Simpel matematikopgave gav læserstorm

Simpel matematikopgave gav læserstorm

Læserreaktioner på en simpel matematikopgave i Ingeniøren bekræfter, at sandsynlighedsregning og intuition er en farlig cocktail. Men Foshees konklusion er urokkelig.

En sand læserstorm har ramt min mailbox efter jeg i Ingeniørens papirudgave den 28. maj skrev om en simpel matematikopgave hentet fra dette års Gathering for Gardner-symposium (G4G9), som blev afholdt i marts i Atlanta.

Læserstormen viser, hvor let intuitionen kan gå fløjten, når det drejer sig om selv simpel sandsynlighedsregning. Men som matematikeren Keith Devlin fra Stanford University skriver på hjemmesiden for Mathematical Association of America om samme problem, som jeg omtalte:

»Fortunately, the math does not lie. Provided you put your intuitions to one side and set up the problem correctly, the math will give you the right answer.«

Tænk dig godt om

Nu er du advaret, før jeg her først gentager problemet fra fredagens papirudgave:

Gary Foshee stillede følgende opgave til mødedeltagerne: »Jeg har to børn. Det ene er en dreng født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, jeg har to drenge?« Et spørgsmål i bedste Gardner-stil, og med et svar, som nok vil overraske de fleste. Ifølge New Scientist tilføjede Gary Foshee dette: »Det første I spekulerer på er nok: Hvad har tirsdag med dette at gøre? Alt, er svaret«. Hold gerne en lille tænkepause ...

Hvis vi i første omgang glemmer tirsdags-oplysningen, er svaret let at finde. Foshees børn er en af fire kombinationer DP, PD, DD eller PP, som alle er lige sandsynlige, hvis vi slet ingen oplysninger har om børnene. Da vi ved, at det ene barn er en dreng, kan vi udelukke kombinationen PP. Ud af de tre tilbageværende kombinationer er den ene DD. Så sandsynligheden for, at Foshee har to drenge, er 1/3. Nu kan man gentage teknikken med tirsdags-oplysningen. Vi kalder drengen, der er født en tirsdag for DTi. Vi opdeler kombinationerne i fire grupper:

Det første barn er DTi - det andet barn er en pige født på en af ugens syv dage. Det er syv kombinationer.

Det første barn er en pige født på en af uges syv dage - det andet barn er DTi. Det er endnu syv kombinationer.

Det første barn er DTi - det andet barn er en dreng født på en af ugens syv dage. Det er yderligere syv kombinationer.

Det første barn er en dreng født på en af ugens syv dage - det andet barn er DTi. Det er nu kun seks nye kombinationer, idet kombinationen med begge drenge født på en tirsdag allerede er medtaget. 13 af de i alt 27 kombinationer består af to drenge. Så sandsynligheden er altså 13/27, som er meget forskellig fra 1/3.

Artiklen sluttede med ordene. "Det havde du nok ikke ventet".

Så kom læserstormen

Det var langt fra alle læsere, der købte denne forklaring.

Allerede i weekend indløb de første mail, som siden er kommet fra universitetsansatte forskere, tidligere medarbejdere ved Ingeniøren og gode ingeniører. Alle har forsøgt at forklare mig, at jeg tager fejl.

De fleste hævder, at svaret er 1/2 i begge situationer. Jeg har dog også fået lige så skråsikre henvendelser om, at svaret på tirsdagsspørgsmålet er 6/13 og 10/21.

Flere læsere har jeg kommunikeret direkte med. Det har efter et par mails frem og tilbage resulteret i svar tilbage som disse:

"Du har selvfølgelig ret og har givet mig en fantastisk aha-oplevelse. Tak for det!"

" Tak Jens - det overbeviser mig."

Mange af mine kollegaer på redaktionen har jeg også haft svært ved at overbevise. Min gode kollega Robin Engelhardt var den eneste, som umiddelbart kunne give et rigtigt svar. Men har også skrevet om det rene drenge/pige spørgsmål på side 298 i sin udmærkede bog 'Ergo - naturvidenskabens filosofiske historie'. Så Robin vidste, at sandsynligheden er 1/3 for, at far med to børn har to drenge, hvis vi ved, at han har mindst en dreng.

Over for nogle af læserne, jeg har kommunikeret direkte med, har jeg forsøgt mig med denne forklaring: Lad os antage, at der findes 100.000 familier med to børn. 25.000 af disse består af en storebror-lillebror, 25.000 består af en storebror-lillesøster, 25.000 består af en storesøster-lillebror og 25.000 består af en storesøster-lillesøster.

Når Foshee nu fortæller, at han har mindst en dreng, så kan vi udelukke kategorien storesøster-lillesøster. Vi har nu 75.000 familier, hvor der er to drenge i 25.000 familier. Sandsynligheden for to drenge er altså 25.000/75.000 = 1/3.

Til gengæld er sandsynligheden naturligvis 1/2 for, at en søn i tobørns-familie har en bror - men det er altså et helt andet spørgsmål.

Da jeg i mandags spurgte Robin, som kom hoppende ind på redaktionen på krykker efter en badmintonskade og som derfor ikke havde set min artikel i papiravisen, om sandsynligheden så var mindre end 1/3, netop 1/3 eller større end 1/3, når man medtog tirsdagsoplysningen, svarede han straks, at den måtte være større end 1/3 - på grund af den nye oplysning. Han havde naturligvis ret.

Du er ikke alene i båden

Hvis du stadig ikke er overbevist, så har Keith Devlin et par trøstende ord: »If you are still having doubts about all of this, take consolation in the fact that you are not alone.«

Årsagen til at jeg skrev om problemet i fredags var, at Martin Gardner, der gennem 25 år skrev klummen Mathematical Games i Scientific American, døde den 22. maj - 95 år gammel. Gardner deltog selv i de to første Gathering for Gardner-symposier afholdt i 1993 og 1996, og som siden 1996 er afholdt hver andet år.

Hvis man taster "Foshee Tuesday Boys" ind i Googles søgefelt vælter det frem med links til hjemmesider og blogs over hele verden, hvor dette problem i disse dage og timer diskuteres. Før du eventuelt skriver et debatindlæg her på siden, så var det måske en god idé lige at se med andre steder. Men nu er debatten åben på ing.dk.

Dokumentation

Keith Devlins forklaring
Alex Bellos udlægning af Foshees spørgsmål

Kommentarer (1403)

Kære Jens,
jeg diskuterede opgaven med en ven i går aftes, og vi kom frem til en ganske interessant iagttagelse: Jo flere oplysninger vi har om den ene dreng (at han er født på en tirsdag; at han har en kanariefugl; at han spiller fodbold; etc.) jo hurtigere kommer vi tæt på en 50% sandsynlighed for at det andet barn også er en dreng (med reglen: jo mere sjældne attributter i kender, jo tættere på 50%). Hvis vi derfor formulerer opgaven sådan her: "Gary Foshee har to børn, hvor det ene barn er en dreng SOM JEG KENDER GODT, hvad er sandsynligheden for, at det andet barn også er en dreng" - så vil svaret være 50%. Idet det første barn kendes "til fulde", udgår det fra de bayesianske betingelser, og problemet reduceres til at beregne sandsynligheden for at et hvilket som helst barn er en dreng eller pige (som er ca. 50%).

Da vi blev lidt mere fulde, udvidede vi tankelegen til at analogisere problemet til kollapset af en bølgefunktion: Når alle informationer er målt, forsvinder den kontinuerte distribution af udfaldsmuligheder, og vi står tilbage med et diskret problem. Det brugte vi så et par timer mere på, indtil der til sidst kun var eet muligt udfald tilbage: at komme i seng.

  • 1
  • 0

Er der nogen, der ud fra ovenstående kan give en sandsynlighed for, at Robin havde mareridt efter sin fuldemandsdiskussion?

Jeg synes nok at Robin kommer lidt langt ud i tovene her.

Det er kun oplysninger om drengen, der også siger noget om hans søskende der kan forandre sandsynligheden fra 1/3.

At "sige noget om" kan i den forbindelse enten været et direkte udsagn, eller, som her, ved at angive drengens association med et element i et lukket sæt, som alle børnene er associeret til.

Kanariefuglen hjælper således ikke, med mindre vi ved at alle børnene har et kæledyr og kender mængden af for familien potientelt acceptable kæledyr.

Ligeledes for fodbolden, hvis vi ikke ved hvor mange sportsgrene han kunne vælge imellem og at hans søskende også går til en sport fra samme mængde, hjælper det heller ikke.

Poul-Henning

  • 0
  • 0