er oplysningen tilfældig og dermed irrelevant for beregningen af sandsynligheden af kønnet af det andet barn, og derfor bliver sandsynligheden 1/3 for 2 drenge.

I Opg2 udsøges derimod kun de familier, som har mindst 1 dreng som specifikt er født på en tirsdag. Det afgørende er her, at familier med 2 drenge har 2 chancer for at ramme den specificerede ugedag og har dermed væsentligt større sandsynlighed for at blive udvalgt end familier med kun 1 dreng. Og dermed bliver sandsynligheden 13/27.

  • 0
  • 0

SÅ fattede jeg (vistnok) endelig sammenhængen:
Den hjemmeside ledte mig på sporet: http://webvaerk.dk/demo/tuesday-boy/

Denne påviser 13/27 sandsynligheden i et nogenlunde lignende scenarie, men formuleringen af opgaven er afgørende anderledes:

I nærværende opgave (Opg1) er formuleringen: "Jeg har to børn. Den ene er en dreng, som er født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?"

I webvaerk (Opg2) lyder det: "Først genereres to tilfældige børn (enten dreng/pige og født en af ugens syv dage), derefter undersøges om en af disse er en dreng født tirsdag." Ved et hit beregnes sandsynligheden for 2 drenge.

Forskellen på de 2 scenarier er:
I Opg1 oplyser en i forvejen udvalgt far, at det ene af hans 2 børn er en dreng og er født en tirsdag. Familien er dermed ikke udvalgt efter at drengen er født præcist en tirsdag, og derfor er oplysningen tilfældig og dermed irrelevant for beregningen af sandsynligheden af kønnet af det andet barn, og derfor bliver sandsynligheden 1/3 for 2 drenge.

I Opg2 udsøges derimod kun de familier, som har mindst 1 dreng som specifikt er født på en tirsdag. Det afgørende er her, at familier med 2 drenge har 2 chancer for at ramme den specificerede ugedag og har dermed væsentligt større sandsynlighed for at blive udvalgt end familier med kun 1 dreng. Og dermed bliver sandsynligheden 13/27.

Der er ingen forskel på de to opgaver. I begge tilfælde er der udvalgt en far/familie med én dreng på en tirsdag. Frederik Baches program undersøger jo netop ALLE familier med mindst én tirsdagsdreng - og kun dem.

Dvs. at i din Opg2 undersøges kun i forvejen udvalgte familier - præcis som i Opg1.

  • 0
  • 0

Der er ingen forskel på de to opgaver. I begge tilfælde er der udvalgt en far/familie med én dreng på en tirsdag. Frederik Baches program undersøger jo netop ALLE familier med mindst én tirsdagsdreng - og kun dem.

Dvs. at i din Opg2 undersøges kun i forvejen udvalgte familier - præcis som i Opg1.

Bjarne, prøv at nærlæs opgaveformuleringerne.
Den afgørende forskel er, at der i Opg1 ingen oplysninger foreligger om, at familien er blevet udvalgt fordi de har en dreng, som specifikt er født på en tirsdag.
Derfor må vi gå ud fra, at faren bare nævner den tilfældige ugedag, som drengen er født.

  • 0
  • 0

Til Brian Petersen

Forestil dig at du har fire kugler i en bowle. To sorte og 2 hvide. Den ene sorte har en hvid prik og den ene hvide har en sort prik. ... En mand trækker en kugle uden at du ser med og lægger den tilbage. Nu kommer du ind og skal gætte hvilken kugle han tog. Men han er en flink fyr så han fortæller dig at der i hvert fald er sort på kuglen. Du kan altså fjerne den der kun er hvid. Hvad er sandsynligheden nu for at gætte hvilken en manden tog? Nu skulle du gerne rent intuitivt sige 1/3. Også selv om du ved, at hvis han havde fortalt dig om den sorte farve var kuglen eller prikken på kuglen (svarende til om drengen er førstefødt eller ej) så kunne du have fjernet den ene af kuglerne med to farver. Det fortalte han nemlig ikke og derfor kan du ikke fjerne den ene af de to-farvede kugler.

Nu skal du vist passe på hvilke spil du indfører.

Hvis du udfører dette kuglespil mange gange, så kan det ALTID bedst betale sig, at gætte på at personen har trukket en ensfarvet kugle. Det skyldes at han, når han trækker en ensfarvet sort kugle altid vil sige at "der er sort på den", mens han - når han trækker en sort/hvid kugle - kun i halvdelen af tilfældene vil sige "sort på kuglen" og de andre gange sige "hvid på kuglen".

Så hvis han siger "der er hvidt på kuglen", så skal du gætte på den helt hvide kugle og hvis han siger "der er sort på kuglen" så skal du gætte helt sort. Dermed vil du gætte rigtigt i 50% af tilfældende - nemlig i de 50% af tilfældende, hvor han trækker en ensfarvet kugle. Hvis du gættede på en af de 2-farvede muligheder, så ville du kun gætte rigtigt i 1/4 af tilfældende.

Det viser faktisk lidt samme problemstilling som trådens problem.

Hvis vi antager at Foshee selv har valgt at sige: "Jeg har en dreng", og selv har foretaget valget mellem dreng og pige, så bekender jeg mig til folket med løsningen 1/2. Men hvis vi - som man normalt gør i den slags opgaver - betragter situationen som en antal gunstige/antal mulige udfald i hele populationen, så er det naturligvis 1/3 og 13/27, der er korrekt.

Det svarer til de to forskellige situationer:

Situation 1: Du samler 196 fædre med 2 børn. Du beder alle fædre med en dreng født på en tirsdag gå ind i et rum. Der vil i gennemsnit gå 27 fædre derind, 14 med en dreng og 13 med 2 drenge. Tæl selv op. Det svarer til simpelt at tælle antallet af mulige og gyldige udfald i verden op - og svarer også nøjagtigt til de meget fine 14x14 matricer flere har sat op, og som viser situationen på smuk smuk vis.

Situation 2: Du samler 196 fædre med 2 børn. Du laver nu 7 rum, et for hver dag, og beder alle fædre med mindst en dreng om at gå ind i et rum, der svarer til en dag som deres dreng er født. De 49 fædre med 2 piger går hjem. I hvert rum går der nu ikke 27 fædre ind men kun 21. Der går stadig 14 med kun en dreng ind, for de er nødt til at vælge samme rum som før, da de kun har en dreng. Men af de 49 fædre med 2 drenge, der gik 13 før ind i tirsdagsrummet. Nu er der 1 af de 13 der helt sikkert går i tirsdagsrummet, nemlig ham med to tirsdagsdrenge, mens de 12 andre, som har en tirsdagsdreng og en ikke-tirsdagsdreng, kan vælge mellem 2 forskellige rum. Halvdelen vælger tirsdag, resten vælger de andre 6 dage. Dermed er der kun 21 fædre i hvert rum, og af de 21 har 7 af dem 2 drenge, og vi ender på 1/3.

Man kan gøre det samme kun med drenge og piger, og dermed kopiere kuglespillet. Bed en masse fædre om at gå ind i "mindst en dreng rummet" eller "mindst en pige" rummet, og se så på fordelingen i hvert rum. Der vil være 50% med 2 drenge i "mindst 1 dreng rummet", og det er fordi halvdelen af fædrene med 1 dreng og 1 pige er gået ind i "mindst 1 pige"-rummet.

Hvis du kun har et rum, og beder alle med mindst en dreng gå derind, så får du 1/3 med 2 drenge og 2/3 med kun 1 dreng.

Så vi kan altså kun svare på opgaven, hvis vi forestiller os noget om hvordan Foshee er kommet frem til sit statement om "jeg har en dreng", og "han er født en tirsdag". Jeg er mest tilbøjelig til at tro at Foshee har valgt udfra hvilke børn han rent faktisk har. Dvs - jeg tror - at han hvis han faktisk havde en pige og en dreng, så ville han med kun 50% sandsynlighed sige "jeg har en dreng". Mens hvis han har to drenge, ville han med 100% sandsynlighed sige "Jeg har en dreng". Dermed er der stadig 3 mulige udfald DD / DP / PD, men der er ikke lige stor sandsynlighed for de 3 udfald. DP OG PD har kun halvt så stor sandsynlighed fordi han foretog valget at sige dreng. Dermed ender man på 50% for 2 drenge.

Men hvis en person havde spurgt ham "har du en dreng", så er svaret naturligvis en sandsynlighed på 1/3 for at han har to drenge.

Rigtig sjov opgave i øvrigt og rigtig sjov tråd. Og folk skal nok generelt undlade at kaste om sig med udsagn som "manglende forståelse" og "trivielt" og lignende. For trådens længde er dog en ret klar indikation på, at det IKKE er trivielt.

  • 0
  • 0

[quote]
Der er ingen forskel på de to opgaver. I begge tilfælde er der udvalgt en far/familie med én dreng på en tirsdag. Frederik Baches program undersøger jo netop ALLE familier med mindst én tirsdagsdreng - og kun dem.

Dvs. at i din Opg2 undersøges kun i forvejen udvalgte familier - præcis som i Opg1.

Bjarne, prøv at nærlæs opgaveformuleringerne.
Den afgørende forskel er, at der i Opg1 ingen oplysninger foreligger om, at familien er blevet udvalgt fordi de har en dreng, som specifikt er født på en tirsdag.
Derfor må vi gå ud fra, at faren bare nævner den tilfældige ugedag, som drengen er født. [/quote]

I den første opgave har jeg udvalgt mig selv, som en familie med en tirsdagsdreng. I den anden opgave gør Baches program det samme - udvælger familier med tirsdagsdrenge.

Hvis jeg nu havde udvalgt mig selv som en to-børnsfamilie med en onsdags-dreng, havde Bache vel bare ændret sit program til at gøre det samme - og situationen havde været helt den samme.

Der er ingen sandsynlighed i udvælgelsen af tirsdagsdrengsfamilien. Det er en givet betingelse - sandsynlighedsregning for begyndere.

  • 0
  • 0

Nu skal du vist passe på hvilke spil du indfører.

Hvis du udfører dette kuglespil mange gange, så kan det ALTID bedst betale sig, at gætte på at personen har trukket en ensfarvet kugle. Det skyldes at han, når han trækker en ensfarvet sort kugle altid vil sige at "der er sort på den", mens han - når han trækker en sort/hvid kugle - kun i halvdelen af tilfældene vil sige "sort på kuglen" og de andre gange sige "hvid på kuglen".

Så hvis han siger "der er hvidt på kuglen", så skal du gætte på den helt hvide kugle og hvis han siger "der er sort på kuglen" så skal du gætte helt sort. Dermed vil du gætte rigtigt i 50% af tilfældende - nemlig i de 50% af tilfældende, hvor han trækker en ensfarvet kugle. Hvis du gættede på en af de 2-farvede muligheder, så ville du kun gætte rigtigt i 1/4 af tilfældende.

Det viser faktisk lidt samme problemstilling som trådens problem.

Nu er det ikke sandsynligheden for at jeg gætter rigtigt vi leder efter, men sandsynligheden for at manden tog den helt sorte kugle i dette enkelte tilfælde. Den er selvfølgelig 1/3 da der er tre kugler tilbage at vælge imellem. Bemærk at der ingen steder indgår noget om at vi spiller spillet igen og igen og at informationen på nogen måde er en fast del af spillet.

Spillet hvor manden trækken en kugle og skal sige en farve der i hvert fald er på svarer til spørgsmålet: "En mand har to børn du får at vide hvad kønnet er på det ene barn, hvad er sandsynligheden for at det andet barn har samme køn?" Svaret på det er selvfølgelig 1/2, da halvdelen af alle to-børns kombinationer har samme køn.

  • 0
  • 0

kollap

Jeg fik samme tanker og syntes det er en god analogi.
Man kan vel næsten sige noget i stil med:

Sandsynlighedsrummet kollapser når der foretages en iagtagelse.

Jeg skal da indrømme at jeg selv har brugt meget tid på at blive "overbevist" !

Det er let nok at udvide legen med én egenskab så som "blå øjne eller ikke blå øjne" ( forudsat at de er lige sandsynlige .. ).
Jeg tegnede en træ-struktur og slettede de kombinationer der ikke var mulige.
Og fik 3/7

Så udvidede jeg legen med en fiktiv egenskab med 3 mulige udfald.
Og fik 5/11

Jeg kom frem til at hvis man tilføjer en "egenskab" med x udfaldsmuligheder ( alle muligheder er lige sandsynlige ) så vil regnestykket se således ud:

Sandsynlighed for 2 drenge er så:

P = (x+x-1)/(2x+2x-1)

Med x = 7 fås det velkendte resultat 13/27

Og ligningen verificerer også de to eksempler ovenfor med 2 og 3 "egenskaber".

Det har været en yderst lærerig artikel, tak for den!

  • 0
  • 0

Bjarne, prøv at slå matematikken fra et øjeblik, og istedet slå logikken til:

Opg1: Overfor dig står en mand, hvorom det eneste du ved er, at han er tilfældigt udvalgt til denne opgave udfra kriteriet at han har 2 børn, hvoraf mindst den ene er en dreng.
Godt så, med den sandsynlighedsberegning for begyndere, som du hævder at beherske, så vil du hurtigt regne ud, at sandsynligheden for 2 drenge er 1/3.
Han fortæller dig så nu, at drengen er født en tirsdag. Siger du så nu: "AHA, nu er sandsynligheden for 2 drenge pludseligt steget til over 48%!"? Nej, vel - det er jo rent nonsens at den oplysning skulle ændre på sandsynligheden, da denne parameter jo ikke indgik i udvælgelseskriteriet. Derfor er sandsynligheden stadig 1/3.

Opg2: Overfor dig står en mand, hvorom det eneste du ved er, at han er tilfældigt udvalgt til denne opgave udfra kriteriet at han har 2 børn, hvoraf mindst den ene er en dreng der er født på en tirsdag.
Godt så, nu ved du, at hvis han har 2 drenge, så er der væsentligt større chancer for at ramme tirsdagen (et "skud" pr. dreng) og dermed blive udvalgt til denne opgave, end hvis han kun havde 1 dreng. Og med lidt beregning (eller et snydekig længere oppe i tråden) vil du kunne beregne, at sandsynligheden for 2 drenge er 13/27.

  • 0
  • 0

Hej Bjarne

Opg1: Overfor dig står en mand, hvorom det eneste du ved er, at han er tilfældigt udvalgt til denne opgave udfra kriteriet at han har 2 børn, hvoraf mindst den ene er en dreng.

Opg2: Overfor dig står en mand, hvorom det eneste du ved er, at han er tilfældigt udvalgt til denne opgave udfra kriteriet at han har 2 børn, hvoraf mindst den ene er en dreng der er født på en tirsdag.

Hvorfor synes du Foshee's eksempel svarer til Opg 1? Og ikke Opg 2?

Jeg er enig med dig langt hen ad vejen. Hvis en anden person i Opg 1 i stedet spørger "Har du en dreng, der er født en tirsdag", og der så svares ja, så ryger vi f.eks. igen ned i eksempel 2 og 13/27.

Men når Foshee udtaler "Jeg har en dreng" eller "jeg har en dreng født tirsdag, hvorfor mener du så det svarer til Opg 1 og ikke Opg 2? Eller i øvrigt til Opg 3, hvor manden kun er udvalgt udfra, at han har 2 børn uanset kønnet. For det giver jo et helt 3. resultat.

  • 0
  • 0

Poul Bundgaard:

Bjarne, prøv at slå matematikken fra et øjeblik, og istedet slå logikken til:

Opg1: Overfor dig står en mand, hvorom det eneste du ved er, at han er tilfældigt udvalgt til denne opgave udfra kriteriet at han har 2 børn, hvoraf mindst den ene er en dreng.
Godt så, med den sandsynlighedsberegning for begyndere, som du hævder at beherske, så vil du hurtigt regne ud, at sandsynligheden for 2 drenge er 1/3.
Han fortæller dig så nu, at drengen er født en tirsdag. Siger du så nu: "AHA, nu er sandsynligheden for 2 drenge pludseligt steget til over 48%!"? Nej, vel - det er jo rent nonsens at den oplysning skulle ændre på sandsynligheden, da denne parameter jo ikke indgik i udvælgelseskriteriet. Derfor er sandsynligheden stadig 1/3.

Opg2: Overfor dig står en mand, hvorom det eneste du ved er, at han er tilfældigt udvalgt til denne opgave udfra kriteriet at han har 2 børn, hvoraf mindst den ene er en dreng der er født på en tirsdag.
Godt så, nu ved du, at hvis han har 2 drenge, så er der væsentligt større chancer for at ramme tirsdagen (et "skud" pr. dreng) og dermed blive udvalgt til denne opgave, end hvis han kun havde 1 dreng. Og med lidt beregning (eller et snydekig længere oppe i tråden) vil du kunne beregne, at sandsynligheden for 2 drenge er 13/27.

Jeg har både matematikken, logikken og simuleringerne (= "virkeligheden") på min side.

Jeg kan ikke se, at dine to opgaver er forskellige. I begge tilfælde er der en given betingelse: en to-børns familie med mindst én dreng, der er født på en tirsdag.

Dernæst undersøges udfaldsrummet for familier, der opfylder denne betingelse. Dette antal i forhold til alle familer med netop to børn giver netop p=13/27.

Det der med at at parameteren tirsdag ikke indgik i udvælgelsesparamerteren i opgave 1 er rent vrøvl.

  • 0
  • 0

Kære Poul,

Du undviger som en dreven politiker, der er fanget i en fejlagtig påstand.

Prøv nu bare at
1) sætte dig ind i begrebet betinget sandsynlighed
2) tæl (evt. i http://www.balmer-arbjerg.dk/tirsdagsdreng...)

Det er OK at blive klogere. Vi er ved at være derude hvor argumenternes troværdighed er omvendt proportionale med længden af debatindlæg.

Keep it simple and stupid, brug de oplysninger der er og undgå at bedrive fri fantasi.

  • 0
  • 0

Rettelse til mit indlæg ovenfor:

Dernæst undersøges udfaldsrummet for familier, der opfylder denne betingelse. Dette antal i forhold til alle familier med netop to børn, hvor af én er en tirsdagsdreng, giver netop p=13/27.

  • 0
  • 0

Kære Poul,

Hvorfor gøre det så besværligt at finde på to klodsede omskrivninger af den oprindelige opgave (der iøvrigt ikke er forskellige) når vi har en, der er helt præcis formuleret:

»Jeg har to børn. Det ene er en dreng født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, jeg har to drenge?«

Mere kort og præcist kan det vel ikke formuleres.

  • 0
  • 0

Kære Poul,

Du undviger som en dreven politiker, der er fanget i en fejlagtig påstand.

Prøv nu bare at
1) sætte dig ind i begrebet betinget sandsynlighed
2) tæl (evt. i http://www.balmer-arbjerg.dk/tirsdagsdreng...)

Det er OK at blive klogere. Vi er ved at være derude hvor argumenternes troværdighed er omvendt proportionale med længden af debatindlæg.

Keep it simple and stupid, brug de oplysninger der er og undgå at bedrive fri fantasi.

Når folk begynder at nedgøre sine meddebattører, er det altid et sikkert tegn på, at de har malet sig op i et hjørne og er løbet tør for saglige argumenter.

Hvad med at prøve at forholde dig til argumenterne og f.eks. prøve at forklare hvordan de matematiske resultater forholder sig til virkeligheden.

  • 0
  • 0

Hej igen, Poul Bundgaard.

Bjarne, prøv at slå matematikken fra et øjeblik, og istedet slå logikken til:

Opg1: Overfor dig står en mand, hvorom det eneste du ved er, at han er tilfældigt udvalgt til denne opgave udfra kriteriet at han har 2 børn, hvoraf mindst den ene er en dreng.
Godt så, med den sandsynlighedsberegning for begyndere, som du hævder at beherske, så vil du hurtigt regne ud, at sandsynligheden for 2 drenge er 1/3.
Han fortæller dig så nu, at drengen er født en tirsdag. Siger du så nu: "AHA, nu er sandsynligheden for 2 drenge pludseligt steget til over 48%!"? Nej, vel - det er jo rent nonsens at den oplysning skulle ændre på sandsynligheden, da denne parameter jo ikke indgik i udvælgelseskriteriet. Derfor er sandsynligheden stadig 1/3.

Her er logikken:

I det første tilfælde (uden tirsdag) er udfaldsrummet meget større, da der kan være tale om en dreng, der er født på en hvilken som helst ugedag. Og der er også mange flere "ulovlige" kombinationer med piger.

I det andet tilfælde blive udfaldsrummet stærkt begrænset til tirsdagsdrenge og sandsynligheden for endnu en dreng øges stærkt.

Derfor er der fuld logik, som snart beskrevet utallige gange i tråden.

  • 0
  • 0

Nu er det ikke sandsynligheden for at jeg gætter rigtigt vi leder efter, men sandsynligheden for at manden tog den helt sorte kugle i dette enkelte tilfælde. Den er selvfølgelig 1/3 da der er tre kugler tilbage at vælge imellem. Bemærk at der ingen steder indgår noget om at vi spiller spillet igen og igen og at informationen på nogen måde er en fast del af spillet.

Om man leder efter sandsynligheden for at gætte rigtigt eller om sandsynligheden for en specifik kugle er vist to sider af samme sag.

Og om det er første gang eller 100. gang vi prøver dette eksperiment er også ligegyldigt.

Sandsynligheden for at han har taget den helt sorte kugle i dette tilfælde er 1/2 og ikke 1/3. Der er ganske rigtigt 3 kugler tilbage at vælge imellem, men de har ikke lige stor sandsynlighed. Der er sandsynligheden 50% for helt sort, 25% for hvid med sort prik og 25% for sort med hvid prik.

Jeg kan illustrere det ved at dele udfaldsrummet op i først 4 dele efter hvilken kugle han trækker [S,H,Sh,Hs], og derefter dele det op efter hvilken farve han vælger at nævne [sort, hvid]. Mulighederne er så:

S, sort: p=1/4
S, hvid: p=0 (Han siger aldrig hvid, med en helt sort bold)
H, sort: p=0
S, hvid: p=1/4
Sh, sort: p=1/8
Sh, hvid: P=1/8
Hs, sort: p=1/8
Hs, hvid: p=1/8

Så fjerner jeg alle de situationer der er udelukket fordi han rent faktisk sagde sort, og så er der kun disse 4 tilbage:

S, sort: p=1/4
Sh, sort: p=1/8
Hs, sort: p=1/8

Ergo er der 50% for at han har trukket den helt sorte bold.

Denne løsning er korrekt, under antagelsen af, at personen udvælger den farve han nævner tilfældigt. Hvad jeg vil hævde er det eneste logiske udgangspunkt.

Hvis det i stedet er mig, der spørger "Er der sort på kuglen", så er jeg HELT enig med dig i, at sandsynligheden naturligvis er 1/3, fordi det kan være 3 kugler, og chancen for hver enkelt er lige stor.

Spillet hvor manden trækken en kugle og skal sige en farve der i hvert fald er på svarer til spørgsmålet: "En mand har to børn du får at vide hvad kønnet er på det ene barn, hvad er sandsynligheden for at det andet barn har samme køn?" Svaret på det er selvfølgelig 1/2, da halvdelen af alle to-børns kombinationer har samme køn.

OK. Og hvad er forskellen på dette spil, og dit oprindelige spil?

1: En mand har 2 børn. Du får at vide at mandens ene barn er en dreng, hvad er sandsynligheden for at det andet barn har samme køn?

2: En mand har 2 børn. Du får at vide hvad kønnet er på det ene barn, hvad er sandsynligheden for at det andet barn har samme køn?

Det er da samme spørgsmål?

  • 0
  • 0

Kære Poul

Nå, nå - godt ord igen. Jeg synes nu bare du havde lidt travlt med at være efter andre med logikken...

Tilbage på sporet: Har du prøvet at tælle i tabellen eller prøvet at forholde dig til det udfaldsrum den viser?

Du må gerne være helt præcis når du tager stilling til om det ene eller andet felt skal tælles med eller ej.

  • 0
  • 0

Her er logikken:

I det første tilfælde (uden tirsdag) er udfaldsrummet meget større, da der kan være tale om en dreng, der er født på en hvilken som helst ugedag. Og der er også mange flere "ulovlige" kombinationer med piger.

I det andet tilfælde blive udfaldsrummet stærkt begrænset til tirsdagsdrenge og sandsynligheden for endnu en dreng øges stærkt.

Derfor er der fuld logik, som snart beskrevet utallige gange i tråden.

Beklager, Bjarne. Jeg kan ikke komme i tanker om hvordan jeg kan forklare dig forskellen mere tydeligt end jeg allerede har gjort. Jeg må stå af her.

  • 0
  • 0

Kære Poul

Nå, nå - godt ord igen. Jeg synes nu bare du havde lidt travlt med at være efter andre med logikken...

Tilbage på sporet: Har du prøvet at tælle i tabellen eller prøvet at forholde dig til det udfaldsrum den viser?

Du må gerne være helt præcis når du tager stilling til om det ene eller andet felt skal tælles med eller ej.

Hej Troels
Det emne har været under grundig behandling. Prøv at kigge længere oppe i tråden.
Hint: Humlen er, at ikke alle udfald har samme sandsynlighed.

  • 0
  • 0

[quote]Kære Poul

Nå, nå - godt ord igen. Jeg synes nu bare du havde lidt travlt med at være efter andre med logikken...

Tilbage på sporet: Har du prøvet at tælle i tabellen eller prøvet at forholde dig til det udfaldsrum den viser?

Du må gerne være helt præcis når du tager stilling til om det ene eller andet felt skal tælles med eller ej.

Hej Troels
Det emne har været under grundig behandling. Prøv at kigge længere oppe i tråden.
Hint: Humlen er, at ikke alle udfald har samme sandsynlighed.[/quote]

Ikke enig.
Ellers så fortæl hvilke celler i tabellen der adskiller sig fra de andre...

  • 0
  • 0

Opg1: Overfor dig står en mand, hvorom det eneste du ved er, at han er tilfældigt udvalgt til denne opgave udfra kriteriet at han har 2 børn, hvoraf mindst den ene er en dreng.
Godt så, med den sandsynlighedsberegning for begyndere, som du hævder at beherske, så vil du hurtigt regne ud, at sandsynligheden for 2 drenge er 1/3.
Han fortæller dig så nu, at drengen er født en tirsdag. Siger du så nu: "AHA, nu er sandsynligheden for 2 drenge pludseligt steget til over 48%!"? Nej, vel - det er jo rent nonsens at den oplysning skulle ændre på sandsynligheden, da denne parameter jo ikke indgik i udvælgelseskriteriet. Derfor er sandsynligheden stadig 1/3.

Poul, det er skægt at du godt kan acceptere ændringen af udfaldsrummet givet den første oplysning (en dreng), men ikke for aden anden oplysning (tirsdag) -- princippet er ellers fuldstændig det samme, illustreret af utallige indlæg og tabeller i denne tråd. Naturligvis har tirsdagsoplysningen betydning for sandsynligheden (pga. ændring af udfaldsrummet) på samme måde som oplysningen om at det ikke er to piger (eller hvis vi havde fået oplysningen "den ældste er en dreng)

  • 0
  • 0

OK. Og hvad er forskellen på dette spil, og dit oprindelige spil?

1: En mand har 2 børn. Du får at vide at mandens ene barn er en dreng, hvad er sandsynligheden for at det andet barn har samme køn?

2: En mand har 2 børn. Du får at vide hvad kønnet er på det ene barn, hvad er sandsynligheden for at det andet barn har samme køn?

Det er da samme spørgsmål?

Nej det er det ikke. I 2 kan du ikke udfra de angivne informationener fjerne nogen af udfaldene. Det kan du i 1. I 2 kan du hverken fjerne dd eller pp. Spørgsmålet svarer præcist til hvad er sandsynligheden for at have to børn af samme køn. I 1 kan du ikke gå ud fra at manden ville have sagt pige halvdelen af gangene hvor du har dp eller pd, for vi har ikke opsat nogen kriterier om at det overhovedet er en mulighed. De kriterier opstår først når vi udspørger flere mænd om deres børn. I 1 kan vi kun forholde os til det enkelte tilfælde og de informationer vi har til at begrænse løsningsrummet. I 2 har vi reelt ingen informationer til at begrænse løsningsrummet, da spørgsmålet egentlig blot er "Hvad er sandsynligheden for to børn af ens køn?".

  • 0
  • 0

Er netop kommet tilbage efter en lang tur til en anden landsdel og ser, at I kæmper videre.

Desværre tror jeg, at det er nyttesløst. Bemærk, at i mit tidligere forsøg med at kaste mønter efter Pouls anvisning, accepterer Poul helt uden videre:

  1. At kendskab til den ene drengs køn ændrer sandsynligheden til 1/3, fordi viden begrænser udfaldsrummet. (Og Poul - husk på, at dette kendskab ikke laver om på sandsynligheden på ½ for at et givet barn er en dreng).

  2. At kendskab til krydset på mønten ændrer sandsynligheden til ½ fordi yderligere viden begrænser udfaldsrummet endnu mere (Poul - heller ikke denne viden ændrer ved sandsynligheden for kønnet af et givent barn).

Poul er med andre ord helt enig med os, han ved det bare ikke selv :-D.

(Og Poul, dit argument med, at begge mønterne kan være svenske ændrer ikke noget - kom med sandsynlighederne for at den ene henholdsvis anden mønt er svensk, så er det til at overkomme at regne sandsynligheden for plat-plat ud, når en af mønterne i kastet er svensk-plat. Afhængigt af sandsynlighederne for mønternes svenskhed bliver det - surprise, surprise - et sted mellem mellem 1/3 og ½).

Til alle, der funderer over, hvad Foshee også kunne have spurgt om, så kunne det fx være:

Jeg har to børn, det ene er en pige. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to piger?

Jeg har to børn, det ene er en dreng. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har en pige og en dreng?

Faktisk kan han spørge om hvad som helst, men vi kan jo kun svare på det, han de facto spørger om.

I øvrigt mener jeg ikke, at det betyder noget som helst for opgaven, om han ligefrem skulle lyve om sine børn. Så han kunne også spørge sådan:

Jeg har 31 børn. De 19 er drenge, og tre er født på en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har 29 drenge og to piger?

Så stiller vi bare alle udfaldene op i en tabel (bevares, der skal et større ark papir til), finder det relevante udfaldsrum og tæller de sande kombinationer. En lille division, og problemet er løst.

Igen - tak til Bjarne og Troels.

  • 0
  • 0

For 100.000 familier med 2 børn gælder:

A) Sandsynligheden for, at en FAR med mindst 1 dreng har to drenge er A = 1/3.

B) Sandsynligheden for, at en DRENG har en bror er B = 1/2.

Tirsdag snører dig til at fokusere på B og give dette (eller humoristiske afarter deraf) som svar på A.

Kernen er, at der findes 100.000 "en DRENG" og 75.000 "en FAR med mindst 1 dreng". Forskellige tal. Så sandsynligheden 1/2 kan ikke overføres.

Et bedre paradoks er Two Envelope Paradox, hvor man virkelig får vendt op og ned på, hvad statistik er.

  • 0
  • 0

Nu er der efterhånden så mange meninger om den stakkels dreng, at en demokratisk afstemning er den mest nærliggende løsning. Hvis det skulle komme dertil stemmer jeg på at den rigtige løsning er 1/3, i og med at tirsdagen ikke er et kriterie for udvælgelsen, men kommer bagefter, som en ligegyldighed. Hvis tirsdagen havde været et udvælgelseskriterie, stemmer jeg på 13/27. Der er ellers gået et par småfiduser op for mig undervejs, tak for det.

  • 0
  • 0

At bruge simulering som argument, svare til at argumenterer for gud ud fra biblen.

Simuleringen er sat op ud fra nogle parametre og det er dem vi er uenige om.

  • 0
  • 0

Til alle jer der stadigt snakker om 1/3.

Svar på dette:

Han har en dreng Dti. Det andet barn kan være født før eller efter og være en dreng eller en pige.

En pige der er født før: P-Dti
En pige der er født efter: Dti-P
En dreng der er født før: D-Dti
En dreng der er født efter: Dti-D

Er der flere muligheder?
Eller er der nogle der ikke skal være der?

  • 0
  • 0

Matematik er ikke lige min stærke side, men er der nogen her, der har et bud på hvad Foshees's resultat var blevet, hvis han boede i Hexaland, hvor de har 6 dage pr. uge, og i Dusinistan hvor de har 12 dage pr. uge?

Kender en matematiklærer der underviser på B-niveau (og måske også A), der straks regnede det ud til 13/27

  • 0
  • 0

Den ene dreng vi har, kan være fire steder.
P(D), DP, DD
PD, (D)P, DD
PD, DP, (D)D
PD, DP, D(D)

Denne egenskab har han fået idet vi allerede har ham. Han er ikke en mønt der skal kastes.

Men det beste argument er at tirsdagoplysninger selvfølgelig ikke skal have indflydelse. Så begge udregninger skal give det samme. Hvis de ikke gør det har man regnet forkert.

Det er ligesom udregningerne der viste at henholdsvis en boring 747 og en humlebi ikke kunne flyve.

De var også sat forkert op.

  • 0
  • 0

Morten:

At bruge simulering som argument, svare til at argumenterer for gud ud fra biblen.

Simuleringen er sat op ud fra nogle parametre og det er dem vi er uenige om.

Du er vist uden for pædagogisk rækkevidde i anden potens!

Jeg ser ikke nogen, der har redegjort for på overbevisende måde, hvorfor simuleringen skulle vær utroværdig og afvige fra den oprindelige opgave.

  • 0
  • 0

Den ene dreng vi har, kan være fire steder.
P(D), DP, DD
PD, (D)P, DD
PD, DP, (D)D
PD, DP, D(D).

Morten, hvor har du lært sandsynlighedsregning - og bestod du kurset?

Det er en meget grundlæggende begynderfejl at skelne mellem (D)D og D(D), når du ikke har nogen information, der gør denne skelnen mulig.

Det er ligesom udregningerne der viste at henholdsvis en boring 747 og en humlebi ikke kunne flyve.

De var også sat forkert op.

Du taler da vist om et par myter - eller kan du henvise til et sted, hvor de beregninger findes, og hvem der har foretaget dem.

  • 0
  • 0

Jeg har forsøgt at se kronologisk på det (stort bogstav er rækkefølgen, førstefødt eller andenfødt):
Drengen der nævnes må jo være født enten først eller sidst ...

Hvis det førstefødte barn er en D er der to mulige udfald for andet fødte barn (dreng eller pige): Dd, Dp.

Hvis det derimod ikke er den førstefødte, men andet fødte barn som hentydes til i opgaveformuleringen, vil der igen være to mulige udfald for den føstefødte (dreng eller pige): dD, pD.

Umiddelbart er kombinationen Dd, Dp, dD, pD = 50%

  • 0
  • 0

Hej Henning

Generelt kan man udlede den simple formel for sandsynligheden P som funktion af "ugens" længde N (i dage):
P=(2N-1)/(4N-1)
som fx. bliver lig med 1/3 for N=1, 13/27 for N=7(det aktuelle tilfælde) og 1/2 for grænsetilfældet N=uendelig.
Det er helt i overensstemmelse med, at man for N=1 ikke får nogen yderligere oplysning (hvis der er en søn nummer to, er denne med sikkerhed født på samme "uge"dag, da der ikke eksisterer andre "uge"dage), og for N=uendelig får mest mulig yderligere oplysning (hvor sandsynligheden for at en evt. søn nummer to er født på samme "uge"dag er nul).

Med venlig hilsen

Tom

  • 0
  • 0

Det er nok boring at fly med et Boeing 747, men straks får vi A380 med soveplader (er de go dansk?) da bliver det ikke boring ty da kan vi alle blive med i 10.000m klubben.

Mest en test av min skamfuldt dårlige dansk.

Jeg vil flytte ned til Danmark so jeg må begynde med sproget.

  • 0
  • 0

Jeg har forsøgt at se kronologisk på det (stort bogstav er rækkefølgen, førstefødt eller andenfødt):
Drengen der nævnes må jo være født enten først eller sidst ...

Hvis det førstefødte barn er en D er der to mulige udfald for andet fødte barn (dreng eller pige): Dd, Dp.

Hvis det derimod ikke er den førstefødte, men andet fødte barn som hentydes til i opgaveformuleringen, vil der igen være to mulige udfald for den føstefødte (dreng eller pige): dD, pD.

Umiddelbart er kombinationen Dd, Dp, dD, pD = 50%

Hej Sikker,
Velkommen i tråden. Det er nok lidt sent at komme, taget i betragtning at dine overvejelser har været diskuteret de første 50 gange :-)

Sten samt Kristian Hougaard (kl 13:35 i dag) fik mig overbevist - det er afgørende hvordan faren er udvalgt og om han selv har valgt at nævne at han har en dreng, der er født en tirsdag - DEN VÆSENTLIGE ER AT HAN IKKE MÅ HAVE VIDEN OM EGNE BØRN; NÅR HAN VÆLGER AT FREMLÆGGE SIN INFORMATION: DEN SKAL VÆRE TILFÆLDIG UDVALGT. Hvis dette ikke er tilfældet, er han ikke længere repræsentativ for tilfældigt udvalgte fædre med to børn, heraf en tirsdagsdreng, hvorfor P(to drenge|mindst en tirsdagsdreng) ikke er dækkende for spørgsmålet. Se Kristians fine illustration kl 13:35.

HVis faderen derimod er tilfældigt udvalgt blandt gruppen af to-barnsfædre, og vi spørger ham om han har en dreng, der er født på en tirsdag, og han svarer JA, er den god nok.

Det er den også, hvis han er tilfældigt udvalgt blandt den den gruppe af fædre i befolkningen, der har to børn, heraf mindst en tirsdagsdreng.
Det er sidstnævnte situation, de p.t. fremherskende 1/3 + 13/27 advokater mener de befinder sig i. DE FORUDSÆTTER (uden at tænke over det), AT FADEREN ER TILFÆLDIGT UDVALGT BLANDT GRUPPEN AF FÆDRE MED TO BØRN; HERAF MINDST EN TIRSDAGSDRENG.
Dette er ikke nødvendigvis forkert!!

Men så skriv dette - så behøver vi ikke diskuterer sandsynlighed længere, kun forudsætninger.

Mange vil nok læse spørgsmålet på denne måde - jeg selv inklusiv.

Jeg kan dog INTET forkert se ved, at man i STEDET FORUDSÆTTER AT MANDEN ER HELT TILFÆLDIGT UDVALGT UDEN HENSYNTAGEN TIL OM HAN HAVDE EN TIRSDAGSDRENG, OG HAN DEREFTER SELV VÆLGER hvilke informationer han fremlægger. Hvis han kender begge sine børn, kan han ikke vælge tilfældigt. Det kan således ikke tilskrives tilfældighed, at han NÆVNER AT HAN HAR TO BØRN. DEN ENE ER EN DRENG FØDT EN TIRSDAG.
HAN MÅ IKKE HAVE ET VALG, HVIS DET SKAL VÆRE TILFÆLDIGE INFORMATIONER. OG DET SKAL VÆRE TILFÆLDIGE INFORMATIONER HVIS 13/27 skal holde.

hygge,
jeg smutter (lover jeg) :-D

  • 0
  • 0

Henning:

Matematik er ikke lige min stærke side, men er der nogen her, der har et bud på hvad Foshees's resultat var blevet, hvis han boede i Hexaland, hvor de har 6 dage pr. uge, og i Dusinistan hvor de har 12 dage pr. uge?

Ja, Jesper Villekjær længere oppe i tråden har:

P = (x+x-1)/(2x+2x-1)

Hexaland:
P = 11/23

Danmark (undtagen enkelte læsere af ing.dk):
P = 13/27

Dusinistan:
P = 23/47

Bemærk, at jo flere dage, der er i en lokal uge, jo tættere kommer sandsynligheden på 1/2 for at det andet barn er en dreng, når farmand nævner at det ene barn er en dreng.

Grunden til dette tilsyneladende absurde forhold er, at jo flere mulige dage en dreng kan være født på (altså en længere uge), jo mere indskrænkes udfaldsrummet, når vi får den ekstra oplysning om fødedagen (hvad dagene så end hedder i hhv. Hexaland og Dusinistan!).

Når udfaldrummet indskrænkes, mindskes antallet af "ulovlige" kombinationer med piger forholdsvis mere - og derfor stiger sandsynligheden for to drenge.

God pointe!

  • 0
  • 0

Hvis jeg ikke følger reglerne for sandsynlighedregning, så er reglerne forkerte.
For at sige sandsynligheden ændre sig, ud fra hvor mange ligegyldige informationer man har på den ene dreng, er vrøvl ud over alle grænser.

  • 0
  • 0

Jeg opfatter opgaven som om, man skal udregne sandsynligheden for, at manden har to sønner ikke sandsynligheden for, at han valgte at fortælle dette eller for at han valgte at sige, at drengen er født på en tirsdag. De informationer har han givet og de står fast. Derfor må svaret stadig være 13/27. Jeg forstår simpelthen ikke hvad du mener med tilfældige informationer? Er det ikke ligegyldigt, hvad manden ved? Det er vel hvad vi ved, der er afgørende for sandsynligheden?
Selv hvis manden, der har en dreng, som er født en tirsdag også skulle have en pige, der er født en onsdag, og han vælger at fortælle dette, så ændrer det ikke på resultatet, han har jo ikke indflydelse på udfladet, men kan kun fortælle om det efterfølgende, ligesom hvis man slår med en terning og så siger, hvad man har fået.

  • 0
  • 0

Jacob Barfoed:

HAN MÅ IKKE HAVE ET VALG, HVIS DET SKAL VÆRE TILFÆLDIGE INFORMATIONER. OG DET SKAL VÆRE TILFÆLDIGE INFORMATIONER HVIS 13/27 skal holde.

Det er da ligeyldigt.

Han skal blot vælge at give en information om sin dreng, som er sand og som har en veldefineret sandsynlighed.

Det kan være tirsdag, onsdag, osv.

Så er betingelserne fastlagt og min opgave er at vurdere sandsynligheden for endnu en dreng under de givene betingelser.

Betingelserne vil altid indskrænke udfaldsrummet.

Det kaldes betinget sandsynlighed.

  • 0
  • 0

Mon ikke vi tvivlere (på såvel 1/3-delen som de 13/27) er det på grund af uvidenhed (eller manglende accept af) den omtalte regel om, at man ikke må fjerne forkerte udfald, når man ikke præcist ved hvilke, der er forkerte.
Dette selv om man med sikkerhed ved de er der, og hvor mange de er.
Hvis vi endelig skal kaste med mønter, så synes jeg vi skal simulere familien Foshee bedst muligt, d.v.s. Fru Foshees to fødsler. Altså skal kun én mønt, der kastes 2 gange - og helst med mindst 9 måneders mellemrum. Det kan vi dog ikke vente på, så jeg snyder lidt og kaster dem umiddelbart efter hinanden.
40 dobbeltkast (i øvrigt med en svensk 5'er (på en tirsdag)) resulterede i præcist 10 PP, 10 KK og 20 udfald med en af hver. Helt efter bogen.
Når de 10 udfald med PP(iger) regnes fra, er der 30 udfald tilbage indeholdende drenge. 2 drenge (KK) udgør så den berømte 1/3-dels sandsynlighed.
MEN de 20 kast med blandet udfald består jo af hhv 10 PK og 10 KP, og Foshees søn er jo enten født først eller sidst! Så et af de 2 blandede sæt er jo ikke repræsentative for den Fosheeske familie. Vi ved blot ikke hvilket af sættene. Kun at det er der - og at det er forkert!
Berettiger det alle 20 til at skulle være der?

  • 0
  • 0

Bemærk, at jo flere dage, der er i en lokal uge, jo tættere kommer sandsynligheden på 1/2 for at det andet barn er en dreng, når farmand nævner at det ene barn er en dreng.

Med andre ord: Hvis vi ikke inddelte tiden i uger måneder eller år, men bare lod tiden gå, så er sandsynligheden ½ ;-)

  • 0
  • 0

Nåede ikke lige at tilføje noget i mit indlæg lige oven for:

Bemærk, at jo flere dage, der er i en lokal uge, jo tættere kommer sandsynligheden på 1/2 for at det andet barn er en dreng, når farmand nævner at det ene barn er en dreng.

Med andre ord: Hvis vi ikke inddelte tiden i uger måneder eller år, men bare lod tiden gå, så er sandsynligheden ½ ;-)

I Munuturus definerer de en uge til 10080 minutter pr. uge, da de lever under jorden, og aldrig ser dagens lys, og selv om det er det samme som vores uge, er sansynligheden for at det er en dreng forskellig fra vores uge, hvor vi inddeler den i dage.

  • 0
  • 0

Hvis jeg ikke følger reglerne for sandsynlighedregning, så er reglerne forkerte.
For at sige sandsynligheden ændre sig, ud fra hvor mange ligegyldige informationer man har på den ene dreng, er vrøvl ud over alle grænser.

Det er da en påstand, der kræver en ganske særlig selvopfattelse. Lad mig gætte på, at du ikke har en akademisk uddannelse, og at du aldrig har bestået et kursus på bare et højere niveau i sandsynlighedsregning.

Hvis vi følger din tankegang, er der jo seks udfald af at kaste to mønter:

P(P), (P)P, KP, PK, (K)K og K(K).

Det vil sige, at PP optræder emd sandsynligheden 1/3, KK med sandsynligheden 1/3, PK med sandsynligheden 1/6 og KP med sandsynligheden 1/6,

Hvordan synes du selv, det går? Passer det med virkeligheden?

Du er da vist en af årsagerne til, at det er pærenemt at tjene penge som bookmaker...

  • 0
  • 0

Er det ikke ligegyldigt, hvad manden ved? Det er vel hvad vi ved, der er afgørende for sandsynligheden?
Selv hvis manden, der har en dreng, som er født en tirsdag også skulle have en pige, der er født en onsdag, og han vælger at fortælle dette, så ændrer det ikke på resultatet.

Netop!

Sandsynligheden for to drenge er den samme, selv om det skulle vise sig, at Foshee har en dreng og en pige. Opgaven er ikke at fortælle, hvilke børn, han har, men af beregne en sandsynlighed.

  • 0
  • 0

Hvis jeg ikke følger reglerne for sandsynlighedregning, så er reglerne forkerte.
For at sige sandsynligheden ændre sig, ud fra hvor mange ligegyldige informationer man har på den ene dreng, er vrøvl ud over alle grænser.

Kan du i øvrigt ikke vise os det med en udfaldstabel i stedet for bare at påstå det. Det ville nok gøre dit udsagn lidt mere troværdigt.

Du minder mig om politikeren Kristen Poulsgaard, som på nordjysk sagde noget i retning af: Hvis det æ' fakta, så benægter a' fakta.

  • 0
  • 0

I Munuturus definerer de en uge til 10080 minutter pr. uge, da de lever under jorden, og aldrig ser dagens lys, og selv om det er det samme som vores uge, er sansynligheden for at det er en dreng forskellig fra vores uge, hvor vi inddeler den i dage.

Ja, hvis man opfatter det sådan her:

Hvis faren i Munuturus nævner at han har en dreng, som er født på et bestemt minuttal i ugen, vil sandsynligheden for at han har en bror være meget tæt på 1/2.

Uden minuttalsoplysningen var der rigtig mange muligheder for to-børnskombinationer med mindst én dreng, og hvor børnene kunne være født på alle minuttal i ugen. De indskrænkes med minut-oplysningen til en lille brøkdel, hvoraf endnu færre vil være dreng-pige kombinationer - altså en større sandsynlighed for en ekstra dreng.

  • 0
  • 0

Det hele afhænger af quizreglerne. Hvis de siger "Har faderen en dreng, skal han oplyse dette, ellers tie stille. Er han endvidere født på en tirsdag, skal han tilføje dette.", så er svaret 13/27.

Hvis quizreglerne siger "Har faderen en dreng, skal han oplyse dette, og tilføje hvilken ugedag, han er født på", så er svaret 1/2.

Tilføj lidt forvirring med 12/27 og afarter, alt efter om "en" skal tolkes som "en og kun en" eller "mindst en".

Igen, Two Envelope Paradox er meget bedre! :)

  • 0
  • 0

Jeg var selv meget skeptisk i starten, men jeg fik dog overbevist mig selv om, at det måtte være rigtigt, at sandsynligheden for to drenge måtte stige, når tirsdagsoplysningen tages i betragtning, idet der må være langt større sandsynlighed for at have en dreng, der er født på en tirsdag i en familie med to drenge end i en familie med en dreng og en pige. Jeg besluttede mig dog for at skrive et lille testprogram til at verificere de 13/27.

Mit program opretter 1 mio. familier med to børn, hvor kønnet på de to børn afgøres tilfældigt. Ligeledes afgøres føde-ugedagen tilfældigt for de to børn. Efter generering af data beder jeg mit program tælle sammen:

1) I hvor mange familier er der (mindst) en dreng, der er født på en tirsdag?

2) Hvor mange af ovenstående familier består af to drenge?

Og forholdet mellem disse to tal viser sig ganske rigtigt at tilnærme 13/27.

  • 0
  • 0

Jeg synes flere skriver, at det er ligegyldigt om den information Foshee kommer med er udvalgt tilfældigt, og at man jo kun kan tage udgangspunkt i hvad man hved. Det mener jeg er forkert.

Hvis vi ser på 3 forskellige situationer:

1:
Foshee: Jeg har 2 børn, mindst 1 er en dreng.
Foshee: Han er født en tirsdag

2:
Foshee: Jeg har 2 børn, mindst 1 er en dreng.
Tilhører: Har du en dreng født på en tirsdag?
Foshee: Ja

3:
Foshee: Jeg har 2 børn, mindst 1 er en dreng.
Tilhører: Hvilken dag er din dreng eller en af dine drenge født?
Foshee: Tirsdag

  1. svarer vel til opgaven.

2 betyder at Foshee kan ses som en tilfældig person i gruppen af fædre med 2 børn, og mindst 1 dreng født en tirsdag. Det giver så sandsynligheden 13/27 for 2 drenge.

3 vil jeg hævde betyder, at han blot er tilfældigt udvalgt i gruppen af fædre med 2 børn mindst 1 dreng. Og det giver sandsynligheden 1/3 for 2 drenge.

Er der nogen der er uenige så langt?

Men den information vi har til rådighed er jo den samme i de 3 tilfælde? Eller er der en forskel? I alle tilfælde ved vi, at han har to børn, mindst en dreng, og mindst en dreng født en tirsdag.

Så jeg synes ikke det er nok at gå ud fra hvilken information man har, men også hvordan man har fået den information. Og jeg synes i høj grad, at det er et fortolkningsspørgsmål om situation 1 svarer til situation 2 eller 3.

  • 0
  • 0

Rolf Ask Clausen stillede et eller andet sted i tråden herover et par relevante spørgmål. Nemlig om man "ud fra denne tråd kan beregne sandsynligheden for, at det næste indlæg efter dette er enigt med den oprindelige artikels beregning?" Og desuden, om man ud fra samme materiale kan estimere, "hvor mange naturvidenskabeligt højt uddannede, der faktisk ikke kan sandsynlighedsregning, men er overbevist om, at de kan?"

Mon ikke der med ca. 350 indlæg i tråden nu må være materiale nok til at svare herpå?
Nå, men jeg må videre med mit arbejde...
Rrrrrr!

  • 0
  • 0

Men den information vi har til rådighed er jo den samme i de 3 tilfælde?

Quizmasteren har to børn under hver sin klokke. Han lader dig vælge en klokke, som du må fjerne, og du finder en dreng. Vi blander klokkerne og gentager processen 6000 gange, og du finder en dreng hver gang. Hvad er sandsynligheden for, at det er to drenge? (meget høj, men ikke 100%).

Nu gentager vi det hele, men denne gang er det quizmasteren, som hver gang udvælger en klokke, som han ved, der er en dreng i. Hvad er sandsynligheden for, at det er to drenge? (50%).

  • 0
  • 0

3 vil jeg hævde betyder, at han blot er tilfældigt udvalgt i gruppen af fædre med 2 børn mindst 1 dreng. Og det giver sandsynligheden 1/3 for 2 drenge.

Er der nogen der er uenige så langt?

Ja ... for så ville det samme gælde for situation 4:

Foshee: Jeg har 2 børn.
Tilhører: Har du mindst én dreng.
Foshee: Ja

  • som så skulle betyde at han blot er tilfældigt udvalgt i gruppen af fædre med 2 børn, og dermed sandsynligheden 1/4 for 2 drenge.

Men nej, sandsynligheden er stadig 1/3 efter ovenstående ordveksling -- og det samme gælder for tirsdagsoplysningen! Vi ændrer IKKE på de relative sandsynligheder for de forskellige udfalde ved at få mere viden, men vi skærer nogle udfald væk som ændrer på den "endelige" sandsynlighed for vores kriterium (som her er to drenge).

  • 0
  • 0

Jeg kan tilføje situation 5:

Foshee: Jeg har 2 børn.
Tilhører: Har du to drenge
Foshee: Ja

som (forhåbentlig) øger sandsynligheden til 100% -- det viser at din argumentation ikke holder. At tirsdagsoplysningen bare intutivt opfattes som ligegyldigt er en anden sag, for det er den ikke.

  • 0
  • 0

[quote]
3:
Foshee: Jeg har 2 børn, mindst 1 er en dreng.
Tilhører: Hvilken dag er din dreng eller en af dine drenge født?
Foshee: Tirsdag

3 vil jeg hævde betyder, at han blot er tilfældigt udvalgt i gruppen af fædre med 2 børn mindst 1 dreng. Og det giver sandsynligheden 1/3 for 2 drenge.

Er der nogen der er uenige så langt?

Ja ... for så ville det samme gælde for situation 4:

Foshee: Jeg har 2 børn.
Tilhører: Har du mindst én dreng.
Foshee: Ja

  • som så skulle betyde at han blot er tilfældigt udvalgt i gruppen af fædre med 2 børn, og dermed sandsynligheden 1/4 for 2 drenge.

Men nej, sandsynligheden er stadig 1/3 efter ovenstående ordveksling[/quote]
Bestemt ikke. Dit eksempel 4 svarer helt præcist til mit eksempel 2.

Vi kan jo gentage mit eksempel 3 for 147 tilfældige fædre med 2 børn og mindst 1 dreng (de 3 drenge-kvadranter i 14x14 matricen). Vi spørger alle 147:
Hvilken dag er din dreng eller en af dine drenge født?
Der vil være 21 svar for hver af ugens dage. Og uanset hvilken dag de svarer, så er sandsynligheden for at de har 2 drenge 1/3. Dvs 7 fædre med 2 drenge ud af 21.

Hvis vi spurgte de samme 147 fædre om de havde en dreng født en tirsdag, så ville 27 (altså 6 mere) sige "Ja".

Der er nemlig stor forskel på min situation 2 og 3: I eksempel 2 svarer ALLE fædre, der har en tirsdagsdreng, nemlig "Ja", mens i eksempel 3 svarer 6 af fædrene som HAR en tirsdagsdreng ikke tirsdag, men en anden dag. Der er nemlig 12 fædre, der har 2 drenge som er født hhv. tirsdag og en anden dag end tirsdag. Og af de 12 fædre vælger 6 af dem at svare en anden dag end tirsdag.

Derfor ender du med 7 ud af 21 med 2 drenge i eksempel 3 i stedet for de 13 ud af 27 som vi får i eksempel 2.

Der er nemlig markant forskel på: "Nævn en af de muligvis 2 forskellige dage du har drenge" og "Har du en dreng på en tirsdag", første udgave fanger ikke alle tirsdagsfædre, det gør 2. udgave.

Og når Foshee selv siger "Drengen er født en tirsdag", så ANER vi ikke hvilket tilfælde vi er havnet i. Jeg synes dog personligt mest det minder om 3'eren.

  • 0
  • 0

Jeg kan ikke se andet end at 1 er opgaven. 1 og 3 er informationsmæssig det samme, i og med at der ikke er en risiko for at Foshee ryger ud af spillet. Dermed er løsningen på disse 2 tilfælde, så vidt jeg kan se, 1/3, i og med at løsningen ikke havde ændret sig hvis han havde nævnt en anden dag.
Den officielle løsning svarer til 2eren, hvor der er en risiko for at han svarer nej.
Hvad ville sandsynligheden for 2 drenge have været hvis han svarede nej? Er der nogen der har et bud på det?
Jeg kommer frem til 3/10, det får mig til at tro at her har det en betydning hvad han svarer.

  • 0
  • 0

Der er nemlig stor forskel på min situation 2 og 3: I eksempel 2 svarer ALLE fædre, der har en tirsdagsdreng, nemlig "Ja", mens i eksempel 3 svarer 6 af fædrene som HAR en tirsdagsdreng ikke tirsdag, men en anden dag. Der er nemlig 12 fædre, der har 2 drenge som er født hhv. tirsdag og en anden dag end tirsdag. Og af de 12 fædre vælger 6 af dem at svare en anden dag end tirsdag.

Derfor ender du med 7 ud af 21 med 2 drenge i eksempel 3 i stedet for de 13 ud af 27 som vi får i eksempel 2.

Der er nemlig markant forskel på: "Nævn en af de muligvis 2 forskellige dage du har drenge" og "Har du en dreng på en tirsdag", første udgave fanger ikke alle tirsdagsfædre, det gør 2. udgave.

BINGO!
Dette er nemlig en af nøglerne til forståelsen af fejlen i Forshees beregning.

Jeg har en større afhandling på vej...

  • 0
  • 0

I situationen hvor Forshee siger ”Og i øvrigt er drengen født på en tirsdag”, hvad der det så lige der gør, at sandsynligheden ændrer sig? Ugedagen siger intet om fordelingen af køn blandt de 2 børn. Dette scenarie er meget enkelt at overskue, og at påstå ovenstående er for alle med en en vis grad af logisk sans det rene nonsens. Og der har endnu ikke været nogen der har kunnet give skyggen af en fornuftig og logisk forklaring på hvorfor sandsynligheden skulle ændre sig pga. denne tilfældige og i konteksten irrelevante oplysning.

Ergo, der er med al sandsynlighed en fejl i beregningen, så skulle vi ikke prøve at finde ud af hvor det går galt?

  • 0
  • 0

Denne hjemmeside beskriver et scenarie, hvor 13/27 sandsynligheden faktisk passer:
http://webvaerk.dk/demo/tuesday-boy/

Hvad er så forskellen på dette scenarie og så Forshees?

I ovenstående beregning er der et 2-børns familier, som UDVÆLGES(!) efter udfra det kriterie, at de har mindst 1 dreng der er født på en tirsdag. Ved at inkludere ugedagen i udvælgelseskriteriet får 2-drenge familier bedre odds (13/49), fordi de har 2 chancer (7/49 + 6/49) for at ramme en tirsdag, mens dreng-og-pige familier kun har et skud (odds 7/49).

Ved Forshees tale er situationen anderledes: Han er IKKE UDVALGT til at komme og tale fordi han har 2 børn, hvoraf den ene er en dreng født en tirsdag. Drengens ugedag er dermed ikke en tirsdag, fordi det SKAL være en tirsdag – det er den bare tilfældigvis, og hvis det havde været en onsdag havde det ikke forandret noget – Forshee var stadig blevet inviteret. Dermed bliver ugedagen irrelevant iht. beregningen af udfaldsrummet, og sandsynligheden er stadig 1/3.

  • 0
  • 0

Hvor er det så lige det går galt i forfatternes beregning?
Lad os se på deres beregning af udfaldsrummet:

Vi kalder drengen, der er født en tirsdag for DTi. Vi opdeler kombinationerne i fire grupper:
1) Det første barn er DTi - det andet barn er en pige født på en af ugens syv dage. Det er syv kombinationer.
2) Det første barn er en pige født på en af uges syv dage - det andet barn er DTi. Det er endnu syv kombinationer.
3) Det første barn er DTi - det andet barn er en dreng født på en af ugens syv dage. Det er yderligere syv kombinationer.
4) Det første barn er en dreng født på en af ugens syv dage - det andet barn er DTi. Det er nu kun seks nye kombinationer, idet kombinationen med begge drenge født på en tirsdag allerede er medtaget.
13 af de i alt 27 kombinationer består af to drenge. Så sandsynligheden er altså 13/27, som er meget forskellig fra 1/3.

Det går galt i gruppe 4, hvor det andet barn sættes til at være DTi. MEN DEN GÅR IKKE: Forshee har udtrykkeligt sagt, at drengEN er født på en tirsdag, og dermed har han udvalgt specifikt én – og kun én - af drengene til at være DTi. Vi ved ikke hvilken, men da vi allerede valgt det første barn til at være DTi i gruppe 3, så udelukker vi udfaldene i gruppe 4, idet Forshee netop tænker på eet specifikt barn.
Dermed bliver sandsynligheden 7/21 = 1/3.

  • 0
  • 0