Simpel matematikopgave er en hård sproglig nød
more_vert
close

Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
Ved at tilmelde dig accepterer du vores Brugerbetingelser, og at Teknologiens Mediehus og IDA-gruppen lejlighedsvis kan kontakte dig om arrangementer, analyser, nyheder, tilbud mm via telefon, SMS og email. I nyhedsbreve og mails fra Teknologiens Mediehus kan findes markedsføring fra samarbejdspartnere.

Simpel matematikopgave er en hård sproglig nød

Utallige artikler, blogindlæg er skrevet og youtube-indslag lagt på nettet om matematikopgaven, som nu blot kendes om tirsdagsdrengene. Den er blevet en verdensomspændende matematisk epidemi.

Den måske ivrigste diskussion af alle steder er foregået på ing.dk, hvor der nu er mere end 1.200 debatindlæg til den artikel, som jeg for to måneder siden skrev om Gary Foshees drilske spørgsmål: "Jeg har to børn. Det ene er en dreng født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, jeg har to drenge?"

Udgangspunktet for den internationale udbredelse er forfatteren og journalisten Alex Bellos. Debatten på Alex Bellos' egen hjemmeside har også været overvældende, men antallet af kommentarer på godt 400 blegner dog noget i forhold til ing.dk.

Både hos Bellos og på ing.dk diskuteres det ivrigt, om den løsning jeg gengav, hvor svaret er 13/27 er rigtig - eller om svaret ikke mere rettelig er 1/2.

Fra ord til ligninger

Jeg har hårdnakket i artiklen, i kommentarer i debattråden og i mails direkte til læsere argumenteret for, at 13/27 er det rigtige svar. Men jeg skal gerne indrømme, at opgaven har et problem. Ikke et matematisk, men et sprogligt.

Opgaven er formuleret i ord og ikke som matematisk ligning. Og derfor må den nødvendigvis oversættes fra sprog til matematik. Denne oversættelse kan diskuteres, og det har en betydning for svaret.

I debattens første tid var oversættelsen fra sprog til matematik dog ikke det helt store tema. Mange læsere forsøgte at overbevise mig om, at 13/27 under alle omstændigheder var et forkert svar. Det er det ikke - og det vil jeg til alle tider argumentere for.

Jeg vil endda hævde, at det er det mest logiske svar. Men efterhånden som debattråden er blevet længere og længere, er problemet med den sproglige fortolkning blevet mere fremtrædende, og jeg indrømmer gerne, at der også godt kan argumenteres for, at svaret kan være 1/2.

Oceanografen, lektor emeritus Niels Kristian Højerslev, var nok den første til at gøre mig opmærksom herpå. Allerede i slutningen af juni skrev han følgende til mig:

"I den gamle Mellemskole blev de tekstede opgaver kun bestået af de få, hvilket ikke altid var skolelæreren selv. Ligninger med x-er og y-er skulle aldrig afkodes, men blot løses."

Andre læsere har siden hen været inde på noget tilsvarende. Det samme har matematikeren Keith Devlin i en kommentar hos Mathematical Association of America.

Keith Devlin skriver bl.a. følgende: "Var problemet formuleret på følgende måde: Under forudsætning af at en mand, som er tilfældigt udvalgt, har to børn, hvoraf mindst en er en dreng født på en tirsdag, hvad er så sandsynligheden for at han har to drenge? Så er svaret er 13/27."

Dette svar er for de fleste - mig selv inklusive - meget overraskende og anti-intuitivt. For hvorfor har tirsdagsoplysningen en betydning? Udlader man ordene "født på en tirsdag" i ovenstående spørgsmål er svaret 1/3.

Det var det, som fik mig til at skrive min artikel, hvor hovedbudskabet var, at sandsynlighedsregning og intuition er en farlig cocktail. Det mener jeg stadig.

Keith Devlin gør dog også opmærksom på, at det er almindeligt at personliggøre og omskrive opgaver og eksplicit undgå at nævne standardforudsætninger "som tilfældigt udvalgt", når opgaven formuleres.

Har man først forstået denne kode, vil Foshees formulering: "Jeg har to børn og en er dreng født en tirsdag, hvad er så sandsynligheden for, at jeg har to drenge" ifølge Devlin betragtes som værende identisk med det mere rigoristisk formulerede spørgsmål.

Keith Devlin skriver: "Så længe alle kender koden og er indstillet på at følge den, så fungerer det".

Jeg valgte også den korte personliggjorte formulering i min artikel - det var måske ikke hensigtsmæssigt, for jeg kunne jo ikke være sikker på, at koden ville blive accepteret af alle. Og vælger man en anden fortolkning af denne formulering, kan man sagtens argumentere for, at svaret er 1/2.

Det simple problem

Det er måske lettest at forstå, hvis vi betragter det simplere problem: "Jeg har to børn, den ene er en dreng, hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?"

Har man forstået afkodningens kunst for sandsynlighedsregningsopgaver, så vil det helt naturligt at fortolke dette som værende det samme problem som: Givet at en mand, som er tilfældigt udvalgt, har to børn, hvoraf mindst en er en dreng, hvad er så sandsynligheden, for at han har to drenge. Så er svaret 1/3. Indiskutabelt.

Har man derimod opfattelsen af, at manden stammer fra en kultur, hvor det er obligatorisk altid at nævne det ældste barn før yngre søskende, så er svaret 1/2. Også andre fortolkninger og antagelser kan føre til 1/2 som svar.

Nyligt afdøde Martin Gardner var allerede inde på disse betragtninger i slutningen af 1950'erne. Flere læsere fremfører i debatten om tirsdagsdrengene de samme argumenter.

Fra de seneste indlæg i debatten vil jeg eksplicit fremhæve indlæg af Niels Berg Olsen og Jens Olsen, som ud over at været aktive i debattråden begge har sendt udbydende forklaringer direkte til redaktionen.

Efter min mening er de alternative fortolkninger og antagelser dog mindre logiske at tage i brug end den afkodning, som bl.a. Devlin henholder sig til. Men jeg indrømmer, at det er et synspunkt, som kan diskuteres, og at andre vil hævde, at dette ikke er tilfældet. Men så har vi i det mindste fået problemet reduceret til et sprogligt problem og ikke et matematisk problem.

Gammel opgave

Godt nok raser debatten i 2010, men det viser sig, at opgaven slet ikke er ny.

Som jeg skrev i min artikel var det Gary Foshee, der stillede spørgsmålet på symposiet Gathering for Gardner (G4G) i Atlanta, USA i april. Jeg blev opmærksom på problemet via Alex Bellos, som selv var til stede ved G4G.

I en nylig artikel på sit website har Bellos undersøgt, hvor spørgsmålet kommer fra.

Gary Foshee har forklaret til Bellos, at han har hørt det fra en ven, som havde hørt det hos en anden ven, som havde set det på en undervisnings-dvd, "What Are The Chances? Probability Made Clear" lavet af professor Michael Starbird fra University of Texas i 2006.

Michael Starbird forklarer i en email til Bellos, at han er kommet i tvivl om, hvorvidt det er et godt spørgsmål, da så mange åbenlyst er vrede over det.

Bellos konkluderer derimod: "Jeg synes, at Michel har gjort verden en tjeneste ved at tage det med på sin dvd - det har fået folk til at tale om matematik, og det er fantastisk."

Bellos bemærker, at debatindlæggene på hans blog rummer alt fra vrede til forvirring og entusiasme. Det samme er tilfældet på debattråden på ing.dk. Tak til alle som har bidraget, og som derved har hjulpet til allerede nu at gøre artiklen til en klassiker på ing.dk

Dokumentation

Keith Devlin: The Problem with Word Problems
Alex Bellos: Two little boys
Boy or girl paradox (wikipedia)

Emner : Matematik
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Hvis manden er tilfældig af en matematisk bestand af mænd og har 2 børn, hvoraf en er en dreng. Så vil der være 1/3 med to drenge og hvis det ukendte barn er tilfældig af en matematisk bestand af børn, så er halvdelen piger.

  • 0
  • 0

Hvis manden er tilfældig af en matematisk bestand af mænd og har 2 børn, hvoraf en er en dreng. Så vil der være 1/3 med to drenge og hvis det ukendte barn er tilfældig af en matematisk bestand af børn, så er halvdelen piger.

Nemlig. Heller ikke forsøget på i denne omgang at formulere spørgsmålet helt utetydigt lykkes.

Formuleringen
"Under forudsætning af at en mand, som er tilfældigt udvalgt, har to børn, hvoraf mindst en er en dreng født på en tirsdag, hvad er så sandsynligheden for at han har to drenge"
kræver også villighed til at akcepterer, at dette er en opgave stillet af en matematikker i en speciel matematisk kontekst med speciel opgave-afkodnings-sproglighedstradition.

En utvetydig formulering ville være
"Under forudsætning af at en mand, som er tilfældigt udvalgt BLANDT TOBØRNSFÆDRER SOM har to børn, hvoraf mindst en er en dreng født på en tirsdag, hvad er så sandsynligheden for at han har to drenge"

Det vigtige er fra hvilken gruppe han er tilfældigt udvalgt. At sige at han har to børn hvoraf en er en dreng, er IKKE det sammen som at sige at han er tilfældigt udvalgt fra gruppen af fædrer med denne egenskab (selvom man da kan vælge at tolke det på den måde).

Jeg mener fatktisk at der må gives størst kredit til dem der løser opgaven som den rent faktisk står. Alle os, der er skolet i matematik, kan selvfølgelig nok regne ud hvilket spørsmål det er, som opgavestilleren ønsker at stille. Men det kræver faktisk en del større skarpsindighed at se igennem uddannelsens opgaveindoktrinering, og se hvad det er for et spørgsmål der rent faktisk stilles (og her fejlede jeg også fælt i første omgang).

Iøvrigt er det da en besynderlig ide, at man som matematisk opgavestiller kan mene, at folk nok bør kunne regne ud, at en opgave selvfølgelig skal forstås anderledes end hvad der rent faktisk står, fordi at det skal man da bare med matematiske opgaver. Matematik er jo ellers en øvelse i at udtrykke sig så præcist som overhovedet muligt.

  • 0
  • 0

Fantastisk - Jens Ramskov har stadig ikke forstået det!

I debattens første tid var oversættelsen fra sprog til matematik dog ikke det helt store tema. Mange læsere forsøgte at overbevise mig om, at 13/27 under alle omstændigheder var et forkert svar. Det er det ikke – og det vil jeg til alle tider argumentere for.

Øhhh, et sådant indlæg erindrer jeg ikke at have set, selvom jeg har været med stort set hele vejen.

Jeg mener, at der altid har været enighed om, at hvis Foshee havde været udvalgt fra en gruppe af 2-børns fædre med et tirsdagsbarn, så var 13/27 resultatet korrekt.

Keith Devlin skriver bl.a. følgende: ”Var problemet formuleret på følgende måde: Under forudsætning af at en mand, som er tilfældigt udvalgt, har to børn, hvoraf mindst en er en dreng født på en tirsdag, hvad er så sandsynligheden for at han har to drenge? Så er svaret er 13/27.”

Dette svar er for de fleste – mig selv inklusive - meget overraskende og anti-intuitivt. For hvorfor har tirsdagsoplysningen en betydning? Udlader man ordene "født på en tirsdag" i ovenstående spørgsmål er svaret 1/3.

Jeg kunne godt tænke mig at se den originale formulering (jeg går ud fra at den ikke er skrevet på dansk).

For oversættelsen er noget gedigent vrøvl.
13/27 resultatet gælder netop kun, hvis manden er tilfældigt udvalgt UDFRA EN GRUPPE af fædre med tirsdagsbørn.
Forskellen i formuleringen er lille, men meget afgørende, og det er netop denne lille forskel, som rigtigt mange - og åbenbart også Jens - har rigtigt svært ved at forstå.
Og jeg tror, at denne manglende forståelse er nøglen til de fleste indlæg i debatten.

Har man forstået afkodningens kunst for sandsynlighedsregningsopgaver, så vil det helt naturligt at fortolke dette som værende det samme problem som: Givet at en mand, som er tilfældigt udvalgt, har to børn, hvoraf mindst en er en dreng, hvad er så sandsynligheden, for at han har to drenge. Så er svaret 1/3. Indiskutabelt.

Det er ikke bare diskutabelt - det er direkte forkert, som det er formuleret her.
Resultatet er kun 1/3, hvis manden enten er udvalgt tilfældigt UDFRA EN GRUPPE af fædre med mindst en dreng, eller at vi har information om, at manden har drengepræference, dvs. at han altid vil nævne drengen, hvis hans børn har blandet køn.

Denne tilsyneladende simple opgave har overrasket mange med sin overraskende dybe kompleksitet og forståelsesmæssige udfordringer.
Og det faktum, at folk som Jens stadig ikke har gennemskuet den, tyder på at diskussionen ikke er slut endnu...

  • 0
  • 0

Fantastisk - Jens Ramskov har stadig ikke forstået det!
(...)
13/27 resultatet gælder netop kun, hvis manden er tilfældigt udvalgt UDFRA EN GRUPPE af fædre med tirsdagsbørn.

Ikke enig. Selv hvis faderen er en ganske bestemt person, opgavestilleren for eksempel, er 13/27 rigtigt i mine øjne. Det er ikke nødvendigt at faderen skal være udtaget fra en gruppe af to-børnsforældre.

Jeg mener dette, fordi opgaven kan omformuleres til følgende: "Jeg har udtrukket to tilfældige tal fra 1 til 14, det ene tal er 2, hvad er sandsynligheden for at begge mine tal er i intervallet fra 1 til 7?" (forstås at tallene 1 til 7 repræsenterer drengebørn født mandag til søndag og 8 til 14 er piger født mandag til søndag). Her er svaret uden tvivl 13/27, og jeg kan ikke se hvordan dette spørgsmål er forskelligt fra den oprindelige opgave.

  • så jeg er enig med Ramskov i at det mest logiske svar på den oprindelige og kortfattede formulering er 13/27, hvor uintuitivt det end lyder, og trods at jeg også selv røg i med begge ben oprindeligt :)
  • 0
  • 0

Eller sagt på en anden måde, 13/27 kræver at han ikke er udvalgt tilfældigt, men selektivt gennem et filter der hedder "Kun tobørnsfædre der har en tirsdagsdreng får lov at lege med, resten sorteres fra". Det kræver så også at en anden end Foshee stiller filteret op.

  • 0
  • 0

Jeg mener dette, fordi opgaven kan omformuleres til følgende: "Jeg har udtrukket to tilfældige tal fra 1 til 14, det ene tal er 2, hvad er sandsynligheden for at begge mine tal er i intervallet fra 1 til 7?" (forstås at tallene 1 til 7 repræsenterer drengebørn født mandag til søndag og 8 til 14 er piger født mandag til søndag). Her er svaret uden tvivl 13/27, og jeg kan ikke se hvordan dette spørgsmål er forskelligt fra den oprindelige opgave.

Allerede her begynder det at blive upræcis. Gider du fortælle os om du må trække 2 tallet 2 gange, og hvis ikke så hvorfor.

  • 0
  • 0

Altså, da der ikke er tale om en biologi opgave, men en matematik opgave, så man må antage at sandsynligheden for dreng og pige er lige stor, og at fødslen sker lige sandsynligt på ugens syv dage, samt at det ene barn ikke påvirker det andet. Derfor er det rimeligt at se ugedag/køn informationen som 14 lige sandsynlige muligheder. Men det kunne præciseres til "Jeg har trukket to tal tilfældigt fra en uniformfordeling af 14 heltal fra 1 til 14".

  • 0
  • 0

Allerede her begynder det at blive upræcis. Gider du fortælle os om du må trække 2 tallet 2 gange, og hvis ikke så hvorfor.

Altså, da der ikke er tale om en biologiopgave, men en matematikopgave, må man antage at sandsynligheden for dreng og pige er lige stor, og at fødslen sker lige sandsynligt på alle ugens syv dage, samt at det ene barn ikke påvirker det andet. Derfor er det rimeligt at se barnets ugedag/køn som havende 14 lige sandsynlige muligheder.

Men ja, jeg kunne have formuleret min ækvivalente opgave bedre, f.eks. med: "Jeg har slået to gange med en ærlig 14-sidet terning ..."

  • 0
  • 0

Hej Lars,
Så fik vi det afklaret, og jeg kan godt følge dig i at din opgave svarer til Foshee's.
Nu mangler vi bare at få oplyst hvordan du, under disse forudsætninger regner dig frem til 13/27.
Som jeg ser det, er det nemt nok at nå frem til 13/27 hvis 2 tallet kun må slås en gang, men det ville så skabe et forklaringsproblem mht. hvorfor vi skal udelukke 2 drenge, begge født på en tirsdag.
Ud fra din præcisering om at det må slås 2 gange kan jeg ikke få andet ud af det end at resultatet er 1/2.
Glæder mig til at se dit regnestykke.

  • 0
  • 0

En kort kommentar. Jeg var den der i sin tid i tråden først gjorde opmærksom på de sproglige problemer i opgaven.

Jeg har blot en enkelt kommentar mere.

Opgaven er et glimrende eksempel på hvorfor matematik aldrig bliver en endelig gyldig videnskab. Matematik er - som alt andet - afhængig af sprog. Sprog er kulturelt indlejret og i konstant reproduktion.

I denne situation synes det sproglige vrøvl blot at fortsætte til nærmest uanede højder.

Hold jer til matematik! :)

  • 0
  • 0

...hvad er så ophidsende ved en så ligegyldig sag ? Hvorfor har Einsteins teorier ikke givet anledning til en lignende diskussion, så var han måske aldrig kommet til ordet... det er ren spild af energier at fylde nu vist nok 3 tråde med dette humbug. Det er tilsyneladende mere interessant at løse ligegyldige opgaver end påkrævede, som fx at få fusionen til at fungere i vore forsøg med ITER og andre lignende projekter. Lav noget fornuftigt og lad børnene lege...

  • 0
  • 0

Oversigt over To-Drenge-Opgaver
Niels Berg Olsen

Jeg vil gerne bidrage med en oversigt over de opgaver, vi her har debatteret så heftigt. Jens Ramskov har i dag i artiklen ”Simpel matematikopgave har vist sig at være en hård sproglig nød” omtalt, at man må anerkende, at matematikere simpelthen fortolker ”tekst-opgaver” anderledes end folk generelt. Tekstopgaver skal dekodes!

Foshee sagde: “Jeg har to børn. Et af dem (hermed mente han mindst et af dem) er en dreng, født på en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?”

Som indgang til løsning af denne opgave bør man først se på nogle tidligere stillede opgaver.

1) To børn. Er de begge drenge?
En indledende opgave lyder: ”En mand har to børn. Hvad er sandsynligheden for, at de begge er drenge?”
Vi skal her understrege, at vi ser på en stor mængde (en uendeligt stor mængde) mænd, som har det til fælles, at de alle har to børn.
Sandsynligheden for, at et barn er en dreng, er 1/2, så P for to drenge bliver 1/2*1/2=1/4. Svaret på denne opgave er derfor helt klart, at P=1/4

2) To børn. Mindst det ene af dem er en dreng. Er de begge drenge?
Nu indfører vi en supplerende oplysning: ”En mand har to børn. Hvad er sandsynligheden for, at han har to drenge, når vi får at vide, at mindst et af dem er en dreng?”
Vi ser stadig på en stor (uendelig) mængde mænd, og da kombinationen/udfaldet PigePige nu bortfalder ud af de mulige DrengDreng, DrengPige, PigeDreng og PigePige, DD, DP, PD, PP, så bliver der kun 3 udfald, og P for to drenge, DD, er derfor nu vokset fra 1/4 til 1/3.

2a) Sproglig fortolkning
Men her kommer så en fortolkningsmulighed ind i billedet.
Man kan vælge at forstå spørgsmålet som svarende til, at en mand siger: ”Jeg har to børn, mindst et af dem er en dreng. Her ser du det ene barn. Det er Albert. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?” eller til, at han siger: ”Jeg har to børn. Det ældste er en dreng. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?”
Svaret bliver så 1/2, fordi vi nu allerede kender kønnet for det ene barn. Det andet barn er med sandsynligheden 1/2 en dreng.
P er nu vokset fra 1/4 til 1/3 til 1/2 !

3) To børn. Mindst det ene af dem er en dreng, født på en tirsdag. Er de begge drenge?
Foshee-opgaven, som han selv tænkte dens løsning:
Foshee sagde: “Jeg har to børn. Et af dem (hermed mente han mindst et af dem) er en dreng, født på en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?”
F er matematiker, så når han sagde ”Et af dem er en dreng født på en tirsdag”, mente han mindst et, ikke KUN eet. Og når han sagde: ”Jeg har to børn”, var det ikke et personligt udsagn om ham selv. Han stillede bare en matematikopgave. Han MENTE selvfølgelig dette: ” En mand (blandt uendeligt mange) har to børn. Et af dem (hermed mente han mindst et af dem) er en dreng, født på en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, at han har to drenge?”
Hvis det ældste barn er ”Tirsdags-drengen”, DTi, så er der 7 kombinationer med DTi og en dreng født en vilkårlig ugedag. Hvis det yngste barn er DTi, er der igen 7 kombinationer med det ældste barn som D, men der er dog kun 13 udfald i alt, fordi DTi-DTi indgår i begge mængder. Der er altså 13 muligheder for DD med (mindst) en DTi. Der er 7 kombinationer DTi-P og 7 P-DTi, i alt 14. Derfor udgør DD her 13/(13+14)=13/27, som var den løsning, F tænkte på.

3a) Sproglig fortolkning
To børn. Mindst det ene af dem, som du ser her, er en dreng, født på en tirsdag. Er de begge drenge?
Foshees udsagn kan også - som mange debattører har anført - fortolkes som svarende til en situation, hvor han siger enten "Mit ældste barn er en dreng født på en tirsdag" eller "Her er min søn Albert. Han er født på en tirsdag". Så tilføjer han: "Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?”
Nu har vi allerede en ”Tirsdags-dreng på banen”, og så er sandsynligheden for DD med (mindst) en DTi simpelthen P for, at hans andet barn er en dreng. Og så er P=1/2, som så mange har anført.

Links:

Simpel matematikopgave gav læserstorm, nyhed, 2.6.10
http://ing.dk/artikel/109315-simpel-matema...

Om Martin Gardner og hans tanker om sin opgaves mulige alternative fortolkninger (tak til Jens Olsen for dette link)
Boy or Girl paradox, Wikipedia
http://en.wikipedia.org/wiki/Boy_or_Girl_p...

Om Gary Foshee og hans tanker om sin opgaves mulige alternative fortolkninger (tak til Jens Olsen for dette link)
Tuesday Boy
http://news.bbc.co.uk/2/hi/programmes/more...

Simpel matematikopgave har vist sig at være en hård sproglig nød, 7.8.10
http://ing.dk/artikel/110748-simpel-matema...

  • 0
  • 0

Niels Berg. Tak for din oversigt. Den er fin, bortset fra, at ...

Du skriver i dine sidste to eksempler:

"Foshee sagde: “Jeg har to børn. Et af dem (hermed mente han mindst et af dem) er en dreng, født på en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?”"

og i det andet eksempel skriver du:

"To børn. Mindst det ene af dem, som du ser her, er en dreng, født på en tirsdag. Er de begge drenge?"

Den eneste sproglige - diskursive - forskel på disse to opstillinger er, at du i den sidste adderer : "som du ser her"

Rent matematisk er det ligeglýldigt om man kan se drengen eller ej. Vi ved stadig at det er en dreng. Vi står med andre ord overfor 2 døre. Den ene ER allerede åbnet, og der står en dreng bag den.

Hvad er sandsynligheden for at der står en dreng bag den anden dør?

/P

  • 0
  • 0

Lige en krølle på halen.

Man kan rent sprogligt argumentere for, at Devlin rent faktisk siger, at vi står overfor 2 lukkede døre, og bag den ene står der en dreng. Hvilken ugedag han er født på er stadig sagen fuldstændig uvedkommende.

Hvis vi skal finde kønnet på den anden, så er sandsynligheden for at vi åbner døren hvor "den anden" står bag 1/3.

Men det er ikke det opgaven går ud på. Vi skal ikke åbne en given dør. Vi skal blot tage stilling til om den anden også er en dreng.

  • 0
  • 0

Forskellen er, at vi i eksemplet med "som du ser her" ikke længere betragter en uendeligt stor mængde af fædre, der hver har to børn, hvoraf (mindst) et er en dreng født på en tirsdag.

Vi er nu "på besøg" hos Foshee, og han peger på et af sine børn, en dreng, og siger at han er født på en tirsdag. Vi VED altså nu, at hans ene barn ER en dreng, og at han ER født på en tirsdag.
Hvis han derfor peger på en anden dør, og spørger om, hvad sandsynligheden er for, at han har to drenge, hvoraf (mindst) en er født på en tirsdag, så er P=1/2 - thi vi HAR jo allerede en Tirsdags-dreng. Hans andet barn er med P=1/2 en dreng, men behøver ikke at være født tirsdag. Ham må gerne, men behøver det ikke.

  • 0
  • 0

Lad os foretage en simpel omskrivning af opgaven.

Devlin siger: "Under forudsætning af at en mand, som er tilfældigt udvalgt, har to børn, hvoraf mindst en er en dreng født på en tirsdag, hvad er så sandsynligheden for at han har to drenge? Så er svaret er 13/27.”

Lad os i stedet anføre en anden tidsangivelse, nemlig:

"Under forudsætning af at en mand, som er tilfældigt udvalgt, har to børn, hvoraf mindst en er en dreng født kl 10.23, hvad er så sandsynligheden for at han har to drenge?”

Ifølge Devlin er svaret 1439/(1439+1440)=1439/2879

Hvilket naturligvis er fuldstændig kontraintuitivt.

Det giver fuldt ud lige så meget (=ingen) mening som at anføre at drengen har 1 chokoladebar og 2 rokketænder.

  • 0
  • 0

Forskellen er, at vi i eksemplet med "som du ser her" ikke længere betragter en uendeligt stor mængde af fædre, der hver har to børn, hvoraf (mindst) et er en dreng født på en tirsdag.

Det har ingen betydning.

Vi er nu "på besøg" hos Foshee, og han peger på et af sine børn, en dreng, og siger at han er født på en tirsdag. Vi VED altså nu, at hans ene barn ER en dreng, og at han ER født på en tirsdag.

Det ved vi allerede i forvejen.

Hvis han derfor peger på en anden dør, og spørger om, hvad sandsynligheden er for, at han har to drenge, hvoraf (mindst) en er født på en tirsdag, så er P=1/2 - thi vi HAR jo allerede en Tirsdags-dreng. Hans andet barn er med P=1/2 en dreng, men behøver ikke at være født tirsdag. Ham må gerne, men behøver det ikke.

Du skriver "en anden dør". Vi ved der er 2 børn, så det hedder sprogligt "Den anden dør".

/P

  • 0
  • 0

Har det ikke undret, hvorfor en så lille opgave kan være så svær?

Nu kommer Keith Devlin med en lodret indrømmelse af, at opgaven er forkert stillet. Nu er det pludselig ham, der kommer med "præferancer". Det er absolut ikke matematisk korrekt at stille en opgave med underforståede spidsfindigheder. Han har selv formuleret den således i Devlin's Angle:

"I tell you I have two children and that (at least) one of them is a boy, and ask you what you think is the probability that I have two boys."

Han kunne f.eks. have sagt: "a man like I have two boys." i stedet for: "I have two boys."

Hvis opgaven skal løses med standardforudsætninger er det hans opgave at fortælle hvilken løsningsmodel, der skal bruges, altså om det er almindelig eller betinget sandsynlighed.

Kun verdens dummeste matematiker kan komme med sådan en søforklaring!

Den eneste korrekte løsning på opgaven, som han stillede den, er 1/2.
Jeg har heller ikke nogen stedet set Foshee's opgave formuleret således at løsningen var andet end 1/2.

Intuitionen vinder over uduelige matematikere!

  • 0
  • 0

den er gal med!?

Jeg har været inde på det den 2 juni i tråden fra den forrige artikel.

Jeg begynder at spekulere på, om dette eksempel er det der slår sandsynlighedsregningens regler i stykker. Eller udstiller deres utilstrækkelighed.

Der er først og fremmest spørgsmålet om tirsdagsoplysningens relevans. Rent sprogligt har den overhovedet ingen betydning for problemets opstilling.

Men hvis den nu har!? Hvorfor skal jeg så tælle den ene tirsdag/tirsdag kombination fra?

Det skal jeg fordi sådan er problemet opstillet for at opfylde sandsynlighedsregningens logik. Men det er kontraintuitivt.

For vi har jo ingen oplysning om hvorledes dreng1 og dreng2 skal ordnes. Der kan derfor sagtens være både et dreng1/dreng2 og dreng2/dreng1 udfald.

De skal med andre ord begge tælles med, og løsningen er igen ½.

Jeg begynder at tro at problemet slet ikke kan opstilles korrekt, med de redskaber der findes i dag.

Måske er jeg bare ved at være godt rundtosset! :-D

  • 0
  • 0

Matematikken fejler intet. Vi har to uafhængige elementer i udfaldet og det ene er kendt, altså kan vi kun lave sandsynlighedsregning på det andet. Havde der været flere muligheder for fædre med samme betingelser (to børn, tirsdagsdreng) ville løsningen 13/27 være rigtig.

Jeg har en mail korrespondance fra 29/7, hvor jeg forsøger at overbevise Keith Devlin. Det lykkedes ikke dengang.

  • 0
  • 0

Når man nu for en gangs kan bruge statistik til noget, ser det ud til, at ingen tænker på dette!

Danmarks statistik oplyser:
http://www.dst.dk/pukora/epub/Nyt/2003/NR2...
at der fødes flere drenge end piger.

Husker jeg ret arbejdede min bror med dette på Københavns universitet inden skanning var opfundet, og så vidt jeg husker:

1) Har man (en kvinde) et barn af et køn, stiger sandsynligheden for næste barn af modsat køn en smule

2) Har man (en kvinde) flere børn af samme køn, stiger sandsynligheden for næste barn af samme køn en smule.

3) Hele tiden er sandsynligheden for dreng dog størst.

Den matematiske opgave i disse tråde kan f. eks. beskrives med statistiskt korrekte terningkast (om tirdagen!), hvor ujævne tal representerer drenge.

Mvh Tyge

  • 0
  • 0

Sidste nye tal (2009) fra Danmarks Statistik ses på

"Flest børn bliver født onsdag"
http://www.dst.dk/OmDS/BagTal/Arkiv/2010-0...

Der er link derfra til en fin tabel, der opdeler fødslerne efter både køn OG UGEDAG!!
http://www.dst.dk/upload/2010-02-12-tabel_...

Så den, der vil, kan indlemme P for en Tirsdags-dreng med P=15.1 procent, i stedet for 1/7, men lad os for Guds - og vor egen - skyld holde matematikken enkel. Det skønne ved Foshee-opgaven er jo dens enkelhed - og dens overraskende resultat.
Men læs alligevel DS-artiklen, der forklarer, hvorfor færrest børn fødes om søndagen, osv. Interessant læsning.

  • 0
  • 0

2a) Sproglig fortolkning
Men her kommer så en fortolkningsmulighed ind i billedet.
Man kan vælge at forstå spørgsmålet som svarende til, at en mand siger: ”Jeg har to børn, mindst et af dem er en dreng. Her ser du det ene barn. Det er Albert. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?” eller til, at han siger: ”Jeg har to børn. Det ældste er en dreng. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?”
Svaret bliver så 1/2, fordi vi nu allerede kender kønnet for det ene barn. Det andet barn er med sandsynligheden 1/2 en dreng.
P er nu vokset fra 1/4 til 1/3 til 1/2 !

Niels, det her er go' gammel sandsynlighedsregning, som jeg lærte det i folkeskolen.
Problemet er bare, at det ikke kan anvendes i denne her kontekst.

Det er ligegyldigt hvad vi PÅ BAGKANT får at vide om denne dreng (så længe det ikke afslører noget om det andet barns køn).
Oplysningen om han er det ældste barn ændrer ingenting omkring sandsynligheden, fordi det netop er Foshee der har udvalgt barnet.

Hvis det derimod var et kriterium indlagt i opgaven, at Foshee SKULLE vælge at fortælle kønnet på det ældste barn, så havde vi kunnet anvende vores folkeskolelærdom.

Det er netop erkendelsen af denne forskel, der er nøglen til at forstå hvorfor opgaven under de givne forudsætninger giver 1/2 og ikke 13/27.

  • 0
  • 0

2a) Sproglig fortolkning
Men her kommer så en fortolkningsmulighed ind i billedet.
Man kan vælge at forstå spørgsmålet som svarende til, at en mand siger: ”Jeg har to børn, mindst et af dem er en dreng. Her ser du det ene barn. Det er Albert. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?” eller til, at han siger: ”Jeg har to børn. Det ældste er en dreng. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?”
Svaret bliver så 1/2, fordi vi nu allerede kender kønnet for det ene barn. Det andet barn er med sandsynligheden 1/2 en dreng.
P er nu vokset fra 1/4 til 1/3 til 1/2 !

Niels, det her er go' gammel sandsynlighedsregning, som jeg lærte det i folkeskolen.
Problemet er bare, at det ikke kan anvendes i denne her kontekst.

Det er ligegyldigt hvad vi PÅ BAGKANT får at vide om denne dreng (så længe det ikke afslører noget om det andet barns køn).
Oplysningen om han er det ældste barn ændrer ingenting omkring sandsynligheden, fordi det netop er Foshee der har udvalgt barnet.

Hvis det derimod var et kriterium indlagt i opgaven, at Foshee SKULLE vælge at fortælle kønnet på det ældste barn, så havde vi kunnet anvende vores folkeskolelærdom.

Det er netop erkendelsen af denne forskel, der er nøglen til at forstå hvorfor opgaven under de givne forudsætninger giver 1/2 og ikke 13/27.

  • 0
  • 0

Jag vände tvärt då någon tog redan på att Foshee hade två barn varav ett en gut født tirsdag.

Hur fan kan man vara så korkad som statistiker att man uppger ett verkligt förhållande i en dylik uppgift?

Men det är bara att inse, matematisk statistik lockar inte de med den största kreativiteten.

Annars är det gamla originalproblemet som Foshee på detta vis visade att han inte förstår, (förutsatt att du översatt frågan korrekt), mycket lärorikt.

  • 0
  • 0

[quote]Fantastisk - Jens Ramskov har stadig ikke forstået det!
(...)
13/27 resultatet gælder netop kun, hvis manden er tilfældigt udvalgt UDFRA EN GRUPPE af fædre med tirsdagsbørn.

Ikke enig. Selv hvis faderen er en ganske bestemt person, opgavestilleren for eksempel, er 13/27 rigtigt i mine øjne. Det er ikke nødvendigt at faderen skal være udtaget fra en gruppe af to-børnsforældre.
[/quote]

Jamen i guder. Hvis skal udtale dig om sandsynligheden for udfaldet af en hændelse, så er du pine død nødt til at vide (eller i det mindst gøre dig en antagelse om ) ud fra hvilken gruppe af hændelser at hændelsen er udtaget.
Det ligger simpelthen i definition af hvad sandsynlighed betyder.

Jeg mener dette, fordi opgaven kan omformuleres til følgende: "Jeg har udtrukket to tilfældige tal fra 1 til 14, det ene tal er 2, hvad er sandsynligheden for at begge mine tal er i intervallet fra 1 til 7?" (forstås at tallene 1 til 7 repræsenterer drengebørn født mandag til søndag og 8 til 14 er piger født mandag til søndag). Her er svaret uden tvivl 13/27, og jeg kan ikke se hvordan dette spørgsmål er forskelligt fra den oprindelige opgave.

Er svaret 13/27? Virkelig? Mener du det? Ærligt og uden sjov?

Jeg foreslår dig at lave to poser med 14 brikker nummereret 1 til 14 i hver. Udtager du nu en fra den første pose og ser at den har tallet to, hvad tror du så at der sker når du efterfølgende dypper hånden ned i anden pose? Hvad tror du at sandsynligheden er for at du trækker et nummer i intervallet 1-7?

Og du har helt ret. Denne opgave du har stillet er både i indhold og formulering fuldstændig magen til Ramskovs oprindelige opgave.

  • så jeg er enig med Ramskov i at det mest logiske svar på den oprindelige og kortfattede formulering er 13/27, hvor uintuitivt det end lyder, og trods at jeg også selv røg i med begge ben oprindeligt :)

Jamen det er så dit problem, at du synes at det lyder uintuitivt. Jeg synes ikke er det er spor uintuitivt at svaret er 13/27, i den ophave som Ramskov troede og ønskede at han havde stillet. Og jeg synes heller ikke at det er spor uintuitivt at svaret er 1/2 i den opgave han rent faktisk stillede.

  • 0
  • 0

Jeg begynder at spekulere på, om dette eksempel er det der slår sandsynlighedsregningens regler i stykker. Eller udstiller deres utilstrækkelighed.

Nej, sandsynlighedsregning fejler heldigvis intet.

Det eneste problem vi har er det der opstår, når en opgavestiller skal være så smart (for selv at fremstå kløgtigere?), at han formulerer en opgave så "snedigt", at han faktisk stiller en anden opgave end han egentligt ville?

Problemet forstærkes naturligvis hvis han ikke er en stor nok mand til bare efterfølgende klart at sige "ups, det var sgu en svipser".

At sige, at når det er inde for matematikkens verden, så er det jo klart at meningen er end anden, end hvad der rent faktisk står, er vist det man på pænt dansk kalder for en søforklaring.

  • 0
  • 0

Og at fornuften er kommet tilbage i debatten. Tirsdagoplysningen er det rene nonsens, og vi ved intet som helst om barn nr 2, så svaret er 1/2, basta.

  • 0
  • 0

Jens Ramskov skrev:

Keith Devlin skriver bl.a. følgende: ”Var problemet formuleret på følgende måde: Under forudsætning af at en mand, som er tilfældigt udvalgt, har to børn, hvoraf mindst en er en dreng født på en tirsdag, hvad er så sandsynligheden for at han har to drenge? Så er svaret er 13/27.”

Jeg tjekkede Devlins originaltekst, som lyder som følgende:

"Given that a man chosen at random has two children, at least one of which is a boy born on a Tuesday, what is the probability that he has two boys?" then the answer would be 13/27.

Det ser ud til, at Jens har oversat teksten nogenlunde korrekt, men Devlins reviderede opgaveformulering er stadig upræcis og tvetydig, idet det ikke fremgår, om manden specifikt er blevet spurgt om han har en tirsdagsdreng, eller om han bare oplyser køn og ugedag på et af hans børn, som han selv har udvalgt.

Og forskellen på de to scenarier afgør, om resultatet bliver 13/27 eller 1/2.

  • 0
  • 0

Hvis prisen på en vare stiger med 25%, så koster den 20% mere,
det lyder jo umiddelbart forkert, men her ligger (tanke-) dril'et i et før og et efter, og matematikken fejler ikke noget.

  • 0
  • 0

Hvis prisen på en vare stiger med 25%, så koster den 20% mere,
det lyder jo umiddelbart forkert

Det var fantastisk godt eksempel der på mange måder ligner Foshees!

Resultatet er nemlig forkert, fordi man i et smart forsøg på at fremprovokere noget uintuitivt har formuleret sig forkert.

Hvis en vare stiger 25%, så koster den netop 25% mere end den gjorde før.

Prisstigningen udgør så kun 20% af den nye pris, men det var jo ikke det der blev formuleret.

  • 0
  • 0

[quote]Hvis prisen på en vare stiger med 25%, så koster den 20% mere,
det lyder jo umiddelbart forkert

Det var fantastisk godt eksempel der på mange måder ligner Foshees!

Resultatet er nemlig forkert, fordi man i et smart forsøg på at fremprovokere noget uintuitivt har formuleret sig forkert.

Hvis en vare stiger 25%, så koster den netop 25% mere end den gjorde før.

Prisstigningen udgør så kun 20% af den nye pris, men det var jo ikke det der blev formuleret.[/quote]

Ja - det er med at passe på procenterne. Her er et eksempel fra vores lovgivende forsamling.

Fra folketingets talerstol sagde Åse D. Madsen fra Dansk Folkeparti i 1999 følgende:

"Med hensyn til de unøjagtigheder, som ministeren sagde jeg var kommet med, vil jeg gerne sige, at jeg står her med en udskrift fra en kilde, og det er en kultur- og fritidsaktivitetsundersøgelse fra 1998 i en brochure, som ministeren selv har udgivet. I 1997 var antallet af bogudlån 72.332.000, i 1998 var det faldet til 61.000.871. Og med hensyn til, hvem der kommer på bibliotekerne, og hvem der ikke kommer, er der en tabel 18 med en gruppe delt ind efter alder, og dér står, at 39 pct. af den mandlige del af befolkningen aldrig kommer på bibliotekerne, og at 30 pct. af den kvindelige del af befolkningen, altså fordelt gennemsnitligt over alder, aldrig kommer der. Og når jeg lægger mænd og kvinder sammen - det skal man være lidt forsigtig med, men på det her område tør jeg godt - så giver
39 pct. af mændene og 30 pct. af kvinderne befolkningen tilsammen, og det må være 69 pct. Tager jeg fejl? "

  • 0
  • 0

Ha, ha, jeg kan godt huske da jeg i TV så dette indlæg fra folketingets talerstol, og jeg bilder mig også ind, at jeg kan huske lyden af min hage der ramte brystkassen. ;-)

Det er iøvrigt ikke meget man har hørt til Fru Madsen siden da....

  • 0
  • 0

Det er indiskutabelt at hvis man udregner den betingede sandsynlighed P(to drenge, givet to børn hvoraf mindst et er en tirsdagsdreng), så får man 13/27. Spørgsmålet er snarere om det er denne sandsynlighed der er den relevante sandsynlighed at udregne i en konkret situation, hvis man altså skal bruge tallet til andet end at besvare en abstrakt stillet matematikopgave der spørger om "sandsynlighedEN" uden nøjere angivelse.

Ret beset er det kun meningsfuldt at tale om sandsynligheder hvis der er tale om et eksperiment som man kan forestille sig gentaget, således at resultatet kan være forskelligt fra gang til gang. Hvis eksperimentet handler om en bestemt mand, er sandsynligheden for at han har to drenge enten 100% eller 0%, omend vi måske ikke ved hvilket af disse tal der er korrekt. Men bortset fra den krølle kan vi forestille os to forskellige eksperimenter:

  1. Udvælg en tilfældig mand blandt alle tobørnsfædre. Spørg ham om han er far til mindst en tirsdagsdreng. Det viser sig at han svarer ja. Vi skal nu vædde på om manden er far til to drenge; hvilke odds bør vi acceptere for at undgå at tabe penge i det lange løb hvis eksperimentet gentages mange gange?

  2. Udvælg en tilfældig mand blandt alle tobørnsfædre. Lad en neutral opmand vælge et tilfældigt af hans to børn, og fortælle os dette barns køn og fødselsdag. Det viser sig at være en dreng født om tirsdagen. Som før skal vi nu vædde på om manden er far til to drenge...

I eksperiment (1) er den korrekte sandsynlighed 13/27 (svarnede til odds 13:14), mens sandsynligheden i eksperiment (2) er 1/2 (odds 1:1).
[Bemærk specielt at vores SIKRE viden i de to situationer er identisk, men sandsynlighederne alligevel er forskellige].

Jeg vil mene at (1) er det eksperiment der sprogligt passer bedst på problemformuleringen, men det er en temmelig kunstig situation (fx skulle vi vælge uden at have nogen information at det var netop tirsdag vi ville spørge om). Eksperiment (2) er en meget bedre model for hvad det i praksis oftest vil sige at have delvis information om den tilfældigt udvalgte familie. Det er sjældent at vores efterretninger netop består af et troværdigt svar på et kompliceret enten-eller-eller-begge-spørgsmål. Men langt lettere at forestille sig fx at vores spion der skulle stjæle børnenes dåbsattester for os, kun nåede at finde den ene af dem før han blev afsløret. Og i det tilfælde er vi i situation (2) og bør bruge sandsynligheden 1/2 til vores videre beslutninger.

Hvad har vi så lært? Jeg har ihvertfald hermed lært at en naivt opstillet betinget sandsynlighed ikke altid er den bedste måde at behandle delvis information på, og at man skal sørge for at have tungen lige i munden ...

  • 0
  • 0

Lad mig i øvrigt lige pege på en interessant parallel med Monty Hall-problemet (et andet sandsynlighedsproblem som også kan sætte sindene i kog). I begge tilfælde ser meget af forvirringen ud til at skyldes at den sproglige beskrivelse af problemet gør det uklart hvor stor valgfrihed modparten har i løbet af eksperimentet/spillet.

I begge tilfælde forudsætter den ikke-intuitive sandsynlighed at modparten INGEN valgfrihed har med hensyn til hvilken information han vil give. Spillets regler siger at Monty SKAL vise en ged frem og SKAL give mulighed for at skifte dør. Og faderen i denne opgave SKAL sige enten "ja, jeg har mindst en dreng født på en tirsdag" eller "nej, jeg har ingen dreng født på en tirsdag". Hvis han har mulighed for at vælge at sige "jeg har mindst en pige født på en fredag", eller Monty kan vælge at vise bilen med det samme, bryder analysen sammen.

Videre: i begge tilfælde kan man alternativt antage at modparten stadig ikke har fri vilje, men SKAL vælge tilfældigt mellem flere forskellige "lignende" stykker information at give. Fx kunne reglerne være at Monty SKAL slå plat og krone om hvilken af de to ikke-valgte døre han åbner først. Og i nærværende opgave kan faderen vælge et tilfældigt af sine børn at oplyse køn og ugedag på. Og disse varianter fører begge til den "naive" sandsynlighed (nemlig 1/2 i begge tilfælde).

Og i begge tilfælde falder det hele fuldstændigt fra hinanden hvis faderen/Monty har fri vilje til at bestemme hvilken del af sandheden vi får, og forsøger at udnytte denne valgfrihed til at manipulere os til at tage en forkert beslutning senere. Så er sandsynligheder slet ikke tilstrækkeligt til at analysere situationen, og vi må i stedet gribe til spilteori, antagelser om modpartens motivation, vores egen risikovillighed, bluff/modbluff og så videre.

  • 0
  • 0

Det er indiskutabelt at hvis man udregner den betingede sandsynlighed P(to drenge, givet to børn hvoraf mindst et er en tirsdagsdreng)

Henning,
Det er jo netop det der er issuet - ingensteds ser vi formuleringen:

hvoraf mindst et er en tirsdagsdreng

Jeg mindes gymnasietiden, hvor statistik/sandsynlighedsopgaver blev 'krydret' med ubrugelige oplysninger) aka tirsdags...), netop for at skille fårene fra bukkene.

I det her tilfælde er jeg dog lidt i tvivl om det rigtige svar er 1/2 eller 1/3, men måske kan nogen byde ind.

Ud fra de sparsomme oplysninger, skal man jo gætte sig frem, hvilket trådene også indikerer, og jeg skelner mellem følgende fortolkninger (tirsdag er ligegyldig).

  • det er jo evident, at han har to børn, og den ene er en dreng.

Fortolkning 1:
Den ene er en dreng.
Det medfører følgende udfaldsrum:
DP,PD,DD
Mens
Fortolkning 2:
Den første(ej konkretiseret) er en dreng.
Medfører udfaldsrummene
DP,DD
Fortolkning 3:
Modsat 2)

Det er jo stadig ordskvalder, og ikke matematik, men jeg vil mene, at 1) = 1/3, mens 2 eller 3=1/2.

  • 0
  • 0

Opgaven mangler rammebetingelser. Derfor er alle svar rigtige...

Mit svar er 1/1 da jeg forudsætter at alle børn er drengebørn.

Ifølge danmarks statistik var 51.35% af alle levendefødte i 2009 drenge. Da der hver er givet oplysninger om dette - eller børnenes alder (drenge bliver ikke så gamle) - i opgaven, åbner for et utal af fortolkninger...

  • 0
  • 0

Kære Jens,

Det var dog en usædvanlig langstrakt måde at sige: "Jeg tog fejl".

"Når man har matematikken på sin side, kan man roligt være urokkelig." fnis!!

Hvad med Robin - din tro væbner på redaktionen - er han også kommet til fornuft?

  • 0
  • 0

Henning,
Det er jo netop det der er issuet - ingensteds ser vi formuleringen:[quote]
hvoraf mindst et er en tirsdagsdreng

[/quote]
Jeg ser denne formulering i "Poul Bundgaard"s kommentar 08. aug 2010 kl 21:33, hvor den oprindelige opgavetekst blev citeret som

Given that a man chosen at random has two children, at least one of which is a boy born on a Tuesday, what is the probability that he has two boys?

Hvis du mener at dette ikke svarer til "hvoraf mindst et er en tirsdagsdreng" på dansk, er vores problem ikke matematisk.

Jeg mindes gymnasietiden, hvor statistik/sandsynlighedsopgaver blev 'krydret' med ubrugelige oplysninger) aka tirsdags...), netop for at skille fårene fra bukkene.

Betingelsen om tirsdag er ikke irrelevant. Det er naturligvis irrelevant at det netop er tirsdag snarere end onsdag, men ENHVER ikke-triviel ekstra betingelse i spørgsmålet gør risikoen mindre for at begge børn passer på den beskrivelse der bliver spurgt om. Og jo mindre denne risiko er, desto tættere kommer den betingede sandsynlighed på 1/2.

  • 0
  • 0

Tak for mere kreativitet end jeg hade tænkt på med mit indlæg:

  1. aug 2010 kl 11:31
    Tyge Vind
    At være kreativ

Vi bør heller ikke glemme en klassisk folkeskoleopgave:

Transformeres strømmen op eller ned, når den forlader et kraftværk?
Helt umuligt ar svare på af mindst en anledning!

Det korrekte svar på et korrekt formuleret spørgsmål er:
Spændningen transformeres op INDEN strømmen forlader kraftværket og ned EFTER at strømmen har forladt kraftværket.

PHK's kommentar:
"Send undervisningsministeriet på efteruddannelse"
var den rigtige men søgelige konklution, hilser Tyge

  • 0
  • 0

[quote]

Jeg ser denne formulering i "Poul Bundgaard"s kommentar 08. aug 2010 kl 21:33, hvor den oprindelige opgavetekst blev citeret som

[quote]Given that a man chosen at random has two children, at least one of which is a boy born on a Tuesday, what is the probability that he has two boys?

[/quote]

Henning, dette var ikke den oprindelige opgavetekst. Det er en omskrivning, som Devling havde foretaget med henblik på at gøre opgaven utvetydig.

Det lykkedes så bare ikke, idet der ikke præciseres hvordan oplysningen om køn og ugedag er fremkommet - hvilket er helt afgørende for om resultatet er 13/27 eller 1/2.

  • 0
  • 0

[quote]Given that a man chosen at random has two children, at least one of which is a boy born on a Tuesday, what is the probability that he has two boys?

Henning, dette var ikke den oprindelige opgavetekst. Det er en omskrivning, som Devling havde foretaget med henblik på at gøre opgaven utvetydig.[/quote]Aha.

Det lykkedes så bare ikke, idet der ikke præciseres hvordan oplysningen om køn og ugedag er fremkommet

Jeg vil mene at formuleringen ovenfor er utvetydig betragtet som matematisk jargon. I jargon kan den ikke betyde andet end: (1) vi vælger en tilfældig mand, (2) uden at vide andet end at han er tilfældigt udvalgt, spørger vi om han har to børn hvoraf mindst et er en tirsdagsdreng (3) svaret på dette spørgsmål viser sig at være ja. Vi spørger slet ikke om piger eller andre ugedage, så det var rigtignok noget af et sammentræf at det spørgsmål vi valgte at stille var et der kunne besvares med ja. Men (4) GIVET at dette sammentræf er indtruffet, hvad er så sandsynligheden for at svaret på næste spørgsmål (er der to drenge) er ja?

Jeg går ud fra at du er enig i min analyse fra 04:53, bortset evt fra hvad der "sprogligt passer bedst"?

  • 0
  • 0

Det der kendetegner et godt paradoks er at det rigtige svar er let og simpelt at finde og argumentere for ... men at der er FORKERTE svar som er lige så simple at nå frem til.

Udfordringen er ikke at forklare hvorfor det rigtige svar er rigtigt, men at gennemskue hvor argumenterne for det/de forkerte svar løber på vildspor.

Dette forudsætter at man er nysgerrig og åben nok til at sætte sig ind i hvordan modpartens argumenter hænger sammen. Hvis man ikke gider gå længere end "dit argument duer ikke fordi det når frem til et forkert svar" eller "du er bare dum/uvidende", har man ikke fået hul på PARADOKSET, uanset hvor rigtigt det svar man foretrækker, så end skulle være.

  • 0
  • 0

Dette gaar et skridt frem og to tilbage. Den opgave der i virkeligheden skiller vandende er hvis tirsdagen udelades og om resultatet saa er 1/3 eller 1/2.

Jens Ramskov nye artikel viser at han ikke har forstaaet problemet, i den oprindelige opgave.

Under forudsætning af at en mand, som er tilfældigt udvalgt, har to børn, hvoraf mindst en er en dreng født på en tirsdag, hvad er så sandsynligheden for at han har to drenge? Så er svaret er 13/27.”

Dette svar er for de fleste – mig selv inklusive - meget overraskende og anti-intuitivt.

Det svare lidt til at blive overrasket over at der kun er 1/7 faedre med et barn, der har et barn foedt en tirsdag.
Naevner faren selv ugedagen pa sit ene barns foededag, er det en fuldstaendig anden sag, som ikke sorterer nogen faedre i verden fra.

For at skaere ind til selve ueningheden burde formuleringen aendres til foelgende simple opgave, og tro mig, der er ikke enighed om svaret..

Essensen af uenigheden - (moenter kan erstates af boern)

"En mand kaster to moenter og naevner den ene, hvad er sandsynligheden for at der er to af den naevnte moent".

13/27 tilhangere mener 1/3 i ovenstaaende og resten mener 1/2 (hvis beregningen laves ud fra det kriterie at vi ikke ved om siger plat oftere end krone).

Denne opgave ville mange have troet ikke ville vaere et problem at loese. Men den er essensen til hvorfor nogen regner paa en maade og kan faa 13/27 og andre 1/2.

Aendres formulering lidt vil alle vaere enige..

"En mand kaster to moenter og bliver spurgt om den ene er plat"
Svarer han ja, er der tre udfald der lige sandsynligt for ham til at sige ja, PP, PK og KP. Alle er enige om 1/3 for to plat..
Alle vil ogsaa vaere enige om blandet er 2/3..
Svarer han nej, er det endnu mere simpelt (1/1 for to krone)....

Giver opgaven hvor manden selv naevner en moent nu samme resultat?

Er der tre udfald der samme sandsynlighed og altid vil for ham til at sige plat: PP, PK og KP. Hvis ja, saa er resultatet ogsaa 1/3 for to plat..

Er der tre udfald der med samme sandsynlighed og altid vil for ham til at sige krone: PK, KP og KK. Hvis ja, saa er resultatet ogsaa 1/3 for to krone..

Mener man at ovenstaaende er korrekt, saa mener man ogsaa her at der er 2/3 chance for blandet, naar manden har naevnt en moent. Argumentet er at, ud af fire lige sandsynlige udfald, er et udelukket. Dette skulle efterlade tre lige sandsynlige udfald (hvilket ogsaa er hele misforstaaelsen).

Men det vil sige at man mener at der er 1/2 chance for blandet. Men hvis manden naevner den ene moent, saa er der 2/3 chance for blandet. Og det er ligemeget hvilket mont han naevner.

Moenterne har ikke aendret sig, saa hvad hvis han naevner en moent, men man ikke kan hoere hvilken? Da det er lige meget hvilken moent han naevner og man ved at et udfald er udelukket, maa man vel kunne antage sandsynligheden 2/3 for blandet.

50% for blandet. Men hvis man ved han vil naevne en moent, kan man lige saa godt spille blandet fra starten, da uanset hvilken moent der naevnes, kommer 2/3 chance for blandet...
Og undskyld, men det finder jeg altsaa uhyggeligt morsomt:-D

Ovenstaende er ikke paa nogen maade ment som tankeeksperimenter, man for at illustrere tydeligheden i at sandsynligheden aldrig har vaeret 1/3 for to ens, naar han selv vaelge hvilken moent han vil naevne.

Og den simple forklaring

  • der er IKKE 3 udfald der ligesandsynligt for ham til at naevne plat.
  • der er IKKE 3 udfald der ligesandsynligt for ham til at naevne krone.

Bliver han derimod spurgt om der er en plat, er der praecis og altid tre udfald der for ham til at svare ja...Og heri ligger den store forskel.

For svaer til forlkeskolen?

At saa mange (ingeniorer) har saa svart ved at loese opgaven
"En mand kaster to moenter og naevner den ene, hvad er sandsynligheden for at der er to af den naevnte moent".
maa siges at vaere overraskende.

Kan komme til 1/3 kan man ogsaa komme til 13/27..samme fejl

Min opfordring er at snakke om opgaven uden ugedag. Tirsdagen er ikke roden til problemet. (Kan komme til 1/3 kan man ogsaa komme til 13/27..samme fejl).

Denne simple opgave burde have vaeret et problem der var til at overskue og jeg synes Jens Ramskov burde have laest et par indlaeg der beskriver problemet og loesningen, inden han skrev sin artikkel nr. 2 om fortolkning... En kvart soeforklaring er nemmest, men det virkelige problem ar vist at Jens Ramskov stadig er forfoert og hverken kan se problem eller loesning! Eller er en efterfoelgende omskrivning af en opgave, der har foert 1200 debat inlaeg, godt nok, uden at forholde sig til kernen af problemet...Skuffende artikkel fra Jens Ramskov..

  • 0
  • 0

Den opgave der i virkeligheden skiller vandende er hvis tirsdagen udelades og om resultatet saa er 1/3 eller 1/2.

Her synes jeg du er lige hurtig nok. Min egen intuition da jeg første gang så problemet var at tirsdagen var uafhængig af resten, og at det rigtige svar (for versionen med tirsdag) derfor måtte være 1/3. Det krævede noget tankevirksomhed at overbevise mig selv om at det ikke er paradoksalt at tirsdagen får sandsynligheden til at stige fra 1/3 til 13/27.

Ovenstaende er ikke paa nogen maade ment som tankeeksperimenter,

Hvabehva? Har du da tænkt dig at udføre dem i praksis? Eksperimenter man tænker over uden at behøve at udføre dem er tankeeksperimenter. (Det er ikke en nedsættende betegnelse).

  • 0
  • 0

En kvart soeforklaring er nemmest, men det virkelige problem ar vist at Jens Ramskov stadig er forfoert og hverken kan se problem eller loesning! Eller er en efterfoelgende omskrivning af en opgave, der har foert 1200 debat inlaeg, godt nok, uden at forholde sig til kernen af problemet...Skuffende artikkel fra Jens Ramskov..

Jamen, Jens Ramskov har da fuldstændig ret..

Det skuffende er, at de sammen fire mennesker bliver ved med at fremture med deres mildest talt besynderlige fortolkninger, omskrivninger, antagelser og motivanalyser.

  • 0
  • 0

[quote]En kvart soeforklaring er nemmest, men det virkelige problem ar vist at Jens Ramskov stadig er forfoert og hverken kan se problem eller loesning! Eller er en efterfoelgende omskrivning af en opgave, der har foert 1200 debat inlaeg, godt nok, uden at forholde sig til kernen af problemet...Skuffende artikkel fra Jens Ramskov..

Jamen, Jens Ramskov har da fuldstændig ret..

Det skuffende er, at de sammen fire mennesker bliver ved med at fremture med deres mildest talt besynderlige fortolkninger, omskrivninger, antagelser og motivanalyser.[/quote]
Ole, hvis du havde fulgt med i den oprindelige debat så ville du vide, at der er langt flere end fire personer der har gennemskuet Foshees fejl.
Og sjovt nok er det netop de mennesker, som også er i stand til logisk og matematisk at argumentere for deres synspunkt og ikke bare gentager forskellige variationer af "Jeg har ret".

Hvis man kigger på Alex Bellos' debatforum, som Jens Ramskov også refererer til: http://alexbellos.com/?p=725 , hvor debatniveauet iøvrigt generelt har ligget højere end i ING tråden, så er næsten alle debattører efterhånden enige om, at det korrekte resultat af den opgave Foshee formulerer, er 1/2 og ikke 13/27.

  • 0
  • 0

[quote][quote]Given that a man chosen at random has two children, at least one of which is a boy born on a Tuesday, what is the probability that he has two boys?

Henning, dette var ikke den oprindelige opgavetekst. Det er en omskrivning, som Devling havde foretaget med henblik på at gøre opgaven utvetydig.
Det lykkedes så bare ikke, idet der ikke præciseres hvordan oplysningen om køn og ugedag er fremkommet[/quote]

Jeg vil mene at formuleringen ovenfor er utvetydig betragtet som matematisk jargon. I jargon kan den ikke betyde andet end: (1) vi vælger en tilfældig mand, (2) uden at vide andet end at han er tilfældigt udvalgt, spørger vi om han har to børn hvoraf mindst et er en tirsdagsdreng [/quote]
Hvor er det lige du læser, at manden bliver SPURGT om han har en tirsdagsdreng?

I Foshees opgaveformulering er det f.eks. en uopfordret oplysning - hvilket jo giver et helt andet resultat.

  • 0
  • 0

Hvis man kigger på Alex Bellos' debatforum, som Jens Ramskov også refererer til: http://alexbellos.com/?p=725 , hvor debatniveauet iøvrigt generelt har ligget højere end i ING tråden, så er næsten alle debattører efterhånden enige om, at det korrekte resultat af den opgave Foshee formulerer, er 1/2 og ikke 13/27.

Fordi de mere indsigtfulde ikke gider længere og tænker "De får ret, vi andre får fred".

  • 0
  • 0

[quote]

Hvis man kigger på Alex Bellos' debatforum, som Jens Ramskov også refererer til: http://alexbellos.com/?p=725 , hvor debatniveauet iøvrigt generelt har ligget højere end i ING tråden, så er næsten alle debattører efterhånden enige om, at det korrekte resultat af den opgave Foshee formulerer, er 1/2 og ikke 13/27.

Fordi de mere indsigtfulde ikke gider længere og tænker "De får ret, vi andre får fred".[/quote]

Når du nu er så indsigtsfuld, så kunne du måske besvare de spørgsmål, jeg nu efterhånden eksplicit har stillet dig i tre svar til dig.
En besvarelse ville bestyrke mig en del i min tro på, at du har argumenter at fremføre. Det ville faktisk styrke min tro på at du har gode argumenter, meget mere end en snart udkastet bemærkning gør.

Iøvrigt. Fordi en tosse kan spørge om mere end syv vise kan svare på, så betyder det, at man ikke kan besvare et spørgsmål, ikke nødvendigvis, at spørgsmålet er stillet af en tosse.

  • 0
  • 0

Ja, der er nogle stykker, jeg ikke svarer. Det er dem, der er grove, perfide og uforskammede og ude af stand til at debattere civiliseret - dem gider jeg simpelthen ikke tale med.

  • 0
  • 0

[quote]En kvart soeforklaring er nemmest, men det virkelige problem ar vist at Jens Ramskov stadig er forfoert og hverken kan se problem eller loesning! Eller er en efterfoelgende omskrivning af en opgave, der har foert 1200 debat inlaeg, godt nok, uden at forholde sig til kernen af problemet...Skuffende artikkel fra Jens Ramskov..

Jamen, Jens Ramskov har da fuldstændig ret..

Det skuffende er, at de sammen fire mennesker bliver ved med at fremture med deres mildest talt besynderlige fortolkninger, omskrivninger, antagelser og motivanalyser.[/quote]

Det må så være dig selv og Ramskov du taler om. Som Ramskov også selv skriver, så skal man ligge lægge noget til som ikke står i opgaven, og fortolke det skrevne på en meget bestemt måde, for at få resultatet 13/27. Men som ramskov også skriver; "det er jo klart", enhver ved jo at når det står i den kontekst det gør, så skal man selvfølgelig opfatte opgaven helt anderledes end den rent faktisk står.

Nu er det sådan, at jeg rent faktisk godt kunne regne ud hvad det var for en opgave Ranskov ønskede at stille. Men at jeg er i stand til at regne det ud, ændrer jo intet som helst ved at det var en anden opgave der blev stillet.

Og så har du stadigvæk ikke besvaret et eneste af de spørgsmål, som jeg har stillet dig i indtil flere indlæg.

  • 0
  • 0

[quote]Jeg vil mene at formuleringen ovenfor er utvetydig betragtet som matematisk jargon. I jargon kan den ikke betyde andet end: (1) vi vælger en tilfældig mand, (2) uden at vide andet end at han er tilfældigt udvalgt, spørger vi om han har to børn hvoraf mindst et er en tirsdagsdreng

Hvor er det lige du læser, at manden bliver SPURGT om han har en tirsdagsdreng?[/quote]
Jeg siger ikke at vi nødvendigvis spørger MANDEN. Vi spørger nogen som kender det rigtige svar og giver det til os.

Det er det jargonen "Given X, what is the probability that Y?" betyder.
Vi lader tilfældet vælge et punkt i udfaldsrummet, undersøger (på uspecificeret men pålidelig vis) om det valgte punkt opfylder betingelsen X, og finder ud af at det gør det. Så skal vi angive en sandsynlighed for at det også opfylder betingelsen Y.

Den jargon vil aldrig blive brugt til at betyde at vi lader tilfældet vælge et punkt i udfaldsrummet og dernæst lader nogen vælge et eller andet at fortælle os om det punkt, og de vælger (af ukendte årsager) at fortælle os X i stedet for W som punktet også opfylder.

I Foshees opgaveformulering er det f.eks. en uopfordret oplysning - hvilket jo giver et helt andet resultat.

Jeg er usikker på hvilken formulering du taler om her.

"Given X, the probability of Y" kan ihvertfald ikke bruges til at beskrive en uopfordret oplysning.

  • 0
  • 0

Jeg slår 7 med to terninger, den ene er en firer.

Set på den ene måde. Jeg har en firer, syv ialt kan kun fåes med en treer.
Dvs. 1/6 chance

Set på den anden måde. Jeg har en treer og en firer.
2/6 chance for en treer og 2/6 chance for en firer.
Dvs. 1/9 chance.

Eller hvad? Terningerne er kastet..... :-)

  • 0
  • 0

Ja, der er nogle stykker, jeg ikke svarer. Det er dem, der er grove, perfide og uforskammede og ude af stand til at debattere civiliseret - dem gider jeg simpelthen ikke tale med.

Du minder mig utroligt meget om en kristen fundementalist jeg engang diskuterede evolution med. Han ville skam gerne besvare ethvert spørgsmål, undtagen hvis folk var uforskammede. Og det viste det sig så at alle der var uenige med ham var. Tjah, bum bum

  • 0
  • 0

Nu er det sådan, at jeg rent faktisk godt kunne regne ud hvad det var for en opgave Ranskov ønskede at stille. Men at jeg er i stand til at regne det ud, ændrer jo intet som helst ved at det var en anden opgave der blev stillet.

Hvordan vil du mene at spørgsmålet skal formuleres for at 13/27 er et det korrekte svar?

  • 0
  • 0

Der er noget helt galt med ALLES beregninger. For skal vi ikke tage udgangspunkt i en bestemt population?

I Kina ville sandsynlighederne se anderledes ud. Her er færre pigebørn.

I Europa i dag kontra tidligere fødes flere tvillinger, så der er større sandsynlighed for et sæt enæggede tvillinger (og derfor, hvis den ene er en dreng, så er den anden det også)

Kvinder som har født én dreng har muligvis også større sandsynlighed for at få én mere, for barnets køn påvirkes i nogen grad af frekvensen af sex, kvindens alder og kvindens vægt.

KEJSERSNIT udføres typisk også på hverdage, hvor sundhedspersonale er billigst, så der er ikke lige står sandsynlighed for alle dage. I USA undfanges i nogle stater 40 % ved kejsersnit.

POINTEN er, at antagelsen for opgaven synes at være:
Der er lige stor sandsynlighed for at få en dreng og en pige. Det er der bare heller ikke skrevet noget om nogle steder.

INGEN beregninger, slå dog op i et register.

  • 0
  • 0

[quote]I Foshees opgaveformulering er det f.eks. en uopfordret oplysning - hvilket jo giver et helt andet resultat.

Jeg er usikker på hvilken formulering du taler om her.
[/quote]
Iflg. http://www.newscientist.com/article/dn1895... blev Foshees opgave fremlagt således:

"I have two children. One is a boy born on a Tuesday. What is the probability I have two boys?"

For at resultatet skal give 13/27 skal en af følgende 2 betingelser være opfyldt:
1) Foshee skal være tilfældigt udvalgt af en gruppe af 2-børns fædre med en tirsdagsdreng.
2) Foshee skal have været udsat for spørgsmålet "Har du 2 børn hvoraf mindst den ene er en dreng født en tirsdag?", og svaret skal være "Ja".

Jeg kan ikke se nogen af disse betingelser opfyldt i den kontekst Foshee fremsiger sin opgave.

Det jeg hører ham sige er, at han vælger en af sine børn og fortæller køn og fødselsugedag på barnet.
Og disse oplysninger ændrer ikke sandsynligheden for ens køn fra de oprindelige 1/2.

  • 0
  • 0

Der er noget helt galt med ALLES beregninger. For skal vi ikke tage udgangspunkt i en bestemt population?

Det her er måske det mest interessante fænomen der har vist sig i denne diskussion: Efter ca. 1.300 indlæg så kommer det første fra en kvinde!

Velkommen til!

Selvom du selvfølgelig har ret i dine argumenter, så har du dog misset pointen: Dette er en abstrakt matematisk diskussion, hvor de statistiske variationer er uhåndgribelige og derfor uegnede til at inddrage i beregningen.

Og sagen er i forvejen rigelig kompleks uden også at skulle tage hensyn til de faktorer du nævner.

  • 0
  • 0

[quote]Nu er det sådan, at jeg rent faktisk godt kunne regne ud hvad det var for en opgave Ranskov ønskede at stille. Men at jeg er i stand til at regne det ud, ændrer jo intet som helst ved at det var en anden opgave der blev stillet.

Hvordan vil du mene at spørgsmålet skal formuleres for at 13/27 er et det korrekte svar?
[/quote]

Man kunne jo f.eks. spørge...

En mand udvælges tilfældigt blandt alle tobørnsfædrer der har mindst en søn født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for at begge hans børn er sønner?

Så er det klart og eksplicit angivet, ud fra hvilken gruppe af hændelser det er vi udtager en hændelse.

Men med sådan en formulering, kommer mange flere nok frem til resultatet 13/27, og derfor synes en opgavestiller, der lever at være professionelt sjovt overraskende (som M.Gardner) nok ikke, at den er så sjov at stille på denne form.

  • 0
  • 0

@ ole,
Jeg er en af dem du ikke har svaret, så jeg går ud fra at din nedladende kategorisering blandt andet gælder mig. Jeg har ikke lyst til at bevæge mig ned på dit sprogniveau, så skal vi ikke slutte med at du får ret og jeg får fred.

  • 0
  • 0

Tak, for velkomsten, Poul Bundgaard :)

Selv kvinder kan vel beskæftige sig med statistik til daglig - dog af den anvendte slags.

Og selvfølgelig er det ikke det "virkelige" svar, som skal bruges, men der var jo ingen grund til at gentage de mange gode pointer andre har skrevet. Det rigtige svar afhænger jo som andre har skrevet af antagelserne. Og så er svaret indlysende.

Men samtidig kunne man godt indvende, at ligegyldig hvor matematisk en diskussion er, så skal der opstilles antagelser og fastsættes en sandsynlighed for et udfald før vi kaster os ud i kombinatorik - her sandsynligheden for at et barn har et bestemt køn. Og så skal der selvfølgelig tilføjes antagelsen om uafhængighed mellem de to hændelser.

Og så lige til min kæphest: Alt for få dygtige statistikere beskæftiger sig med, hvordan tal bruges i praksis.

  • 0
  • 0

Iflg. http://www.newscientist.com/article/dn1895... blev Foshees opgave fremlagt således:

"I have two children. One is a boy born on a Tuesday. What is the probability I have two boys?"

Ja, i den form er den rigtignok noget mere ulden. Her ville jeg stille mig så meget på bagbenene at det korrekte svar enten er 100% eller 0%, men at jeg ikke har information nok til at vide hvilket af dem.

[quote]Hvordan vil du mene at spørgsmålet skal formuleres for at 13/27 er et det korrekte svar?

Man kunne jo f.eks. spørge...

En mand udvælges tilfældigt blandt alle tobørnsfædrer der har mindst en søn født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for at begge hans børn er sønner?[/quote]
OK. Jeg hævder så at denne form PER DEFINITION er det samme som at spørge: "En mand udvælges tilfældigt blandt alle tobørnsfædre. Givet at han har mindst en søn født en tirsdag, hvad er da sandsynligheden for at begge hans børn er sønner?"

Også ækvivalent med: "En mand udvælges tilfældigt blandt alle mænd der er fædre til mindst en dreng født en tirsdag. Givet at han har netop to børn, hvad er da sandsynligheden for at begge børnene er sønner.

Dette er simpelthen had den tekniske jargon "givet ... sandsynlighed" er defineret til at betyde.

  • 0
  • 0

OK. Jeg hævder så at denne form PER DEFINITION er det samme som at spørge: "En mand udvælges tilfældigt blandt alle tobørnsfædre. Givet at han har mindst en søn født en tirsdag, hvad er da sandsynligheden for at begge hans børn er sønner?"

Vi nærmer os, men prøv at forstille dig følgende scenarie:

Du sidder i en bar, og en ukendt mand kommer og sætter sig træt ned ved siden af dig og siger: "Stik mig en stor fadøl. En af mine 2 børn - Jens - har holdt drengefødselsdag hele dagen - iøvrigt sjovt nok en tirsdag, ligesom den dag han blev født."

Vi har nu en tilfældig mand med 2 børn, hvorom vi ved at den ene er en dreng født en tirsdag.
Men sandsynligheden for, at han har 2 drenge, er 1/2 - ikke 13/27.
Enig?

Så det er stadig vigtigt af få præciseret hvordan vores viden om tirsdagsdrengen er fremkommet.

  • 0
  • 0

Det rigtige svar afhænger jo som andre har skrevet af antagelserne.

Helt enig.

Og så er svaret indlysende.

Også enig - men det har sjovt nok været ret forskelligt, hvad folk har synes var det indlysende svar... ;-)

Men samtidig kunne man godt indvende, at ligegyldig hvor matematisk en diskussion er, så skal der opstilles antagelser og fastsættes en sandsynlighed for et udfald før vi kaster os ud i kombinatorik - her sandsynligheden for at et barn har et bestemt køn. Og så skal der selvfølgelig tilføjes antagelsen om uafhængighed mellem de to hændelser.

Jeps. Og især det faktum, at de enkelte udfald i et udfaldsrum kan have forskellige indbyrdes sandsynligheder, har været en utrolig svær erkendelse for mange debattører.

  • 0
  • 0

[quote]

Hvis man kigger på Alex Bellos' debatforum, som Jens Ramskov også refererer til: http://alexbellos.com/?p=725 , hvor debatniveauet iøvrigt generelt har ligget højere end i ING tråden, så er næsten alle debattører efterhånden enige om, at det korrekte resultat af den opgave Foshee formulerer, er 1/2 og ikke 13/27.

Fordi de mere indsigtfulde ikke gider længere og tænker "De får ret, vi andre får fred".[/quote]
LOL!

Ole, bliv endelig hængende i denne tråd - du er da en mand med humor, og vi kan alle bruge et godt grin ind imellem!

  • 0
  • 0

Det er utroligt at disse såkaldte matematikere bliver ved med at påstå, at det er påkrævet at lave antagelser om hvad personen der stiller spørgsmålet egentlig mener. I stedet for bare at analysere de ord han bruger i sætningen.

Nej Jens du har stadigt ikke fanget den.

"Jeg har to børn hvoraf den ene er en dreng der er født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for at jeg har to drenge"

Svaret på en halv har intet at gøre med førstefødte.

Han har to børn men der er kun én variabel. Hvis du ser flere, har du lavet en antagelse.

At den ene dreng er født en tirsdag gør ikke at det andet barn ikke også kan være en dreng født på en tirsdag. Hvis du konkludere det, laver du antagelser der intet har med spørgsmålet at gøre.
Ergo du ville dumpe i dansk.

  • 0
  • 0

[quote]OK. Jeg hævder så at denne form PER DEFINITION er det samme som at spørge: "En mand udvælges tilfældigt blandt alle tobørnsfædre. Givet at han har mindst en søn født en tirsdag, hvad er da sandsynligheden for at begge hans børn er sønner?"

Vi nærmer os, men prøv at forstille dig følgende scenarie:

Du sidder i en bar, og en ukendt mand kommer og sætter sig træt ned ved siden af dig og siger: "Stik mig en stor fadøl. En af mine 2 børn - Jens - har holdt drengefødselsdag hele dagen - iøvrigt sjovt nok en tirsdag, ligesom den dag han blev født."[/quote]
Dette scenarie passer ikke på den formulering jeg giver inderst i citatet ovenfor.

Jeg vil ikke bryde mig om overhovedet at tildele sandsynligheder til dit scenarie -- det er uklart hvad der er eksperimentet og hvorledes man ville bære sig ad med at gentage det. Men stod der en gangster med et skydevåben og forlangte at jeg skulle give odds, ville jeg nok sige 1/2, mest for at minimere mit mulige tab.

Så det er stadig vigtigt af få præciseret hvordan vores viden om tirsdagsdrengen er fremkommet.

Det der skiller os ad er nok at jeg ved at den nødvendige præcisering er indbygget i formuleringen "givet A, sandsynligheden for B".

  • 0
  • 0

Morten Knudsen:

At den ene dreng er født en tirsdag gør ikke at det andet barn ikke også kan være en dreng født på en tirsdag. Hvis du konkludere det, laver du antagelser der intet har med spørgsmålet at gøre.

Sjovt nok -- de argumenter der (udfra dertil passende antagelser) konkluderer 13/27 bygger [b]lige netop[/b] på muligheden for at begge børn er drenge født om tirsdagen. Det er den mulighed der fører til et ikke-intuitivt resultat.

  • 0
  • 0

[quote]Så det er stadig vigtigt af få præciseret hvordan vores viden om tirsdagsdrengen er fremkommet.

Det der skiller os ad er nok at jeg ved at den nødvendige præcisering er indbygget i formuleringen "givet A, sandsynligheden for B".[/quote]

Det er vi nok en del der ved. Udtrykket "givet" kan vel nok betragtes som en matematisk standard formulering, som ligger så langt fra hvordan man ville udtrykke sig på normal-dansk, at kun folk med matematisk baggrund ville forstå hvad der menes, og netop derfor forholdsvis entydig.
Hvis man bruger sådant et udtryk i en sjov opgave rettet mod andre og flere end matematisk dannede, så skal man nok forvente at folk fortolker meningen (forskelligt) ude fra deres kendskab til almindelig dansk sprogbrug.

Men hvorfor i det hele taget indlade sig på den slags. Når man kan blot kan sige "udtag en tilfældig far fra gruppen af tobørnsfædrer med mindst en søn født en tirsdag".

Bemærk iøvrigt at opgaven oprindeligt var formuleret "Jeg har to børn. Den ene er dreng født en tirsdag". Nu er der fuldstændigt renset for enhver matematisk trylleformular, og så er man dælme også selv ude om, at der bliver svaret på hvad der rent faktisk bliver spurgt om.
Så er man ikke smart, når man efterfølgende kommer rende og siger "I tog fejl, jeg ved bedre. Er det ikke sjovt". Tværtimod. Så er det eneste man har udstillet en manglende sporgforståelse, der giver sig udtryk i en trang til at spille bedrevidende på en forkert baggrund.

Det er vel også det der gør så mange arrige på opgaven (og opgavestilleren). At opgaven i den grad kommer til at fremstå som et forsøg på at stille sig bedrevidene op, ved at hævde at man da naturligvis har spurgt om noget andet end hvad teksten rent faktisk siger.

  • 0
  • 0

Glæder mig til at se dit regnestykke.

Læg mærke til at det ikke nævnes om 2-tallet er trukket først eller sidst. Var dette nævnt ville svaret være 1/2.

For at få svaret må vi først tælle antallet af måder hvorpå de to tal kunne udtrækkes sådan at mindst et er et 2-tal:
(A) 2 efterfulgt af "ikke-2": 13 tilfælde
(B) "ikke-2" efterfulgt af 2: 13 tilfælde
(C) 2 efterfulgt af 2: 1 tilfælde
Derefter tæller vi antallet af tilfælde blandt de ovenstående, hvor begge tal er i intervallet 1-7.
(A) 6 tilfælde
(B) 6 tilfælde
(C) 1 tilfælde
Svaret bliver derfor (6+6+1)/(13+13+1) = 13/27

  • 0
  • 0

hej Rasmus
Nu hørte vi ikke mere fra Lars, men din udlægning er da meget interresant.
Her er det vi skal svare på:

"Jeg mener dette, fordi opgaven kan omformuleres til følgende: "Jeg har udtrukket to tilfældige tal fra 1 til 14, det ene tal er 2, hvad er sandsynligheden for at begge mine tal er i intervallet fra 1 til 7?" (forstås at tallene 1 til 7 repræsenterer drengebørn født mandag til søndag og 8 til 14 er piger født mandag til søndag)."

Jeg ser det sådan:
Hvis det givne "2" er den første har vi 2 muligheder:
1. terning 2 lander på 1 - 7.
2. terning 2 lander på 8 -14.
Hvis det givne "2" er den anden har vi 2 muligheder:
1. terning 1 lander på 1 - 7.
2. terning 1 lander på 8 -14.
Kan sammenskrives til:
Vi har 2 muligheder:
1. den ukendte terning lander på 1 - 7.
2. den ukendte terning lander på 8 -14.

Det giver 1/2 ved almindelig sammentælling.

Jeg kan ikke lige gennemskue hvor i dit regnestykke jeg mener fejlen ligger, måske er der andre der har en god forklaring. Kan du skyde mit ned?
Man skulle mene at det kunne lade sig gøre at nå til enighed om dette eksempel, da der ikke er nogen sprogforbistring indbygget.
Bue og Poul - har i et bud?

  • 0
  • 0

Problemet i din sammentælling er at du tæller tilfældet hvor begge er "2" to gange. Du får derfor 14/28 (dvs. 1/2), men der er altså et tilfælde for meget i både tæller og nævner.

I sammenskrivningen er der det galt, at du forudsætter en "kendt" terning (der er landet på "2"), samt en ukendt. Når man har en sådan ordning af terningerne (kendt/ukendt eller første/anden) er svaret 1/2, som jeg også skrev indledningsvist i forrige indlæg - men det har vi ikke som opgaven er formuleret.

  • 0
  • 0

Som udgangspunkt afviser jeg ikke din opstilling, jeg mener bare at i og med at det er ligegyldig hvilken vi antager som kendt er resultatet det samme, burde man kunne gøre det.
Hvis vi nu ændrer forsøget til at vi i stedet for en 14 sidet, har to terninger, en 7 sidet og en 2 sidet, og laver to kast med hver, burde det give samme resultat.
Ville du kunne lave den samme opstilling med dette forsøg? Jeg kan ikke lige gennemskue det nu (tidsmangel)
Vi skal jo kun tage stilling til den tosidede i det ene kast.

  • 0
  • 0

Hvis vi nu ændrer forsøget til at vi i stedet for en 14 sidet, har to terninger, en 7 sidet og en 2 sidet, og laver to kast med hver, burde det give samme resultat.

Ville du kunne lave den samme opstilling med dette forsøg? Jeg kan ikke lige gennemskue det nu (tidsmangel)

Vi skal jo kun tage stilling til den tosidede i det ene kast.

Problemet her er, at du kan forstå/misforstå opgaven på samme måde som med drengene. Der skal skelnes mellem de to scenarier:

Du har en population af parvise terningeslag, og kender til udfaldet på den ene terning. Hvad er nu sandsynligheden for at udfaldet på den anden er "dreng/Y"

ELLER

Du har nu slået et slag med den ene terning. Hvad er sandsynligheden for at næste slag bliver "dreng/Y"

Det hele handler om population...

  • 0
  • 0

Lars' oprindelige opgave, som er nogenlunde analog med Foshees, var formuleret således:

"Jeg har udtrukket to tilfældige tal fra 1 til 14, det ene tal er 2, hvad er sandsynligheden for at begge mine tal er i intervallet fra 1 til 7?"
(forstås at tallene 1 til 7 repræsenterer drengebørn født mandag til søndag og 8 til 14 er piger født mandag til søndag)

Rasmus' beregning er den samme som Foshees, og ligesom Foshee har Rasmus udført en matematisk korrekt beregning på en anden opgave, end den der var stillet.

Hvis vi havde spurgt manden, som har udtrukket fra de 2 poser med tal, om det ene tal var 2, og han havde svaret bekræftende, så var sandsynligheden for, at tallet i den anden pose var mellem 1-7, korrekt lig med 13/27.

Men nu vælger manden jo selv hvilken pose han nævner tallet fra, og dermed reduceres den enkelte udfald med sandsynligheden for, at han vælger netop denne pose.
Sandsynligheden for at han vælger af offentliggøre det udtrukne tal fra pose 1 kan vi kalde X og sandsynligheden for at han vælger fra pose 2 er dermed 1 - X.

Det udfald, hvor tallet er ens for begge poser (i dette tilfælde 2 - 2), er naturligvis upåvirket af mandens valg af pose og skal dermed ikke korrigeres med X.

Dermed får vi regnestykket (hvor X'ene heldigvis eliminerer hinanden):

( 6X + 6(1-X) + 1 ) / ( 13X + 13(1-X) + 1 )

= 1/2

  • 0
  • 0

Om intuition og matematik
Et eksempel til belysning af, hvad der sker, når en ekstra egenskab ved ”knægten” indføres

Den indledende opgave er denne:
1) ”En mand har to børn. Hvad er sandsynligheden for, at de begge er drenge?”
Der er tre kombinationsmuligheder: DD, DP og PD, så P=1/3

Nu ændrer vi opgaven. Jeg vil tage en simplere tilføjelse end Foshee’s, så opgaven lyder:

2) ”En mand har to børn. Det ene, dvs. mindst det ene, er en dreng, født i sommer-halvåret. Hvad er sandsynligheden for, at de begge er drenge?”

Vi har valgt ”sommer-halvåret”’s længde, så sandsynligheden for et sommer-barn (Dso, Pso) er det samme som for et vinterbarn (Dvi, Pvi), nemlig 1/2.

Nu er der for DD ikke længere kun een kombination, hele tre: DsoDvi, DviDso og DsoDso
To-drenge-kombinationens antal øges altså med en faktor tre.

For DP er der nu DsoPso, DsoPvi
For PD er der PsoDso og PviDso
Deres kombinations-antal øges altså kun med en faktor to!

Sandsynligheden for DD, hvor (mindst) en er en Dso er altså nu 3/7.
Regnet i 21endedele, kan vi sige, at forholdet DD til (DP+PD) er ændret fra 7:14 til 9:12.

Måske? kunne intuitionen godt have indset, at DD ville få øget sin sandsynlighed, for DP- og PD-børneparrene mangler nu - modsætning til DD - kombinationerne med en Dvi. Færre kombinationer betyder mindre chance.

Det helt analoge gælder i Foshee's opgave

  • 0
  • 0

"Jeg har udtrukket to tilfældige tal fra 1 til 14, det ene tal er 2, hvad er sandsynligheden for at begge mine tal er i intervallet fra 1 til 7?"

Rasmus' beregning er den samme som Foshees, og ligesom Foshee har Rasmus udført en matematisk korrekt beregning på en anden opgave, end den der var stillet.

Uden en antagelse om hvorfor personen vælger at fortælle os netop dén oplysning der er givet, er der slet ikke stillet nogen løsbar opgave.

Svaret kan være hvadsomhelst, herunder 1/2 eller 13/27, alt efter hvad opgavestillerens formål og hensigt er.

Men nu vælger manden jo selv hvilken pose han nævner tallet fra,

Det står der ingenting om! Det er muligt han gør det, men det er også muligt at han i forvejen havde besluttet enten at sige "der er mindst en toer" eller "der er ingen toere", så vi havner i 13/27. Så længe vi ikke ved hvordan den information vi har, er udvalgt, kan vi ikke opstille nogen sandsynligheder.

Sandsynligheden for at han vælger af offentliggøre det udtrukne tal fra pose 1 kan vi kalde X og sandsynligheden for at han vælger fra pose 2 er dermed 1 - X.
...
Dermed får vi regnestykket (hvor X'ene heldigvis eliminerer hinanden):

Det gør de kun hvis du antager at valget af hvilken udtrækning der afsløres, er uafhængigt af hvad der faktisk blev trukket. Det står der heller ingen steder at det er.

  • 0
  • 0

Jeg spurgte engang om, hvad sandsynligheden for, at der en dag var én af hunkøn, som ville deltage i al det her "unyttige vrøvl", var. Den er nu ikke længere 0%. Tak Mari.
Vi bliver ikke bedt om at finde ud af, hvad chancen for to drenge, hvoraf den ene er en tirsdagsdreng er. Men bare to drenge. I øvrigt lyder det mærkeligt, at det skulle påvirke sandsynligheden for to drenge, om der er 7, 11 eller 18 dage i en uge.
Fra start er der 1/2 chance for blandet kuld, og hvad to ens angår ser det for drenge sådan ud at chancen fra start er 1/4. Når vi så får oplysningen om at den ene er en dreng, rokker det ikke ved det blandede holds chancer, at der nu er en dreng, for det vidste man i forvejen, at der er i et blandet kuld.
Hvad angår chancen for to ens - i dette tilfælde drenge - ændres den drastisk ved oplysningen om, at den ene ER en dreng. Jeg vil mene fra 1/4 til 1/2. Jamen stop, vil visse 1/3 tilhængere sige : prøv lige at kaste to mønter en hel masse gange, og sorter alle de tilfælde fra, hvor der er to piger. Så skal du bare se.
Jeg synes , at fejlen ved denne metode er, at muligheden for to piger ligger og lurer i hvert eneste kast. I Foshees opgave er denne mulighed ikke længere en mulighed, efter at han har givet os sin oplysning.
Jeg synes, man skal gøre det, at man tager to mønter. På den ene skriver man tirsdagsdreng. Den lader man ligge fast. På den anden skriver man dreng på den ene side og pige på den anden.
Inden man går i gang beslutter man for god ordens skyld, at man vil kalde tirsdagsdrengen for storebror i hvert andet tilfælde og lillebror i hvert andet tilfælde. Resultat : 50% for blandet, og 50% for to ens ( her drenge).
P. S. Er det ikke ligegyldigt, om de er led i en større mængde, eller om det var Adam og Eva, der havde stillet os opgaven (inden vi vidste, at de havde to drenge) ? Steen

  • 0
  • 0

[quote]"Jeg har udtrukket to tilfældige tal fra 1 til 14, det ene tal er 2, hvad er sandsynligheden for at begge mine tal er i intervallet fra 1 til 7?"

Rasmus' beregning er den samme som Foshees, og ligesom Foshee har Rasmus udført en matematisk korrekt beregning på en anden opgave, end den der var stillet.

Uden en antagelse om hvorfor personen vælger at fortælle os netop dén oplysning der er givet, er der slet ikke stillet nogen løsbar opgave.

Svaret kan være hvadsomhelst, herunder 1/2 eller 13/27, alt efter hvad opgavestillerens formål og hensigt er.

Men nu vælger manden jo selv hvilken pose han nævner tallet fra,

Det står der ingenting om! Det er muligt han gør det, men det er også muligt at han i forvejen havde besluttet enten at sige "der er mindst en toer" eller "der er ingen toere", så vi havner i 13/27. Så længe vi ikke ved hvordan den information vi har, er udvalgt, kan vi ikke opstille nogen sandsynligheder.

Sandsynligheden for at han vælger af offentliggøre det udtrukne tal fra pose 1 kan vi kalde X og sandsynligheden for at han vælger fra pose 2 er dermed 1 - X.

...

Dermed får vi regnestykket (hvor X'ene heldigvis eliminerer hinanden):

Det gør de kun hvis du antager at valget af hvilken udtrækning der afsløres, er uafhængigt af hvad der faktisk blev trukket. Det står der heller ingen steder at det er.

[/quote]
Henning, du har ret i, at jeg mangler at angive en antagelse/forudsætning, så det gør jeg her:

Jeg forudsætter, at vedkommende, der vælger hvilket af de 2 udtrukne tal der skal præsenteres, ikke har præferencer for hvilket tal der bliver præsenteret. Vedkommende er altså helt ligeglad om det er tallet 2 eller f.eks. tallet 12.
Dette svarer til, at Foshee ikke har præferencer for køn og ugedag, når han vælger hvilket barn han vil fortælle om.

Hvis vedkommende derimod har præference for f.eks. små tal eller store tal, så kan resultatet svinge mellem 1/3 og 1, ligesom i Foshees opgave.

Til gengæld giver beregningen samme resultat, uanset hvilken evt. præference manden måtte have overfor poserne.
Dvs. at uanset om han f.eks. altid vil vælge pose 1 eller pose 2 eller vælger tilfældigt, så er resultatet 1/2 (under førnævnte forudsætning af ingen tal-præference).
Det skyldes, at præferencen (udtrykt ved X) elimineres i beregningen, fordi sandsynligheden for udtrækning indefor talgrupperne 1-7 og 8-14 er lige stor.

  • 0
  • 0

[quote]Men nu vælger manden jo selv hvilken pose han nævner tallet fra,

Det står der ingenting om! Det er muligt han gør det, men det er også muligt at han i forvejen havde besluttet enten at sige "der er mindst en toer" eller "der er ingen toere", så vi havner i 13/27.
[/quote]
Nej, Henning, den holder ikke.
Hvis han trækker tallene 3 og 7, så hjælper det jo ikke, at han på forhånd har besluttet sig for at sige "2".

Kun hvis han har mulighed for at forkaste forsøgene og blive ved at trække to nye tal, indtil han rammer sin 2'er, så får vi sandsynligheden 13/27.

  • 0
  • 0

[quote]

[quote]Så det er stadig vigtigt af få præciseret hvordan vores viden om tirsdagsdrengen er fremkommet.

Det der skiller os ad er nok at jeg ved at den nødvendige præcisering er indbygget i formuleringen "givet A, sandsynligheden for B".[/quote]

Det er vi nok en del der ved. Udtrykket "givet" kan vel nok betragtes som en matematisk standard formulering, som ligger så langt fra hvordan man ville udtrykke sig på normal-dansk, at kun folk med matematisk baggrund ville forstå hvad der menes, og netop derfor forholdsvis entydig.
[/quote]
Så kan vi vel også konkludere, at folk der burde have en vis matematisk fundering (Foshee, Ramskov, Robin m.fl.) heller ikke kan finde ud af hvad "Givet/Given" betyder i matematisk regi, idet de tolker Foshees tekst som en "givet" situation, selvom det åbenlyst ikke er det...

  • 0
  • 0

Hej igen Rasmus
Jeg har tygget lidt mere på din løsning (og min).
Resultatet jeg er kommet til lyder som følger:
Det du beregner er de kombinationer hvor det er muligt for lars at sige "2" og en dreng mere, og det er ganske rigtigt 13/27.
Spørgsmålet gik på 2 drenge EFTER at lars har oplyst 2 tallet.
For at kunne oplyse 2 tallet er Lars nødt til at vælge hvilken terning han vil oplyse. Dermed er den ene indentificeret tilstrækkelig til at vi kan udelukke den, og koncentrere os om den anden.
Jeg kan ikke se at det spiller nogen rolle på hvilket grundlag han vælger, medmindre dette grundlag er klart defineret, og så må vi gå ud fra at der er tale om en anden opgave.

Jeg tillader mig at konkludere at den ene er identificeret som den lars valgte, og derfor må svaret være 1/2.

  • 0
  • 0

Henning, du har ret i, at jeg mangler at angive en antagelse/forudsætning, så det gør jeg her:

Jeg forudsætter, at vedkommende, der vælger hvilket af de 2 udtrukne tal der skal præsenteres, ikke har præferencer for hvilket tal der bliver præsenteret. Vedkommende er altså helt ligeglad om det er tallet 2 eller f.eks. tallet 12.

OK, under denne antagelse er jeg enig i konklusionen.

Og fra et andet indlæg:

Hvis han trækker tallene 3 og 7, så hjælper det jo ikke, at han på forhånd har besluttet sig for at sige "2".

Under den antagelse jeg her beskrev, vil han i det tilfælde sige "jeg har ikke slået nogen toere".

Det ser ud til at du har endnu en skjult antagelse om at det er en regel at modparten SKAL fremsætte et (sandt) udsagn af formen "mindst et af mine resultater var ___". Men sådan en antagelse er ikke indbygget i den oprindelige historie. Vi får bare at vide hvad for en oplysning vi får i det éne tilfælde opgavestilleren har besluttet sig til at fokusere på, men har ingen information om hvad alternativerne til den oplysning vi fik, var.

  • 0
  • 0

Om intuition og matematik

Et eksempel til belysning af, hvad der sker, når en ekstra egenskab ved ”knægten” indføres

Den indledende opgave er denne:

1) ”En mand har to børn.

Et af dem, dvs. mindst et af dem, er en dreng.

Hvad er sandsynligheden for, at de begge er drenge?”

Der er tre kombinationsmuligheder: DD, DP og PD, så P=1/3

Nu ændrer vi opgaven. Jeg vil tage en simplere tilføjelse end Foshee’s, så opgaven lyder:

2) ”En mand har to børn. Det ene, dvs. mindst det ene, er en dreng, født i sommer-halvåret. Hvad er sandsynligheden for, at de begge er drenge?”

Vi har valgt ”sommer-halvåret”’s længde, så sandsynligheden for et sommer-barn (Dso, Pso) er det samme som for et vinterbarn (Dvi, Pvi), nemlig 1/2.

Nu er der for DD ikke længere kun een kombination, hele tre: DsoDvi, DviDso og DsoDso

To-drenge-kombinationens antal øges altså med en faktor tre.

For DP er der nu DsoPso, DsoPvi

For PD er der PsoDso og PviDso

Deres kombinations-antal øges altså kun med en faktor to!

Sandsynligheden for DD, hvor (mindst) en er en Dso er altså nu 3/7.

Regnet i 21endedele, kan vi sige, at forholdet DD til (DP+PD) er ændret fra 7:14 til 9:12.

Måske? kunne intuitionen godt have indset, at DD ville få øget sin sandsynlighed, for DP- og PD-børneparrene mangler nu - modsætning til DD - kombinationerne med en Dvi. Færre kombinationer betyder mindre chance.

Det helt analoge gælder i Foshee's opgave

  • 0
  • 0

[quote][quote]

[quote]Så det er stadig vigtigt af få præciseret hvordan vores viden om tirsdagsdrengen er fremkommet.

Det der skiller os ad er nok at jeg ved at den nødvendige præcisering er indbygget i formuleringen "givet A, sandsynligheden for B".[/quote]

Det er vi nok en del der ved. Udtrykket "givet" kan vel nok betragtes som en matematisk standard formulering, som ligger så langt fra hvordan man ville udtrykke sig på normal-dansk, at kun folk med matematisk baggrund ville forstå hvad der menes, og netop derfor forholdsvis entydig.
[/quote]
Så kan vi vel også konkludere, at folk der burde have en vis matematisk fundering (Foshee, Ramskov, Robin m.fl.) heller ikke kan finde ud af hvad "Givet/Given" betyder i matematisk regi, idet de tolker Foshees tekst som en "givet" situation, selvom det åbenlyst ikke er det...[/quote]

Narh. Problemet er da at de ikke kan læse. Eller rettere at de kan læse ting der ikke står der. Hvor står der "givet" i den oprindelige opgaveformulering? Lige præcis ingen steder.

Det er ligger i den matematisk trylleformulare konvention/shorthand "givet" er vel en nærmest guddommelig almagt fra opgavestillerens side, hvor "givet" betyder "jeg udvælger nu specifikt alle de hændelser hvorom gælder". Og det er jo noget ganske andet end hvad der normalt sprogligt forstås, når een mand stiller sig op og siger "ja for mit eget vedommende, så kan jeg da sige, at jeg har altså en dreng".

  • 0
  • 0

Under forudsætning af at en mand, som er tilfældigt udvalgt, har to børn, hvoraf mindst en er en dreng født på en novemberdag, hvad er så sandsynligheden for at han har to drenge?

På forhånd tak!

  • 0
  • 0

Gider I lige løse den her!

Næh, så skulle vi jo først til at hitte statistik over hvor stor en brøkdel af alle børn der er født i november (idet årstiden nok har en tilstrækkelig stor indflydelse på hvornår forældrepar føler sig motiveret til at forsøge at lave børn til at vi ikke bare kan antage at det er 30/365). Og det vil være spildt arbejde idet dit spørgsmål ikke viser os noget der ikke allerede kan ses af tirsdagsvarianten.

Men hvis du virkelig ønsker at debattere (i stedet for bare at afvise svar du intuitivt finder absurde uden at have undersøgt det argument der fører frem til dem), kan vi godt begrænse os til følgende minimale eksperiment:

  1. Bland et spil kort godt.
  2. Løb bunken igennem fra en ende af og udtag den første konge og den første dronning du finder.
  3. Er mindst et af de to udtrukne kort hjerter? Hvis ja, så gå til trin 4, ellers begynd forfra med trind 1.
  4. Hvad er sandsynligheden for at de to kort vi har trukket når vi kommer hertil, begge er røde?

Det korrekte svar er her 3/7.

  • 0
  • 0

Gider I lige løse den her!

Næh, så skulle vi jo først til at hitte statistik over hvor stor en brøkdel af alle børn der er født i november (idet årstiden nok har en tilstrækkelig stor indflydelse på hvornår forældrepar føler sig motiveret til at forsøge at lave børn til at vi ikke bare kan antage at det er 30/365). Og det vil være spildt arbejde idet dit spørgsmål ikke viser os noget der ikke allerede kan ses af tirsdagsvarianten.

Men hvis du virkelig ønsker at debattere (i stedet for bare at afvise svar du intuitivt finder absurde uden at have undersøgt det argument der fører frem til dem), kan vi godt begrænse os til følgende minimale eksperiment:

  1. Bland et spil kort godt. Udtræk et tilfældigt kort fra det.
  2. Bland et andet spil kort godt. Udtræk et tilfældigt kort fra det.
  3. Er mindst et af de to udtrukne kort hjerter? Hvis ja, så gå til trin 4, ellers begynd forfra med trin 1.
  4. Hvad er sandsynligheden for at de to kort vi har trukket når vi kommer hertil, begge er røde?

Det korrekte svar er her 3/7.

(Og hvis vi ændrer spørgsmålet i trin 3 til "er mindst et af de to kort hjerter dame?", vil svaret være 51/103).

  • 0
  • 0

Under forudsætning af at en mand, som er tilfældigt udvalgt, har to børn, hvoraf mindst en er en dreng født på en novemberdag, hvad er så sandsynligheden for at han har to drenge?

På forhånd tak!

Ja, men det bliver i Foshees ånd.

Som Henning skriver, er det ganske nemt - bare man kender sandsynligheden for novemberbørn. Så jeg regner ikke tallet ud for dig. Men hvis du antager, at der fødes lige mange børn i forskellige måneder, kommer du tættere på ½ end 13/27, idet du i stedet for 1/7 skal regne med en sandsynlighed på 1/12.

Og det er jo netop humlen ved det hele.

Uanset, hvad man mener om den oprindelige formulering, ville Foshee pege på, at tilsyneladende ligegyldige oplysninger kan ændre sandsynligheder!

Nogen synes, han slap bedre fra formuleringen af den konkrete opgave end andre, men det er sådan set ligegyldigt. Prøv at se på opgavens ånd og ikke dens bogstav.

Hvis diverse forudsætninger om tilfældighed og population er opfyldt, ændrer enhver attribut, vi med en given sandsynlighed kan knytte til børnene, sandsynligheden for to drenge.

Jo mere "sjælden" drengen er (det vil sige med jo mindre sandsynlighed, attributten optræder), desto tættere på ½ er sandsynligheden for to drenge i familien - kulminerende med det totale kendskab til den ene dreng, hvor sandsynligheden er ½ .

Kender du ikke en sådan attribut, er sandsynligheden 1/3 (ti nu stille alle sammen, jeg løser opgaven i Foshees ånd).

Svar til andre: Det gælder også, hvis der er 11, 17 eller 223 dage i en uge. Blot ændrer antallet af dage den sandsynlighed, vi skal regne med, sig fra 1/7 til 1/11, 1/17 osv.

Om attributten så skulle være tirsdagsfødt, rødhåret, skævnæset, brunøjet eller hvad som helst andet, er det bare ord - kender vi SANDSYNLIGHEDEN for attributten, påvirker det sandsynligheden for to drenge (ti nu stille alle sammen, jeg løser opgaven i Foshees ånd).

I øvrigt er det ikke engang kontra-intuitivt, hvis man tænker på denne måde:

  1. Jo mindre sandsynligheden for en given attribut er, desto sjældnere er det at have en dreng med attributten.

  2. Derfor er det mere sandsynligt have en sådan sjælden dreng, hvis man har to drenge, end hvis man kun har en.

  3. Derfor øger konstateringen af en sjælden dreng sandsynligheden for, at vi er i et todrengetilfælde.

Det var sådan set bare det, Foshee ville vise.

Jeg synes, han gjorde det klart og tydeligt, andre mener noget andet. Det er ikke så vigtigt for budskabet.

Men det er en kendsgerning, at sådanne attributter kan ændre sandsynligheder.

  • 0
  • 0

I øvrigt er det ikke engang kontra-intuitivt, hvis man tænker på denne måde:

  1. Jo mindre sandsynligheden for en given attribut er, desto sjældnere er det at have en dreng med attributten.

  2. Derfor er det mere sandsynligt have en sådan sjælden dreng, hvis man har to drenge, end hvis man kun har en.

  3. Derfor øger konstateringen af en sjælden dreng sandsynligheden for, at vi er i et todrengetilfælde.

Det var sådan set bare det, Foshee ville vise.

Lige præcis. Og da min tankegang er den samme, syntedes jeg nu heller ikke at det var specielt kontraintuitivt.

Jeg synes, han gjorde det klart og tydeligt, andre mener noget andet. Det er ikke så vigtigt for budskabet.

Noget betydning for budskabet fik det da. Hvis ikke Foshee absolut skulle have gjort formulering så dagligdags og overraskende, så havde det måske været Foshees pointe med opgaven vi diskuterede, istedet for sproglig forståelse.
Så jo, jeg synes da bestemt at formuleringen er vigtig for budskabet. Det lykkedes Foshee fuldstændigt at drunkne sin pointe ved en for smart formulering.

[/quote]

  • 0
  • 0

[quote]
Så kan vi vel også konkludere, at folk der burde have en vis matematisk fundering (Foshee, Ramskov, Robin m.fl.) heller ikke kan finde ud af hvad "Givet/Given" betyder i matematisk regi, idet de tolker Foshees tekst som en "givet" situation, selvom det åbenlyst ikke er det...

Narh. Problemet er da at de ikke kan læse. Eller rettere at de kan læse ting der ikke står der. Hvor står der "givet" i den oprindelige opgaveformulering? Lige præcis ingen steder.

Det er ligger i den matematisk trylleformulare konvention/shorthand "givet" er vel en nærmest guddommelig almagt fra opgavestillerens side, hvor "givet" betyder "jeg udvælger nu specifikt alle de hændelser hvorom gælder". Og det er jo noget ganske andet end hvad der normalt sprogligt forstås, når een mand stiller sig op og siger "ja for mit eget vedommende, så kan jeg da sige, at jeg har altså en dreng".[/quote]
Jens, er du sikker på, at Foshee faktisk har forstået forskellen på en "givet" situation og så den beskrevne kontekst, hvor oplysningerne gives efter selektionen?

I den oprindelige tråd var der adskillige debattører, der ikke kunne se forskellen.
Og jeg kan heller ikke udfra Jens Ramskovs sidste artikel se, at han har set lyset. F.eks. har han ikke gennemskuet, at mandens eventuelle præference for yngste/ældste barn ingen betydning har (kun eventuel dreng/pige præference har betydning), citat:

Har man derimod opfattelsen af, at manden stammer fra en kultur, hvor det er obligatorisk altid at nævne det ældste barn før yngre søskende, så er svaret 1/2.

Den eneste måde man kan få en "givet" situation, er hvis man har muligheden for at vælge fra, hvis et udfald ikke opfylder forudstillede betingelser, eller hvis man trækker tilfældigt fra en gruppe, som opfylder betingelserne.

F.eks. hvis det var en analog møntopgave, så får man kun en "givet" situation ved at have lov til at vælge de kast fra, som f.eks. ikke opfylder betingelsen "Mindst en mønt er plat".

Hvis Foshee havde været bevidst om dette, så havde han nok ikke stillet et scenarie op, hvor selektion ikke er en mulighed.

  • 0
  • 0

Jens Ramskov citerer en del fra Keith Devlins blog, og da det meste af hvad Devlin skriver er ganske fornuftigt, så jeg undrede mig over hvorfor Ramskov tilsyneladende stadig ikke har forstået forskellen mellem selektionskriterier og efterfølgende oplysninger.
Jeg fandt måske forklaringen i denne oversættelse af et citat:

Keith Devlin gør dog også opmærksom på, at det er almindeligt at personliggøre og omskrive opgaver og eksplicit undgå at nævne standardforudsætninger "som tilfældigt udvalgt", når opgaven formuleres.

Devlin siger faktisk "randomly selected individuals from a population" og ikke bare "randomly selected individuals".
Det forklarer hvorfor Ramskov lader til at tro, at det er specielle præferencer der skal til (f.eks. altid at vælge det ældste barn), for at resultatet skal ændre sig fra 13/27 til 1/2.
Intet kunne være mere forkert, som de fleste efterhånden også har gennemskuet.

Devlin siger det heller ikke særligt klart, men det er det som Ramskov udelader, nemlig "from a population" der er det interessante her, idet 13/27 resultatet netop kræver, at Foshee er tilfældigt udvalgt fra en population, som kun indeholder fædre med 2 børn, hvoraf mindst een er en tirsdagsdreng.

  • 0
  • 0

Jså jeg undrede mig over hvorfor Ramskov tilsyneladende stadig ikke har forstået forskellen mellem selektionskriterier og efterfølgende oplysninger.

Jeg mener ikke din skelnen mellem "selektionskriterier" og "efterfølgende oplysninger" holder vand.

Hvilken af delene mener du der er tale om her:
A: En mand udvælges tilfældigt blandt alle fædre til to børn hvorom det gælder at de spontant oplyser at de har en søn født om tirsdagen. Hvad er sandsynligheden for at han har to sønner?

Eller her:
B: En mand udvælges tilfældigt blandt alle fædre til to børn. Efter han er udvalgt får du svaret på spørgsmålet "har han mindst en søn født om tirsdagen?" Efter du har fået dette svar, men uden at vide andet om manden, skal du give odds for hvorvidt han har to sønner, og jeg (som ikke ved mere end dig om den valgte mand) kan derefter vælge om du skal sætte penge på to-sønner eller på ikke-to-sønner på de odds du har valgt.

Her er A formuleret som ren udvælgelse, men ret beset beskriver det præcis lige så meget eller lidt som den uklare poppede formulering.

Modsat gør B det klart at ingen bliver udelukket -- vi har simpelthen flere oplysninger. Ikke desto mindre er det rigtige svar: Hvis svaret var ja, så 13/27, ellers 36/169.

Forskellen udgøres ikke af hvornår vi får oplysningen, men af hvilke andre mulige oplysninger spillets regler siger vi kunne have fået i stedet.

  • 0
  • 0

Jeg mener nu at A resulterer i 1/2.
Her får vi oplyst at der er en dreng, dermed er PP frasorteret, og halvdelen af dem der har blandet, vil sandsynligvis sige at de har en pige, og blive frasorteret på den konto. Tilbage har vi så DD og halvdelen af blandet. Desuden må vi gå ud fra at hvis mængden er stor nok, vil ugedagsoplysningen fordele sig ligeligt på ugedagene ved spontan ytring. Hvis vi piller tirsdagen ud, får vi samme fordeling som ved enhver anden dag. Der er således tale om indirekte udvælgelse mht mindst en dreng, men normal fordeling på ugedage.
Siden mener jeg at B resulterer i 13/27, hvis han svarer ja på spørgsmålet. Vi må gå ud fra at der er en risiko for at han svarer nej og bliver frasorteret.
Her har vi først en udvælgelse på 2 børn, og så en efterfølgende udvælgelse på mindst en dreng født tirsdag.
Bemærk at her har vi et spørgsmål med i billedet, det var der ikke i originalen fra foshee, og det gør hele forskellen.
Min forståelse af selektering er at den kræver et bekræftende svar på et konkret spørgsmål, for at vær entydig.
Spontane ytringer kan i bedste fald bruges til indirekte selektering, men i de fleste tilfælde er de værdiløse.
Så jeg er lodret uenig i din konklution.
mvh raymund

  • 0
  • 0

Nu er det godt nok nogle år siden, men lad os opstille følgende formel:
P=P1P2 ud fra tesen: jeg [b]har[/b] to børn.
Stiller vi spørgsmålet:
* Hvad er sandsynligheden for jeg har 2 drenge.
P1=0,5, og P2=0,5 - så svaret er 1/4.
(Vi glemmer lige rækkefølgen) - nu får vi at vide, at den ene er en dreng, dvs: P1=1 dvs:
P=1
P2 - altså 0,5.
Nu udvider vi det til:
Den ene er en dreng født på en tirsdag, dvs:
P=1P2 stadig 0,5
Men nu får vi at vide, at den ene er en dreng, født 29/2 i måneskin, med rødt hår osv.
Det ændrer jo ikke ved
P=1
P2, da P1 uanset oplysninger vil være 1, da det er en indtruffen begivenhed.

Spørger man:
"Jeg har til hensigt at få to børn, hvad er så sandsynligheden for ....name things..., så er det en anden snak, men det er et uomtvisteligt faktum, at den ene er en dreng(i opgaven), uagtet hvilke mærkelige egenskaber man tillægger.

  • 0
  • 0

Nu er det godt nok nogle år siden, men lad os opstille følgende formel:
P=P1P2 ud fra tesen: jeg [b]har[/b] to børn.
Stiller vi spørgsmålet:
* Hvad er sandsynligheden for jeg har 2 drenge.
P1=0,5, og P2=0,5 - så svaret er 1/4.
(Vi glemmer lige rækkefølgen) - nu får vi at vide, at den ene er en dreng, dvs: P1=1 dvs:
P=1
P2 - altså 0,5.
Nu udvider vi det til:
Den ene er en dreng født på en tirsdag, dvs:
P=1P2 stadig 0,5
Men nu får vi at vide, at den ene er en dreng, født 29/2 i måneskin, med rødt hår osv.
Det ændrer jo ikke ved
P=1
P2, da P1 uanset oplysninger vil være 1, da det er en indtruffen begivenhed.

Spørger man:
"Jeg har til hensigt at få to børn, hvad er så sandsynligheden for ....name things..., så er det en anden snak, men det er et uomtvisteligt faktum, at den ene er en dreng(i opgaven), uagtet hvilke mærkelige egenskaber man tillægger.

Opgaven handler sådan set slet ikke om de konkrete børn (den indtrufne begivenhed er jo som den er), men om hvilken mulighed, man som udenforstående har for at gætte, om der er to drenge i familien på baggrund af nogle oplysninger, man får. Det er en opgave i at sætte odds.

Derfor betyder de ekstra oplysninger, man får, faktisk ganske meget.

Og i øvrigt bliver P1 ikke lig 1, fordi du ved, at der er en dreng blandt de to børn. Kravet er både opfyldt, hvis den førstefødte er en dreng (det vil sige DD eller DP), eller hvis den førstefødte er en pige og den sidstfødte en dreng (PD). Når du sætter P1 lig 1 ser du udelukkende på DD og DP - du overser PD.

Ellers må du prøve at kaste to mønter - så finder du hurtigt ud af, den sidste godt kan være krone, selv om den første er plat. Du finder også ud af, at KK, KP, PK og PP er lige sandsynlige udfald.

Hvis du nu ved, at den ene mønt er krone, står det klart, at sandsynligheden for PP er 0. Med dit argument er sandsynligheden for KK så ½ og sandsynligheden for KP ligeledes ½ (idet du sætter P1 = 1).

Det vil sige, at sandsynligheden for PK må være 0, for ellers bliver summen ikke 1. Og det skal den nu engang blive.

Det er jo lidt dumt, når vores eksperiment lige har vist, at sandsynligheden for PK er 1/4.

Tænk lidt over det, Stig.

I øvrigt passer det hele igen, hvis sandsynligheden for KK sættes til 1/3 for de møntkast, hvor der en mindst en K.

Det er i øvrigt altsammen tegnet op i masser af udfaldsrum, simuleret med forskellige stykker software og stillet op som formler andre steder i disse tråde.

  • 0
  • 0

Til Ole. Tak for den flotte gennemgang 11.aug. 9.35, hvor du også frabeder dig afbrydelser i utide. Den satte noget på plads. For mig handler det dog ikke så meget om, at der er større chancer for at have en sjælden dreng, hvis man har to drenge, (vi får jo med 100% sikkerhed at vide, at der ér en tirsdagsdreng, uanset hvad et andet barn er), men om at få identificeret det ene barn i passende grad. Hvis et barn er identificeret, så forveksling er umulig, har vi en 1/2 løsning. Jeg har hele tiden ment, at en oplysning om fødselstidspunkt slet ikke var en identifikation, uanset om det handlede om tirsdag eller juleaften, fordi alle børn tilfældigt er født på ét eller andet tidspunkt, som ligeså godt kunne have været et andet. Men på grund af din passus om 11, 17 eller et andet antal ugedage, går det (her meget sent) op for mig, at det ikke giver samme identifikation at vide, at en dreng er født på et eller andet tidspunkt, som at vide på HVILKET tidspunkt.
Mit spørgsmål til alle er derfor : Hvis det er sandt, identifikation ER et NØDVENDIGT led i opgaven, og hvis tirsdagsoplysningen ER en sådan identifikationsforøgelse (i forhold til bare at være en dreng), betyder det så ikke, at vi har fået de oplysninger, vi skal bruge, og at løsningenløsningen bare ER 13/27 uanset udvælgelser og præferencer ? Jeg er selv helt vildt i tvivl. Steen

  • 0
  • 0

Mit spørgsmål til alle er derfor : Hvis det er sandt, identifikation ER et NØDVENDIGT led i opgaven, og hvis tirsdagsoplysningen ER en sådan identifikationsforøgelse (i forhold til bare at være en dreng), betyder det så ikke, at vi har fået de oplysninger, vi skal bruge, og at løsningenløsningen bare ER 13/27 uanset udvælgelser og præferencer ? Jeg er selv helt vildt i tvivl. Steen

Jo, netop....

  • 0
  • 0

[quote]Jså jeg undrede mig over hvorfor Ramskov tilsyneladende stadig ikke har forstået forskellen mellem selektionskriterier og efterfølgende oplysninger.

Jeg mener ikke din skelnen mellem "selektionskriterier" og "efterfølgende oplysninger" holder vand.

Hvilken af delene mener du der er tale om her:
A: En mand udvælges tilfældigt blandt alle fædre til to børn hvorom det gælder at de spontant oplyser at de har en søn født om tirsdagen. Hvad er sandsynligheden for at han har to sønner?

Eller her:

B: En mand udvælges tilfældigt blandt alle fædre til to børn. Efter han er udvalgt får du svaret på spørgsmålet "har han mindst en søn født om tirsdagen?" Efter du har fået dette svar, men uden at vide andet om manden, skal du give odds for hvorvidt han har to sønner, og jeg (som ikke ved mere end dig om den valgte mand) kan derefter vælge om du skal sætte penge på to-sønner eller på ikke-to-sønner på de odds du har valgt.

Her er A formuleret som ren udvælgelse, men ret beset beskriver det præcis lige så meget eller lidt som den uklare poppede formulering.

Modsat gør B det klart at ingen bliver udelukket -- vi har simpelthen flere oplysninger. Ikke desto mindre er det rigtige svar: Hvis svaret var ja, så 13/27, ellers 36/169.

Forskellen udgøres ikke af hvornår vi får oplysningen, men af hvilke andre mulige oplysninger spillets regler siger vi kunne have fået i stedet.[/quote]
Henning, jeg tror faktisk, at vi mener det samme.

Når jeg siger "Selektion" så dækker det også det, der sker i dit eksempel B.
Det er jo ligegyldigt om selektionen sker ved udvælgelsen til den gruppe, som der udtrækkes fra, eller det sker ved efterfølgende at stille samme spørgsmål som ved førnævnte udvælgelse, og så forkaste personen hvis svaret er "Nej".
Resultatet er jo altid nøjagtigt det samme.

Det helt afgørende er, om det sker en filtrering/selektion af personerne (eller kastene i en mønt/terning opgave) eller ej.

  • 0
  • 0

Jeg mener ikke din skelnen mellem "selektionskriterier" og "efterfølgende oplysninger" holder vand.

Jeg glemte lige at præcisere, at når jeg siger "efterfølgende oplysninger", så mener jeg oplysninger der IKKE kan medføre, at personen selekteres fra.

Uanset hvilke oplysninger Foshee giver, så bliver han ikke bortselekteret, og derfor har tirsdagsoplysningen ingen indflydelse på resultatet, idet den oplysning kun ændrer odds'ene, hvis den indgår som et kriterium i en selektion.

  • 0
  • 0

[quote]Jeg mener ikke din skelnen mellem "selektionskriterier" og "efterfølgende oplysninger" holder vand.

Jeg glemte lige at præcisere, at når jeg siger "efterfølgende oplysninger", så mener jeg oplysninger der IKKE kan medføre, at personen selekteres fra.
[/quote]
Men i min variant B er der ikke nogen der bliver "forkastet" eller "selekteret fra". Uanset om svaret er ja eller nej, fortsætter spillet og du skal angive en sandsynlighed. Men du har ret til at lade din sandsynlighed afhænge af om der blev svaret ja eller nej.

  • 0
  • 0

Steen Ørsted:

Mit spørgsmål til alle er derfor : Hvis det er sandt, identifikation ER et NØDVENDIGT led i opgaven, og hvis tirsdagsoplysningen ER en sådan identifikationsforøgelse (i forhold til bare at være en dreng), betyder det så ikke, at vi har fået de oplysninger, vi skal bruge, og at løsningenløsningen bare ER 13/27 uanset udvælgelser og præferencer ? Jeg er selv helt vildt i tvivl.

Du kan godt betragte det som et spørgsmål om identifikation. Generelt opstår de "skæve" sandsynligheder hvis vi har en gruppe af drenge som er "specielle" og "speciel" vel at mærke betyder det samme uanset hvilken far vi betragter.

Lad der være N (et stort antal) tobørnsfædre ialt, og lad p stå for sandsynligheden for at en vilkårlig dreng er "speciel". Der er så ½N fædre med én dreng og af dem "overlever" p·½N udvælgelsen af fædre der har mindst en "speciel" dreng. Der er ¼N fædre til to drenge. Hvor mange af dem er der tilbage efter vi har udvalgt dem der har mindst en speciel dreng? Det må være q·¼N, hvor q er sandsynligheden for at mindst én af to brødre er "speciel".

[b]Hvis[/b] q er lig 2p, så er q·¼N = p·½N, så der er lige så mange fædre til én dreng som fædre til to drenge tilbage efter udvælgelsen. Så er sandsynligheden for to drenge klart nok 1/2.

Men det duer ikke hvis de to drenges "specielhed" er uafhængig af hinanden (hvilket vi umiddelbart må antage at fødsels-ugedagen er). I så fald er q kun 2p-p², og den "manglende" sandsynlighed p² er netop risikoen for at "speciel" ikke er nok til at [b]identificere[/b] den ene dreng frem for den anden. Jo mindre p er, desto mindre er p² i forhold til 2p, så forholdet mellem p·½N og (2p-p²)·¼N kommer tættere på de "naive" odds 1:1.

Ved perfekt identifikation (fx hvis "speciel" betyder "er den yngste søskende" eller, med rigtig god tilnærmelse, "hedder Søren") er q=2p eksakt og svaret bliver 1/2.

Modsat, hvis "speciel" aldrig duer til at identificere en ud af to brødre (fx "speciel" == "har en far der hedder Erik", eller hvis alle er "specielle"), er q=p, og svaret bliver 1/3.

  • 0
  • 0

Ved perfekt identifikation (fx hvis "speciel" betyder "er den yngste søskende" eller, med rigtig god tilnærmelse, "hedder Søren") er q=2p eksakt og svaret bliver 1/2.

Sikke noget vrøvl jeg skrev der. Se venligst bort fra muligheden "er den yngste søskende".

  • 0
  • 0

[quote][quote]Jeg mener ikke din skelnen mellem "selektionskriterier" og "efterfølgende oplysninger" holder vand.

Jeg glemte lige at præcisere, at når jeg siger "efterfølgende oplysninger", så mener jeg oplysninger der IKKE kan medføre, at personen selekteres fra.
[/quote]
Men i min variant B er der ikke nogen der bliver "forkastet" eller "selekteret fra". Uanset om svaret er ja eller nej, fortsætter spillet og du skal angive en sandsynlighed. Men du har ret til at lade din sandsynlighed afhænge af om der blev svaret ja eller nej.[/quote]
Henning, i 13/27 konteksten er det jo kun svaret "Ja" der tæller.
Ved "Nej" er det en helt anden (og for denne kontekst irrelevant) opgave.

  • 0
  • 0

Til Henning ! Tak for forklaring. Jeg vil se nærmere på det i morgen, for det er ved at være sengetid.
Men umiddelbart forstår jeg ikke, hvorfor du siger, at en identifikation, der handler om at være yngst (eller ældst) er noget vrøvl. Jeg ville da synes, det var den ultimative identifikation, for hvis den ene er yngst KAN den anden ikke være det, !00% identifikation = ingen mulighed for forveksling, men hvis den ene hedder Søren, KAN den anden (i sjældne tilfælde) også hedde det. Altså en svag mulighed for forveksling og IKKE 100% identifikation. Hvorfor mener du ikke dét ? Steen

  • 0
  • 0

Men umiddelbart forstår jeg ikke, hvorfor du siger, at en identifikation, der handler om at være yngst (eller ældst) er noget vrøvl.

Jeg påstod at hvis "speciel" betyder "yngste søskende", vil
(1) q=2p eksakt og
(2) svaret blive 1/2.
Af disse to påstande er (2) korrekt, men (1) vil jeg ikke længere stå inde for, på grund af at min definition af den sandsynlighed jeg kalder p ikke duer i dette tilfælde uden en del kunstigt udseende forbehold.

(Efter min matematiker-sprogbrug er det "vrøvl" hvis man kommer frem til det rigtige resultat med en ugyldig argumentation).

  • 0
  • 0

Men umiddelbart forstår jeg ikke, hvorfor du siger, at en identifikation, der handler om at være yngst (eller ældst) er noget vrøvl.

Jeg påstod at hvis "speciel" betyder "yngste søskende", vil
(1) q=2p eksakt og
(2) svaret blive 1/2.
Af disse to påstande er (2) korrekt, men (1) vil jeg ikke længere stå inde for, på grund af at min definition af den sandsynlighed jeg kalder p ikke duer i dette tilfælde uden en del kunstigt udseende forbehold.

(Efter min matematiker-sprogbrug er det "vrøvl" hvis man kommer frem til det rigtige resultat med en ugyldig argumentation).

  • 0
  • 0

[quote]Men i min variant B er der ikke nogen der bliver "forkastet" eller "selekteret fra". Uanset om svaret er ja eller nej, fortsætter spillet og du skal angive en sandsynlighed. Men du har ret til at lade din sandsynlighed afhænge af om der blev svaret ja eller nej.

Henning, i 13/27 konteksten er det jo kun svaret "Ja" der tæller.
Ved "Nej" er det en helt anden (og for denne kontekst irrelevant) opgave.[/quote]
Det ændrer ikke ved at der aldrig er nogen deltagere i det spil jeg beskriver, der faktisk oplever at blive forkastet. Under din analyse af opgaven kan du sagtens forestille dig at sortere nogen af tilfældene fra og dermed komme frem til det rette resultat. Men det er en rent virtuel forkastning, eller med andre ord, det er en del af løsningen, ikke en del af problemet.

Så selv om dit resultat er korrekt, mener jeg ikke at det er en nyttig tommelfingerregel at undersøge om der er nogen der bliver sorteret fra for at finde ud af hvordan opgaven skal regnes ud. Med din forståelse af frasorting ser det ud til at man først kan vide om opgaven indebærer en frasortering, når man HAR gennemskuet den rette måde at regne på. Men så har man jo ikke længere brug for nogen tommelfingerregel alligevel.

  • 0
  • 0
  1. "Jeg har to børn, det ene er en dreng (født på en tirsdag), hvad er sandsynligheden for at jeg har to drenge?".

Denne opgave er helt entydig. Alle har sandsynligheden 1/2 for to ens børn, uanset hvad vi får at vide om det ene barn. Hvis opgavestilleren ønsker en løsning i betinget sandsynlighed, skal han udtrykkeligt skrive det i opgaven.

  1. "En mand siger "Jeg har to børn, det ene er en dreng (født på en tirsdag)". Hvad er sandsynligheden for at han har to drenge?".

Denne opgave er tvetydig og derfor ugyldig som matematisk opgave uden angivelse af løsningsmetode. Gælder det kun denne mand eller et gennemsnit?

  1. "Hvad er sandsynligheden for at finde en far med to drenge blandt fædre med to børn, hvoraf det ene er en dreng (født på en tirsdag)?"

Denne opgave kan kun løses med betinget sandsynlighed, resultat 1/3 (13/27).

  • 0
  • 0

Glem tirsdagen og prov at forstaa hvorfor sandsynligheden for en far med to boern, ikke er 1\3 for to drenge, naar han naevner den ene er en dreng. Det er trods at et af fire lige sandsynlige udfald, PP, er udelukket.

50% for blandet foer et barn er naevnt.
Hvis du tror at der er 1\3 chance for to drenge, efter at en far med to boern har naevnt at han har en dreng, tror du ogsaa at han har 2\3 chance for blandet.

Tag to grupper med, 50 fadre med to boern.

Den ene gruppe bliver bedt om at sige ingenting.
I den anden gruppe skal alle faedre naevne koennet paa et af sine boern.

Hvis du mener at faedrende i hver gruppe har samme sandsynlighed for blandede boern (trods at faedrene i den ene har naevnt et barn), mener du ikke at der er 1\3 for at den enkelte far har to boern af samme koen som det barn han har naevnt.

Hvis du derimod mener at der er 1\3 chance for at den enkelte far har to boern af samme kon som det barn han har naevnt, saa mener du ogsaa at sandsynligheden er stoerre for blandet i en grupppe af faedre, hvor alle 50 har naevnt koennet af det ene sine boern. Hvis du skulle gaette gruppen med flest blandet boern ville du vaelge den hvor faedrende har naevnt en barn, grundet stoerre sandsynlighed for blandet (den er jo KUN 50% i gruppen af faedre som intet oplyser). Og det er morsomt. Det er morsomt at man spiller paa bedre odds for blandet i en gruppe der ikke har aendret sig, og hvor man ikke er klogere paa blandet, efter den nye information. Og jeg morer mig igen..undskyld

Hvis du stadig mener at der er 1\3 chance for at den enkelte far har to boern af samme kon som det barn han har naevnt, saa mener du ikke at sandsynlighedsregning er i stand til at beskrive virkeligheden i et saa simpelt eksempel sim givet. Men derimod at man lavisk skal bruge en forsimplet beregning, intruduceret af F. og sikkert lidt fra din skoletid, og selvom den giver et indlysende forkert resultat.

Beregningen kan selvfoelgelig laves rigtig for en far der naevner sit ene af to boern.

Havde man spurgt en far med to boern, om den ene var en dreng, havde det vaeret en anden opgave (den som F. taenkte paa), og her er svaret 1\3. Pa gruppen af 50, bedes alle med et drengebarn blive. I denne reducerede gruppe er der selvfoelgelig 1\3 chance for to drenge.

  • 0
  • 0

Folk der har fulgt ddebaten ved at jegfaar stor morskab af nedenstaaende indlaeg. To personer har allerede og til min store begejstring svaret ja til nedenstaende sporgsmaal 1. Maaske er du 13\27 tilhaenger og kan goere det samme.

Du går ind på et kasino, Dealeren siger, du kan spille, et kvit eller dobbelt spil, på at den næste tilfældig mand vi stopper og som har to børn. Du spiller på om han har 'to af samme køn' eller 'blandet' børn. Fifty fifty.

1). Du vil helst spille på 'to af samme køn', men du har kun 50% chance.
Dealeren siger, "Vil du spille på at der er to 'to af samme køn', hvis jeg vi får manden til nævne kønnet på et af sine børnene"..Nej..den hopper du ikke på, for så er der jo ikke længere 50% chance for 'to af samme køn' (hvor dum er han).
2). Manden nævner kønnet på et af sine børn, og du er ligeglad om han siger dreng eller pige. Nu vil du, grundet den øgede sandsynlighed, spille 'blandet'.
Velvidende at de to børn ikke har ændret køn.
Godt du ikke spillede på samme køn..ihvertfald efter barnets køn var nævnt!!

Men måske virker sandsynlighedsregning bare ikke på kønnet af to børn...

1). To børn. 50% for blandet.
2). Den enes køn nævnes. 2/3 chance for blandet??

Kun i 1/3 af tilfældene vil manden have 2 børn af samme køn....hmm, nå ja, vi kender jo også kønnet på den ene, før vi kender begge:-D

Svar på to meget simple spørgsmål:
1. hvis en tilfældig mand har 2 børn og vi har aftalt at du skal spille blandet...Vil du så helst have at han nævner kønnet på den ene inden du hører resultatet???
2. hvis en tilfældig mand har 2 børn og vi har aftalt at skal naevne koennet paa sit ene barn...Kan du saa ikke bare spille blandet fra starten...du ved det er det du ender med, grundet det bedre odds???

Måske dur sandsynlighedsregning bare ikke til at beskrive virkeligheden!!

Vil du spille?

Dealeren:
Jeg giver dig bedre odds på, at mandens to børn har samme køn!
Vil du spille?

Nej, manden har jo allerede sagt at det ene barns køn var...hvad var det nu det var??? ...når det er også ligemeget hvad den var, han har nævnt det ene barns køn, så du ved at der er 2/3 chance for blandet. (Et af 4 udfald er jo under alle omstændigheder udelukket)...
SÅ ELLERS TAK, DET SKU HAN HA' SPURGT OM, FØR DU VIDSTE DET ENE BARN VAR..JA, HVA DET NU VAR DET VAR;-D

  • 0
  • 0

Til Bue ! Hvis vi IKKE får noget at vide om kønnet, vil der være halvt så stor chance for at få to drenge, som for at få et blandet kuld. Kan du fortælle, hvorfor dette forhold skulle ændre sig, bare fordi vi FÅR noget at vide ? Steen

  • 0
  • 0
  1. "Jeg har to børn, det ene er en dreng (født på en tirsdag), hvad er sandsynligheden for at jeg har to drenge?".

Denne opgave er helt entydig. Alle har sandsynligheden 1/2 for to ens børn, uanset hvad vi får at vide om det ene barn. Hvis opgavestilleren ønsker en løsning i betinget sandsynlighed, skal han udtrykkeligt skrive det i opgaven.

  1. "En mand siger "Jeg har to børn, det ene er en dreng (født på en tirsdag)". Hvad er sandsynligheden for at han har to drenge?".

Denne opgave er tvetydig og derfor ugyldig som matematisk opgave uden angivelse af løsningsmetode. Gælder det kun denne mand eller et gennemsnit?

  1. "Hvad er sandsynligheden for at finde en far med to drenge blandt fædre med to børn, hvoraf det ene er en dreng (født på en tirsdag)?"

Denne opgave kan kun løses med betinget sandsynlighed, resultat 1/3 (13/27).

Kort, klart og tydeligt udtrykt. Og man skulle så tro at denne korrekte og simple forklaring var nok til at få alle til at indse, at 13/27 ikke et definitivt svar på Foshees opgave. Men desværre....der er intet så skønt som at kunne korrekse andre, som man tror ikke forstår matematikken. Og så er der jo også dem der blev klogere undervejs men helst ikke vil tabe ansigt.

  • 0
  • 0

, betyder det så ikke, at vi har fået de oplysninger, vi skal bruge, og at løsningenløsningen bare ER 13/27 uanset udvælgelser og præferencer ? Jeg er selv helt vildt i tvivl. Steen

Nerj det betyder det ikke. Vi har fået nogle oplysninger (mit ene barn er en søn født en tirsdag). Men som opgaven er formuleret, fortælles der ikke hvad disse oplysninger skal bruges til,...eller om de skal bruges i det hele taget. Vi derfor på ingen måde blot gå ud fra at der skal anvendes betinget sandsynlighed. Brug af betinget sandsynlighed kræver at vi tolker yderligere oplysninger ind i opgaven, som faktisk ikke står der, og vi må derfor antage at der er tale om simpel sandsynlighed.

  • 0
  • 0

[quote]Nu er det godt nok nogle år siden, men lad os opstille følgende formel:
P=P1P2 ud fra tesen: jeg [b]har[/b] to børn.
Stiller vi spørgsmålet:
* Hvad er sandsynligheden for jeg har 2 drenge.
P1=0,5, og P2=0,5 - så svaret er 1/4.
(Vi glemmer lige rækkefølgen) - nu får vi at vide, at den ene er en dreng, dvs: P1=1 dvs:
P=1
P2 - altså 0,5.
Nu udvider vi det til:
Den ene er en dreng født på en tirsdag, dvs:
P=1P2 stadig 0,5
Men nu får vi at vide, at den ene er en dreng, født 29/2 i måneskin, med rødt hår osv.
Det ændrer jo ikke ved
P=1
P2, da P1 uanset oplysninger vil være 1, da det er en indtruffen begivenhed.

Spørger man:
"Jeg har til hensigt at få to børn, hvad er så sandsynligheden for ....name things..., så er det en anden snak, men det er et uomtvisteligt faktum, at den ene er en dreng(i opgaven), uagtet hvilke mærkelige egenskaber man tillægger.

Opgaven handler sådan set slet ikke om de konkrete børn (den indtrufne begivenhed er jo som den er), men om hvilken mulighed, man som udenforstående har for at gætte, om der er to drenge i familien på baggrund af nogle oplysninger, man får. Det er en opgave i at sætte odds.

Derfor betyder de ekstra oplysninger, man får, faktisk ganske meget.

Og i øvrigt bliver P1 ikke lig 1, fordi du ved, at der er en dreng blandt de to børn. Kravet er både opfyldt, hvis den førstefødte er en dreng (det vil sige DD eller DP), eller hvis den førstefødte er en pige og den sidstfødte en dreng (PD). Når du sætter P1 lig 1 ser du udelukkende på DD og DP - du overser PD.

Ellers må du prøve at kaste to mønter - så finder du hurtigt ud af, den sidste godt kan være krone, selv om den første er plat. Du finder også ud af, at KK, KP, PK og PP er lige sandsynlige udfald.

Hvis du nu ved, at den ene mønt er krone, står det klart, at sandsynligheden for PP er 0. Med dit argument er sandsynligheden for KK så ½ og sandsynligheden for KP ligeledes ½ (idet du sætter P1 = 1).

Det vil sige, at sandsynligheden for PK må være 0, for ellers bliver summen ikke 1. Og det skal den nu engang blive.

Det er jo lidt dumt, når vores eksperiment lige har vist, at sandsynligheden for PK er 1/4.

Tænk lidt over det, Stig.

I øvrigt passer det hele igen, hvis sandsynligheden for KK sættes til 1/3 for de møntkast, hvor der en mindst en K.

Det er i øvrigt altsammen tegnet op i masser af udfaldsrum, simuleret med forskellige stykker software og stillet op som formler andre steder i disse tråde.[/quote]

Dit problem er stadigvæk det samme. Du tror at folk ikke forstår matematikken. Du og Vagn regner FORSKELLIGE opgaver (det skulle gerne være ret tydeligt for dig), og derfor er det ikke sært at jeres resultater bliver forskellige.

Problemet er sprogligt. Læs den oprindelige opgaveformulering, og se så om din eller Vagns opgave mest ligner hvad der formuleres i opgaven. Prøv måske at angive hvor præcis i opgaven det er du læser, at der skal anvendes betinget sandsynlighed.

  • 0
  • 0

Til Bue ! Hvis vi IKKE får noget at vide om kønnet, vil der være halvt så stor chance for at få to drenge, som for at få et blandet kuld. Kan du fortælle, hvorfor dette forhold skulle ændre sig, bare fordi vi FÅR noget at vide ? Steen

Bue anvender en avanceret retorisk teknik ved navn "sarkasme" til at forsøge at overbevise os andre om at 1/3 (eller 13/27) IKKE kan være det rigtige svar.

Hans forsøg på at overbevise mislykkes dog, fordi han insisterer på at tale om en ganske anden situation end den der giver anledning til sandsynligheden 1/3.

Det under mig noget hvordan han har kunnet undgå at bemærke til de mange i tråden der udtrykkeligt har gjort opmærksom på at der er to forskellige sæt antagelser hvoraf det ene leder til 1/2 og det andet leder til 1/3 (uden tirsdag) henholdsvis 13/27 (med tirsdag). Hvis han faktisk var interesseret i en debat i stedet for at sidde og råbe at vi andre er dumme, skulle han i det mindste interessere sig for den forskel vi peger på. Det er muligt at han ikke mener det er en relevant forskel, men så bør han diskutere forskellen og dens relevans i stedet for at lade som om han ikke har lagt mærke til at vi påstår den er der.

  • 0
  • 0

Vi derfor på ingen måde blot gå ud fra at der skal anvendes betinget sandsynlighed. Brug af betinget sandsynlighed kræver at vi tolker yderligere oplysninger ind i opgaven, som faktisk ikke står der, og vi må derfor antage at der er tale om simpel sandsynlighed.

Nej, nej og atter nej! Når problemet som formuleret ikke giver mulighed for at træffe et fornuftigt valg mellem den ene og den anden fortolkning, skal vi ikke bare ANTAGE at der er tale om den mulighed vi nu personligt best kan lide. Vi skal sige det som det er, at opgaven som formuleret er ukomplet, og der derfor ikke er noget korrekt svar til den.

At "antage at der er tale om simpel sandsynlighed" (hvad du så end mener med "simpel sandsynligned"; jeg går ud fra at du menet betinget sandsynlighed med en anden betingelse end den der leder til 1/3) kræver OGSÅ at du tolker yderligere oplysninger ind i opgaven som faktisk ikke står der. Når der ikke er oplysninger nok, er ETHVERT skråsikkert svar forkert.

  • 0
  • 0

[quote]
Henning, i 13/27 konteksten er det jo kun svaret "Ja" der tæller.
Ved "Nej" er det en helt anden (og for denne kontekst irrelevant) opgave.

Det ændrer ikke ved at der aldrig er nogen deltagere i det spil jeg beskriver, der faktisk oplever at blive forkastet. Under din analyse af opgaven kan du sagtens forestille dig at sortere nogen af tilfældene fra og dermed komme frem til det rette resultat. Men det er en rent virtuel forkastning, eller med andre ord, det er en del af løsningen, ikke en del af problemet.

Så selv om dit resultat er korrekt, mener jeg ikke at det er en nyttig tommelfingerregel at undersøge om der er nogen der bliver sorteret fra for at finde ud af hvordan opgaven skal regnes ud. Med din forståelse af frasorting ser det ud til at man først kan vide om opgaven indebærer en frasortering, når man HAR gennemskuet den rette måde at regne på. Men så har man jo ikke længere brug for nogen tommelfingerregel alligevel.[/quote]
Med "frasortering" mener jeg jo ikke, at personerne bliver sendt uden for døren eller kastet ud af vinduet.
De kommer bare ikke til at figurere hverken i tælleren eller nævneren i det regnestykke, der skal lede til resultatet 1/3 eller 13/27 i Foshees opgave, hvis ikke de har en tirsdagsdreng.
Henning, med den skarphed du har vist i tidligere indlæg troede jeg ikke, at det var nødvendigt at skulle skændes med dig om dette for mig indlysende faktum...

  • 0
  • 0

Henning, med den skarphed du har vist i tidligere indlæg troede jeg ikke, at det var nødvendigt at skulle skændes med dig om dette for mig indlysende faktum...

Min pointe er at det er så indlysende at det ikke er en nyttig problemløsningsstrategi. Hvis man står med en opgave og er i tvivl om man skal regne på den ene eller den anden måde, nytter det ikke meget at du siger at jeg bare skal se på om det er en opgave der indebærer frasortering eller ej. For som du beskriver det, kan man ikke bruge den regel uden allerede at vide hvordan man skal regne.

  • 0
  • 0

Med "frasortering" mener jeg jo ikke, at personerne bliver sendt uden for døren eller kastet ud af vinduet.
De kommer bare ikke til at figurere hverken i tælleren eller nævneren i det regnestykke, der skal lede til resultatet 1/3 eller 13/27 i Foshees opgave, hvis ikke de har en tirsdagsdreng.

I øvrigt tror jeg ikke jeg er enig i at det er disse personer der gør forskellen.

De fædre der ikke har nogen tirsdagsdreng kommer ikke til at figurere i NOGEN af regnestykkerne. Forskellen er at i 13/27-tilfældet figurerer ALLE fædre der har en tirsdagsdreng, hvorimod i 1/2-tilfældet er der nogen fædre MED en tirsdagsdreng der bliver frasorteret fordi de vælger at fortælle noget om deres andet barn i stedet.

Regnestykket der giver 1/2 frasorterer flere fædre end det der giver 13/27.

  • 0
  • 0

Jeg har aldrig læst Bues indlæg som sarkasme, og i hans sidste indlæg findes faktisk et par argumenter mod 1/3 synspunktet.
Her kommer et argument for 1/2 synspunktet :
For HVER ENESTE "tirsdagsdreng" i alverdens tobørnsfamilier gælder, at en sådans søskendebarn NØJAGTIG LIGE SÅ GODT kan være en dreng, som en pige (indtil andet er bevist).
Er dette forkert ? og i givet fald hvorfor ? Og hvis det ikke er forkert, hvorfor medfører det så ikke, at løsningen er 1/2 ? Steen

  • 0
  • 0

For HVER ENESTE "tirsdagsdreng" i alverdens tobørnsfamilier gælder, at en sådans søskendebarn NØJAGTIG LIGE SÅ GODT kan være en dreng, som en pige (indtil andet er bevist).
Er dette forkert ? og i givet fald hvorfor ? Og hvis det ikke er forkert, hvorfor medfører det så ikke, at løsningen er 1/2 ? Steen

Det er korrekt. Grunden til at det ikke medfører at løsningen er 1/2, er at nogen gange er to tirsdagsdrenge brødre. Løsningen 13/27 forudsætter at en FAMILIE med to tirsdagsdrenge har samme sandsynlighed for at blive valgt som en familie med kun én tirsdagsdreng. Derfor skal de to tirsdagsbrødre deles om samme sandsynlighed som enhver anden tirsdagsdreng har alene; de tæller ikke så meget som hvis vi i stedet havde valgt en tilfældig tirsdagsdreng (og dermed givet hver af tirsdagsbrødrene sin egen fair chance). I sagens natur er det kun familier med to drenge der på den måde mister sandsynlighed når vi går fra "vælg en tilfældig tirsdagsdreng" til "vælg en tilfældig tirsdagsdrengsfamilie", og derfor opstår der en lille numerisk overvægt af blandede søskendepar.

  • 0
  • 0

[quote]Vi derfor på ingen måde blot gå ud fra at der skal anvendes betinget sandsynlighed. Brug af betinget sandsynlighed kræver at vi tolker yderligere oplysninger ind i opgaven, som faktisk ikke står der, og vi må derfor antage at der er tale om simpel sandsynlighed.

Når der ikke er oplysninger nok, er ETHVERT skråsikkert svar forkert. [/quote]

Enig. Det er faktisk også det jeg mener med at vi må ANTAGE at vi har at gøre med to uafhængige hændelser. Det er virkelig bare en antagels;, reelt er opgaven. som du selv siger. utilstrækkeligt formuleret til at kunne løses.

  • 0
  • 0

[quote]Når der ikke er oplysninger nok, er ETHVERT skråsikkert svar forkert.

Enig. Det er faktisk også det jeg mener med at vi må ANTAGE at vi har at gøre med to uafhængige hændelser. Det er virkelig bare en antagels;, reelt er opgaven. som du selv siger. utilstrækkeligt formuleret til at kunne løses.[/quote]
OK, så må du undskylde råberiet.

  • 0
  • 0

Foshee’s fantastiske opgave
Sidste indlæg fra mig

Vi er nu, i de 3 tråde, der omhandler Foshee-opgaven, nået forbi debatindlæg nr. 1.300 ! Det er dansk pressehistorie!

Hallo, De der!
Jeg har selv bidraget nogle gange, som omtalt af Jens Ramskov, i hans historie om matematikopgaver som sprogligt problem.

Foshee stillede denne opgave: ”Jeg har to børn. Det ene af dem er en dreng, født på en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?”

Det lyder jo som en simpel opgave, men mere end 1.300 debat-indlæg affødt af den, viser, at den ikke er så simpel endda. Jeg selv vil gerne takke Ing’s debattører, især Jens Olsen, for at gøre opmærksom på, at denne opgave, ulykkeligvis formuleret som en TEKSTopgave, kan fortolkes.

Men lad os, her på falderebet, hvor vor debat, synes jeg, bør slutte, se helt roligt og objektivt på Foshee’s opgave, idet vi anerkender, at manden er matematiker, ikke et ”almindeligt menneske”.

Når F siger ”Jeg har to børn”, så er det naturligvis ikke et udsagn om denne, konkrete person F. Det er en OPGAVEtekst, ikke en personlig bekendelse. F siger altså: ”Betragt en mængde af uendeligt mange mænd, der hver har to børn. Det ene af dem er en dreng, født på en tirsdag.” F er matematiker, så det betyder, at en, dvs. MINDST en af den ukendte mands, ikke nødvendigvis F’s, to børn, er en Tirsdags-dreng.

Så kan vi begynde at løse opgaven, og - som Jens Ramskov skrev i sin artikel 2.6.10 - så er løsningen urokkeligt 13/27. Det er løsningen på den opgave, som F mente han stillede. Og som jeg selv mente, han stillede. Manden er matematiker, ikke journalist på B.T. eller filosof.

1) Lad os først se på denne opgave: En mand har to børn. Mindst et af dem er en dreng. Hvad er sandsynligheden for at han har to drenge?

Mange tror, at løsningen på denne opgave er P=1/2 - og at F’s opgave også har P=1/2
De siger/skriver, at når vi nu HAR fastsat, at det ene barn er en dreng, så er der for det andet barn kun to muligheder: en pige eller en dreng. Derfor er P=1/2.
Kæden er sprunget af. Det er rigtigt, at der kun er to muligheder for barn nr. to, men derfor behøver de to muligheder jo ikke have samme sandsynlighed, ½.
Et sidespring: for nogle år siden udtalte en ægteskabsmægler i P3, at hvis man henvendte sig hos ham, så var der 50 procents chance for at finde en partner. ”Det var da en stor chance!”, sagde journalisten. ”Ja”, sagde mægleren, ”men der er jo kun to muligheder: enten finder du en partner, eller også finder du hende ikke!”. Det har manden jo ret i. Men odds er jo bestemt ikke 50:50 af den grund!!

Hvis en mand, udtaget blandt mange, med to børn, har mindst en dreng, så skal man blandt de fire ligevægtige, lige sandsynlige, kombinationer, DD, DP, PD, PP, fjerne kombinationen PP. Blandt de tilbageværende udgør DD 1/3 !!
Sandsynligheden for, at en mand, der har to børn, hvoraf mindst en er en dreng, er altså 1/3.

2) Hvis en mand står frem og siger: ”Mit ældste barn er en dreng. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?”, så er svaret P=1/2, thi usikkerheden/tvivlen om, hvad det ene barns køn kunne være, er nu helt fjernet. Det samme gælder, hvis han klapper sin søn på skulderen og siger til en kollega: ”Her er min søn Albert. Jeg har to børn. Hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?”. Vi ser nu ikke på en mængde af alle mulige mænd med to børn hver. Vi ser på F, som har en førstefødt/navngiven søn. Så er P sføli 1/2. Sandsynligheden for et barn nr. to’s køn er jo P=1/2 for D.

3) I F’s opgave er der 13 kombinationer for DD, når mindst den ene D er en DTi, og der er 27 kombinatioiner i alt. Derfor ER svaret på F’s opgave 13/27, og det kan ingen lave om på. Forstået/fortolket som en opgave stillet af en matematiker, ER svaret ganske enkelt, og urokkeligt, 13/27, hvor absurd det end måtte virke!!

Tak til Foshee! Opgaven er intet mindre end genial! Utroligt simpel i sin formulering. Og med et utroligt tankevækkende resultat!!! ”Det havde du ikke ventet!”, som han sagde, hvis han havde talt dansk

  • 0
  • 0

De fædre der ikke har nogen tirsdagsdreng kommer ikke til at figurere i NOGEN af regnestykkerne. Forskellen er at i 13/27-tilfældet figurerer ALLE fædre der har en tirsdagsdreng, hvorimod i 1/2-tilfældet er der nogen fædre MED en tirsdagsdreng der bliver frasorteret fordi de vælger at fortælle noget om deres andet barn i stedet.

Regnestykket der giver 1/2 frasorterer flere fædre end det der giver 13/27.

Ok Henning, så forstår jeg hvorfor vi taler forbi hinanden.

I en sandsynlighedsopgave er man jo nødt til at have en opgaveformulering, hvor en situation kan REPETERES.

Det er vi jo ganske enige om, at det kan man ikke umiddelbart med Foshees formulering, så vi er nødt til at lave en omskrivning, som indebærer en vis grad af tolkning efter bedste evne udfra den givne kontekst.

I min tolkning af hvad jeg ser som det mest realistiske scenarie, så indgår der ingen selektion på drenge født på en tirsdag. Hvis jeg skulle formulere opgaven, som jeg tolker den, så lyder den:

En mand vælges tilfældigt blandt en gruppe af fædre med 2 børn. Han vælger et af sine børn og oplyser køn og fødselsugedag.
Hvad er sandsynligheden for, at børnene har samme køn?

Grunden til at jeg tolker således er situationen Foshee står i: Foshee er ikke udvalgt efter nogensomhelst familierelaterede kriterier - at han siger "Dreng" og "Tirsdag" er dermed tilfældigt og helt ligegyldigt for opgaven. Det kunne ligeså godt have været "Pige" og "Fredag".
Og det kan dermed i opgaven heller ikke være et krav, at han skal sige "Hvad er sandsynligheden for 2 drenge". Hvis han havde sagt "Jeg har en pige..." så ville han naturligvis have sagt "Hvad er sandsynligheden for 2 piger".

Vi er dog nødt til at holde fast i, at han skal have 2 børn - ellers ændres beregningsgrundlaget for opgaven.

  • 0
  • 0

Når F siger ”Jeg har to børn”, så er det naturligvis ikke et udsagn om denne, konkrete person F. Det er en OPGAVEtekst, ikke en personlig bekendelse. F siger altså: ”Betragt en mængde af uendeligt mange mænd, der hver har to børn. Det ene af dem er en dreng, født på en tirsdag.”

@Niels
Det lyder lidt som om at en misforstaaelse hos nogle 13\27 tilhaengere og Jens Ramskov, er at man mener at naar der er tale om en matematikker, skal man tolke opgaven paa en bestemt maade. Ogsaa selv om det giver et forkert resultat i forhold til, hvis man stoppede en tilfaeldig mand med to boern, paa et kasino og spurgte til hans boern.

Naar det er en matematikker, skal man betragte det som om at han tilhoerrer en gruppe, hvor alle der ikke har to boern, hvor en er foedt en tirsdag sorteres fra.

Argumentet er at, fordi han er matematiker og derfor er traenet i at forstaa opgaver som de PLEJER at vaere formuleret, skal vi ledes til en ikke korrekt loesning, ud fra den givne formulering.

Der staar ingensteder at kun faedre med en to boern og en tirsdags soen er velkommende. Burde argumentet ikke vaere omvendt, at netop fordi han er matematikker, burde en saa simpel opgave vaere til at loese, uden de helt store problemer. Sandsynligeds regning kan godt klare en opgave af den givne kompleksitet.

Nogen er tilsyneladende her paa debatten, for at argumenterer for og proeve at faa os andre til at forstaa, hvorfor opgaven skal tolkes anderledes end den er formuleret.
Alt dette for at kunne naa frem til det, meget morsomme, resultat 13\27. Men naar man har set fejlen gaar gloeden lidt af resultatet.
Og vi er nok alle enige at et resultat 1\2, beregnet uden udvaelgelse og udfra at F. ikke har en kendt praeference, ikke giver en saerlig sjov opgave, selvom den afspeigler virkeligheden.

Har man først forstået denne kode, vil Foshees formulering: ”Jeg har to børn og en er dreng født en tirsdag, hvad er så sandsynligheden for, at jeg har to drenge” ifølge Devlin betragtes som værende identisk med det mere rigoristisk formulerede spørgsmål.

Keith Devlin skriver: ”Så længe alle kender koden og er indstillet på at følge den, så fungerer det”.

F. representerer nok ikke alle matematikkere, og man kunne nok finde en som kunne loese denne opgave, trods den givne kompleksitet. Ogsaa uden at foelge en bestemt afkodning og er indstillet på at følge den..
En matematikker der gaar paa kasino, ville nok beregne paa virkeligheden, og ikke en inforstaaet opgave afkodning, der leder til et ubrugeligt resultat.
http://ing.dk/artikel/110748-simpel-matema...

  • 0
  • 0

Hvis jeg skulle formulere opgaven, som jeg tolker den, så lyder den:

En mand vælges tilfældigt blandt en gruppe af fædre med 2 børn. Han vælger et af sine børn og oplyser køn og fødselsugedag.
Hvad er sandsynligheden for, at børnene har samme køn?

Ja, så forstår jeg hvorfor du mener der ikke er nogen selektion her.

Men jeg synes at du med den formulering er gået langt videre end at [b]tolke[/b] opgaven, og er godt på vej med at [b]løse[/b] den. En tolkning bør ikke smide information væk; det er en del af løsningsprocessen at afgøre om informationen er irrelevant.

Vi har hele tiden arbejdet med en yderligere antagelse om at begge køn er lige sandsynlige og alle ugedage er lige sandsynlige. Det er en god og rimelig antagelse så længe andet ikke nævnes, men jeg bryder mig ikke om en "tolkning" af opgaven der [b]binder[/b] os til den antagelse så tæt at det ikke længere giver mening at udregne et svar med andre antagelser om basissandsynlighederne.

Hvis nu Foshee i stedet havde sagt: "Jeg har to børn hvoraf det ene er en dreng født om tirsdagen. Hvad er sandsynligheden for at begge børnene er drenge? Antag at 302/601 af alle børn er drenge og at 9/67 af alle drenge er født om tirsdagen", så ville de første to sætninger ikke kunne koges ned til din tolkning.

Jeg mener at en tolkning af opgaven simpelthen bør være en præcisering af hvilket eksperiment den helt konkret beskriver, med udvælgelse og det hele. Når vi [b]kombinerer[/b] tolkningen med en antagelse om sandsynlighederne for dreng og tirsdag (1/2 og 1/7 i standardtilfældet) kan vi begynde at [b]løse[/b] opgaven ved at argumentere udfra symmetri for at vi ikke behøver udelukke nogen fædre alligevel.

  • 0
  • 0

idet vi anerkender, at manden er matematiker, ikke et ”almindeligt menneske”.

Når F siger ”Jeg har to børn”, så er det naturligvis ikke et udsagn om denne, konkrete person F. Det er en OPGAVEtekst, ikke en personlig bekendelse. F siger altså: ”Betragt en mængde af uendeligt mange mænd, der hver har to børn. Det ene af dem er en dreng, født på en tirsdag.”

Du er i gang med et retorisk trick. Du skriver "F siger altså". Men det er jo netop det der sagen, som du også selv gør opmærksom på to linier tidligere. F SIGER ikke "Betraget en mængde osv.", F MENER "Betraget en mængde osv.".
Hvad F siger er, som du også selv skriver, ”Jeg har to børn osv."

Vi er mange der kan regne ud, hvad det er for en opgave F gerne vil stille (som matematiker), og vi kan derfor slutte os til hvad han mener. Men at vi efterfølgende kan se igennem hvad han skriver, og regne ud hvad det rent faktisk var han mente, betyder da bestemt ikke, at han ikke har givet en anden (og utilstrækkeligt defineret) opgave end han ønskede.

At man er matematikker giver vel ikke automatisk licens til at kræve, at andre skal læse det man skriver anderledes end hvad der faktisk står. Faktisk gør det vel nærmest en til en dårlig matematikker, da en kardinal dyd som matematikker er at utrykke sig fuldstændigt entydigt præcist.

Jeg har meget svært ved at blive imporneret over noget sjovt, kontraintuitivt eller fikst i F's opgave. At spille bedrevidende ved at kræve resultat af en anden opgave end man rent faktisk har formuleret scorer man ikke særligt højt på i min karakterbog...og sikkert heller ikke i mange andres, hvilket nok også er grunden til at mange kommentarer til opgaven har været så vrede.
Og når F er ærlig over for sig selv i en stille stund, så tror jeg egentlig heller ikke at det er en opgave(formulering) han er rigtig stolt af selv.

  • 0
  • 0

Tak til Henning Makholm for en god og forståelig forklaring 15.aug 18.48. Ikke desto mindre kommer her et allersidste forsøg, så skal I nok slippe :
Led 1) Foshee siger : Godaften mine damer og herrer. Bag hver af disse to døre står et af mine to børn. (Nogen protester indtil videre ?)
Led 2) Foshee siger : Bag én af dørene står en dreng, som er født på en tirsdag. (nogen protester ?)
Led 3) Foshee spørger : Hvor stor er sandsynligheden for, at der står en dreng bag begge døre ? (nogen protester ?)
For at besvare Foshees spørgsmål, vil jeg mene, man skal gøre følgende : 1) Man skal finde ud af, hvor mange (kombinations)muligheder, der er for at ramme ved siden af (blandet kuld), og hvor mange (kombinations)muligheder, der er for at ramme i plet, og hvor mange af disse, man BEHØVER for at have ramt i plet. (protester ?)
Hvis vi nu tæller mulighederne for blandet kuld er der to : Tirsdagsdreng til højre og pige til venste og omvendt.
Hvis vi så tæller (kombinations)mulighederne for ens kuld, er der også to : Tirsdagsdreng til højre og anden dreng (hvis fødselsugedag er ukendt) og omvendt. (protester ? mnjoe måske ;)
Men da vi kun BEHØVER en vilkårlig af de to sidst nævnte kombinationer for at ramme i plet (to drenge), tæller/vejer hver af disse kombinationer set isoleret lige så meget som dem begge tilsammen - altså for to (hvis man kun ser på én af dem). Dvs. to muligheder for blandet og to for to drenge = 1/2 sandsynlighed.
Kom ikke og sig, jeg ikke prøvede. Venlig hilsen til alle, og jeg tror også, det bliver tak for denne gang fra mig. Det har været lidt fantastisk. Steen

  • 0
  • 0

[quote]Til Bue ! Hvis vi IKKE får noget at vide om kønnet, vil der være halvt så stor chance for at få to drenge, som for at få et blandet kuld. Kan du fortælle, hvorfor dette forhold skulle ændre sig, bare fordi vi FÅR noget at vide ? Steen

Bue anvender en avanceret retorisk teknik ved navn "sarkasme" til at forsøge at overbevise os andre om at 1/3 (eller 13/27) IKKE kan være det rigtige svar.

Hans forsøg på at overbevise mislykkes dog, fordi han insisterer på at tale om en ganske anden situation end den der giver anledning til sandsynligheden 1/3.

Det under mig noget hvordan han har kunnet undgå at bemærke til de mange i tråden der udtrykkeligt har gjort opmærksom på at der er to forskellige sæt antagelser hvoraf det ene leder til 1/2 og det andet leder til 1/3 (uden tirsdag) henholdsvis 13/27 (med tirsdag). Hvis han faktisk var interesseret i en debat i stedet for at sidde og råbe at vi andre er dumme, skulle han i det mindste interessere sig for den forskel vi peger på. Det er muligt at han ikke mener det er en relevant forskel, men så bør han diskutere forskellen og dens relevans i stedet for at lade som om han ikke har lagt mærke til at vi påstår den er der.[/quote]
@Henning
Det kan godt vaere at jeg er begyndt at more mig for mieget over andres naive tilgang til opgaven. Bl.a. din.. Naar jeg skriver som jeg goer, er det fordi du kommenterer paa mit inlaeg, uden at give et eneste argument for hvad du mener der er galt eller i det mindste citerer noget.

Men hvis du er serioes maa du forklarer, evt. citere, hvorfor, du mener, der er tale om en ganske anden situation end den der giver anledning til sandsynligheden 1/3.
Min person har to boern og bliver bedt om at naevne konnet paa den ene...., Hvis det er det der er HELT ANDERLEDES, maa du forklarer og citerer det forkerte.

Det, at du mener, jeg ikke har forstaaet at der er to forskellige sæt antagelser hvoraf det ene leder til 1/2 og det andet leder til 1/3 (uden tirsdag), fortaeller vist bare at du er nytilkommen. Antagelsen hvor fire ligesandsynlige udfald bliver til tre og deraf 1\3, naar PP udlukkes...Den har jeg fanget og det er alt ikke saerlig kompliceret.

Det komplicerede for nogen er vist snarere at skelne at foelgende to opgaver, for en far med to boern, ikke er ens:

  1. Manden bedes svare paa om han har en dreng.
    Hvis ja, ville tre udfald lige sandsynligt faa ham til at sige ja. DD, DP og PD og der er 1/3 chance for to drenge.

  2. Manden bedes oplyse koennet paa hans ene barn. Der er IKKE tre udfald der lige sandsynligt faa ham til at sige dreng. DD, DP og PD og derfor IKKE 1/3 chance for to drenge.

Disse to opgaver er forskellige og skal og kan loeses forskelligt.

Jeg tror ikke du opfattede "Foshee's paradoks"
http://ing.dk/artikel/110748-simpel-matema...
som seriost, men der er to meget simple spoergsmaal.
Henning, har jeg ret naar jeg tror at du kan svare ja til begge, ellers maa du begrunde.
Du siger at jeg råber at i andre er dumme, at jeg skulle "i det mindste interessere mig for den forskel i peger på".. Men Henning, hvis du fremover vil kommenterer paa mit inlaeg, vil jeg paent bede dig om at argumenterer for hvad der er galt, jeg kan ikke gaette hvad det er for en forskel du peger på.
Uden argumenter, bliver det som du selv betegner det, bare at "råbe at vi andre er dumme".
Og undskyld tonen, som jeg i tidligere inlaeg, har forsoegt holdt paa et hoejere niveau...

  • 0
  • 0

Men hvis du er serioes maa du forklarer, evt. citere, hvorfor, du mener, der er tale om en ganske anden situation end den der giver anledning til sandsynligheden 1/3.
...

Det komplicerede for nogen er vist snarere at skelne at foelgende to opgaver, for en far med to boern, ikke er ens:

  1. Manden bedes svare paa om han har en dreng.
    Hvis ja, ville tre udfald lige sandsynligt faa ham til at sige ja. DD, DP og PD og der er 1/3 chance for to drenge.

  2. Manden bedes oplyse koennet paa hans ene barn. Der er IKKE tre udfald der lige sandsynligt faa ham til at sige dreng. DD, DP og PD og derfor IKKE 1/3 chance for to drenge.

Lige nemlig. Det er to forskellige opgaver med to forskellige svar. Hvad er det så du vil have mig til at forklare?

Så vidt jeg forstod det indlæg jeg tolkede som sarkastisk, præsenterede du deri opgave (2) og langede hårdt ud efter dem der tror at (2) giver 1/3 sandsynlighed. Men så vidt jeg kan se er der [b]ingen[/b] der tror at (2) giver 1/3. Der har derimod været en del debat om hvorvidt (1), (2) eller begge er rimelige præciseringer af Foshees oprindelige dårligt specificerede situation.

  • 0
  • 0

Til Bue ! Hvis vi IKKE får noget at vide om kønnet, vil der være halvt så stor chance for at få to drenge, som for at få et blandet kuld. Kan du fortælle, hvorfor dette forhold skulle ændre sig, bare fordi vi FÅR noget at vide ? Steen

Hej Steen,
Naar du kan accepterer at blandet ikke paavirkes af at F. fortaeller koennet paa sit ene barn, kan vi kigge paa den hvor de to boern er ens.
Hvis jeg fortaeller dig at F. har to ens boern, er der 50% chance for to drenge.
Naar F. naevner koennet pa sit ene barn, fordobles chance for to af den naevnte og to af den ikke naevnte udelukkes.

Goeres det samme med alle fire muligheder i spil, vil blandet staa uandret, da han, ved antalgese af ingen praference i vores beregning, vil naevne pige/dreng lige sandsynligt. Der er ikke noget han kan sige som skulle goere blandet mere sandsynligt end det var fra starten (selv om nogen vil mene at bare det han siger noget).
Blandet taeller ganske rigtigt som to mulige udfald, men i halvdelen vil han naevne en pige.
Hvilket giver: P(DD) / ( P(DD) + P(PD) ) = 1/2 for to af det naevnte kon.
(Eller: P(DD) / ( P(DD) + P(PD) / 2 + P(DP) / 2 ) = 1/2

En anden opgave formulering giver et andet resultat

Blandet bliver selvfoelgelig meresandsynlig (2/3), naar F. bliver spurgt om han har en soen, og svarer ja, da tre udfald ligesandsynligt (og her af to blandet), faar ham til at sige ja. Men det er ogsaa en helt anden opgave.
Her er alle tre udfald ligesandsynlige, da allle tre TVINGER ham til at sige ja: P(DD) / ( P(DD) + P(PD) + P(DP)) = 1/3 for to drenge.

Til dem der ikke mener her er tale om en anden opgave

Hvis F. til spoergsmaalet om han har en dreng, svarer:
- nej, ved vi 1/1 at han har to piger.
- ja, ved vi 1/3 at han har to drenge.

  • nej, ved vi 0/1 at han har blandet (han har to piger).
  • ja, ved vi 2/3 at han har blandet.

Mener man saa ogsaa at hvis F. selv naever konnet:
-en dreng, 1/3 at han har to drenge??
-en pige, 1/3 at han har to piger??

  • en dreng, ved vi 2/3 at han har blandet??
  • en pige, ved vi 2/3 at han har blandet??
    Naar F. selv naever konnet skulle begge kon oege chancen for blandet...forkert..

To forskellige opgaver!

  • 0
  • 0

Hvis nu Foshee i stedet havde sagt: "Jeg har to børn hvoraf det ene er en dreng født om tirsdagen. Hvad er sandsynligheden for at begge børnene er drenge?

@Henning
Rigtigt, jeg langer ud efter dem som mener at "Jeg har to børn hvoraf det ene er en dreng", giver 1/3 chance for to drenge.

Du skriver i dit seneste inlaeg http://ing.dk/artikel/110748-simpel-matema...
"Jeg har to børn hvoraf det ene er en dreng født om tirsdagen."
Hvordan mener du at det kan give 13/27, hvis du ikke mener at "Jeg har to børn hvoraf det ene er en dreng", giver 1/3.

[quote]2. Manden bedes oplyse koennet paa hans ene barn. Der er IKKE tre udfald der lige sandsynligt faa ham til at sige dreng. DD, DP og PD og derfor IKKE 1/3 chance for to drenge.

Lige nemlig. Det er to forskellige opgaver med to forskellige svar. Hvad er det så du vil have mig til at forklare?

Så vidt jeg forstod det indlæg jeg tolkede som sarkastisk, præsenterede du deri opgave (2) og langede hårdt ud efter dem der tror at (2) giver 1/3 sandsynlighed.[/quote]
Hvis du ikke er 13/27 tilhaenger, maa du meget undskylde..Men sadan har jeg altsaa laest dine seneste inlaeg. Maaske tolker du familien som udvalgt af familier med to boern og mindst en tirsdags dreng. Der viser jeg med "Foshee's paradoks"
http://ing.dk/artikel/110748-simpel-matema...
at, den situation, hvis den kom fra en tilfaeldig haendelse, ikke ville repraesenterer en udvalgt gruppe og ikke ville give hverken 1/3 eller 13/27..
Og den, ikke saa komplekse, opgave kan godt loeses rigtigt! Og maaske er du helt enig i dette...

  • 0
  • 0

Led 1) Foshee siger : Godaften mine damer og herrer. Bag hver af disse to døre står et af mine to børn. (Nogen protester indtil videre ?)
Led 2) Foshee siger : Bag én af dørene står en dreng, som er født på en tirsdag. (nogen protester ?)
Led 3) Foshee spørger : Hvor stor er sandsynligheden for, at der står en dreng bag begge døre ? (nogen protester ?)
For at besvare Foshees spørgsmål, vil jeg mene, man skal gøre følgende

Den store pointe i tråden er at de tre led du (korrekt) gengiver [b]ikke er tilstrækkeligt[/b] til at løse opgaven.

For at kunne tale om sandsynlighed overhovedet bliver vi nødt til at have defineret en situation som vi kan [b]gentage[/b] og have en mulighed for at få forskellige resultater. Først da giver sandsynligheden mening (nemlig som den forventede andel af mange gentagelser hvor der viser sig at være to drenge). Men vi kan ikke arrangere gentagelser af spillet uden vi er sikre på hvad reglerne er. For eksempel:

(a) Hvordan udvælges børnene bag dørene i hver ny runde af spillet?
(b) Hvis der, når vi gentager spillet, både er en tirsdagsdreng og en ikke-tirsdagsdreng, vil Foshee så altid fortælle os om tirsdagsdrengen, eller kan han også vælge at fortælle os om det andet barn? I sidstnævnte tilfælde, hvad er så reglerne for hvordan han vælger?

Alt efter hvad de præcise regler for spillet er, kan sandsynligheden være 13/27, 1/2 eller noget helt tredje. Men blot at se en enkelt runde af spillet, giver os ikke mulighed for at vide hvad reglerne er.

Nogen regler kan vi gætte os til pr. konvention: svaret på (a) er nok at børnene vælges tilfældigt så begge køn og alle ugedage er lige sandsynlige. Men (b) er mere usikker. Devkin og Ramskov påstår at (b) også kan besvares pr. konvention (idet de påstår at matematikopgaver traditionelt skal fortolkes på den måde der her giver anledning til 13/27). Det er vi efterhånden en del der har erklæret os uenige i.

1) Man skal finde ud af, hvor mange (kombinations)muligheder, der er for at ramme ved siden af (blandet kuld), og hvor mange (kombinations)muligheder, der er for at ramme i plet, og hvor mange af disse, man BEHØVER for at have ramt i plet. (protester ?)

Det er ikke altid nok at tælle kombinationer. Det duer kun hvis man af andre grunde er sikker på at hver af de kombinationer man tæller med, er lige sandsynlige, [b]og[/b] at højst en af dem kan indtræffe ad gangen.

Hvis vi så tæller (kombinations)mulighederne for ens kuld, er der også to : Tirsdagsdreng til højre og anden dreng (hvis fødselsugedag er ukendt) og omvendt. (protester ? mnjoe måske ;)

Men her tæller du to kombinationer der godt kan indtræffe samtidig, nemlig i tilfældet "to tirsdagsdrenge". Derfor er du nødt til at starte analysen om igen med mere finkornede kombinationer:
{ tirsdagsdreng/mandagspige, mandagspige/tirsdagsdreng, tirsdagsdreng/tirsdagspige, tirsdagspige/tirsdagsdreng, ... }
- i alt 27 kombinationer med mindst en tirsdagsdreng. Heraf har 13 af dem to drenge (tæl selv!)

  • 0
  • 0

For at kunne tale om sandsynlighed overhovedet bliver vi nødt til at have defineret en situation som vi kan gentage og have en mulighed for at få forskellige resultater. Først da giver sandsynligheden mening (nemlig som den forventede andel af mange gentagelser hvor der viser sig at være to drenge). Men vi kan ikke arrangere gentagelser af spillet uden vi er sikre på hvad reglerne er. For eksempel:
Nogen regler kan vi gætte os til pr. konvention: svaret på (a) er nok at børnene vælges tilfældigt så begge køn og alle ugedage er lige sandsynlige. Men (b) er mere usikker.

Man skal ikke kende reglerne for at kunne lave en beregning og man vil ikke altid have mulighed for at kende dem.

I et moent spil (paa et kasino) hvor to moenter er kastet og en naevnes, kan man lave sin beregning ud fra forskellige antagelser:
Man kan antage at han lige saa ofte vil sige plat som krone, fordi vi ikke ved bedre. Det giver et resultat (1/2 for to af den naevnte moent).
Man kan ogsaa antage en lille praeference for plat, hvis en mand naevner den i foerste spil (ikke laengere praecis 1/2 for to plat).
Man kan ogsaa antage en lille praeference for plat, grundet at man mener at have spottet et moenster, over mange spil.

Antagelsen kan vaere helt i skoven, men resultatet er ikke desto mindre rigtigt udfra den givne antagelse. Men indtil man ved bedre, maa man lave sin antagelse efter beste overbevisning.

Og jeg kan sige til min chef, at udfra antagelsen at...er resultatet 1/2. Finder jeg senere ud af at antagelsen var helt i skoven, er jeg blevet klogere. Og saa kan jeg lave en ny beregning med min nye antagelse.

Antagelsen, for 13/27, er dog stadig at han altid naevner drenge foer piger og tirsdag foer alle andre dage. Eller er valgt fra en udvalgt gruppe.

  • 0
  • 0

Til Bue. Tak for udførligt svar. Jeg forstår forskellen sådan, at F., i tilfælde af at han har selv nævner kønnet, (alt andet lige), vil sige dreng i halvdelen af tilfældene og ikke, hvis han bliver spurgt om en dreng. Men skal det ikke med i beregningen, at alt andet lige, vil F. blive spurgt om en dreng i halvdelen af tilfældene og en pige i den anden halvdel. Og hvis F har præference for drenge, vil "han" i ligeså mange tilfælde have præference for piger ? Og hvis F. er særlig udvalgt, fordi "han" har en dreng, vil "han" i lige så mange tilfælde blive udvalgt, fordi, "han" har en pige. Og hvis "han" er udvalgt, fordi han har en tirsdagsdreng, vil i 13 ligeså ofte forekommende tilfælde blive udvalgt fordi han har et andet ugedagsbarn. Min pointe er, følgende spørgsmål. Er opgavens præmisser ikke i den sidste ende FULDSTÆNDIG TILFÆLDIGE uanset, hvilke scenarier man kører i stilling ? Oplysningerne i opgavens udgangspunkter kunne ligeså godt have været noget andet, end det, de er under alle omstændigheder - eller hvad. Og betyder det noget for opgavens løsning, at tingene kunne have været anderledes, når der først ér udkrysraliseret nogle facts ???? Spørg ikke mig, for jeg ved det ikke. Steen

  • 0
  • 0

[quote]Hvis jeg skulle formulere opgaven, som jeg tolker den, så lyder den:

En mand vælges tilfældigt blandt en gruppe af fædre med 2 børn. Han vælger et af sine børn og oplyser køn og fødselsugedag.
Hvad er sandsynligheden for, at børnene har samme køn?

Ja, så forstår jeg hvorfor du mener der ikke er nogen selektion her.

Men jeg synes at du med den formulering er gået langt videre end at [b]tolke[/b] opgaven, og er godt på vej med at [b]løse[/b] den. En tolkning bør ikke smide information væk; det er en del af løsningsprocessen at afgøre om informationen er irrelevant.
[/quote]
Hvad er det for noget information jeg smider væk?
Er det "Dreng" og "Tirsdag" du mener?
Men der er vel ingen tvivl om, at Foshee vælger en af sine børn og fortæller køn og ugedag på dette barn?
Og der er vel heller ingen tvivl om, at ingen har pålagt Foshee at han skulle nævne netop dette køn og denne ugedag, eller at han skulle være udvalgt med det kriterium, at han skulle være i besiddelse af et tirsdagsbarn?
Dermed bliver "Dreng" og "Tirsdag" blot eksempler på udfald i en repetition.

Når situationen så skal gentages, så må den næste mand jo have de samme betingelser som Foshee - og dermed kommer vi frem til ovennævnte "repeterbare" tolkning af opgaven.

Vi har hele tiden arbejdet med en yderligere antagelse om at begge køn er lige sandsynlige og alle ugedage er lige sandsynlige. Det er en god og rimelig antagelse så længe andet ikke nævnes, men jeg bryder mig ikke om en "tolkning" af opgaven der [b]binder[/b] os til den antagelse så tæt at det ikke længere giver mening at udregne et svar med andre antagelser om basissandsynlighederne.

Hvis nu Foshee i stedet havde sagt: "Jeg har to børn hvoraf det ene er en dreng født om tirsdagen. Hvad er sandsynligheden for at begge børnene er drenge? Antag at 302/601 af alle børn er drenge og at 9/67 af alle drenge er født om tirsdagen", så ville de første to sætninger ikke kunne koges ned til din tolkning.

Jeg mener at en tolkning af opgaven simpelthen bør være en præcisering af hvilket eksperiment den helt konkret beskriver, med udvælgelse og det hele. Når vi [b]kombinerer[/b] tolkningen med en antagelse om sandsynlighederne for dreng og tirsdag (1/2 og 1/7 i standardtilfældet) kan vi begynde at [b]løse[/b] opgaven ved at argumentere udfra symmetri for at vi ikke behøver udelukke nogen fædre alligevel.

Henning, hvad snakker du om?
Alle har jo været enige om, at vi regner ud fra at sandsynlighederne for ethvert køn og ugedag er 1/2 og 1/7....
Hvad har dette at gøre med min opgavetolkning?

  • 0
  • 0

[quote]Hvis jeg skulle formulere opgaven, som jeg tolker den, så lyder den:

En mand vælges tilfældigt blandt en gruppe af fædre med 2 børn. Han vælger et af sine børn og oplyser køn og fødselsugedag.
Hvad er sandsynligheden for, at børnene har samme køn?

Ja, så forstår jeg hvorfor du mener der ikke er nogen selektion her.

Men jeg synes at du med den formulering er gået langt videre end at [b]tolke[/b] opgaven, og er godt på vej med at [b]løse[/b] den. En tolkning bør ikke smide information væk; det er en del af løsningsprocessen at afgøre om informationen er irrelevant.
[/quote]
Hvilken information er det du mener jeg smider væk?
Er det "Dreng" og "Tirsdag"?
Hvis vi kigger på konteksten, så er disse oplysninger jo bare de egenskaber, som Foshees udvalgte barn tilfældigvis har - der er jo ingen der har fortalt ham, at han skulle have et tirsdagsbarn for at træde op på scenen, og at han skulle sige "Dreng" og "Tirsdag".

I den næste repetition skal den næste mand optræde under samme betingelser, og han kunne så f.eks. være i besiddelse af 2 piger, hvoraf han vælger den ene og siger "Jeg har 2 børn, hvoraf den ene er en pige født en onsdag. Hvad er sandsynligheden for 2 piger".

Det er samme opgave, bare med et andet - men lige så gyldigt - udfald.

Som jeg ser det udfra konteksten, så er der ingen betingelser om, at man SKAL have en tirsdagsdreng.
Hvis nogen mener at kunne læse noget andet ud af opgaven, så kunne jeg godt tænke mig at høre, hvordan man er kommet frem til dette.

Vi har hele tiden arbejdet med en yderligere antagelse om at begge køn er lige sandsynlige og alle ugedage er lige sandsynlige. Det er en god og rimelig antagelse så længe andet ikke nævnes, men jeg bryder mig ikke om en "tolkning" af opgaven der [b]binder[/b] os til den antagelse så tæt at det ikke længere giver mening at udregne et svar med andre antagelser om basissandsynlighederne.

Hvis nu Foshee i stedet havde sagt: "Jeg har to børn hvoraf det ene er en dreng født om tirsdagen. Hvad er sandsynligheden for at begge børnene er drenge? Antag at 302/601 af alle børn er drenge og at 9/67 af alle drenge er født om tirsdagen", så ville de første to sætninger ikke kunne koges ned til din tolkning.

Jeg mener at en tolkning af opgaven simpelthen bør være en præcisering af hvilket eksperiment den helt konkret beskriver, med udvælgelse og det hele. Når vi [b]kombinerer[/b] tolkningen med en antagelse om sandsynlighederne for dreng og tirsdag (1/2 og 1/7 i standardtilfældet) kan vi begynde at [b]løse[/b] opgaven ved at argumentere udfra symmetri for at vi ikke behøver udelukke nogen fædre alligevel.

Henning, jeg forstår slet ikke hvor du vil hen med dette.

Vi har allesammen altid gået ud fra, at sandsynlighederne for køn og ugedag er 1/2 og 1/7.

Hvorfor tager du dette op her?
Hvad har det med min tolkning at gøre?

  • 0
  • 0

Hvilken information er det du mener jeg smider væk?
Er det "Dreng" og "Tirsdag"?
Hvis vi kigger på konteksten, så er disse oplysninger jo bare de egenskaber, som Foshees udvalgte barn tilfældigvis har

Ja, og det er oplysninger som er til rådighed for opgaveløseren. Det er ikke en fortolknings opgave at bestemme sig for om oplysningerne er relevante eller ej. Når du fjerner disse oplysninger fra opgaven, kan resultatet ikke længere betragtes som en "fortolkning" af opgaven.

Som jeg ser det udfra konteksten, så er der ingen betingelser om, at man SKAL have en tirsdagsdreng.

Det er ikke en "betingelse". Det er et faktum som udtrykkeligt specificeres i den oprindelige opgave. Med dette faktum udeladt er opgaven en anden (uanset at det ikke ændrer svaret).

Hvis opgaveteksten havde bemærket at tre af tilhørerne på første række havde blå slips på, ville det heller ikke være en "fortolknings" sag at udelade denne oplysning. At bestemme sig for om oplysningen kan bruges til noget, hører til en [b]løsning[/b] på opgaven, ikke til en fortolkning af den.

Henning, jeg forstår slet ikke hvor du vil hen med dette.

Jeg er bange for at jeg ikke lige kan finde på en måde at sige det klarere end jeg allerede har.

Hvorfor tager du dette op her?
Hvad har det med min tolkning at gøre?

Det er et argument for at din tolkning er mere end en tolkning. Skridtet fra "det er en dreng født om tirsdagen" til "han nævner køn og ugedag, og du behøver ikke vide præcis hvad han siger for at løse opgaven" er ikke en fortolkningssag men et LØSNINGSSKRIDT som kun er gyldig under vores stiltiende antagelse om 1/2 og 1/7. En "fortolkning" af en del af en opgave bør ikke, hvis der er muligt, afhænge af andre dele, heller ikke stiltiende.

  • 0
  • 0

Man skal ikke kende reglerne for at kunne lave en beregning og man vil ikke altid have mulighed for at kende dem.

Der er slet ikke nogen beregning at udføre, hvis man ikke først beslutter sig for hvilke regler man vil regne noget ud om.

Antagelsen kan vaere helt i skoven, men resultatet er ikke desto mindre rigtigt udfra den givne antagelse. Men indtil man ved bedre, maa man lave sin antagelse efter beste overbevisning.

Man kan sagens regne ud fra en [b]antagelse[/b] om hvad reglerne er. Men så kender man jo netop også de regler man regner med, nemlig hvad det nu end er for regler man har antaget gælder.

  • 0
  • 0

For at kunne beregne sandsynlighed skal man være enige om hvilke spil/eksperimenter man studerer.

Disse mange diskussioner (og Foshee m.fl's fejlslutninger) kommer sig alle af, at man ikke har gjort sig klart, hvilket spil opgaven repræsenterer.

@Henning
Når man ser bort fra tirsdagsdelen, oplever jeg at du stadig holder på 1/3 i forhold til den formulerede opgave - er det korrekt?

  1. Hvordan vil du anskue sandsynligheden i et spil med to terninger, hvor jeg fortæller at der er en "Lige" og beder om sandsynligheden for to "Lige"?

  2. Hvordan så i næste spil hvor jeg har en "Ulige" og beder om sandsynligheden for to "Ulige"?

  3. Hvordan så i næste spil hvor jeg har en Ulige og beder om sandsynligheden for af jeg ikke har "Lige+Ulige"?

  4. Hvordan så i næste spil hvor fortæller om en af terningerne er "Lige" eller "Ulige" og beder om sandsynligheden for af jeg ikke har "Lige+Ulige"?

Jeg kan spille dette spil for hvert eneste terningkast og hver eneste gang præsenterer jeg en opgave/et udfald helt identisk med Foshee's spil.

Og som du forhåbentlig har regnet ud for terningerne er det bedste gæt på sandsynlighed 1/2.

@Niels Berg Olsen
Og så hjælper det ikke en tøddel at Foshee er matematiker og at han havde en anden opgave i hovedet end den han faktisk stillede.

  • 0
  • 0

@Henning du svarede aldrig, haaber du kan paecisere to spoergsmaal.

Foerst troede jeg du var 13/27 tilhaenger, ud fra dine inlaeg..
Men saa skrev du et svar til mig om at
"Jeg har to børn hvoraf det ene er en dreng" ikke giver 1/3 for to drenge.

  1. Manden bedes oplyse koennet paa hans ene barn. Der er IKKE tre udfald der lige sandsynligt faa ham til at sige dreng. DD, DP og PD og derfor IKKE 1/3 chance for to drenge.
    [quote]Henning:
    Lige nemlig. Det er to forskellige opgaver med to forskellige svar. Hvad er det så du vil have mig til at forklare?

    Så vidt jeg forstod det indlæg jeg tolkede som sarkastisk, præsenterede du deri opgave (2) og langede hårdt ud efter dem der tror at (2) giver 1/3 sandsynlighed.

[/quote]
Spoergsmal 1:
Saa mener du at "Jeg har to børn hvoraf det ene er en dreng" giver 1/2, ellers forklar hvad du mener naar det heller ikke giver 1/3.

Spoergsmal 2:
"Jeg har to børn hvoraf det ene er en dreng født om tirsdagen."
Hvordan mener du at det kan give 13/27, hvis du ikke mener at "Jeg har to børn hvoraf det ene er en dreng", giver 1/3. Eller mener du, som opgaven her er formuleret, at den giver 1/2 og ikke 13/27?

  • 0
  • 0

Jeg mener følgende spilbeskrivelse systematisk beskriver Foshee's opgave og som matcher de a priori antagelser, vi kan tillade os at drage.

[b]Hvad er sandsynligheden for at mine to børn ikke er af forskellig køn, givet at jeg fortæller dig kønnet på et af dem?[/b]

Og nu kan alle matematikerne, entusiaster mht. betinget sandsynlighed samt excel-programmører være velkommen til at fremlægge argumenter for hvorfor resultatet ikke er 1/2.

  • 0
  • 0

@Henning
Når man ser bort fra tirsdagsdelen, oplever jeg at du stadig holder på 1/3 i forhold til den formulerede opgave - er det korrekt?

Der er så mange opgaver formuleret i løbet af tråden at jeg ikke har den ringeste anelse om hvad du mener med "[b]den[/b] formulerede opgave" her.

  • 0
  • 0

@Henning du svarede aldrig, haaber du kan paecisere to spoergsmaal.

Foerst troede jeg du var 13/27 tilhaenger, ud fra dine inlaeg..

Jeg gik ud fra at det svar til Steen Ørsted der kom til at stå lige under dine spørgsmål, gør det klart hvad jeg er tilhænger af.

Men saa skrev du et svar til mig om at
"Jeg har to børn hvoraf det ene er en dreng" ikke giver 1/3 for to drenge.

Det giver ikke nogensomhelst. Det er en ufuldstændig opgave som man er nødt til at fylde ud med flere antagelser for at få et konkret svar. Man kan fylde den ud på én måde, som giver svaret 1/3. Man kan fylde den ud på en anden måde som giver svaret 1/2. Det afhænger altsammen af hvad man vælger at antage, og der er ikke nogen rigtige eller forkerte antagelser.

Spoergsmal 1:
Saa mener du at "Jeg har to børn hvoraf det ene er en dreng" giver 1/2, ellers forklar hvad du mener naar det heller ikke giver 1/3.

Det giver hverken 1/2 eller 1/3 før opgaven er præciseret nok til at den kan løses.

Spoergsmal 2:
"Jeg har to børn hvoraf det ene er en dreng født om tirsdagen."
Hvordan mener du at det kan give 13/27, hvis du ikke mener at "Jeg har to børn hvoraf det ene er en dreng", giver 1/3. Eller mener du, som opgaven her er formuleret, at den giver 1/2 og ikke 13/27?

Jeg mener, som opgaven her er formuleret, at den ingenting giver overhovedet før den bliver formuleret bedre. De for mig mest nærliggende præciseringer, giver enten 1/2 eller 13/27, men jeg kan ikke afvise at nogen kan finde på en præcisering der giver noget helt tredje.

  • 0
  • 0

@Henning

[quote]Som jeg ser det udfra konteksten, så er der ingen betingelser om, at man SKAL have en tirsdagsdreng.

Det er ikke en "betingelse". Det er et faktum som udtrykkeligt specificeres i den oprindelige opgave. Med dette faktum udeladt er opgaven en anden (uanset at det ikke ændrer svaret).[/quote]
Det er ganske rigtigt et faktum, at Foshee siger "Dreng" og "Tirsdag".
Men dermed er jo ikke et faktum, at der i den næste repetition skal siges det samme - det kan jo lige så godt være et tilfældigt udfald.

Lad os tage et tilsvarende næsten analogt eksempel (excl. tirsdagsoplysning):

En mand kommer hen til dig i baren med et raflebæger og 2 mønter. Han ryster, slår bægeret i bordet og siger "Jeg har 2 mønter, den ene er plat. Hvad er sandsynligheden for, at begge er plat?".

Her er vi vel ikke i tvivl om, at hvis han skulle gentage dette scenarie, så ville han på et tidspunkt sige "Den ene er Krone. Hvad er sandsynligheden for 2 kroner?".

Den eneste måde han kunne undgå dette, er ved at slå om, hvis han slår Krone-Krone.
Men denne mulighed har Foshee ikke: Han har de børn han har, og derfor slutter jeg, at et specifikt køn og en specifik ugedag ikke kan være en del af opgavekriteriet ved repetition.

Så hvis du mener, at alt hvad Foshee siger, det skal altid siges ved repetition, så må vi bare konstatere, at vi er fundementalt uenige i hvordan vi skal stille den mest realistiske tolkning af opgaven.

  • 0
  • 0

Det er ganske rigtigt et faktum, at Foshee siger "Dreng" og "Tirsdag".
Men dermed er jo ikke et faktum, at der i den næste repetition skal siges det samme - det kan jo lige så godt være et tilfældigt udfald.

Det ændrer ikke på at det ER dreng og tirsdag han siger i det tilfælde hvor opgaven spørger om en sandsynlighed.

Så længe vi ikke er begyndt at løse opgaven, ved vi endnu ikke om oplysningen "dreng, tirsdag" bør føre os til at svare anderledes end "pige, lørdag" burde. Derfor SKAL opgaven, for stadig at være samme opgave overhovedet, specificere hvilken af delene det var der blev sagt i det tilfælde vi skal angive en sandsynlighed i.

  • 0
  • 0

Med andre ord: Følgende er ikke på meningsfuld måde en "fortolkning" af Foshees opgave:

En mand vælges tilfældigt blandt en gruppe af fædre med 2 børn. Han vælger et af sine børn og oplyser køn og fødselsugedag.
Hvad er sandsynligheden for, at børnene har samme køn?

Følgene er derimod en fortolkning (blandt flere mulige) af Foshees opgave:

En mand vælges tilfældigt blandt en gruppe af fædre med 2 børn. Han vælger tilfældigt et af sine børn og oplyser køn og fødselsugedag.
Hvis hans oplysning er dreng og tirsdag, hvad er så sandsynligheden for, at børnene har samme køn?

  • 0
  • 0

Eller for den sags skyld (samme tolkning som ovenfor i en anden formulering):

En mand vælges tilfældigt blandt en gruppe af fædre med 2 børn. Han vælger tilfældigt et af sine børn og oplyser køn og fødselsugedag. Vi skal derefter angive sandsynligheden for at børnene har samme køn. Hvad skal vi svare når oplysningen er dreng og tirsdag?

  • 0
  • 0

@Henning
Undskyld, men hvor vil du hen med dine 2 sidste indlæg?
Så vidt jeg kan se er der i alle 3 opstillinger tale om at både "dreng" og "tirsdag" er støj og derfor skal elimineres. Sådan som du stiller scenariet op har vi slet ikke brug for at kende svaret for at finde løsningen, der for iøvrigt er 1/2.

  • 0
  • 0

@Henning
Undskyld, men hvor vil du hen med dine 2 sidste indlæg?

Jeg forsøger at minimere risikoen for at Poul Bundgaard og jeg tale forbi hinanden, ved at give eksempler på hvordan man kan ændre hans "tolkning" til noget jeg ville være enig i faktisk er en tolkning.

Så vidt jeg kan se er der i alle 3 opstillinger tale om at både "dreng" og "tirsdag" er støj og derfor skal elimineres.

De KAN elimineres hvis man vil, men man kan også bare give sig til at regne sådan som der står skrevet og begrænse sig til de tilfælde hvor der faktisk er tale om dreng og tirsdag. Det skulle helst give samme svar (for hvis det gav forskellige svar, ville det have været en fejl at eliminere).

Min pointe er at HVIS man giver sig til at eliminere oplysningerne, så er man dermed ikke længere ved at FORTOLKE opgaven, men er gået i gang med at LØSE den.

  • 0
  • 0

@Henning
Undskyld, men hvor vil du hen med dine 2 sidste indlæg?

Jeg forsøger at minimere risikoen for at Poul Bundgaard og jeg tale forbi hinanden, ved at give eksempler på hvordan man kan ændre hans "tolkning" til noget jeg ville være enig i faktisk er en tolkning.

Så vidt jeg kan se er der i alle 3 opstillinger tale om at både "dreng" og "tirsdag" er støj og derfor skal elimineres.

De KAN elimineres hvis man vil, men man kan også bare give sig til at regne sådan som der står skrevet og begrænse sig til de tilfælde hvor der faktisk bliver sagt dreng og tirsdag. Det skulle helst give samme svar (for hvis det gav forskellige svar, ville det have været en fejl at eliminere).

Min pointe er at HVIS man giver sig til at eliminere oplysningerne, så er man dermed ikke længere ved at FORTOLKE opgaven, men er gået i gang med at LØSE den.

Og grunden til at jeg overhovedet bekymrer mig om den nuance er at Poul Bundgaard for længe siden mente at nogen tog fejl ved ikke at være klar over at det gør en forskel om opgaven (i sig selv, som man umiddelbart forstår den) har noget med selektion at gøre. Jeg argumenterer så for at det ikke er "selektion eller ej" der er anledning til de forskellige løsninger. Nemlig, at også den fortolkning af opgaven der giver anledning til 1/2 indebærer selektion.

  • 0
  • 0

Hej Henning,
Det kan være at det i nogen tilfælde er fornuftigt at bygge en brandmur mellem fortolkning og løsning, selv om jeg synes at overgangen er noget glidende. Lad os bruge Foshee som forsøgskanin.
1. Det vi skal forholde os til er hvad der står/ikke står. Fortolkning indebærer vel også at vi foretager en validering af hvilke oplysninger er relevante for den løsning vi bagefter skal finde. Her mener jeg, modsat din holdning, at udgangspunkter er at alt er noget rod, indtil vi med validering kan påvise at oplysningen har betydning for resultatet, eller er af en sådan beskaffenhed at den kan indgå i en beregning på en meningsfuld måde, selv om den ikke ændrer resultatet (eksempel en samtdighedsfaktor på 1).
2. Der står intet om at F. skal opfylde nogle kriterier for at få lov at stille opgaven, det må vi fortolke som at han er tilfældigt udvalgt.
3. Der står intet om at piger og drenge ikke er lige fordelt, det må vi fortolke som at der er 50/50 chance.
4. Der står intet om at antal fødsler ikke fordeler sig ens over ugedagene, det må vi fortolke som at der er 1/7 chance for hver ugedag, og at tirsdagen derfor ikke er speciel.
5. Der står at F. har 2 børn, det må vi fortolke som at alt over og under 2 er udelukket i videre beregninger.
6. Der står at han har (mindst) 1 dreng, det må vi så fortolke som at der er 1 ubekendt vi skal forholde os til, dvs. sandsynligheden for at der er 2 drenge er den samme som at det ukendte er en dreng.
7. Der står intet der kan begrunde at det ukendte barns køn skulle være på virket af hvilken dag drengen er født. Det må vi så fortolke som at tirsdagen er en uvedkommende oplysning.

Her slutter fortolkningsdelen, og løsningsdelen begynder.

  1. Sandsynligheden for at den ukendte er dreng = 50%.
  2. Sandsynligheden for 2 drenge = 50%.

Er det sådan du vil stille det op, eller har jeg misforstået noget?

Jeg kan ikke se at denne opstilling giver os noget som vi ikke var klar over i forvejen, men den kan måske bidrage til en tydeligere kommunikation.
Og så kan jeg ikke få øje på hvor i min gennemgang selektionen forekommer, gider du fortælle mig det hvis du ser den?
mvh raymund

  • 0
  • 0

Her mener jeg, modsat din holdning, at udgangspunkter er at alt er noget rod, indtil vi med validering kan påvise at oplysningen har betydning for resultatet, eller er af en sådan beskaffenhed at den kan indgå i en beregning på en meningsfuld måde, selv om den ikke ændrer resultatet (eksempel en samtdighedsfaktor på 1).

Når du begynder at overveje om oplysningen har betydningen for resultatet, er du per (min!) definition holdt op med at fortolke og begyndt at løse. Det er du bl.a. fordi det skridt du foretager, selv i bedste fald ikke kan gøre svaret på opgaven mere entydigt.

  1. Der står intet der kan begrunde at det ukendte barns køn skulle være på virket af hvilken dag drengen er født. Det må vi så fortolke som at tirsdagen er en uvedkommende oplysning.

Dette er efter min opfattelse helt klart et løsningsskridt, og ikke en del af en fortolkning.

Her slutter fortolkningsdelen, og løsningsdelen begynder.

I din fortolkning har du glemt at tage stilling til det helt afgørende spørgsmål: Hvad er forsøgspersonens muligheder for at vælge hvad han vil fortælle os i det tilfælde at han både har en tirsdagsdreng og en ikke-tirsdagsdreng? Og hvis han har valgmuligheder, hvordan vælger han da mellem dem?

Og så kan jeg ikke få øje på hvor i min gennemgang selektionen forekommer, gider du fortælle mig det hvis du ser den?

Hvis du stiller din fortolkede opgave udtrykkeligt op som et forsøg der kan gentages (og din mangel på at gøre dette fik dig her til at begå den fejl at nå til et svar uden at have gjort den antagelse der er nødvendig for at gøre dit svar korrekt), bliver det tydeligt hvor der sker en selektion, idet den sandsynlighed der bliver spurgt om, kun forventes at gælde i de tilfælde hvor der bliver sagt dreng og tirsdag. (Om den også skulle gå hen og gælde i andre tilfælde, spørger opgaven ikke noget om).

  • 0
  • 0
  1. Der står at F. har 2 børn, det må vi fortolke som at alt over og under 2 [b]er udelukket[/b] i videre beregninger.
    ...
    Og så kan jeg ikke få øje på hvor i min gennemgang selektionen forekommer, gider du fortælle mig det hvis du ser den?

Hmmm....

  • 0
  • 0
  1. Der står at han har (mindst) 1 dreng, det må vi så fortolke som at der er 1 ubekendt vi skal forholde os til, dvs. sandsynligheden for at der er 2 drenge er den samme som at det ukendte er en dreng.

Dette er i øvrigt også et løsningskridt. Og tilmed et der ikke er begrundet af de antagelser du har gjort.

  • 0
  • 0
  1. er simpelthen forkert.

Der er mere end 1 ubekendt at forholde sig til - fordi vi ikke ved hvilken der er den ubekendte.

I modsat fald: benævn børnene A og B. Hvis der kun er én ubekendt må man kunne sige hvilket køn enten A eller B har. Og det kan man ikke.

  • 0
  • 0

Hej Jacob.
Sådan som jeg ser det er har vi 2 børn:
A. Det som F. har valgt.
B. Det ubekendte.
Så kan vi rode med højre og venstre, ældst og yngst, gul og grøn, men det er overflødigt.
Dit argument har været gennemgået flere gange før, så vi skal nok ikke regne med at der er noget nyt at hente på denne front.
mvh raymund

  • 0
  • 0

hej Henning
Det ser ud til at vi ikke er helt på linje mht. ordenes betydning. Du opererer med fortolkning og løsning, jeg bruger nok mere analyse og løsning. Hvis vi nu leger at foshee fortæller os at tirsdagsdrengen bruger nr 38 i sko, mener du at 38 skal indgå i løsningen, hvor jeg mener at det er støj. Om vi så bruger fortolkning, analyse eller løsning for at komme frem til at 38 udgår som støj, er for min skyld lige meget.

Hvis du klassificerer "2 børn" som selektion, har du selvfølgelig ret :-)

Jeg mener at jeg kan være totalt ligeglad med hvorfor foshee vælger som han gør, jeg konstaterer blot at han har valgt, og tager den derfra.

Du skriver "idet den sandsynlighed der bliver spurgt om, kun forventes at gælde i de tilfælde hvor der bliver sagt dreng og tirsdag."
Nu synes jeg det er dig der fortolker, jeg har svært ved at læse denne antagelse ud fra teksten, men med den fortolkning er vi over i 13/27 eller noget der ligner, alt efter hvordan du fortolker, men det er så en helt anden historie.

Hvis vi skal konstruere et forsøg der skal gentages, er vi nødt til at stille rammerne op for hvordan forældrene skal udvælges, hvilke svar der bliver godkendt og hvilke der bliver frasorteret, det er allerede gjort til hudløshed, så det ser jeg ingen grund til at gentage.
Fælles for disse forsøg er at der skal gøres nogle antagelser som ikke er beskrevet klart i teksten, og alt efter temperament og fantasi har disse givet 1/3 til 1.

Tak for snakken, mit ærinde var kun at få et indblik i hvordan du tænker.
mvh raymund

  • 0
  • 0

Foshee er selvfølgelig ikke udvalgt af en menneskelig instans, ligesom han ikke har specielle præferencer for køn. Det ville være specielle data og den slags skal vel fremgå af opgaven, hvis de findes, og da de ikke fremgår, findes de ikke i de ikke i denne opgave. Det er vidst sagt en del gange før.
Men F. er UDVALGT AF SKÆBNEN (eller hvem det nu er) til at være element i den mængde af fædre, som har to børn, hvoraf mindst en er en tirsdagsdreng, og denne udvælgelse står som et klippefast udgangspunkt, han ikke kan løbe fra.
Hvad er forskellen på, om han er udvalgt af mennesker, eller af skæbnen ? Realiteterne er, som de er. Steen

  • 0
  • 0

hej Steen
Min opfattelse er at forskellen ligger i hvorvidt spillets regler er sådan at kun dem der har en tirsdagsdreng får lov til at komme ind, og en tilfældig af disse siden får lov til at gå op på talerstolen 13/27.
Eller om enhver tilfældig kan gå op på talerstolen og oplyse køn og ugedag efter forgodtbefindende, og så tilfældigvis lander på dreng og tirsdag 1/2.
mvh raymund

  • 0
  • 0

Det ser ud til at vi ikke er helt på linje mht. ordenes betydning. Du opererer med fortolkning og løsning, jeg bruger nok mere analyse og løsning.

Fortolkning og analyse er absolut ikke det samme. Analyse er en del at løsningsprocessen, og man kan/bør ikke begynde at analysere før man har bestemt sig for hvilken fortolkning af opgaven det er man vil analysere. Fortolkning vil i min sprogbrug her i tråden sige at man beslutter sig for hvad man vil antage om de dele af opgaven som den oprindelige ufuldstændige opgaveformulering underforstod.

Når der bliver spurgt om tirsdag, er det vanvid at mene at det er UNDERFORSTÅET i den ufuldstændige opgaveformulering at man skal ignorere oplysningen op tirsdag. Derfor er det ikke en fortolkningssag at fjerne den oplysning.

Jeg mener at jeg kan være totalt ligeglad med hvorfor foshee vælger som han gør, jeg konstaterer blot at han har valgt, og tager den derfra.

Du bliver nødt til at antage noget om HVORDAN han vælger. Ellers har du ikke nogen forestilling om hvordan eksperimentet kan gentages, og uden en mulighed for gentagelse kan du ikke snakke om sandsynlighed overhovedet.

Du skriver "idet den sandsynlighed der bliver spurgt om, kun forventes at gælde i de tilfælde hvor der bliver sagt dreng og tirsdag."
Nu synes jeg det er dig der fortolker, jeg har svært ved at læse denne antagelse ud fra teksten,

Der STÅR tirsdag i teksten. Det er ikke spor svært at se at der står tirsdag i teksten. Det betyder at man har LOV til at tage hensyn til tirsdagen. Det er ikke en del af fortolkningsfasen at beslutte sig til om man VIL tage hensyn til tirsdagen. Det hører til løsningen, evt til analysen hvis man deler løsningen op i analyse og noget andet. Der er ikke nogetsomhelst underforstået ved at der var tirsdag der blev sagt; derfor skal en fortollkning ikke røre ved den.

Fælles for disse forsøg er at der skal gøres nogle antagelser som ikke er beskrevet klart i teksten, og alt efter temperament og fantasi har disse givet 1/3 til 1.

Ja. Det er disse antagelser det er en fortolknings opgave at klarlægge. Derimod ER det beskrevet klar i teksten at der var tale om tirsdag og ikke fredag, og derfor er det ikke en fortolknings opgave at give sig til at pille ved tirsdagen.

  • 0
  • 0

Min opfattelse er at forskellen ligger i hvorvidt spillets regler er sådan at kun dem der har en tirsdagsdreng får lov til at komme ind, og en tilfældig af disse siden får lov til at gå op på talerstolen 13/27.
Eller om enhver tilfældig kan gå op på talerstolen og oplyse køn og ugedag efter forgodtbefindende, og så tilfældigvis lander på dreng og tirsdag 1/2.
mvh raymund

Eller: Enhver tilfældig kan gå op på talerstolen og sige enten "et af mine børn er en tirsdagsdreng" eller "jeg har ingen tirsdagsdreng". Da 13/27.

  • 0
  • 0

[/quote]
Eller: Enhver tilfældig kan gå op på talerstolen og sige enten "et af mine børn er en tirsdagsdreng" eller "jeg har ingen tirsdagsdreng". Da 13/27.
[/quote]
Det kræver så en ordstyrer der stiller spørgsmålet "Har du to børn og (mindst) en tirsdagsdreng ?", og derefter sorterer dem fra der svarer nej.
Problemet er bare at den ordstyrer ikke findes i originalopgaven, så nu er vi gået fra fortolkning til fantasi og opfindelse for at forsvare 13/27, men ingen alarm for min skyld.
mvh raymund

  • 0
  • 0

Jeg mener, som opgaven her er formuleret, at den ingenting giver overhovedet før den bliver formuleret bedre. De for mig mest nærliggende præciseringer, giver enten 1/2 eller 13/27, men jeg kan ikke afvise at nogen kan finde på en præcisering der giver noget helt tredje.

@Henning..2 spoergsmaal du maa praecisere.

Det undrer mig egentligt at du holder paa disse ting, naar du tilsyneladende forstaar hvad det kraever at komme til 13/27.

Men for opgaven "Jeg har to børn hvoraf det ene er en dreng", er du da enig i foelgende:

Det er ikke hvorvidt at en tilfaeldig mand vaelger altid at naevne drenge foer piger, hvis vi ikke ved dette...
Det er hvilken antagelse vi vaelger at beregne ud fra. For at naa 1/3 (13/27), skal vi vaelge at antage, for vores beregning, at han altid vil sige dreng foer pige.

  1. Henning, er det den antagelse du selv ville lave beregningen ud fra. Eller ville du, som mig, haelde mere til en 'mindre drenge praeference'/'ingen drenge praeference'?

Hvis din antagelse for beregningen ville vaere at F. har total praeference for drenge, maa du forklarer hvorfor. Hvis du ikke selv ville regne med dette, mener du heller ikke at 13/27 er et saerlig sigende resultat.

  1. Hvis du paa et kasino skulle spille pa to moenter, og dealeren fortaeller at den ene er plat.. Ville du saa som udgangspunkt antage at dealeren har total praeference for plat (og deraf 1/3 chance for to plat), eller ville du beregne udfra at han ca siger plat/krone lige ofte?
  • 0
  • 0

"Du bliver nødt til at antage noget om HVORDAN han vælger. Ellers har du ikke nogen forestilling om hvordan eksperimentet kan gentages, og uden en mulighed for gentagelse kan du ikke snakke om sandsynlighed overhovedet."

Jamen jeg konstaterer at han vælger det ene af sine 2 børn. Hvilke tanker han gør sig om hvilket han skal vælge har vi ingen mulighed for at vide noget om, så det må stå hen i det uvisse. Derimod ved vi sikkert at når han har valgt 1 af 2 er der 1 ukendt tilbage. Mere behøver vi ikke at vide.
Det at eliminere en del af udfaldene ved hjælp af logik, og derefter regne sandsynlighed på de tilbageværende udgfaldsmuligheder er vel også en form for sandsynlighedsregning.
Jeg kunne ellers godt tænke mig at du tilkendegiver hvordan du ville behandle eventuel støj i din fortolknings/analyse/løsning's - model.
Det kunne jo være at man lærte noget nyt.
mvh raymund

  • 0
  • 0

Hej Raymond : Foshee er ikke udvalgt p.gr. a sine børn, så havde det fremgået af opgaven, men kan det ikke være ligemeget hvorfor, han siger, som han gør. I samme øjeblik, han har udtalt ordene, VED vi, at han faktisk tilhører den delmængde, han evt. skulle være udvalgt for at tilhøre. Steen

  • 0
  • 0

Hej Steen,
Med din egen beskrivelse her kan jeg ikke helt forstaa at du vakler frem og tilbage:
http://ing.dk/artikel/109315-simpel-matema...

Men det samme gaelder for F.
Han siger jeg har to boern, hvad er chancen for blandet..
Du svarer 50%...
Han siger hvad er chancen for blandet hvis jeg naevner koennet paa mit ene barn.
Du ved du vil sige enten dreng eller pige (det kan vi regne ud han vil inden han siger det). Og resultatet er det samme ligegyldigt om han siger det ene eller det andet.
Saa du siger, der er intet du paa nuvaerende tidspunkt kan sige som vil oege sandsynbligheden for blandet.
Saa siger han at den ene er en pige...Nu ved du at han tilhoerer en maengde det har mindst en pige, men hvis du vaelger at antage at det var tilfaeldigt at han naevnte dette specifikke barn ud af to, er du ikke blevet klogere paa blandet... Og han skulle jo naevne et barn, hvilket han kan lige nemt i de 50% tilfaelde med blandet og i de 50% tilfaelde med ens... Du bliver ikke klogere paa blandet...(uden at antage noget om praeferencer..)

Laes dit eget inlaeg igen...

Og grunden er at der er ikke tre tilfaelde som sikkert faar ham til at naevne en pige, hvis han har en. Deraf ikke 1/3 chance for to piger.

  • 0
  • 0

Alle faedre vil vaere med i en maengde...For at resultatet paavirkes, skal en delmaengden af faedre vaere blevet filtreret og reduceret. Altsaa alle der ikke har en son er filtreret vaek, og grundet den reducerede og AENDREDE maengde aendres resultatet...
Derfor giver det et aendret resultat hvis en maengde paa 1000 faedre med 2 boern, filtreres ned til en reduceret maengde, hvor alle har en dreng, foedt en tirsdag..
Mindre end 1000 faedre, vil statistisk set opfylde dette kritererie.

  • 0
  • 0

Mindre end 1000 faedre, vil statistisk set opfylde dette kritererie.

Alle 1000 faedre vil derimod vaere i stand til at naevne koennet paa sit ene baern...Deraf forskellen!

  • 0
  • 0

Hej Steen,
Jeg ved ikke om jeg forstår dig rigtigt, men jeg vil da gerne prøve at besvare dit spørgsmål.
Der er 2 scenarier:
Det som jeg går ind for, er det jeg beskriver overfor Henning længere oppe, det resulterer i at han havner i en delmængde kendetegnet ved at han har 2 børn hvoraf det ene er en dreng, (der tilfældigvis er kommet til verden på en tirsdag) det andet barn ved vi intet om. Denne opgave ville han have kunnet stille uanset sine børn. Hvis vi generaliser lyder den "En tilfældig mand oplyser at han har 2 børn, og oplyser køn og ugedag for det ene, gæt sandsynligheden for 2 ens. Resultat 1/2.
Det andet scenarie er der hvor han, for at få lov at deltage, skal passere et filter der hedder 2 børn, heraf (mindst) 1 tirsdagsdreng. Efter at have passeret får han lov til at gå på podiet og fortælle hvad filteret bestod i. Dette filter udelukker dem med 2 piger og giver fædre med 2 drenge bedre odds end fædre med 1 af hver, fordi dem med 2 drenge har 2 chancer for at ramme tirsdag. Resultat 13/27.
Så det der gør forskellen er ikke hvad han tænker, men om han udtaler sig uopfordret, eller som svar på et filterspørgsmål der ifølge sagens natur må stilles af en anden person for at give mening.
Jeg tror ikke jeg kan formulere det tydeligere, håber det er klart nok.
mvh raymund

  • 0
  • 0

Til illustration.

Forestil dig en ligning med to ubekendte, x og y.
Nu får du en oplysning, så ligningen kan reduceres til én ubekendt.
Men der er et problem: du ved ikke om den ubekendte er x eller y.
Det er den situation vi står med.
Man kan se sådan på det, at antallet af ubekendte ikke er et heltal, men ligger et sted mellem 1 og 2.

Men det er, som Raymund skriver, ikke noget nyt.

  • 0
  • 0

Disse to problemer minder på flere måder om hinanden.

I Monty Hall opgaven får man, som de fleste sikkert ved, valget mellem tre døre hvor der bag én af dem står en sportsvogn og de to andre er nitter. Medmindre man er helt vild med geder. Eller geden har ædt bilnøglen ...

Man vælger en dør, men lige inden man skal til at åbne, siger MH Stop! , åbner en af de to andre døre og afslører - en ged.

Man får nu mulighed for at vælge om.

Ligesom hos Foshee ændres odds, når vi kender strategien.

Hvis vi får oplyst, at MH har valgt tilfældigt mellem de to døre, så er odds lige, 1:1 (betinget sandsynlighed). Det svarer til at vi får oplyst, at Foshee's oplysning om at han har en dreng er tilfældig. Ved vi det, er odds for to drenge 1:1.

Hvis vi får oplyst, at han altid vil åbne for en ged, så er odds 2:1 for at den anden dør gemmer en bil. Hvis vi får oplyst at Foshee altid vil nævne en dreng hvis han kan, er odds 2:1 for at hans andet barn er en pige.

Der er andre scenarier, dem ser jeg bort fra her.

Men i begge opgaver er situationen den, at vi ingenting får at vide om deres evt. foretrukne opførsel. Slam! Døren bliver smækket op. Hej! Jeg har to børn, og mindst én dreng. Intet andet.

Vi ved ikke om MH ved hvad han gør - og vi får det heller ikke at vide. Vi ved ikke om Foshee helst vil sige det ene eller det andet eller vælge tilfældigt - og vi får det heller ikke at vide.

I begge opgaver har det været argumenteret, at i så fald er der ingen løsning, eller at løsningen ikke entydig / vi mangler oplysninger. Jeg er ikke enig. Og hos MH er det ikke god stratego at udbede sig mere info og sidde med armene over kors til han hoster op med noget.

Det giver sikkert ikke engang en ged.

Og der står jeg foran dørene og vil satme godt ha en sportsvogn så jeg kan drøne ud ad motorvejen med 173 km/t. (Det er den foretrukne hastighed for os der hedder Jacob).

Og jeg mener jeg har en god chance for at projektet lykkes.

I begge opgaver er løsningen at holde fast i à priori ligefordelingen af sandsynligheder.

I Monty Hall er à priori sandsynligheden for at vi har valgt rigtigt 1/3. Så ser vi en ged bag en af de to døre vi ikke har valgt. Det vidste vi godt i forvejen, så chancen for rigtigt valg er stadig 1/3.

Oplysningen om hvilken af de to døre der gemmer geden ændrer intet, når vi ikke ved under hvilke forudsætninger den er fremkommet. Vi ved ikke hvorfor det blev en dør med en ged.

Hos Foshee er à priori sandsynligheden for to drenge 1/4. Så får vi at vide at det ikke er to piger. Det vidste vi ikke i forvejen, så á priori sandsynlighederne forstærkes med sandsynligheden for denne betingelse.

Oplysningen om hvilket køn han valgte at oplyse om ændrer intet, når vi ikke ved under hvilke forudsætninger den er fremkommet. Vi ved ikke hvorfor han sagde dreng.

I begge opgaver kan man, på basis af de resulterende sandsynligheder, drage en foreløbig konklusion om MH/F's strategi.

Det ser ud til, at MH bevidst har valgt en dør med en ged bag. Mine odds er de samme, som hvis jeg havde gjort den antagelse.

Det ser ud til, at Foshee bevidst vælger at nævne en dreng når han kan komme afsted med det. Mine odds er de samme, som hvis jeg havde gjort den antagelse.

Men det har jeg ikke.

Og MH skal bare én gang lukke op for en sportsvogn for at mine odds næste gang er helt anderledes.

Foshee skal bare én gang, når jeg møder ham igen, sige "nu har jeg to nye børn. Den ene er en pige" for at mine odds er anderledes.

Her går jeg ud fra at Foshee, som jeg selv, er en kanin.

  • 0
  • 0

Prøv at regne binær. Det du skal forholde dig til er hvad chancen er for at denne ligning er rigtig: X+Y = 10. Mindst den ene er 1, muligvis begge.
Der er nu følgende muligheder:
X + Y
Hvis X er 1
1 + 0 = 1
1 + 1 = 10

Hvis Y er 1
0 + 1 = 1
1 + 1 = 10

mvh raymund

  • 0
  • 0

De fire senarier. For at naa de 13/27 skal vi kunne ramme praecis 1/3 for to drenge (samme koen) uden tirsdagoplysningen. I alle senarier har F. fire boern.

  1. Spurgt:
    F. bliver spurgt om han har en dreng og svarer ja.
    Tre udfald for ham lige sandsynligt til at svare ja:
    DD, DP og PD hvilket giver 1/3 for to drenge.

  2. Udvalgt:
    F. er udvalgt af faedre med mindst en dreng.
    Han kan sige at han har en dreng, men behoeves ikke da alle i denne gruppe har en dreng.
    Tre udfald er lige sandsynlige i denne gruppe:
    DD, DP og PD hvilket giver 1/3 for to drenge.

  3. Total praeference:
    Vi antager, i vores beregning, at F. altid vil naevne en dreng foer en pige.
    For at lave denne antagelse, vil de fleste mene at vi boer have en viden om at det forholder sig saadan. Maaske har vi ingaet en saadan aftale med F.
    Tre udfald for ham lige sandsynligt til at naevne en dreng:
    DD, DP og PD hvilket giver 1/3 for to drenge.

  4. F. naevner et barn (denne er den eneste der skaber uenighed):
    Vi beder F. om at naevne et tilfaeldigt barn.
    Spoergsmaalet er nu hvilke udfald, eller snarere hvor mange udfald det faar ham til at naevne dreng. Naar vi laver vores beregning, kan jeg ikke se et argument for at vi i dette senarie skal antage at tre udfald DD, DP og PD faar ham til at sige dreng. Og kun et udfald PP, faar ham til at sige pige.
    Hvis vi i vores beregning antager at 1/1 DD, 1/2 DP, 1/2 PD faar ham til at sige dreng. Giver det et DD, plus halvdelen af 2 blandede. Altsaa 2 udfald faar ham til at sige dreng.
    Og tilsvarende to udfald faar ham til at sige pige.
    1 DD + 1 PD/PD: giver 1/2 chance for to drenge (Under antagelse af at han lige saa glad for at naevne en pige om muligt).

Det skal naevnes at i senariet med total praeference, vil det ogsaa kraeve vi antager, at han naevner tirsdag foer alle andre dage for at naa 13/27.

Hvilken antagelse er saa den mest naerliggende antagelse for senarie 4?

Udvalgelse:
Vi vedd ikke noget om en udvalgelse (Selvom F. selv har forklaret at han ser det som dette).

Lille praeference:
Jeg kan forstaa at man vil regne med en smule drenge praeference (da han naevner en dreng), som aendrer resultatet, til mindre end en 1/2 for to drenge.

Ingen praeference:
At han lige saa ofte naevner dreng som pige, er ogsaa en rimelig antagelse.
Hvis vi skal antage en statistisk praeference, kunne denne gaa mod baade mod dreng og pige. Har vi ikke et statistisk grundlag for dette, er det rimeligt at antage ingen statistisk praeference.

Ubetinget praeference:
Men at antage at han altid ville vaelge at naevne drenge foer piger, kan jeg ikke se en indikation af fra teksten. Det at han goer det en gang (hvor han jo skulle naevne et eller andet), se jeg ikke som en staerk nok indikation, til at vi kan antage en ubetinget praeference..

Senarie 4 ikke lig 1, 2 og 3

Saa senarie 1, 2 og 3 er alle enige om.
Men at senarie 4, som er en opgave der anderledes, grundet at kun i denne opgave er der ikke tre udfald der tvinger ham til at sige noget bestemt. Deraf et resultat som er forskelligt fra 1/3. Og deraf forskelligt fra 13/27 med Tirsdagen.

Samme fire senarier kan laves for tirsdag oplysningen (samme misforstaaelse).

  • 0
  • 0

Som nævnt i artiklen er det nok mere sprogligt end matematik, da man har en tilbøjelighed til at lægge mere i ordene, ende der egentlig står.

Lad os dissekere det fra en ende af:
1) Jeg [b]har[/b] to børn.
Dette medfører, at populationen IKKE omfatter folk med et barn, der forventer nr. 2, ej heller folk med 3 eller flere børn.

Populationen består af PP,DP,PD,DD, så sandsynligheden for 2 drenge = 1/4.

Nu udvider vi med:
2) Den ene er en dreng.
Dette reducerer populationen til:
DP,DD idet rækkefølgen er underordnet, sandsynlighden=1/2

Vi udvider endvidere med
3) født på en tirsdag
hvorefter populationen er
DtiP, DtiD
igen 1/2

Nu udvider vi med
4) drengen er xyz, hvorefter populationen bliver
DxyzP,DxyzD
stadig 1/2.

Uanset hvor mange egenskaber vi tilskriver denne dreng, bliver populationen reduceret tilsvarende, så P=1/2.

  • 0
  • 0

Lad os dissekere det fra en ende af:
1) Jeg [b]har[/b] to børn.
Dette medfører, at populationen IKKE omfatter folk med et barn, der forventer nr. 2, ej heller folk med 3 eller flere børn.

Populationen består af PP,DP,PD,DD, så sandsynligheden for 2 drenge = 1/4.

Nu udvider vi med:
2) Den ene er en dreng.
Dette reducerer populationen til:
DP,DD idet rækkefølgen er underordnet, sandsynlighden=1/2

Beklager, men alle - uanset hvilket fortolkning, de hælder til - vil fortælle dig, at her begår du en så elementær fejl, at man næppe kan forestille sig, at du nogensinde har modtaget undervisning i sandsynlighedsregning.

Sandsynlighederne for de enkelte udfald ændrer sig ikke fra scenarie 1. til 2. Hvordan skulle de kunne det? Det er kun vores viden, der ændrer sig.

DD er altså stadig lig med 1/4, så DP må også være 1/4, hvis du vil nå frem til ½. Fint nok, men hvor har du så gjort af PD, som tilsyneladende er tryllet den væk i den blå luft.

Du sætter derved indirekte PP til ½, for summen af PP, DD og blandet SKAL altså være 1. Det vil sige, at dit regnestykke forudsætter, at PP er dobbelt så sandsynlig som DD ???

Hvis du med, at rækkefølgen er ligegyldig, slår DP og PD sammen, skal du sætte sandsynligheden for denne hændelse til ½, da blandet udfald bevisligt forekommer i 50 procent af tilfældene.

Det har du jo sådan set også selv anført i scenarie 1, så du modsiger simpelthen dig selv.

  • 0
  • 0

Stig, du bliver nødt til at spille Lotto!

Der er, har jeg læst, 42.072.307.200 forskellige lotto-rækker.

Af lottorækkerne er én rigtig og 42.072.307.199 forkerte.

Det giver en sandsynlighed på 1/42.072.307.200 for at gætte den rigtige række.

Rækkefølgen af de forkerte rækker er ligegyldig, så dem tager vi samlet med sandsynligheden 1/42.072.307.200.

Så Stig, tænk bare, chancen for at vinde den store lottogevinst er ½!

  • 0
  • 0

[quote]1) Jeg har to børn.

2) Den ene er en dreng.

Sandsynlighederne for de enkelte udfald ændrer sig ikke fra scenarie 1. til 2. Hvordan skulle de kunne det? Det er kun vores viden, der ændrer sig.
[/quote]Saa der er altsaa stadig 1/4 chance for to piger...hmm
Efter min beregning er der altsaa 0 % chance for to piger, hvis mindst den ene er en dreng..

DD er altså stadig lig med 1/4, så DP må også være 1/4, hvis du vil nå frem til ½. Fint nok, men hvor har du så gjort af PD, som tilsyneladende er tryllet den væk i den blå luft.

Du sætter derved indirekte PP til ½, for summen af PP, DD og blandet SKAL altså være 1. Det vil sige, at dit regnestykke forudsætter, at PP er dobbelt så sandsynlig som DD ???

Sikke en gang sludder...

  • 0
  • 0

Det har været påstået at oplysningen om fødselsdagen er støj.

Fra samme kant påstås det at der er ét kendt barn og ét ukendt.

Ud fra den logik er oplysningen om at det ene barn er en dreng også støj. Det er lige meget om det kendte barn er dreng eller pige, for man interesserer sig kun for det andet barn.

Faktisk behøver det kendte barn, ud fra samme logik, slet ikke være der. Og det vil sige, at man også behandler oplysningen om at der er to børn som støj.

Det er konsekvensen af at holde fast i at der er ét kendt og ét ukendt barn.

  • 0
  • 0

hej Jacob,
Det kunne tænkes at det er mig du skyder efter, så jeg tillader mig at kommentere.
Du har fat i den rigtige ende, det kendte barn er støj, og den eneste funktion det har, er at det gør det muligt at formulere spørgsmålet "hvad er chancen for 2 drenge".
Dette spørgsmål er indholdsmæssig nøjagtig det samme som "hvad er chancen for at det ukendte er en dreng"
Set i dette lys er tirsdagsdrengen støj fra isse til fod.
Så du har ret, drengen behøver slet ikke at være der.

  • 0
  • 0

Hej Raymund, jeg tillader mig lige at supplerer med indhold fra tidligere, omkring 'ingen kendt praeference', som nok kan vaere relevante, for at alle kan snakke samme sprog..

Antagelsen er at han naevner et tilfaeldigt barn, altsaa at vi beregner ud fra at vi ikke kender til og ikke beregner med en praeference af nogen art. Under denne omstaendighed er det ogsaa tilfaeldigt hvilket barn der ikke bliver naevnt. Og saa kan beregning laves lige saa praecist ved kun at kigge paa et barn der TILFAELDIGVIS ikke blev naevnt.

Kastes 1000 moenter, og vi skal gaette paa den laengst til venstre, er det altid en moent vi beregner paa. Der er altid netop en tilfaeldig moent der, og moenten laengst til venstre er fuldstaendig upaavirket af udfaldet af de andre 999.

Under antagelse af at han ikke naevner et barn tilfaeldigt, skal denne antagelse beskrives og bruges i vores beregning...

  • 0
  • 0

Det kraever en antagelse at komme til et resultat.
Antagelser kunne bl.a. vaere 'ingen praeference', 'en smule drenge praeference', 'ubetingetdrenge praeference' eller 'en udvalgt gruppe'.

Antagelsen omhandler hvorfor han naevnte netop dette barn, naar han kunne have naevnt det andet
At han har netop to boern er en konstatering, da han ikke kunne have vaelgt en variant af netop denne oplysning.

Saa maaske kunne debat endeligt slutte, hvis alle begyndte at skrive hvilken antagelse (evt. et argument for hvorfor man mener antagelsen er den mest korrekte), de laver deres beregning udfra.

Alle resultater kraever en antagelse om hvorfor dette barn (ud af to mulige) blev naevnt, og det er tilsyneladende en forskellig opfattelse af denne antagelse der skaber en uafklarethed.

Der findes ikke en 'korrekt' antagelse for noget vi ikke ved. Men alle der har lavet denne beregning, har ogsaa lavet en antagelse...glemmer man at beskrive sin antagelse, er resultatet maaske ubrugeligt og nemt uforstaeligt...

  • 0
  • 0

Hej Bue,
Det lyder som en god ide, at vi efterhånden får afsluttet denne debat. Hvis det hjælper at vi beskriver vores antagelser vil jeg godt gøre en indsats.

Jeg antager at der ikke er stillet nogen krav til F's børneegenskaber inden han træder op på podiet. (argument: Der er ikke beskrevet nogen krav)

Jeg antager at han bruger et raflebæger til at vælge hvilket barn han vil fortælle om. (argument: Vi ved ikke noget, så jeg vælger at antage total tilfældighed)

Jeg antager at kønsfordelingen som udgangspunkt er 50/50, dvs. hvert enkelt barn har lige chancer for at være D eller P. (argument: Almindelig biologi)

Jeg antager at fødselsfordelingen på ugedage er jævn, og dermed at tirsdagen ikke er speciel, set i forhold til andre ugedage. (argument: Almindelig biologi)

Disse antagelser skal forstås sådan, at hvis vi vil gentage eksperimentet skal der kun bruges fædre med 2 børn. Endvidere skal spørgsmålet, hvis raflebægeret viser P ændres til "Hvad er chancen for PP", eller generelt ændres til "Hvad er chancen for to ens"
(argument: det giver ingen mening at gentage eksperimentet i en form der giver risiko for at raflebægeret viser P og vi derefter skal gætte DD. Argument for begrænsning til 2 børn: Ellers giver det ingen mening)

Efter at han har oplyst at han har 2 børn har vi følgende muligheder for børnekombinationer:
PP-DD-DP-PD - med lige vægt, eller lige chance for en af hver og to ens.

Nu viser raflebægeret tilfældigvis dreng.
Han har stadigvæk samme chance for en af hver eller 2 ens, men da vi nu ved at han ikke har PP har vi en ny vægtning DD 50%, PD 25%, DP 25%.
Dette giver et resultat på 1/2.

Vi kan også ud fra samme antagelser reducere problemet til at se på situationen EFTER at han har raflet.
Denne betragtning består af et kendt og et ukendt barn, vi behøver blot at se på det ukendte, og ender op med 1/2.

håber jeg har udtrykt mig klart nok.
mvh raymund

  • 0
  • 0

Sikke en gang sludder...

Så nu er vi nået dertil, at eksperimenternes udfald påvirker a priori sandsynlighederne.

Det må være fedt, når man er på kasino - kuglen landede på rødt, så sandsynligheden for sort i næste spil er 0.

Ufatteligt....

  • 0
  • 0

eller generelt ændres til "Hvad er chancen for to ens"

hvilket er lig med: "Vi er nødt til at ændre opgaven til noget helt andet for at få det svar, vi for alt i verden ønsker at få, så vi ikke taber ansigt".

  • 0
  • 0

@ole
Kunne det tænkes at du ville nedlade dig til at forklare os uvidende hvordan du ville beregne sandsynligheden for at der er 2 drenge, hvis den ene er en pige?.
Det ville ellers ikke skade hvis du efterkom Bues opfordring om at offentliggøre dine antagelser, og komme med en løsning der er baseret på disse, gerne i en sådan form at vi andre tosser har en rimelig mulighed for at sætte os ind i din tankegang.

  • 0
  • 0

Hjælp, nu er der så to (efter eget udsagn tosser, hvilket jeg kan tilslutte mig), der mener, at a priori sandsynligheden for, at en tilfældig mand med to børn har to piger ændrer sig, fordi én af mændene erklærer, at ikke har nogen. Hvilket i øvrigt er direkte i modstrid med deres eget kerneargument om, at manden ikke er udvalgt...

  • 0
  • 0

[quote]
Eller: Enhver tilfældig kan gå op på talerstolen og sige enten "et af mine børn er en tirsdagsdreng" eller "jeg har ingen tirsdagsdreng". Da 13/27.

Det kræver så en ordstyrer der stiller spørgsmålet "Har du to børn og (mindst) en tirsdagsdreng ?", og derefter sorterer dem fra der svarer nej[/quote]
Jeg kan ikke se nogetsomhelt der forhindrer en tilfældig mand fra at gå på talerstolen og sige en af de to ting UDEN en ordstyrer. Det vil være en mærkelig ting at gøre, men ikke mærkeligere end at gå på talerstolen og helt uden ordstyrer eller anledning give sig til at fortælle om sine børn i det hele taget.

  • 0
  • 0

@Henning..2 spoergsmaal du maa praecisere.
...
1. Henning, er det den antagelse du selv ville lave beregningen ud fra. Eller ville du, som mig, haelde mere til en 'mindre drenge praeference'/'ingen drenge praeference'?

Jeg vil, som jeg har gjort, lave beregningen ud fra begge antagelser og forklare hvilket svar hvilken antagelse giver anledning til.

  1. Hvis du paa et kasino skulle spille pa to moenter, og dealeren fortaeller at den ene er plat.. Ville du saa som udgangspunkt antage at dealeren har total praeference for plat (og deraf 1/3 chance for to plat), eller ville du beregne udfra at han ca siger plat/krone lige ofte?

Jeg ville nægte at spille uden at få information nok til at jeg kan udregne en sandynlighed. Det har jeg ikke før dealeren forklarer mig præcis hvordan spillets regler er.

  • 0
  • 0

Jamen jeg konstaterer at han vælger det ene af sine 2 børn.[/qu Hvilke tanker han gør sig om hvilket han skal vælge har vi ingen mulighed for at vide noget om, så det må stå hen i det uvisse.

=
Hvis du insisterer på at lade det blive ved med at stå hen i det uvisse i stedet for at gøre en antagelse om det, skal du være velkommen til det. Men da har du mistet muligheden for at fremsætte et korrekt udsagn om sandsynlighed, idet sandsynlighed først eksisterer når de antagelser du ikke vil gøre, er gjort.

  • 0
  • 0

@ole
Jeg må desværre konstatere at du ikke har til hensigt at efterkomme min opfordring om at komme med noget konstruktivt. Derfor har jeg ikke andet valg end at holde mig til det jeg allerede har skrevet en gang. Du får ret og jeg får fred. Du får ikke flere kommentarer fra min side.
Håber du får den hjælp du efterlyser fra en eller anden, som du er på bølgelængde med.

  • 0
  • 0

@henning

Jeg kan ikke se nogetsomhelt der forhindrer en tilfældig mand fra at gå på talerstolen og sige en af de to ting UDEN en ordstyrer. Det vil være en mærkelig ting at gøre, men ikke mærkeligere end at gå på talerstolen og helt uden ordstyrer eller anledning give sig til at fortælle om sine børn i det hele taget.

Jeg ved ikke helt hvor du vil hen, men for at dit eksperiment skal lykkes kræver det at dem der går op på talerstolen kun har disse to muligheder for at udtale sig, og det må organiseres på en eller anden måde.
Hvis der er frit slag risikerer du at en eller anden tilfældig siger at han har en torsdagspige eller en lørdagsdreng. Du må så stille regler op for hvordan disse skal indgå i regnestykket. Uden disse regler har vi ingen chance for en konstruktiv behandling af resultatet af dit eksperiment.

  • 0
  • 0

Hvis du insisterer på at lade det blive ved med at stå hen i det uvisse i stedet for at gøre en antagelse om det, skal du være velkommen til det. Men da har du mistet muligheden for at fremsætte et korrekt udsagn om sandsynlighed, idet sandsynlighed først eksisterer når de antagelser du ikke vil gøre, er gjort.

Det jeg hører dig sige er at hvis han vælger barnet med et raflebæger, kan opgaven ikke løses. Er det rigtig forstået?

  • 0
  • 0

@ole
Du får ret og jeg får fred.

Tak for kapitulationen, som jeg godt forstår - men er det ikke lidt fattigt, at du hugger min formulering fra tidligere i tråden.

  • 0
  • 0

@ole
Havde egentlig ikke tænkt mig at svare igen, men den formulering er altså betydelig ældre end den her tråd, så du kan være helt rolig, hvis jeg har lånt eller hugget den er det bestemt ikke fra dig.

  • 0
  • 0

Du ka godt få hjælp herfra.

Jeg mener at kunne konstatere, at grundlaget for ½-folkets resultat er følgende antagelser:

  • tirsdagsoplysningen er irrelevant
  • oplysningen om at det andet barn er en dreng er irrelevant
  • oplysningen om at der er to børn er irrelevant

Så opgaven bliver kogt ned til spørgsmålet hvad sandsynligheden for at et tilfældigt barn er en dreng"

Der er ikke andet tilbage af den oprindelige opgave end "og", "er", "har" og "?"

Det er konsekvensen, og det kan undre at man har skullet den store omvej omkring præferencer, ordstyrere, antagelser og raflebægre.

  • 0
  • 0

"Det kraever en antagelse at komme til et resultat"

Det er ikke rigtigt. Der er intet i vejen for at henholde sig til à priori sandsynlighederne og regne derfra. Det kan gøres, det giver et resultat, og dette resultat er ikke i modstrid med virkeligheden.

Der findes i hvert fald 3 kendte tilfælde med dette tema:

Foshee
Monty Hall
Bridge / teorien om begrænset valg

I alle tre tilfælde giver brug af à priori sandsynligheder odds 2:1. I alle tre tilfælde vil antagelser eller viden om strategi eller præferencer kunne ændre disse odds. I ingen af tilfældene får vi noget at vide om strategi eller præferencer, og derfor ændres odds ikke.

Det er meget enkelt.

Så kommer denne opfordring: "Beskriv jeres antagelse!!" Hvad skal man sige til det. Enten læser folk kun deres egne indlæg, for det er ikke første gang ovenstående er pindet ud. Eller osse er det meget værre.

  • 0
  • 0

Det har været påstået at oplysningen om fødselsdagen er støj.

Fra samme kant påstås det at der er ét kendt barn og ét ukendt.

Ud fra den logik er oplysningen om at det ene barn er en dreng også støj. Det er lige meget om det kendte barn er dreng eller pige, for man interesserer sig kun for det andet barn.

Faktisk behøver det kendte barn, ud fra samme logik, slet ikke være der. Og det vil sige, at man også behandler oplysningen om at der er to børn som støj.

Det er konsekvensen af at holde fast i at der er ét kendt og ét ukendt barn.

Det er nemlig rigtigt. Sådan som Foshee rent faktisk har formuleret opgaven, efterspørger han kun sandsynligheden for kønnet på et ukendt barn.

Hvis han havde ønsket at stille en anden opgave, så var det denne anden opgave han skulle have formuleret. Det er resultatet af absolut at skulle formulere en opgave så smart at flest mulig "ryger i". Det er Foshees opgave at formulere hvad man mener, - ikke vores opgave efterfølgende at skulle regne ud, at hvad hen mener er noget andet end hvad han skriver (uanset at jeg udemærket godt vidste hvilken opgave han gerne ville stille).

  • 0
  • 0

"Det kraever en antagelse at komme til et resultat"
Det er ikke rigtigt.

@Jakob
Jeg var selvfoelgelig klar over at ikke alle havde opdaget at de lavede en antagelse.

Jakob kan du svare ja eller nej til foelgende.

  1. Mener du at fire der fra starten er fire lige sandsynlige udfald DD, DP, PD og PP. Mener du at der naar PP udelukkes er der tre lige sandsynlige udfald DD, DP og PD. Og grundet at et ud af tre tre lige sandsynlige udfald er DD, saa er der 1/3 chance for to drenge... Det er det jeg tror du mener og det er saadan Jens Ramskov foerst beskrev det. Hvis du mener noget andet maa du forklare det.

Hvis det er det du mener, saa kraever det at de tre udfald far ham til at sige det samme. Disse tre udfald, faar ham til at sige 'ja', du spoerger ham om han har en dreng. Og nej ved PP.

Hvis han selv naevner et barn, mener du saa at disse tre udfald faar ham til at sige dreng:
DD, DP og PD: han siger dreng.
PP: han siger pige.

  1. Jakob, proev at beskrive hvilke af de fire udfald der faar ham til at sige dreng. Husk at DD/(P(DD) + p() + p() ) = 1/3 for to drenge (DD af tre udfald).
    Og proev at beskrive hvilke af de fire udfald der faar ham til at sige pige. Husk at PP/(P() + p() + p(PP) ) = 1/3 for to pige (PP af tre udfald)..

  2. Jakob, kan du se en forskel 'ja/nej', paa disse to opgaver:

- F. bliver spurgt om han har en dreng, hvor tre udfald sikkert faar ham til at sige ja og et sikkert faar ham til at sige nej.
- F. bliver bedt om at naevne koennet paa et barn. hvor tre udfald...

  • 0
  • 0

1) Jeg har to børn.

    2) Den ene er en dreng.    

[quote]
Sandsynlighederne for de enkelte udfald ændrer sig ikke fra scenarie 1. til 2. Hvordan skulle de kunne det? Det er kun vores viden, der ændrer sig.

[/quote]@Ole, du blander mange ting sammen, som goer det svaert at starte et sted..

Mener du, som du skriver,at at der er 25% chance for hvert af de fire udfald, efter at PP er udelukket. Hvis ja saa er det der vi skal starte, men det tror jeg nu ikke du mener. Jeg tror du mener noget i stil at der er tre udfald tilbage med hver 1/4 ... eller 1/3..

Hvis du mener 1/3, saa mener du ogsaa at " Sandsynlighederne for de enkelte udfald ændrer sig fra scenarie 1. til 2".

Saa er sporgsmaalet jo nok mere hvad de aendrer sig til, og det jeg tror du mener, er at naar de de tre udfald, var lige sandsynlige foer scenarie 2, saa vil de stadig vaere det efter...

Ole, hvis du besvarer mine inlaeg, vil jeg foretraekke at vi kun snakker om to boern. Og ingen ugedage og andet der komplicerer det ydeligere mm..

Og for at vi ikke taler forbi hinanden, saa mener du at opgaven:
"Jeg har to børn hvoraf det ene er en dreng", giver sandsynligheden 1/3 for at han har to drenge..ik?

  • 0
  • 0

Til Bue.
Jeg kan godt forstå din undren over, at jeg er så vaklende, men mit problem er efterhånden, at jeg kan blive enige med stort set alle på skift. Den eneste, jeg ikke kan blive enig med, er mig selv.
Jeg er umiddelbart mest forelsket i 1/2 løsningen, fordi den har en slags "skønhed" over sig, hvor det hele går op. Men på den anden side osv.osv. osv.
Jeg kan stadig ikke få ind i min pande, hvorfor F. ikke i praksis er en slags udvalgt. Han ikke mulighed for hvad som helst. Allerede da han gik hjemmefra, vidste han, at det var umuligt for ham at spille "pigespillet", eller at sige, at han havde tre børn. Han var allerede da fanget ind i sine muligheder og begrænsninger.
Der er skrevet meget om, hvorvidt F. havde præferencer, eller om han havde ligestor chance for at sige dreng og pige, og frit kunne vælge, hvad han ville.
Om F. havde præferencer ved jeg ikke, og slet ikke hvordan man beregner sandsynligheden for, at han måske havde. Men han havde ikke samme sandsynlighed for at sige dreng, som for at sige pige. Det mener jeg du har påvist Bue.
Da F. afslørede, at han ikke havde to piger, kunne vi konkludere, at dreng-oplysningen ikke blev givet på et fifty-fifty-chance grundlag. Sandsynligheden for, at der blev sagt dreng, var faktisk dobbelt så stor som for, at der blev sagt pige.
Men i 1/2 argumenterne er det hele tiden en forudsætning, at alt står helt og lige åbent. Men det synes jeg måske ikke, det gør. Steen

  • 0
  • 0

Undskyld. F. havde faktisk i tilfælde af at han havde blandet hold mulighed for at spille "pigespillet", da han gik hjemmefra. Det er først da han kom med sin melding, han ikke længere har. Det andet er kun tilfældet, hvis han har to drenge.
Men denne tanketorsk ændrer ikke på pointen, at han havde de dobbelt så stor sandsynlighed for at sige dreng, i kraft af at han ikke har to piger. Eller hvad ? Steen

  • 0
  • 0

Undskyld Bue !
Jeg tror, jeg vrøvler. Det er selvfølgelig kun i den blandede situation, det er vigtigt, at chancen er fifty-fifty, og det er den jo her, også selvom F. samlet set (på scenen) har dobbelt sandsynlighed for at sige dreng. Jeg trækker argumentet igen, men håber, du nåede at blive en lillesmule rystet - Bare i få sekunder. Men det er nok ikke tilfældet :-) Steen

  • 0
  • 0

Hej Steen
Hvis du er interreseret i at komme til en endelig afklaring, foreslår jeg at du, som Bue opfordrer til, beskriver dine antagelser, og disses argumenter, og derpå præsenterer din løsning baseret på disse, så kan vi tage den derfra.
Du er velkommen til at bruge min ovenstående udgave som skabelon, (og ændre efter forgodtbefindende).
Jeg synes at det er vigtigt at få præciseret alle antagelser, også dem der for dig ser ud til at være en selvfølge.
venlig hilsen raymund

  • 0
  • 0

Det ser ud til at være svært at få 13/27 folkene til at udlevere deres antagelser, her er et forsøg på at hjælpe dem på vej.

Jeg antager at F. som udgangspunkt ikke ved noget om sine børn udover at han betaler børnepenge til 2 stk. og at de bor i Timbuktu. (argument: Der er ingenting i opgaven der kan udelukke denne fortolkning)

Jeg antager at han drømmer at det kunne være sjovt at stille en opgave om hvad chancen er for at have 2 drenge forudsat man har en dreng der er født tirsdag. (argument: Der er ingenting i opgaven der kan udelukke denne fortolkning)

Jeg antager at han skriver sin opgave ned og putter den i lommen.
(argument: Der er ingenting i opgaven der kan udelukke denne fortolkning, og det er da meget naturligt at folk der sysler med opgaver skriver dem ned)

Jeg antager at han får den ide at finde ud af hvorvidt hans egne børn lever op til den opgave han har formuleret, og skriver til timbuktu og spørger om det ene er en dreng der er født tirsdag. (argument: Der er ingenting i opgaven der kan udelukke at han skriver sådan et brev, og det er da meget forståeligt at han er nysgerrig)

Jeg antager at han får et svar fra timbuktu, hvor der står at han har en søn der er født tirsdag, resten af brevet er ulæseligt. (argument: det kan ikke udelukkes at man får brev fra timbuktu, og det er da sket før at breve kun er delvis læsbare, så hvorfor ikke i dette tilfælde.)

Jeg antager at F. efter at have læst brevet går op på podiet og stiller opgaven. (argument: han kan ikke lade være)

Derudover antager jeg at almindelig afrundet biologi er gældende.

Jeg mener selv at det er meget naturligt at lave disse antagelser, og at de ligger indenfor opgaveformuleringens rammer. At foshee ikke foræller os noget om disse forudgående hændelser må vi bære over med, det er da set før at matematiske genier er en smule distræte.

Ud fra disse antagelser må det være soleklart for enhver at resultatet på opgaven er 13/27.

  • 0
  • 0

[quote]
Hvis du insisterer på at lade det blive ved med at stå hen i det uvisse i stedet for at gøre en antagelse om det, skal du være velkommen til det. Men da har du mistet muligheden for at fremsætte et korrekt udsagn om sandsynlighed, idet sandsynlighed først eksisterer når de antagelser du ikke vil gøre, er gjort.

Det jeg hører dig sige er at hvis han vælger barnet med et raflebæger, kan opgaven ikke løses. Er det rigtig forstået?[/quote]
Nej det er forkert forstået.

Hvis du ANTAGER at han vælger et barn med et raflebæger, så kan du løse opgaven under denne antagelse. Men du kan ikke antage at han vælger et barn med et raflebæger og stadig lade det stå hen i det uvisse om han bruger et raflebæger eller ej.

  • 0
  • 0

@henning
[quote]
Jeg kan ikke se nogetsomhelt der forhindrer en tilfældig mand fra at gå på talerstolen og sige en af de to ting UDEN en ordstyrer.

Jeg ved ikke helt hvor du vil hen, men for at dit eksperiment skal lykkes kræver det at dem der går op på talerstolen kun har disse to muligheder for at udtale sig, og det må organiseres på en eller anden måde.[/quote]
Sådan kan du godt sige det. Men i så fald må du også være enig i at det andet eksperiment kræver at dem der går op til talerstolen kun har mulighed for at vælge et barn (tilfældigt) og fortælle om dets køn og ugedag, og det må organiseres på en eller anden måde.

Hvis der er frit slag risikerer du at en eller anden tilfældig siger at han har en torsdagspige eller en lørdagsdreng.

Og hvis der er frit slag risikerer du at en eller anden tilfældig helt lader være med at tale om sine børn, men giver sig til at forelægge sin patentløsning på finanskrisen i stedet.

Der er simpelthen ikke noget grundlag for at mene at "fortæller køn og ugedag for et af sine børn" er en naturligere generalisering end "fortæller om han har en tirsdagsdreng eller ej". Det udsagn der er giver i opgaven kan generalisere til begge beskrivelser, og man er nødt til at gøre en antagelse om hvilken generalisering man bruger.

Der hvor jeg protesterer er når nogen forsøger at beskrive deres antagelse som en ikke-antagelse, eller påstår at deres favorit-antagelse er den eneste "naturlige" fortolkning af opgaven.

  • 0
  • 0

"Det kraever en antagelse at komme til et resultat"

Det er ikke rigtigt. Der er intet i vejen for at henholde sig til à priori sandsynlighederne og regne derfra. Det kan gøres, det giver et resultat, og dette resultat er ikke i modstrid med virkeligheden.

Der er ikke nogen "a priori" sandsynligheder. Sandsynligheder opstår først når man har et eksperiment der kan gentages. Eftersom opgaven kun beskriver ét (halvt!) gennemløb af eksperimentet, bliver vi nødt til at forestille sig noget om hvordan det kan gentages (hvilket opgaven ikke siger noget om), før det overhovedet giver mening at udtale sig om sandsynlighed, "a priori" eller ej.

  • 0
  • 0

Jeg kan godt forstå din undren over, at jeg er så vaklende, men mit problem er efterhånden, at jeg kan blive enige med stort set alle på skift. Den eneste, jeg ikke kan blive enig med, er mig selv.

Jeg tror dit problem er at du forestiller dig at opgaven har ét rigtigt svar, og at det du skal gøre er at finde den løsning og afvise alle andre svar.

Hvis først du accepterer at opgaven er så dårligt formuleret at den ikke HAR noget entydigt svar, burde din forvirring aftage. Så kan du give dig til tat vurdere hvordan opgaven kan ændres så den FÅR et entydigt svar -- men alt efter hvilke ændringer man gør, er der forskellige svar der kommer ud.

  • 0
  • 0

[quote][quote]Hvis der er frit slag risikerer du at en eller anden tilfældig siger at han har en torsdagspige eller en lørdagsdreng.

Hvis der er frit slag risikerer du at en eller anden tilfældig siger at han har en torsdagspige eller en lørdagsdreng.
[/quote]
Og hvis der er frit slag risikerer du at en eller anden tilfældig helt lader være med at tale om sine børn, men giver sig til at forelægge sin patentløsning på finanskrisen i stedet.[/quote]
@Henning, jeg er ikke sikker paa hvor ueninge vi egentlig er....

Men bare for at praecisere jeres snak om en ordstyrer. For at regne paa sandsynlighedenj for hvad F. har sagt, er det ikke et problem hvis naeste taler vaelger at tale om tre boern eller patentløsning. Men ud fra hvad F. sagde om sine to boern kan vi selvfoelgelig lave vores antagelse efter bedste overbevisning og faa et resultat.
Er resultatet saa rigtig?? Ja..ud fra den antagelse vi selvfoelger husker at beskrive, naar vi videregiver resultatet..

Hvis du ANTAGER at han vælger et barn med et raflebæger, så kan du løse opgaven under denne antagelse. Men du kan ikke antage at han vælger et barn med et raflebæger og stadig lade det stå hen i det uvisse om han bruger et raflebæger eller ej.

Igen, jeg tror vi er enige, saa jeg forstaar ikke hvorfor du skriver saadan. Men vi kan lave vores beregning, med enhver antagelse vi finder rimelig, saa laenge vi beskriver antagelsen vi har brugt.Saa hvis du mener du ikke har et grundlag for at F., oftere skulle naevne drenge end piger, kan du frit beregne med at han vaelger barn tilfaeldigt. Hvad han i praksis vaelger efter, er fuldstaendig underordnet, hvis du ikke har et kendskab/fornemmelse for dette.

[quote]2. Hvis du paa et kasino skulle spille pa to moenter, og dealeren fortaeller at den ene er plat.. Ville du saa som udgangspunkt antage at dealeren har total praeference for plat (og deraf 1/3 chance for to plat), eller ville du beregne udfra at han ca siger plat/krone lige ofte?

Jeg ville nægte at spille uden at få information nok til at jeg kan udregne en sandynlighed. Det har jeg ikke før dealeren forklarer mig præcis hvordan spillets regler er. [/quote]
Og det samme igen...
Hvis du paa et kasino skulle spille pa to moenter, og dealeren fortaeller at den ene er plat. og du skal gaette hvad den anden er...

Saa ved jeg at hvis du SKAL spille vil du ogsaa lave en antagelse for hvordan dealeren naevner en moent, saa du kan beregne dine odds. Og det skulle undre mig hvis du ville lave beregningen udfra at han ubetinget siger plat naar han kan.

  • 0
  • 0

Beklager, men alle - uanset hvilket fortolkning, de hælder til - vil fortælle dig, at her begår du en så elementær fejl, at man næppe kan forestille sig, at du nogensinde har modtaget undervisning i sandsynlighedsregning.

Sandsynlighederne for de enkelte udfald ændrer sig ikke fra scenarie 1. til 2. Hvordan skulle de kunne det? Det er kun vores viden, der ændrer sig.

He - interessant udsagn (at jeg ikke skulle have modtaget undervisning), men til din orientering var det mig, der fik 13, og resten fik 9 og nedefter.

Belær mig venligst hvor jeg begår denne 'elementære fejl', som du beskriver.

Især er jeg interesseret i hvordan du mener man ikke reducerer populationen som følge af ekstra viden.

Når man ændrer forudsætningerne fra samtlige 2-børns fædre til 2-børns fædre med 'en dreng født på en tirsdag', er det da logik for burhøns, at man ikke kan udvælge blandt samtlige 2-børns fædre.

Tænk nu på scenarie 1:
P1P2=1/21/2=1/4 for to drenge.
Scenarie 2:
P1P2=11/2=1/2
Humlen ligger i, at sandsynligheden for P1 ændres fra 1/2 til 1, da vi nu ved, at det er en indtruffen begivenhed.

(P = Propability, og ikke Pige).

NB: til 1/3 - folket:
Udfaldsrummet er P1+D2ti - D1ti+P2 - D1,D2ti - D1ti,D2 altså stadig 1/2 i sandsynlighed.

  • 0
  • 0

Humlen ligger i, at sandsynligheden for P1 ændres fra 1/2 til 1

Jeg går ud fra alle ved, at sandsynlighed for en [b]indtruffen[/b] begivenhed altid = 1, ellers står verden vist ikke længere.......

  • 0
  • 0

hej Henning,
Det tog noget tid, men nu tror jeg nok at femøren er faldet, og jeg har forstået dit budskab.
Jeg kunne selvfølgelig have præciceret raflebægeret noget tidligere, men det var det jeg mente når jeg skrev "stå hen i det uvisse", altså et valg der ikke bevidst er styret i den ene eller anden retning (undskyld sprogforvirringen).
De antagelser jeg gør har jeg beskrevet i mit svar til Bue, men som du ser af mit 13/27 indlæg, synes jeg at der er plads til mange andre antagelser uden at man kommer på kant med opgaveformuleringen.
Resten er vel en diskussion om hvilke antagelser man finder nærliggende og naturlige, men den afgrænsning er vel i en vis grad et spørgsmål om fantasi og individuel baggrund. Hvis det eneste krav er, at man ikke kommer på kant med opgaveformuleringen, er der masser af muligheder.
Tak for snakken.
raymund

  • 0
  • 0

Da F. afslørede, at han ikke havde to piger, kunne vi konkludere, at dreng-oplysningen ikke blev givet på et fifty-fifty-chance grundlag. Sandsynligheden for, at der blev sagt dreng, var faktisk dobbelt så stor som for, at der blev sagt pige.

Hej Steen, Dette er praecis saadan du skal taenke... Hvorfor sagde F. dreng og kunne han have sagt andet...

Nedenstaende er ud fra vi ikke inkluderer nogen form for praeference i beregningen og PP er udelukket da vi er informeret om dette..

Jeg naevner to boern for hvert af tre schenarier/udfald og taeller:
DD d d
DP d p
PD p d
De tre udfald (DD, DP, PD) ville statistisk set faa ham til at naevne to gange dreng og en pige.

Der ER dobbelt stor chance for at han siger dreng, ud fra den viden at han ikke har to piger.

Dette, at han oftere vil sige dreng, er en del af loesningen der giver 1/2.
P(DD) / ( P(DD) + P(DP) / 2 + P(PD) / 2) = 1/2

De to blandede divederes med to, da han kun i havldelen af tilfaeldene vil sige dreng.
Dvs. han sagde dreng har han lige sandsynligt DD eller blandet

Foer divitionen talte blandet ganske rigtigt som to udfald, men kun et ville, statistisk, have skabt den situation, hvor han sagde dreng.

Saa din beskrivelse er korrekt: famillier uden PP, vil naevne oftere dreng.

Det giver ogsaa at af de tre udfald (DD, DP og PD), vil DD, vaere tilsvarende mere sandsynlig, naar der blev sagt dreng, da det er den eneste af de tre der tvinger familien til at sige dreng.

Saa hvis jeg skal gaette mellem alle tre udfald, efter manden sagde dreng, ville jeg gaette DD, da den dobbelt saa ofte faar ham til at sige dreng, som hver af de blandede.

Statistisk: Antal udfald, der medfoerer at en dreng naevnes, nar man frit vaelger og naar faedre skal naevne drenge foer piger.

Kun to udfald faar ham til at sige dreng ud af fire (DD, DP, PD PP) og det er DD og en blandet, naar faderen frit vaelger.

Naer faedre skal naevne drenge foer piger:
Tre udfald tvinger ham til at sige dreng ud af fire (DD, DP, PD PP) og det er DD og begge blandede.

Vi kan taelle og resultatet er forskelligt fra, naar faedre skal naevne drenge foer piger.

Jeg naevner to boern for hvert af tre schenarier/udfald og taeller:
DD d d
DP d p
PD p d
Naar der bliver naevnt en dreng, kan vi taelle i to af de seks schenarier var der DD og i to af de seks schenarier er der blandet.
Altsaa 1/3 for DD.

Men den maade du tanker paa i dine sidste inlaeg, vil gaere det nemmere for dig at se praecis hvornaar og hvorfor resultatet er hvad.

Udvalgt

Hvis vi paa en en gruppe paa 1000 faedre, filterer og beder en hvis type gaa hjem, aendres resultatet.

Praeference

Vi ved at faedre skal naevne drenge foer piger.
Jeg naevner to boern for hvert af tre schenarier/udfald og taeller:
DD d d
DP d d
PD d d
Naar der bliver naevnt en dreng, kan vi taelle i 2 af de seks schenarier var der DD og i 4 af de seks schenarier er der blandet.
Altsaa 1/3 for DD, ved ubetinget drenge praeference.

Jeg haaber dette kan faa den sidste sten til at falde paa plads, for jeg ved at du har set lyset flere gange. Du kommer bare ogsaa til at forsimple det nogen gange og taenke, hvorfor skulle de tre udfald ikke vaere lige sandsynlige...Men det er de ikke grundet at vores nye information (uden praeferencer) ikke goer os klogere paa alle dre udfald! Men altid en fornojelse Steen.

mvh Bue

  • 0
  • 0

Stig:

Belær mig venligst hvor jeg begår denne 'elementære fejl', som du beskriver.

Elementære fejl:

Scenarie 1: Fejlfortolkning af udfaldsrummet.
Scenarie 2: Forkert beregning af betinget sandsynlighed.

Stig, skimlæs de første 200 indlæg i den oprindelige tråd og du vil få alle de nødvendige beskrivelser af udfaldsrum og beregninger i tekst, grafik, formler og simuleringer.

Hvis du er til de mere alternative fortolkninger kan du fortsætte med de næste 1100 indlæg...

Så har du genopfrisket din sandsynlighedsregning og kan være med igen.

  • 0
  • 0

Hvis det eneste krav er, at man ikke kommer på kant med opgaveformuleringen, er der masser af muligheder.

Og vi er selvfoelgelig enige.
Alle antagelse er gyldige, saa laenge man husker at naevne dem. Er det goer at aller resultater fra 1/3 til 1 kan vaere korrekte.

Jeg synes dog man skal huske at for at naa 13/27 er pfoblemet i opgaven stadig, at man skal antage en ubetinget drenge og tirsdags praeference.. Eller en udvalgt gruppe med tirsdagsdrenge faedre.
Steens eksempel med en rundringning hvor der spoerges til om man han en tirsdags soen, er en udvalgt gruppe.

Og argumenterne for en ubetinget drenge praeference eller udvalgt gruppe, skulle vaere at laese ud af teksten, har vist aldrig vaere saerligt dominerende her paa debatten...

Saa spoergsmaalet er nok ikke hvilket resultat/antagelse der er rigtig, da det er en smagssag. Men om 13/27 nogensinde giver mening...

  • 0
  • 0

Stig:
[quote]Belær mig venligst hvor jeg begår denne 'elementære fejl', som du beskriver.

Elementære fejl:

Scenarie 1: Fejlfortolkning af udfaldsrummet.
Scenarie 2: Forkert beregning af betinget sandsynlighed.

Stig, skimlæs de første 200 indlæg i den oprindelige tråd og du vil få alle de nødvendige beskrivelser af udfaldsrum og beregninger i tekst, grafik, formler og simuleringer.

Hvis du er til de mere alternative fortolkninger kan du fortsætte med de næste 1100 indlæg...

Så har du genopfrisket din sandsynlighedsregning og kan være med igen.

[/quote]
Jeg havde nok forestillet mig en konstruktiv forklaring i stedet for mere eller mindre nedladende kommentarer.
Ad 1:
Polulation=alle fædre med 2 børn.
Udfaldsrum=DP,PD,DP,DD
Udfald=DD => P=1/4
hvad er der galt her, og hvor tager jeg fejl.

Ad 2:
Population = alle fædre med 2 børn, hvoraf den ene er en dreng.
Udfaldsrum=DP,DD
Udfald=DD=>P=1/2
(vi kan så diskutere hvorvidt D1D2=D2D1, analogt med P1D2 og P2D1),
men det må fintænkes.

Under alle omstændigheder synes jeg det ville klæde dig at identificere hvor jeg tager fejl i stedet for dine bemærkninger.

Det er jo trods alt 35+ år siden jeg studerede mat/fys, så jeg kan jo have glemt en masse - eller rettere det ved jeg at jeg har, men genopfrisk min lærdom please.

  • 0
  • 0

Jeg HAR allerede TO børn. Den ene er er en dreng. Hvad er sandsynligheden for at den anden også er en dreng. Her er udfaldene følgende: DP, PD og DD. I to af de tre udfald er der piger. Sandsynligheden for at det andet barn er en pige er derfor 2/3. Følgelig er sandsynligheden for en dreng p=1/3.

@Bjarne dette er fra et af dine tidligere inlaeg..

Jeg ville gerne hoere baade Bjarne, Ole og Jakob om i ikke alle ville svare ja til spoergsmaalende i 'Foshee's paradoks':
http://ing.dk/artikel/110748-simpel-matema...

Hvis du kan, svare ja Bjarne, skal du nok selv laese et par indlaeg, der kom efter de 200 du henviser til;-D

  • 0
  • 0

Jeg ville gerne hoere baade Bjarne, Ole og Jakob om i ikke alle ville svare ja til spoergsmaalende i 'Foshee's paradoks':
http://ing.dk/artikel/110748-s...5676

Nu hedder jeg ikke Bjarne, Ole eller Jakob, men:

1). To børn. 50% for blandet.

[/quote]
Ja.

2). Den enes køn nævnes. 2/3 chance for blandet??

Nej, for du udelukker både DD og PP ud af polulationen PP,PD,DP,DD - så det er stadig 50% chance.

  • 0
  • 0

[quote] 2). Den enes køn nævnes. 2/3 chance for blandet??

Nej, for du udelukker både DD og PP ud af polulationen PP,PD,DP,DD - så det er stadig 50% chance. [/quote]
Man udelukker ikke 'både' DD og PP. Kun den ene udelukkes hver gang. Men jeg vil helllere hoere en 13/27 tilhaengers svar;-D

  • 0
  • 0

Stig, sorry, jeg havde overset, at der i dit første scenarie kun var en forudsætning om to børn - og ikke køn. Den beregnede sandynlighed for to drenge er i dette tilfælde er OK, dvs. p=1/4 (efter den klassiske fortolkning!).

I det andet scenarie bliver du nødt til at skelne mellem udfaldene, hvor en pige er født først eller sidst, men den samme skelnen kan du ikke lægge på de to drenge, da du ikke har yderligere oplysninger om de enkelte drenge.

De enkelte udfald er jo en samlet pakke:

Pakke 1: "Først blev der født en pige, dernæst en dreng"
Pakke 2: "Først blev der født en dreng, dernæst en pige"
Pakke 3: "Først blev der født en dreng, dernæst en dreng"

Den sidste pakke kan ikke splittes op i to pakker, da vi som nævnt ikke har yderligere information om drengene.

Udfaldene bliver da: PD, DP, DD, som giver p=1/3 for to drenge.

(Alt det ovenstående i den klassiske fortolkning!)

Men jeg vil ikke gå yderligere ind i det, da det her er en gentagelse af den oprindelige tråd, hvor det er forklaret utallige gange.

  • 0
  • 0

I det andet scenarie bliver du nødt til at skelne mellem udfaldene, hvor en pige er født først eller sidst, men den samme skelnen kan du ikke lægge på de to drenge, da du ikke har yderligere oplysninger om de enkelte drenge.

De enkelte udfald er jo en samlet pakke:

Pakke 1: "Først blev der født en pige, dernæst en dreng"
Pakke 2: "Først blev der født en dreng, dernæst en pige"
Pakke 3: "Først blev der født en dreng, dernæst en dreng"

Jo, men Bjarne, hvis vi udvider til en dreng født på en tirsdag, udvider vi jo 'Pakke 3' til:
3a: Først blev der født en dreng på en tirsdag, dernæst en dreng.
3b: Først blev der født en dreng, dernæst en dreng - født på en tirsdag.
Disse 2 scenarier er jo ikke ens, og dermed min påstand om populationen:
DtiP,PDti,DtiD,DDti, hvorefter P=1/2.

Jeg er med på problematikken, hvis man undlader tirsdagsoplysningen, men er stadig lidt i tvivl om hvorvidt resultatet (i det tilfælde) er 1/3 eller 1/2.

  • 0
  • 0

@Bue,
Nu var jeg lige så glad at det lykkedes mig at stille et scenarie op, der med en masse gyldige antagelser giver 13/27, og så kommer du og ødelægger det hele ved at sige at det ikke giver mening, bare fordi at jeg antager at F. er noget distræt. Det kan han da ikke gøre for. Jeg synes at det er synd for ham, og at det er vor simple menneskelige pligt at vise lidt overbærenhed :-)
Jeg tror at Jacob og hans sekundanter bliver kede af det :-(((

  • 0
  • 0

hej Stig,
Jeg ser sådan på det:
Hvis vi udvider pakkerne med F. valgmuligheder får vi:
PD
DP
DD
han vælger den første
giver P-D-D

han vælger den sidste
giver D-P-D
dette giver sammenlagt 4 D hvoraf de 2 stammer fra blandet og 2 fra ens.
Og så er vi tilbage ved 1/2.
De 2 P udgår fra populationan da vi ved at han har valgt D.
mvh raymund

  • 0
  • 0

[quote]I det andet scenarie bliver du nødt til at skelne mellem udfaldene, hvor en pige er født først eller sidst, men den samme skelnen kan du ikke lægge på de to drenge, da du ikke har yderligere oplysninger om de enkelte drenge.

De enkelte udfald er jo en samlet pakke:

Pakke 1: "Først blev der født en pige, dernæst en dreng"
Pakke 2: "Først blev der født en dreng, dernæst en pige"
Pakke 3: "Først blev der født en dreng, dernæst en dreng"

Jo, men Bjarne, hvis vi udvider til en dreng født på en tirsdag, udvider vi jo 'Pakke 3' til:
3a: Først blev der født en dreng på en tirsdag, dernæst en dreng.
3b: Først blev der født en dreng, dernæst en dreng - født på en tirsdag.
Disse 2 scenarier er jo ikke ens, og dermed min påstand om populationen:
DtiP,PDti,DtiD,DDti, hvorefter P=1/2.

Jeg er med på problematikken, hvis man undlader tirsdagsoplysningen, men er stadig lidt i tvivl om hvorvidt resultatet (i det tilfælde) er 1/3 eller 1/2.
[/quote]

Nedenstående handler ikke nødvendigvis om Foshees opgave, det skal bare hjælpe Stig til at forså ganske almindelig betinget sandsynlighed.

Stig, du udvider pakken meget mere. Du begår ovenstående en fejl ved ikke at være stringent. Når du tager ugedagen med for det ene barn, skal du også gøre det på det andet. Desuden skal du tage alle ugedage med, de kan jo også forekomme. (I ovenstående glemmer du i øvrigt også DtiDti, men det er en anden sag).

Fordi du ikke er stringent oven for, kommer du til at overse hovedparten af udfaldsrummet, der som udgangspunkt må omfatte alle kombinationer af "køn+ugedag". Børn at ethvert køn kan blive født på enhver ugedag.

Opstil derfor alle kombinationer af Dma, Dti, Do .... Dsø og Pma, Pti ... Psø. Det sker nemt i en 14x14 tabel. Udfaldsrummet består nu af 196 lige sandsynlige udfald (ganske svarende til de fire udfald i dit scenarie 1, som du kan opstille i en 2x2 tabel).

Af de 196 lige sandsynlige udfald er der en tirsdagsdreng i 27 tilfælde (nej, DtiDti skal ikke tælle for to, du talte heller ikke DD for to i dit scenarie 1. DtiDti forekommer ikke dobbelt så hyppigt som fx DoPo).

Og så tilbage til de 27 tilfælde med en tirsdagsdreng.

Ud af de 27 tilfælde med mindst én tirsdagsdreng er der 13 tilfælde med to drenge, så hvis du løser opgaven med ganske almindelig, betinget sandsynlighed er løsningen 13/27.

  • 0
  • 0

Hej Raymund,

Det var ogsaa meget diplomatisk...at moedes med alle...
Og jeg skulle maaske have blandet mig uden om...jeg kunne bare ikke;-D

Men det betyder nok ikke saa meget, jeg tror alligevel at 'de andre' regner uden nogen 'antagelser' og deraf ikke opdagede at dit indlaeg, var et 'moedes paa midten' indlaeg:-D

  • 0
  • 0

Jeg er med på problematikken, hvis man undlader tirsdagsoplysningen, men er stadig lidt i tvivl om hvorvidt resultatet (i det tilfælde) er 1/3 eller 1/2.

Til Ole og Stig..

I skulle starte med at forholde jer til om det er 1/3 for to drenge eller ej... for en far med to boern, der naevner at den ene er en dreng.

Alle der kan komme til 1/3, kan ogsaa komme til 13/27...samme fejl (eller ydeligtgaende antagelse om man vil)...

Det goer det nemmere at snakke, om to baern bla bla... giver 1/3 eller 1/2. Og naar fejlen, og uenigheden, allerede er indtruffet, hvorfor saa komplicere det ved at lave samme fejl igen med en tirsdag...
Ole, har jeg ret i min beskrivelse af DIN forstaelse af opgaven:
http://ing.dk/artikel/110748-simpel-matema...

Eller mener du stadig at der er 25% chance for PP, nar den ene er en dreng..

  • 0
  • 0

@Bue:

@Henning, jeg er ikke sikker paa hvor ueninge vi egentlig er....

Men bare for at praecisere jeres snak om en ordstyrer. For at regne paa sandsynlighedenj for hvad F. har sagt, er det ikke et problem hvis naeste taler vaelger at tale om tre boern eller patentløsning.

I denne gren af tråden er "næste" taler ikke faktisk den oplægsholder der efterfulgte Foshee ved Gathering for Gardner i marts. Der er tale om en tænkt situation.

"Sandsynlighed" handler ALTID om at man foretager eller forestiller sig et eksperiment der kan gentages med forskellige resultater. Når Foshee beder os om en sandsynlighed, ligger der underforstået i det spørgsmål at vi skal udtale os om et eller andet tænkt gentageligt eksperiment. Der opstår så et problem, fordi Foshee faktisk ikke har beskrevet noget eksperiment der kan gentages -- han har bare fortalt et eller andet om sine børn, og det er ikke særlig interessant at høre Foshee selv gentage samme oplysning igen og igen (det vil enten føre til at han hver gang HAR to drenge eller hver gang IKKE har, og dermed til sandsynligheden enten 1 eller 0). For at kunne svare på Foshees spørgsmål om sandsynlighed, er vi derfor NØDT TIL at tolke hans beskrivelse om til et tænkt eksperiment der kan gentages med forskellige resultater.

Ordstyreren kommer ind i billedet ved at den serie eksperimenter vi forestiller os, handler om at tage tilfældige tobørnsfædre og sende dem på talerstolen en efter en. Så må vi sørge for at lægge eksperimentet til rette så der er en endelig sandsynlighed for at nogen af fædrene siger som Foshee gjorde (ellers bliver svaret 0/0) og det er hvad den ordstyrer vi taler om, gør.

[quote]Hvis du ANTAGER at han vælger et barn med et raflebæger, så kan du løse opgaven under denne antagelse. Men du kan ikke antage at han vælger et barn med et raflebæger og stadig lade det stå hen i det uvisse om han bruger et raflebæger eller ej.

Igen, jeg tror vi er enige, saa jeg forstaar ikke hvorfor du skriver saadan.[/quote]Det var fordi det så vidt jeg husker ikke var dig men Raymund jeg skrev det til.

  • 0
  • 0

@Stig:

Jo, men Bjarne, hvis vi udvider til en dreng født på en tirsdag, udvider vi jo 'Pakke 3' til:
3a: Først blev der født en dreng på en tirsdag, dernæst en dreng.
3b: Først blev der født en dreng, dernæst en dreng - født på en tirsdag.
Disse 2 scenarier er jo ikke ens, og dermed min påstand om populationen:
DtiP,PDti,DtiD,DDti, hvorefter P=1/2.

Din fejl her er at formlen
P = (antal tilfælde med succes)/(antal tilfælde i alt)
kun duer når
1. De tilfælde du tæller samlet udgør hele det relevante udfaldsrummet
2. Tilfældene er lige sandsynlige
3. Der kan ikke indtræffe to tilfælde på samme tid
Din opregning af {DtiP,PDti,DtiD,DDti} opfylder de første to af betingelserne, men ikke den sidste -- idet det jo er muligt for et søskendepar at passe på både DtiD og DDti.

Hvis du siger at så fordeler vi DtiDti-familierne med halvdelen i DtiD den anden halvdel i DDti, redder du betingelse (3), men til gengæld går det galt i betingelse (2), for så er DtiP og DtiD ikke længere lige sandsynlige.

  • 0
  • 0

Det ser ud til at være svært at få 13/27 folkene til at udlevere deres antagelser, her er et forsøg på at hjælpe dem på vej.

Jeg har ingen børn, men jeg har to (voksne) søskende, hvilket da i det mindste lugter lidt af fisk. Ansporet af tråden her gav jeg mig til at kigge i gamle kalendere, og det viser sig at jeg faktisk næsten står i Foshees situation: Jeg har to søskende, og mindst én af dem [b]er[/b] en mand født på en tirsdag.

Hvad vil du så sige om sandsynligheden for at mine søskende begge er mænd?

  • 0
  • 0

Hej Henning,
Jeg vil sige at nu må tiden være kommet til at du selv kommer med et bud.
Du skulle gerne have de nødvendige forudsætninger for at gøre de rigtige antagelser i dette tilfælde :-)

  • 0
  • 0

Ja undskyld at jeg siger det, men debatten er totalt hovedforladt. Nogle skriver at det har relevans at det er en tirsdag. Andre at der har relevans at manden er tilfældigudvalgt blandt forældre med 2 børn, etc. etc. etc.

Ovenstående har samme relevans som at sige at man på et kasino ved ruletten har større sandsynlighed for at få rød end sort fordi man gik baglæns ind ad hoveddøren, spiste på McD istedet for en Bugerking, købte 3 og ikke 4 chips og vigtigst, jeg spillede første lørdag i sidste måned og fik 2 sorte i træk....

Prøv nu lige at tænke Jer om! Hvem fanden faderen er og hvilken dag på året og om han har bør i forvejen, osv. osv. har ingen som helst betydning, da ingen af disse parametre har indflydelse på hvilke børn man får - og hvis nogen tror de kan bevise det, så bevis lige først at kasino eksemplet ikke også er korrekt.

Så det hele kan opsummeres til: "En person har et barn, hvad er sandsynligheden for at det er en dreng" = 50 %. Og længere er den sku' ikke!

  • 0
  • 0

Ja undskyld at jeg siger det, men debatten er totalt hovedforladt. Nogle skriver at det har relevans at det er en tirsdag. Andre at der har relevans at manden er tilfældigudvalgt blandt forældre med 2 børn, etc. etc. etc.

Ovenstående har samme relevans som at sige at man på et kasino ved ruletten har større sandsynlighed for at få rød end sort fordi man gik baglæns ind ad hoveddøren, spiste på McD istedet for en Bugerking, købte 3 og ikke 4 chips og vigtigst, jeg spillede første lørdag i sidste måned og fik 2 sorte i træk....

Prøv nu lige at tænke Jer om! Hvem fanden faderen er og hvilken dag på året og om han har bør i forvejen, osv. osv. har ingen som helst betydning, da ingen af disse parametre har indflydelse på hvilke børn man får - og hvis nogen tror de kan bevise det, så bevis lige først at kasino eksemplet ikke også er korrekt.

Så det hele kan opsummeres til: "En person har et barn, hvad er sandsynligheden for at det er en dreng" = 50 %. Og længere er den sku' ikke!

Læs du nu bare debatte og bliv klogere, gamle dreng. Det hele startede faktisk med en opgave, der viser, at sådan nogle som dig tager fejl i deres intuitive bedreviden. Og der er ret stor forskel på en fødselsdag, der med en given sandsynlighed kan knyttes til ethvert barn i populationen, og dit valg af fastfood, som ikke kan.

Du er en tåbelig ignorant.

  • 0
  • 0

Prøv nu lige at tænke Jer om!

Så det hele kan opsummeres til: "En person har et barn, hvad er sandsynligheden for at det er en dreng" = 50 %. Og længere er den sku' ikke!

Tænk selv.

På kasinoet kan du spille et spil, hvor croupieren kaster to mønter, du ikke ser. Du skal gætte, om de begge er krone.

Hvis begge er plat, kastes mønterne om - det vil sige, at mindst en af mønterne er krone hver gang.

Du skal nu gætte, om der er to gange krone.

Hvis du nu spiller efter, at sandsynligheden er 50 procent, bliver du til grin.

  • 0
  • 0

Henning,

@Stig:[quote]Jo, men Bjarne, hvis vi udvider til en dreng født på en tirsdag, udvider vi jo 'Pakke 3' til:
3a: Først blev der født en dreng på en tirsdag, dernæst en dreng.
3b: Først blev der født en dreng, dernæst en dreng - født på en tirsdag.
Disse 2 scenarier er jo ikke ens, og dermed min påstand om populationen:
DtiP,PDti,DtiD,DDti, hvorefter P=1/2.

Din fejl her er at formlen
P = (antal tilfælde med succes)/(antal tilfælde i alt)
kun duer når
1. De tilfælde du tæller samlet udgør hele det relevante udfaldsrummet
2. Tilfældene er lige sandsynlige
3. Der kan ikke indtræffe to tilfælde på samme tid
Din opregning af {DtiP,PDti,DtiD,DDti} opfylder de første to af betingelserne, men ikke den sidste -- idet det jo er muligt for et søskendepar at passe på både DtiD og DDti.

Hvis du siger at så fordeler vi DtiDti-familierne med halvdelen i DtiD den anden halvdel i DDti, redder du betingelse (3), men til gengæld går det galt i betingelse (2), for så er DtiP og DtiD ikke længere lige sandsynlige.
[/quote]
Du er jo nok den (eneste), der har gjort opmærksom på min fejlantagelse.
I min 'udvælgelse' af population glemte jeg mængderne, og koncentrerede mig om udfaldet, uagtet de ikke er lige sandsynlige.

He - jeg begik squ også sjuskefejl 'dengang'.

Ved nærmere eftertanke må svaret naturligvis være 1/3.

  • 0
  • 0

Citat Ole:
Du er en tåbelig ignorant.

Ole det er dig der er taaben her... Slynger paastande ud, og svarer aldrig naar det bliver for kompliceret;-D
Jeg er i tvivl om du har interesse i at blive klogere..

På kasinoet kan du spille et spil, hvor croupieren kaster to mønter, du ikke ser. Du skal gætte, om de begge er krone.

Hvis begge er plat, kastes mønterne om - det vil sige, at mindst en af mønterne er krone hver gang.

Hvis du nu spiller efter, at sandsynligheden er 50 procent, bliver du til grin.

Du har lige infoert en regel som aendrer spillet, og saa ved vi da alle at der er 1/3 for to krone..
Min regel er at alle slag undtagenen KK slaas om...nu er det rigtig nemt at beregne;-D

Hvis du allerede inden spillet er startet, laver en regel om at PP, medfoerer at begge mønterne kastes om. Saa er det en udvalgt gruppe, hvor kun mindst en krone er velkommen.

Det er enten en antagelse, du skal beskrive hver gang du giver et resultat i den oprindelige opgave. Det fremgaar ikke af teksten at...inden spillet startede ville F. have gjort pige pige om!

Læs du nu bare debatte og bliv klogere, gamle dreng. Det hele startede faktisk med en opgave, der viser, at sådan nogle som dig tager fejl i deres intuitive bedreviden.

Da du ikke svarede nogle af mine tidligere indlaeg til dig, kan du maaske loese fire simple opgaver. Jeg gaetter hvad du vil svare, saa maa du korrekte mig, naar jeg gaetter forkert.

4 'simple' opgaver

En far med to baern bliver spurgt om det ene barn er en dreng.
1. Han svarer ja:
1/3 chance for to drenge.
2. Det modsatte, han svarer nej:
1/1 chance for to piger.

En far med to baern bliver bedt om at naevne koennet paa den ene.\
3. Han siger dreng:
1/3 chance for to drenge.
4. Det modsatte, han siger pige:
1/3 chance for to piger.

Er du enig i den loesning, jeg tror du ville give. Eller er der nogle af resultaterne du ser anderledes.
Hvis du mener det er en bestemt antagelse, til bagrund for at ovenstaede skulle vaere korrekt eller det modsatte, maa du ogsaa beskrive denne.

Og maaske du saa ogsaa klarer en mere.

Og en 'simpel' opgave mere

To grupper af 1000 faedre med to boern. I gruppe 1. skal alle faedre naevne koennet paa deres ene barn.

  1. I hvilken gruppe er der stoerst chance for at finde en far med blandede boern.

I gruppe 2 er der jo 'KUN' 50% chance for hver enkelt far har dette, da han ikke har naevnt et barn:-)

Du tager vel gruppe 1. hvor der er 1/3 for ens (et ud af fire udfald er jo udelukkket for hver far), og deraf 2/3 chance for blandet..

Haaber du snart goer mig klogere, Ole! Ellers kan du vist ikke tillade dig at kalde andre ignoranter!!

  • 0
  • 0

Til Bue.
Tak for svar. Du har helt ret. jeg har før set lyset, og du har også ret i hvorfor, jeg indimellem bliver svag i troen.
Jeg håber, du har ret, men tvivler af denne grund : Hvis alt fra start står lige åbent, har vi 4 ligevægtige muligheder. Vi får så at vide, at "Lady Luck" ikke har valgt to piger til Foshee, men betyder det så ikke bare, at valget er faldet på én af de andre 3 ligevægtige muligheder, og her er der kun halvt så stor chance for at få to drenge som at få en af de blandede, sådan som det har været tilfældet hele tiden ??? Vh. Steen
P.S. Vil det overhovedet være muligt, at lave et spil med to mønter (med drenge og pigesider), hvor to drengesider vil komme op lige så ofte som blandede par. Hvordan gør man ?

  • 0
  • 0

Vi får så at vide, at "Lady Luck" ikke har valgt to piger til Foshee, men betyder det så ikke bare, at valget er faldet på én af de andre 3 ligevægtige muligheder, og her er der kun halvt så stor chance for at få to drenge som at få en af de blandede, sådan som det har været tilfældet hele tiden ???

Hej Steen,
Det er essensen er om der var fire udfald i spil...eller om det er en udvalgt gruppe, hvor kun tre udfald var i spil.

Havde "Lady Luck" besluttet inden undfangelse at han ikke kunne faa to piger (20 aar tidligere), skulle valget vaere faldet på én af de andre 3 ligevægtige. Det svarer til at slaa krone-krone om, og saa er det tre tilbage vaerende ligesandsynlige.
"Lady Luck" vaelger (i danmark) ikke mellem tre udfald, ved to boern. I Danmark maa man tage hvad der kommer og fire udfald var i spil.

Vil det overhovedet være muligt, at lave et spil med to mønter (med drenge og pigesider), hvor to drengesider vil komme op lige så ofte som blandede par.

Nej, men det er nemt at lave et moentspil, hvor to ens kommer op lige saa ofte som blandede. Husk igen, at det er ikke givet foer foedslen at han ikke kunne faa to piger. Det er bare noget vi faar at vide senere at han ikke fik.

Saa simpelt kan det siges:
Saa du kan lave to spil, enten gaelder alle slag (gjorde de nok i F's tilfaelde)

Saa simpelt kan det siges, naar alle slag gaelder, der er 4 udfald (der regnes uden praeferencer):
DD 25%, PP 25 % og blandet 50%.
Naer han naevner et koen, er der stadig 50% for blandet, og i tilfaelde af to ens, ved vi nu hvilken.
Naevner han en dreng er der 50% for DD og 50% for blandet.. Vi kan udelukke PP som den eneste!

Og saa er der den hvor Pige-Pige slas om, der er nu kun 3 udfald:
Saa kommer der DD 1/3 og blandet 2/3.
Naer han naevner et koen, er der stadig 50% for blandet, og i tilfaelde af to ens, ved vi nu hvilken.
Naevner han en dreng er der stadig DD 25% og blandet 50%, da det ikke goer os klogere!
Jeg har opfordret til at kaste to moenter, hvor den ene er sjult og den anden kan ses..
Tael og du vil at 50% bliver ens(fordelt paa to varianter) og 50% bliver blandet. Og det er trods at vi kan udelukke et af fire udfald i hvert spil.

Disse fire udfald er det man behaover at forstaa, for at knaekke koden.

Statistisk er dette hvad vi ville se pa fire slag, hvor alle slag gaelder:
Vi ser en tilfaeldig moent, den vi har slaet med venstre haand!

PP - vi ser p
PK - vi ser p
PK - vi ser k
KK - vi ser k

I havldelen af dem hvor vi ser plat, er der to ens.
I havldelen af dem hvor vi ser krone, er der to ens.

hertil...

PP - vi ser p
PK - vi ser k
PK - vi ser p
KK - vi ser k

PP - vi ser p
PK - vi ser p
PK - vi ser k
KK - vi ser k

I havldelen af dem hvor vi ser plat, er der to ens.
I havldelen af dem hvor vi ser krone, er der to ens.

Prev selv at kaste to moenter en skult i den ene hand og en ud paa bordet saa du kan se den. Du vil hurtig opdage at udfaldene...naar alle slag spilles...fordeler sig ens, uanset om du ikke kan se moenterne...eller om du kan se den ene (selv om dette udlukker et af de fire udfald).

Det du kommer til, er at se de tilbagevaerende tre som lige sandsynlige, fordi det er vi vant til fra skole opgaver.... og hvorfor ikke. Men hvorfor ikke er ikke godt nok....
Hvis det skulle forholde sig saadan, skulle det at han siger dreng, gaere os praecis lige meget klogere, om hvert af de tilbagevaerende udfald...

Proev at forestille dig at de fire udfald, og at du ser en tilfaeldig moent/barn..saa vil du hurtigt finde det meget mere simpelt..

vh Bue

  • 0
  • 0

@Steen
Kortsagt, det du kommer til, er at lave varianter af en udvalgt gruppe. Hvor der foer 'spilles start'/'foedslen', kun var tre udfald i spil...og dette giver 1/3...gundet en udvalgt/sorteret og reduceret/begraenset guppe.

Men husk, det er ikke nok at faa at vide at det ikke blev krone-krone. Skal resultatet i moentspillet blive 1/3...Maa det ifoelge reglerne ikke blive krone-krone (altsaa kun en udvalgt gruppe af udfald gaelder).

  • 0
  • 0

Hvis der er nogen der er ignorant her - så er det mig! Jeg ignorerer trækken-rundt-ved-næsen indlæg, goddag-mand-økseskaft indlæg, og indlæg der handler om fast food og aliens.

På nettet kan ingen høre dig skrive!

  • 0
  • 0

Hej Bue! Du skriver, at jeg laver varianter af en udvalgt gruppe. Det forstår jeg ikke helt. Jeg forsøger netop at holde alle muligheder HELT og LIGE åbne indtil noget bliver lukket af F.,s oplysninger. Da F. havde sagt, at han havde to børn, og ikke sagt mere - stod de samme muligheder åbne for os, som for F. inden han fik nogen af sine to børn. Der var lige sandsynlighed for alle fire udfald.
Jeg ser sådan på det : Foshees situation inden han fik sine to børn : Han skal vende et at fire kort, og se, hvad der står på det. Alle fire kombinationsmuligheder er lige åbne og har samme vægt. Han vælger et af de fire kort, og ser hvilken af de fire fuldstændig lige kombinationsmuligheder, der er blevet ham tildelt.
Vores situation : Foshee fortæller os ikke hele sandheden om sin familie, men løfter et hjørne af sløret, ved at sige : Da jeg fik børn, skete det, ved at jeg trak ét af fire fuldstændig lige sandsynlige kort. På hvert af kortene stod en børnekombination. Jeg kan fortælle jer, at jeg ikke trak kortet med de to piger, jeg trak altså ét af de andre kort. Prøv at gæt hvilket, og begrund det med sandsynlighed.
Herfra ser det fra mig (men ikke fra dig) ud som om ingen af kortene har forrang eller tungere vægt frem for noget andet. Et kort er jo bare et kort, og der kan stå på det hvad, det skal være. Så hvorfor skulle netop det ene kort pludselig blive tungere end et af de andre. Der kunne lige så godt have stået A og B og C og D på kortene. Hvis F. i den situation IKKE havde trukket A, ville der så have været dobbelt så stor chance , for at han havde trukket C i stedet ? næ, han kunne da med samme sandsynlighed have trukket hvilket somhelst af de resterende kort.
Herfra mener jeg, (indtil jeg har set din kommentar :-), at denne parallel afspejler Foshees situation i en version, der ikke tager udgangspunkt i noget andet, en at én ud af fire kombinationer er udgået. Og intet andet.
Vh. Steen

  • 0
  • 0

[quote]Ja undskyld at jeg siger det, men debatten er totalt hovedforladt. Nogle skriver at det har relevans at det er en tirsdag. Andre at der har relevans at manden er tilfældigudvalgt blandt forældre med 2 børn, etc. etc. etc.

Ovenstående har samme relevans som at sige at man på et kasino ved ruletten har større sandsynlighed for at få rød end sort fordi man gik baglæns ind ad hoveddøren, spiste på McD istedet for en Bugerking, købte 3 og ikke 4 chips og vigtigst, jeg spillede første lørdag i sidste måned og fik 2 sorte i træk....

Prøv nu lige at tænke Jer om! Hvem fanden faderen er og hvilken dag på året og om han har bør i forvejen, osv. osv. har ingen som helst betydning, da ingen af disse parametre har indflydelse på hvilke børn man får - og hvis nogen tror de kan bevise det, så bevis lige først at kasino eksemplet ikke også er korrekt.

Så det hele kan opsummeres til: "En person har et barn, hvad er sandsynligheden for at det er en dreng" = 50 %. Og længere er den sku' ikke!

Læs du nu bare debatte og bliv klogere, gamle dreng. Det hele startede faktisk med en opgave, der viser, at sådan nogle som dig tager fejl i deres intuitive bedreviden. Og der er ret stor forskel på en fødselsdag, der med en given sandsynlighed kan knyttes til ethvert barn i populationen, og dit valg af fastfood, som ikke kan.

Du er en tåbelig ignorant.[/quote]

Hvis du nu selv havde læst debatten, så ville du vide at pointen af debatten netop var at han IKKE tager fejl i sin intuition. Som opgaven er formuleret har hvekjen oplysningen om dreng eller tirsdag nogen som helst betydning for svaret.
Man kan vælge at forstå opgaven anderledes, fordi man godt forstår hvad det var for en opgave som Ramskov gerne ville have stillet. Men det ændrer ikke ved, at som det danske sprog anvendes af sikre og kompetente sprogbrugere, så har Ramskov udbedt sig svaret om køn for den uafhængige hændelse fødselen af et enkelt barn.

Jeg forstår ikke at du, der har skrevet ret mange indlæg efterhånden uden at komme med nogle argumenter, ikke får en meget dårlig smag i munde af at kalde andre for tåbelig ignorant. Du fremstår gennem dine indlæg som en ret ubehagelig persontype. Man kan jo håbe at du er anderledes når du er nødt til at stå ansigt til ansigt med dem du kommunikerer med.

  • 0
  • 0

[quote]

Prøv nu lige at tænke Jer om!

Så det hele kan opsummeres til: "En person har et barn, hvad er sandsynligheden for at det er en dreng" = 50 %. Og længere er den sku' ikke!

Tænk selv.

På kasinoet kan du spille et spil, hvor croupieren kaster to mønter, du ikke ser. Du skal gætte, om de begge er krone.

Hvis begge er plat, kastes mønterne om - det vil sige, at mindst en af mønterne er krone hver gang.

Du skal nu gætte, om der er to gange krone.

Hvis du nu spiller efter, at sandsynligheden er 50 procent, bliver du til grin.[/quote]

Ja men, nu er det jo så ikke det spil som Ramskovs opgaveformulering beskriver.
I Ramskovs opgaveformulering kastes to mønter. Du oplyses om udfældet for en tilfældig af de to mønter, og skal nu gætte om de to mønter gav samme udfald.

Hvis du er uenige i at det er dette spil der ligger i Ramskovs opgaveformulering, så bedes du argumentere for dette. Bemærk at et argument ikke bare består i at sige at du har ret. Et argument er en logisk underbygget konsekvensrække, der fra udgangspunktet leder frem til dit synspunkt.

  • 0
  • 0

hej Steen
Jeg så godt at du skrev til Bue, så undskyld jeg blander mig -
Interresant betragtning du kommer med.
Hvis vi ser på det som et engangstilfælde lyder det besnærende, men de fleste her på debatten argumenterer for at sandsynlighed handler om at et ekperiment gentages X antal gange, og så finder man en fordeling af udfald, der derefter kaldes sandsynlighed. Det er også min forståelse af begrebet.
Hvis du gentager forsøget, skal du tage stilling til om F. hver gang han får et blandet kort skal sige dreng, (giver 1/3) eller om han hver anden gang skal sige pige, (giver 1/2) eller en helt tredie fordeling, måske at han skal sige pige, hvis det er muligt (giver 1/1).
Alt efter hvad du vælger at antage, vil det ende op i at de blandede bliver underrepræsenteret som argument for at den ukendte er en pige, og du vil ende op med noget der kan svinge fra 1/3 til 1 for to drenge.
mvh raymund

  • 0
  • 0

Så hvorfor skulle netop det ene kort pludselig blive tungere end et af de andre. Der kunne lige så godt have stået A og B og C og D på kortene. Hvis F. i den situation IKKE havde trukket A, ville der så have været dobbelt så stor chance , for at han havde trukket C i stedet ?

Du kan ikke se paa det issoleret som du goer med de fire kort, som da ville vaere ens. Du har selv talt om at han ville sige drenge oftere end piger, i hans situation..Og det skal tages med.

Han kunne fra starten have trukket et af alle fire kort.
Men DD, DP og PD er ikke ens med kort A, b og C. Grundet at DD tvinger ham til et anderledes adfaedrs moenster, end de to andre. Det tvinger ham til at sige dreng (giver ham ikke et valg som den eneste).

Kort sagt, og proev at taenke grundtigt over dette:
DD, DP og PD for ham ikke med samme sandsynlighed til at sige dreng...
DD for ham (uden praeference), praecis DOBBELT saa ofte til at sige dreng. Derfor, naar han siger dreng, og har en af diise tre, vejer DD, selvfoelgelig tungere. Det er den eneste der i 2/2 tilfaelde, for ham til at sige dreng.
Du mener vel ogsaa, at har han to drenge, vil han sige dreng til alle kommende foredrag. Det gaer han ikke noedvendigvis, hvis han har blandet.

Det at blandet tvinger ham ikke, til at sige dreng..Kun et af de tre udfald, tvinger ham ubetinget til dette...Det goer det udfald der ville tvinge ham til at sige dreng, mere sandsynligt end de to andre. Fordi han sagde dreng.

Formelen er simpel nok og rigtig (uden praeference):
P(DD) / ( P(DD) + P(DP) / 2 + P(DP) / 2 ) = 1/2 for to drenge.

Det er simplere end det lyder, og 1/3 leder til paradokser, se de 5 'simple opgaver' til Ole, simple at loese, men du burde se paradokset:
http://ing.dk/artikel/110748-simpel-matema...

Kiggede du paa min opstilling af alle fire udfald, og bemaerkede du at, kun i halvdelen af de blandede, saa vi plat...og det gjorde jo at af dem hvor der var plat/dreng...var halvdelen ens. Proev at kommentere den ogsaa, det vil faa dig til at forstaa, for det er meget simpelt..De fire udfald daekker alle muligheder (uden praeferencer).

Og hverken dreng/pige goer os klogere paa ham han har blandet. De tre udfald er bare ikke ens (kun et fremtvinger bestemt adfaerd, hvilket man skal forholde sig til). Men fra starten, med fire udfald, var de alle lige sandsynlige. Og blandet og ens var lige sandsynlige...efter koennet er naevnt er blandet og ens stadig lige sandsynlige..(men en af de to grupper er reduceret)
I samme ojeblik han siger dreng, er sandsynligheden for blandet...uandret..uden praeference.

Proev at kommentere paa de fire udfald

Disse fire udfald er det man behaover at forstaa, for at knaekke koden.

Statistisk er dette hvad vi ville se pa fire slag, hvor alle slag gaelder:
Vi ser en tilfaeldig moent, den vi har slaet med venstre haand!

PP - vi ser p
PK - vi ser p
PK - vi ser k
KK - vi ser k

I havldelen af dem hvor vi ser plat, er der to ens.
I havldelen af dem hvor vi ser krone, er der to ens.

  • 0
  • 0

Det der "tvinger" ham til at sige dreng er ikke hvilket kort han trækker, men hvilket spørgsmål der er stillet:

"Hvad er sandsynligheden for at jeg har to drenge?"

Hvis ikke man siger dreng er spørgsmålet meningsløst.

  • 0
  • 0

hej Jacob,
Prøv og tænk lidt over den finte at spørgsmålet er stillet efter at oplysningerne er givet.

  • 0
  • 0

Sandsynlighed giver først mening ved eksperimenter, der kan gentages.

Vi har her en mand, der stiller spørgsmålet: Hvad er sandsynligheden for at jeg har to drenge, når et af mine børn er en dreng født en tirsdag.

Kan eksperimentet gentages?

Ja, en anden mand kan stille nøjagtigt det samme spørgsmål, hvis han tilhører den samme delmængde af alle fædre. Dem der har to børn, hvoraf det ene er en dreng, født en tirsdag.

Derfor kan det naturligvis kun være denne delmængde af alle fædre, opgaven handler om. Det behøver vi ikke få at vide eksplicit, fordi alt andet betyder, at eksperimentet ikke kan gentages eksakt, hvorefter sandsynlighed slet ikke giver mening.

Så opgaven kan sagtens løses uden yderligere antagelser.

  1. Vi ved, det er sandsynlighedsregning.

  2. Vi får beskrevet et eksperiment, der kan gentages eksakt. Der er overhovedet ingen grund til at ændre på spørgsmålet, så det handler om piger eller to ens.

  3. Det er et spørgsmål om drenge, så det skal naturligvis altid være et spørgsmål om drenge.

Ergo - alle nødvendige oplysninger findes i opgaven. Det handler om betinget sandsynlighed blandt fædre med to børn. Opgaven er simpelthen meningsløs, hvis den handler om andet.

13/27 forever!

Hvorfor andre hele tiden vil definere helt andre opgaver og opfinde helt nye spørgsmål, står hen i det uvisse.

  • 0
  • 0

Kan eksperimentet gentages?
Ja, en anden mand kan stille nøjagtigt det samme spørgsmål, hvis han tilhører den samme delmængde af alle fædre. Dem der har to børn, hvoraf det ene er en dreng, født en tirsdag.

Nemlig - og udfra disse antagelser har vi allesammen fra starten været enige om, at resultatet er 13/27.

Ergo - alle nødvendige oplysninger findes i opgaven. Det handler om betinget sandsynlighed blandt fædre med to børn.

Det du gør her, er "reverse ingineering", dvs. at tolke og lave antagelser udfra, at resultatet skal give 13/27.
Men selvom det måske var den tolkning som Foshee havde i tankerne, så er der ingen belæg for denne tolkning i hans opgaveformulering.

Opgaven er simpelthen meningsløs, hvis den handler om andet.

Andre tolkninger bliver kun meningsløse, hvis man kun accepterer resultatet 13/27 - og dog, man kan også komme frem til 13/27 i et lidt andet scenarie.

At regne sig frem til 13/27 udfra dine antagelser er ret simpelt - at forstå tankegangen der leder hen til 1/2 er temmelig kompleks - jeg har været med næsten fra starten af den oprindelige tråd, og selv efter 3 måneders debat dukker der nye nuancer frem.

  • 0
  • 0

Men selvom det måske var den tolkning som Foshee havde i tankerne, så er der ingen belæg for denne tolkning i hans opgaveformulering.

Jo da. Det er faktisk det eneste, der er belæg for, fordi det direkte kan udledes af opgaveformuleringen, hvor ordet sandsynlighed bruges.

Dermed er det udelukket at stille et andet spørgsmål end dreng. Det er også udelukket at have to piger, fordi spørgsmålet så er meningsløst.

Dermed er eksperimentet fastlagt udelukkende ved hjælp af det stillede spørgsmål og helt uden antagelser. Spørgsmålet beskriver et gentageligt eksperiment, og så må man acceptere, at opgaven handler om dette eksperiment.

Ellers bruger man politikerknebet med aldrig at svare på det, man bliver spurgt om, for i stedet at svare på det, man gerne ville være blevet spurgt om.

Hvis spørgsmålet også skulle omfatte piger, skulle det have været udtrykkelig nævnt i opgavens formulering. Ellers er netop det en antagelse, der ikke er belæg for.

  • 0
  • 0

hej Jacob,
Prøv og tænk lidt over den finte at spørgsmålet er stillet efter at oplysningerne er givet.

Interessant. Hånden op, de der mener det er en afgørende forskel hvilken af de to sætninger der kommer først.

Jeg sidder på mine hænder.

  • 0
  • 0

[quote]hej Jacob,
Prøv og tænk lidt over den finte at spørgsmålet er stillet efter at oplysningerne er givet.

Interessant. Hånden op, de der mener det er en afgørende forskel hvilken af de to sætninger der kommer først.

Jeg sidder på mine hænder.[/quote]
Jeg tror ikke at vi skal tildele den rent retoriske rækkefølge af sætningene stor betydning, men det [b]er[/b] efter min mening væsentligt vi først skal [b]svare[/b] efter vi har fået oplysningen. Det betyder at hvad opgaven beder os om at finde, [b]må[/b] være en betinget sandsynlighed.

Desværre nytter det ikke meget, for det hjælper os ikke til at vælge [b]hvilken[/b] betinget sandsynlighed vi vil udregne:

P( to drenge | antal tirsdagsdrenge > 0 ) = 13/27
P( to drenge | et tilfældigt udvalgt barn er et tirsdagsdreng ) = 1/2

  • 0
  • 0

I Ramskovs opgaveformulering kastes to mønter. Du oplyses om udfældet for en tilfældig af de to mønter, og skal nu gætte om de to mønter gav samme udfald.

Hvis du er uenige i at det er dette spil der ligger i Ramskovs opgaveformulering, så bedes du argumentere for dette.

Ja, men nu er jeg så uenig.

Vi ved ikke om det er en tilfældig mønt vi får noget at vide om. Det står der ikke.

Vi ved heller ikke hvilken mønt vi får noget at vide om. Se nedenfor.

Og vi skal ikke gætte om de to mønter gav samme udfald, men beregne sandsynligheden for et bestemt udfald. Det står der.

Angående hvilken mønt. Antag at vi har to ukendte mønter (A og B) og en "identifikationsoperator" F. Den defineres sådan her:

Hvis mønten A er kendt er F(A) = 1. Hvis den er ukendt, er F(A) = 0. Tilsvarende for B.

F fortæller altså ikke hvad A eller B er, men om vi ved hvad A eller B er. F kan kun antage værdierne 0 eller 1.

Selv om vi har fået at vide at der er en mønt med et bestemt udfald, har vi ikke fået nok at vide til at sige F(A) = 1, eller F(B) = 1.

Vi har kun fået nok at vide til at sige F(A eller B) = 1.

Så F, der egentlig skulle bruges til at skabe klarhed mht id, bruges nu til kun at skabe delvis klarhed. Vi ved ikke hvem vi ved noget om.

Det er det forhold, der ændrer opgaven fra at dreje sig om ét barn, til at dreje sig om to børn.

  • 0
  • 0

Jeg tror ikke at vi skal tildele den rent retoriske rækkefølge af sætningene stor betydning, men det [b]er[/b] efter min mening væsentligt vi først skal [b]svare[/b] efter vi har fået oplysningen. Det betyder at hvad opgaven beder os om at finde, [b]må[/b] være en betinget sandsynlighed.

Jeg er fuldstændigt enig i at opgaven handler om betinget sandsynlighed. Men der er åbenbart nogen der mener rækkefølgen gør en forskel. [Hvad er Foshee, japaner? tidligere mr. Fuji ... Læser de ikke fra højre mod venstre.]

Desværre nytter det ikke meget, for det hjælper os ikke til at vælge [b]hvilken[/b] betinget sandsynlighed vi vil udregne:

P( to drenge | antal tirsdagsdrenge > 0 ) = 13/27
P( to drenge | et tilfældigt udvalgt barn er et tirsdagsdreng ) = 1/2

For at komme fra øverste til nederste eksempel er der tilføjet én eneste oplysning: barnet er tilfældigt udvalgt.

Denne oplysning vil jeg bede dig finde i opgaveteksten. Hvor står det.

Hvis du ikke kan finde det, så er det ikke en oplysning. Så er det en antagelse. Og så skal man have en (quote Ulla Tørnæs) rigtig rigtig rigtig (unquote) god grund til at gøre denne antagelse.

Because I'm worth it er ikke nok.

  • 0
  • 0

[quote]
P( to drenge | antal tirsdagsdrenge > 0 ) = 13/27
P( to drenge | et tilfældigt udvalgt barn er et tirsdagsdreng ) = 1/2

For at komme fra øverste til nederste eksempel er der tilføjet én eneste oplysning: barnet er tilfældigt udvalgt.
Denne oplysning vil jeg bede dig finde i opgaveteksten. Hvor står det.
[/quote]
Vi kan også vende den om og sige, at for at komme fra den nederste til den øverste, så SKAL han have drenge- plus tirsdagspræference. Dvs. at hvis har har en tirsdagsdreng, så skal han vælge dette barn.
Denne oplysning vil jeg bede dig finde i opgaveteksten. Hvor står det?

  • 0
  • 0

[quote]
Men selvom det måske var den tolkning som Foshee havde i tankerne, så er der ingen belæg for denne tolkning i hans opgaveformulering.

Jo da. Det er faktisk det eneste, der er belæg for, fordi det direkte kan udledes af opgaveformuleringen, hvor ordet sandsynlighed bruges.
[/quote]
Imponerende hvad du kan tolke ud af ordet "sandsynlighed".

  • 0
  • 0

@jacob,
Min tanke var at denne rækkefølge giver ham mulighed for at spørge om 2 piger, hvis han var kommet til at nævne en pige, det er ikke sikkert at det er uden betydning.
@Henning,
Jeg har svært ved at følge din logik, Hvordan skelner du imellem betinget sandsynlighed og simpel sandsynlighed? Der står ingen steder i opgaven at der skal bruges betinget sandsynlighed.
Og hvordan skelner du imellem betydende oplysninger og støj?
Den løsning jeg hælder til, er at det ene er allerede kendt, og derfor må sandsynligheden for det andet være 1/2. I denne opstilling betragtes tirsdagen som støj, og jeg opererer med simpel sandsynlighed.
Det at vi får tirsdagen at vide før vi skal svare, er for mig at se ikke noget argument for at den ikke skulle være støj, min erfaring er at støj gerne bliver placeret sådan at det generer mest muligt.

  • 0
  • 0

I øvrigt er det her det mest elendige dating-site jeg endnu har været inde på.

Nu ikke sippet - det er vel et spørgsmål om smag...

PS.: For at undgå misforståelser og uønskede tilbud, så må jeg erklære mig enig...

;-)

  • 0
  • 0

Imponerende hvad du kan tolke ud af ordet "sandsynlighed".

Wauw. Endelig et argument af høj lødighed og stor værdi. Siger alt.

  • 0
  • 0

Jeg har svært ved at følge din logik, Hvordan skelner du imellem betinget sandsynlighed og simpel sandsynlighed? Der står ingen steder i opgaven at der skal bruges betinget sandsynlighed.

Betinget sandsynlighed bruger man når man har oplysninger der først fremkommer efter eksperimentet er startet. Eftersom opgaven giver sådanne oplysninger, er det en opgave der spørger om betinget sandsynlighed.

"Simpel" sandsynlighed er ikke et udtryk jeg har brugt, men det kan vel betragtes som et særtilfælde af betinget sandsynlighed, nemlig med en betingelse der altid er opfyldt.

Og hvordan skelner du imellem betydende oplysninger og støj?

Det gør jeg ikke. Jeg tager hele molevitten med i den betingede sandsynlighed, og lader matematikken om resten. Hvis det faktisk er "støj", gør den ingen forskel at lade være en del af betingelsen. (Thi hvis det [i]gør[/i] en fordel, er det pr. definition ikke støj).

  • 0
  • 0

[quote]
Imponerende hvad du kan tolke ud af ordet "sandsynlighed".

Wauw. Endelig et argument af høj lødighed og stor værdi. Siger alt.[/quote]
Ja, desværre.

  • 0
  • 0

hej Henning, tak for svar.
Nogen har sagt at når man har fundet ud af at man er dum, er man godt på vej til at blive klogere, jeg håber det også gælder for mig.
Du skriver
"Betinget sandsynlighed bruger man når man har oplysninger der først fremkommer efter eksperimentet er startet. Eftersom opgaven giver sådanne oplysninger, er det en opgave der spørger om betinget sandsynlighed."

Det må så også betyde at hvis vi gentager eksperimentet er nogle af disse oplysninger ikke givet på forhånd.
Hvis vi prøver at følge Oles logik (eller regnekunst om man vil) er hans hovedargument netop at han vil bruge alle oplysningerne når han gentager forsøget.
Hvad er det så for oplysninger der først fremkommer efter at eksperimentet er startet?
Eller snakker du og Ole om hver sin ting?
Begrebet simpel sandsynlighed vil jeg godt tage på min kappe, det brugte vi i gamle dage, i tilfælde af en opgave der kunne reduceres, sådan at der kun var en ukendt variabel tilbage. Dengang var logikken at medmindre der var tale om udvalgskriterier, udgik sekundære oplysninger på en kendt variabel som støj.
Men der kan være sket meget på 30 år :-)

Bare for en orden skyld, du mener vel "forskel" og ikke "fordel"
mvh raymund

  • 0
  • 0

Sandsynlighed giver først mening ved eksperimenter, der kan gentages.

Vi har her en mand, der stiller spørgsmålet: Hvad er sandsynligheden for at jeg har to drenge, når et af mine børn er en dreng født en tirsdag.

Kan eksperimentet gentages?

Ja, en anden mand kan stille nøjagtigt det samme spørgsmål, hvis han tilhører den samme delmængde af alle fædre. Dem der har to børn, hvoraf det ene er en dreng, født en tirsdag.

Ja, og hele spørgsmålet er så hvilken gruppe denne anden mand skulle tages fra? Altså om opgaven på nogen måde indskrænker denne gruppe.
En sådan indskrænkning fremgår på nogen måde eksplicit af opgaveteksten, sådan som sproget dansk normalt anvendes af sprogets kompentente og sikre brugere, men er en tolkning som man kan vælge at lægge til opgavens givne oplysninger.

Derfor kan det naturligvis kun være denne delmængde af alle fædre, opgaven handler om.

Det er dit "naturligvis" her jeg gerne vil se et argument for. Hvorfor er det naturligvis kun denne delmængde?

Det behøver vi ikke få at vide eksplicit, fordi alt andet betyder, at eksperimentet ikke kan gentages eksakt, hvorefter sandsynlighed slet ikke giver mening.

Gentages eksakt? Enten kan eksperimentet gentages eller også kan det ikke, - det kan ikke ske mere eller mindre eksakt.
Hvorfor kan eksperimentet ikke gentages ved at en tilfældig tobarnsfar, fortæller om sit ene barns køn og fødselsdato, og derefter stiller spørgsmålet om sandsynlighenden for to han har to sønner? Det er jo en præcis gentaelse af hvad der er beskrevet i opgaveformuleringen at der sker.

Så opgaven kan sagtens løses uden yderligere antagelser.

Hvordan kan opgaven gentages uden at du gør en antagelse om fra hvilken gruppe den adspurgte far udtages?

  1. Vi ved, det er sandsynlighedsregning.

Duuh! og?

  1. Vi får beskrevet et eksperiment, der kan gentages eksakt. Der er overhovedet ingen grund til at ændre på spørgsmålet, så det handler om piger eller to ens.

Hvem har sagt at det pludselig skal handle om piger eller to ens? Spørgsmålet er stadigvæk sandsynligheden for to drenge uanset fra hvilken gruppe faderen udtages.

  1. Det er et spørgsmål om drenge, så det skal naturligvis altid være et spørgsmål om drenge.

Ergo - alle nødvendige oplysninger findes i opgaven. Det handler om betinget sandsynlighed blandt fædre med to børn.

Hvor er oplysningen om fra hvilken gruppe faderen er udvalgt?

Opgaven er simpelthen meningsløs, hvis den handler om andet.

Hvorfor det?

13/27 forever!

På den måde at udbasunere en stolthed over egen manglende evne til at forstå det upræcis i en tekstopgavens formulering, synes jeg ikke kan gavne dig.

Hvorfor andre hele tiden vil definere helt andre opgaver og opfinde helt nye spørgsmål, står hen i det uvisse.

Jeg har hele tiden forholdt mig til Ramskovs opgave præcis i hans egen formulering, så hvad mener du egentlig mede det?

  • 0
  • 0

[quote]
Imponerende hvad du kan tolke ud af ordet "sandsynlighed".

Wauw. Endelig et argument af høj lødighed og stor værdi. Siger alt.[/quote]

Hvad er egenligt din ærinde? Poul kommer forsøger ikke engang at komme med et argument her. Så det er lidt tomt at prøve at håne ham for at der intet er. Det kan du godt se? ik'?

Hvad Poul efterspørger i ironisk form, er hvordan du mene,r at ordet sandsynlighed kan betyde at kun den tolkning af opgaveteksten som du foretrækker kan være rigtigt? Det er et argument fra dig selv der savnes og efterspørges. Har du evt. fundet argumentet et sted, så post det lige her.

  • 0
  • 0

"Betinget sandsynlighed bruger man når man har oplysninger der først fremkommer efter eksperimentet er startet. Eftersom opgaven giver sådanne oplysninger, er det en opgave der spørger om betinget sandsynlighed."

Det må så også betyde at hvis vi gentager eksperimentet er nogle af disse oplysninger ikke givet på forhånd.

Ja; nemlig at der er tale om en mand der siger at han har en dreng født om tirsdagen. Vi må gå ud fra at når vi gentager eksperimentet med en ny tilfældigt valgt tobørnsfar, er der en mulighed for at han enten ikke kan eller vil sige sådan.

Man kan efter smag og temperament foretrække at formulere det enten som
1) eksperimentet går ud på at vælge en tilfældig tobørnsfar blandt de fædre der siger som beskrevet i opgaven.
2) eksperimentet går ud på at vælge en tilfældig tobørnsfar og derefter får vi at vide hvad han siger. Vi skal da fastsætte en sandsynlighed under forudsætning at han siger sådan-og-sådan.
Forskellen på de to formuleringer er efter min mening en sproglig nuance som ikke har nogen betydning for den matematik der bliver spurgt om. Det er en væsentlig den af mit budskab at "udvalg" og "efterfølgende oplysning" er matematisk ækvivalente.

Selv i formuleringen med "udvalg" bliver man nødt til at starte med at antage en "pæn" sandsynlighed over alle fædre og så restringere den til fædre der opfylder udvalgsbetingelsen. Og det er jo netop hvad der også sker i den anden formulering.

En stor del af forvirringen i tråden stammer fra at nogen mener/mente at det var en væsentlig forskel om man betraget opgaven som noget med udvalg eller noget med en efterfølgende oplysning. Det mener jeg må være forkert, fordi de to måder at formulere det på beskriver samme udregning fra (minimal) forskellige vinkler.

Det der adskiller 1/2 fra 13/27 er ikke "udvælgelse eller oplysning", men hvilke mænd vi antager siger hvad (og om nogen mænd har flere ting at sige de kan vælge imellem, så vi er nødt til at indføre en ekstra dimension i den originale sandsynlighedsfordeling til at repræsentere deres valg).

Eller snakker du og Ole om hver sin ting?

Det er meget muligt. Vi når ihvertfald frem til ganske modsatte konklusioner (Ole siger er 13/27 er det eneste rigtige svar; jeg mener at 13/27 og 1/2 begge er korrekte svar på mulige fortolkninger af opgaven). Jeg vil nødigt skulle til at afgøre præcis hvad Ole mener op netop ovenstående.

Begrebet simpel sandsynlighed vil jeg godt tage på min kappe, det brugte vi i gamle dage, i tilfælde af en opgave der kunne reduceres, sådan at der kun var en ukendt variabel tilbage. Dengang var logikken at medmindre der var tale om udvalgskriterier, udgik sekundære oplysninger på en kendt variabel som støj.

Som skulle være fremgåer, synes jeg ikke det er relevant at skelne mellem udvalgskriterier og andre oplysninger overhovedet, ihvertfald så længe man er i gang med at præcisere hvilket matematisk spørgsmål det er der bliver stillet. Når først man går i gang med at løse det spørgsmål man har præciseret sig frem til, er det naturligvis praktisk (men ikke nødvendigt) at fjerne betingelser som man kan vise er uafhængige af resten af udtrykket.

Jeg er ikke sikker på om din snak om kendte og ukendte variabler giver teknisk mening for mig. Den sandsynlighedslære jeg har lært (som blev krediteret til Kolmogorov) går ud fra at et eksperiment beskrives af et sandsynlighedsmål på en abstrakt mængde U, udfaldsrummet. En stokastisk variabel er da en (éntydig) funktion fra U til en konkret værdimængde. Fx har vi her at gøre med stokastiske variable K1 og K2 med værdimængde {dreng,pige} (kønnet af første og andet barn) og D1, D2 med værdimængde {mandag,tirsdag,...,søndag} (første og andets barns fødselsdage). En tredje variabel S er hvad faderen siger når han går på talerstolen. Dens værdimængde er ikke specificeret i detaljer, men indeholder ihvertfald "et af mine børn er en dreng født på en tirsdag". Opgaven siger ikke tydeligt om S er en funktion af K1,K2,D1,D2 eller S også kan afhænge af forskelle i U som ikke kan aflæses af K1,K2,D1,D2.

For hver stokastisk variabel kan vi aflede et sandsynlighedsmål på variablens værdimængde udfra sandsynlighedsmålet på U. Vi gør da (alle!) nogen antagelser om de afledede sandsynligheder for K1,K2,D1,D2, nemlig at P(K1=dreng)=P(K2=dreng)=1/2, P(D1=tirsdag)=P(D2=tirsdag)=1/7 og at alle variablene K1,K2,D1,D2 er stokastisk uafhængige.

Hvis vi forstår opgaven sådan at faderen altid siger noget om et af sine børn, men ikke nødvendigvis dreng og tirsdag, indfører vi også en stokastisk variabel V med værdimængde {1,2} som angiver hvilket barn faderen fortæller om. Så S=(K(V),D(V)), og vi kan spørge om
P( K1=dreng & K2=dreng | S = (dreng,tirsdag) )
Svaret bliver 1/2 hvis blot vi også antager at V er uafhængig af K1,K2,D1,D2. Vi behøver ingen antagelse om V's sandsynlighedsfordeling, men har naturligvis lov til at gøre en hvis vi har lyst.

Undskyld forelæsningen. Muligvis kan du bruge den til at forklare mig hvor dit begreb om kendte og ukendte variable passer ind i min formalisering, om overhovedet.

Bare for en orden skyld, du mener vel "forskel" og ikke "fordel"
mvh raymund

Ja.

  • 0
  • 0

@Henning (og kun Henning, de andre klaphatte læser jeg ikke længere).

God gennemgang.

Det eneste, jeg argumenterer for, er såmænd, at når en opgave i netop sandsynlighedsregning stilles med et konkret udsagn/spørgsmål, så er det rimeligt at antage, at opgaven handler om netop dette spørgsmål/udsagn. Andre spørgsmål/udsagn forekommer ikke, når muligheden for det ikke er nævnt i opgaven.

Som en logisk konsekvens af det må alle de mænd, opgaven handler om, have to børn, hvoraf det ene er en dreng født en tirsdag, og de vil alle nævne denne dreng, hvis de går op på talerstolen. Ellers kan de jo ikke gentage udsagnet/spørgsmålet.

Ingen af dem har med andre ord to piger, og ingen af dem så meget som overvejer at tage ordet pige i sin mund.

Måske en mærkelig flok, men sådan er opgaven nu en gang formuleret - og ikke som noget med at en tilfældig mand på klaphattenes årskongres nævner et tilfældigt barn og den ugedag, barnet tilfældigvis er født.

Jeg synes, at opgaven er skarp og præcis. Jeg synes ikke, den tillader forskellige tolkninger, som fx at nogle af deltagerne stiller sig op og siger, at de har en pige født en fredag.

Ellers er vi jo tæt på den gode, gamle easyout-funktion, EO(x), der pr. definition giver løsningen på opgaven x.

  • 0
  • 0

@Henning (og kun Henning, de andre klaphatte læser jeg ikke længere).

Er det en "teknik" vi andre også gerne må benytte i diskussioner eller en den forbeholdt dig. Ellers en god ide bare at affeje de spørgsmål man helst ikke vil besvare med at andre er klaphatte. Du fremstår stadigt mere
usympatisk.

Det eneste, jeg argumenterer for, er såmænd, at når en opgave i netop sandsynlighedsregning stilles med et konkret udsagn/spørgsmål, så er det rimeligt at antage, at opgaven handler om netop dette spørgsmål/udsagn.

Dejligt at se dig for først gang bruge foruleringen "antage". For første gang er du altså ved at indse at en tolkning af tekstopgaven er nødvendig for at formulere den matematisk.

Kan du ikke prøve at forklare hvorfor det er "rimeligt at antage", at oplysning om udfaldet af en enkelt hændelse skulle gøre at vi indsnævrer os til betragte udelukkende hændelser med netop dette udfald?

Andre spørgsmål/udsagn forekommer ikke, når muligheden for det ikke er nævnt i opgaven.

Som en logisk konsekvens af det må alle de mænd, opgaven handler om, have to børn, hvoraf det ene er en dreng født en tirsdag, og de vil alle nævne denne dreng, hvis de går op på talerstolen. Ellers kan de jo ikke gentage udsagnet/spørgsmålet.

Nej, det kunne de ikke og det ved vi heller ikke op de ville. Opgaven beskriver udfaldet af en enkelt hændelse, men oplyser ikke hvad det er for en gruppe af hændelser vi betragter; og det er vi nødt til at vide for at kunne løse en opgave i sandsynlighedsregning.

Ingen af dem har med andre ord to piger, og ingen af dem så meget som overvejer at tage ordet pige i sin mund.

Det har vi ingen mulighed for at vide, da alt hvad vi har fået oplyst er udfaldet af en enkelt hændelse.

Måske en mærkelig flok, men sådan er opgaven nu en gang formuleret - og ikke som noget med at en tilfældig mand på klaphattenes årskongres nævner et tilfældigt barn og den ugedag, barnet tilfældigvis er født.

Sådan som opgaven nu engang er formuleret er, at vi får oplyst udfaldet af en enkelt hændelse, men ikke får oplyst hvad det er for en gruppe af hændelser vi betragter.

Jeg synes, at opgaven er skarp og præcis. Jeg synes ikke, den tillader forskellige tolkninger, som fx at nogle af deltagerne stiller sig op og siger, at de har en pige født en fredag.

Ja det er vi klar over at du synes. Også dejligt at se at det nu er noget du "synes", og at det ikke længere bare er sådan det er.
Foruroligere det dig slet ikke, at du er den eneste i hele diskussionen, der ikke mener at opgaveformuleringen levner mulighed for tolkning (og det mente du nu ellers selv i starten af dit indlæg at den gjorde)? Eller du er måske den eneste der ikke er en klaphat?

  • 0
  • 0

Hej henning,
Tak for svar, foreløbig konkluderer jeg at dit eksperiment ikke er det samme som Oles, idet du lader muligheden stå åben for at den næste i rækken ikke kan eller vil sige det sammen som F. Så fik vi det på plads.
Jeg vil tygge lidt på din forelæsning, der iøvrigt forekommer mig logisk og konstruktiv, før jeg prøver at sammenskrive din og min opfattelse. Det kan let blive en længere smøre.
Du hører fra mig igen.

mvh raymund

  • 0
  • 0

Ole jeg krummer taer, naar jeg laeser din uintilligente og bedrevidende indlaeg..Du er den eneste der forholder dig til ingenting.
Og fremstaar hos mig som usympatisk.

  • 0
  • 0

Ole jeg krummer taer, naar jeg laeser din uintilligente og bedrevidende indlaeg..Du er den eneste der forholder dig til ingenting.
Og fremstaar hos mig som usympatisk.

Jeg har kun fulgt denne tråd fra sidelinien - så uden på nogen måde at prøve på at være konstruktiv ..... men det du skriver ovenfor synes jeg passer perfekt på dig, P. Bundgård og J. Olsen .. Makholm, Lauridsen og Woge Nielsen - hvor lang tid gider I blive ved?

Da der vel snart ikke kan tærskes mere langhalm på dette så jeg vil opfordre de tilbageværende til at skrue op for de personlige og perfide angreb for at jeg skal blive hængende .... men gør det så subtilt at I ikke kommer i den sorte bog

Karsten

  • 0
  • 0

Hej henning
Nu vil jeg prøve at følge din fremgangsmåde.
Vi starter med at have en abstrakt mængde U. det vi skal finde er den mængde der opfylder kriterierne, lad os kalde den R. Den endelige sandsynlighed bliver da R/U.
Først skal vi have defineret U.
Indtil nu har alle været enige om at der er eksakt 2 børn, så det holder vi fast ved.
Vi har nu K1 og K2, der hver for sig kun kan antage 2 værdier.
Så har vi ugedagene, det giver D1 og D2 der hver har 7 mulige værdier.
Det giver os 2 matrixer K1,D1 og K2,D2, der hver kan antage 2x7 = 14 værdier.
Disse 2 matrixer giver tilsammen 14x14 = 196 forskellige muligheder.
Hvis vi så indfører din V, ender vi op med K1xD1xK2xD2xV = 2x7x2x7x2 =392 forskellige udfald på U.
Så starter uenighederne. De forhåndskrav vi måtte stille til de deltagende fædre, vil reducere U.
Hvis vi kræver at de skal have mindst 1 dreng er vi nede på 1x7x2x7X2= 196.
Hvis vi kræver at de skal have mindst 1 dreng der er født tirsdag er vi nede på 1x1x2x7x2 = 28, (iregnet de 2 tirsdagsdrenge).

Det svar faderen giver reducerer også U1, men denne reduktion må ses i forhold til forhåndskravene.

Her kommer så et forsøg på at kombinere din metode med min logik.
Hvis vi starter forfra med 392 vil Foshees svar give os mulighed for at vælge om vi definerer drengen han vælger som K1 eller K2, idet faktorernes orden er ligegyldig, det er hvad jeg mener med en kendt variabel.
Vi vælger K1, og som følge deraf D1. Nu har vi K1xD1xK2xD2xV = 1x1x2x7x1 = 14.
V bliver til 1, som konsekvens af at han har valgt.
Spørgsmåler er “Hvad er chancen for 2 drenge”.
Samlet udfaldsrum U =1x1x2x7x1 =14.
Gunstigt udfaldsrum R =1x1x1x7x1 =7.
Da K1, D1, D2 og V optræder uændret i begge grupper, kan de forkortes væk, og vi har kun K2 tilbage. Dermed er problemet reduceret til 1/K2 = ½.
Det, at vi nu kun har en ukendt variabel tilbage, er det jeg kalder for simpel sandsynlighed.
Jeg håber at jeg har udtrykt mig forståeligt.

Jeg tror nu nok at vi er rimelig enige, men sig endelig til hvis vi snakker forbi hinanden, jeg er åben for at lære noget nyt.

mvh raymund

  • 0
  • 0

Da der vel snart ikke kan tærskes mere langhalm på dette så jeg vil opfordre de tilbageværende til at skrue op for de personlige og perfide angreb for at jeg skal blive hængende .... men gør det så subtilt at I ikke kommer i den sorte bog

Jeg synes heller ikke at der er mere at komme efter. Og det er da også det der afspejles i at de seneste indlæg ikke rummer den store uenighed, da alle er enige om at opgavens sproglige formulering giver rig mulighed for tolkning inden man når frem til matematikken.

Ja det vil sige alle undtage Ole. L. . Det kan til gengæld godt få mig til at skrive et indlæg når han skriver, at opgaven "naturligvis" kun kan forstås på en måde der giver resultatet 13/27, uden at han fremkommer med et argument for dette naturligvis. At skrive det ene bedrevidende indlæg efter det andet uden nogen sinde at fremlægge et argument har jeg altså meget sværet ved at akceptere, og finder meget lidt konstruktivt.

Jeg har virkelig samme fornemmelse som når jeg har diskuteret evolution med en kristen fundementalist, og på spørgsmålet om hvorfor noget "selvfølgelig" er som fundementalisten siger får svaret, at det er fordi at det naturligvis er sådan.

  • 0
  • 0

Får at nå 13/27 skal der være 1/3 for to drenge. Nedenfor er udvalgte situationer som drenge, pige præference og midt imellem. Og en udvalgt gruppe, og det burde fremgå hvilke der kan give 1/3 og deraf mulighed for 13/27.

Dette dækker udfald af to børn, og hvilket barn vi forventer at en far vil vise:

I alle senarier, har vi en far med to børn.

I udvalgt gruppen har alle en dreng. I de resterende senarier, nævner faren kønnet på sit ene barn.

Det burde nu være klart for alle hvorfor præferencer spiller en rollle. Hvis vi VED at en far SKAL nævne en pige om muligt og nævner en dreng, er sandsynligheden for to drenge 100%, Grundet at ANTALLET af mulige udfald der får ham til at sige dreng er ÉT (DD).

PIGE PRÆFERENCE

Vi antager han ubetinget viser en pige før dreng:

DD - vi ser en dreng.
DP - vi ser en pige.
PD - vi ser en pige.
PP - vi ser en pige.

I det tilfælde hvor vi ser en dreng, er der to drenge 1/1 for DD.
I de 3 tilfælde hvor vi ser en pige, er der 1/3 for PP.

DRENGE PRÆFERENCE

Vi antager han ubetinget viser en dreng før pige:

DD - vi ser en dreng.
DP - vi ser en dreng.
PD - vi ser en dreng.
PP - vi ser en pige.

I de 3 tilfælde hvor vi ser en dreng, er der 1/3 for DD.
I det tilfælde hvor vi ser en pige, er der to drenge 1/1 for PP.

INGEN PRÆFERENCE(resultatet bliver mellem drenge og pige præference)

Vi antager han viser et tilfaeldig barn:

DD - vi ser en dreng.
DP - vi ser en dreng.
PD - vi ser en pige.
PP - vi ser en pige.

I havldelen af dem hvor vi ser en dreng, er der to ens.
I havldelen af dem hvor vi ser en pige, er der to ens.

UDVALGT GRUPPE

Vi antager han er udvalgt i en gruppe af fædre med mindst 1 dreng:

DD - han har en dreng.
DP - han har en dreng.
PD - han har en dreng.

I 3 tilfælde, har han en dreng. Der er 1/3 for DD.

Forskellige antagelser, forskellige resultater

Ovenstående burde være nok til at regne en sandsynlighed på to børn, hvor den ene er kendt, ud fra forskellige antagelser.

Til dem der mener at F. automatisk er i en udvalgt gruppe, fordi at de ser det som om at et senarie kan gentages og ved gentagelse, skal der siges dreng igen.
Der kan jeg sige, at man kan godt udregne sandsynligheden for et simpelt møntspil på et kasino, uden at man antager at dealeren tilhører en 'krone gruppe' og skal sige krone hver gang. Resultatet kan ses i ovenstående, hvor det ikke er en udvalgt gruppe!

  • 0
  • 0

Tilføjelse til ovenstående

INGEN PRÆFERENCE(resultatet bliver mellem drenge og pige præference)

Vi antager han viser et tilfaeldig barn:

DD - vi ser en dreng.
DP - vi ser en dreng.
PD - vi ser en pige.
PP - vi ser en pige.

I havldelen af dem hvor vi ser en dreng, er der to ens. Der er 1/2 for DD.
I havldelen af dem hvor vi ser en pige, er der to ens. Der er 1/2 for PP.

  • 0
  • 0

For at ovenstående skal give mening, hvilket jeg ikke mener det gør, skal man ikke blot antage at den oplysning vi får er tilfældig, men også at det spørgsmål der søges besvaret er tilfældigt.

  • 0
  • 0

Hej Jakob,
Du lyder faktisk lidt overbevidst, siden du ikke anklager noget for at være forkert...Det er det heller ikke og det er så simpelt at alle kan være med.
Jeg fornemmer at du begynder at se lyset og kan se en pointe, som er svær at skyde ned, da den er rigtig.

For at ovenstående skal give mening, hvilket jeg ikke mener det gør, skal man ikke blot antage at den oplysning vi får er tilfældig, men også at det spørgsmål der søges besvaret er tilfældigt.

Spørgsmålet er, som hele tiden, er: "En far med to børn. Han nævner kønnet på den ene."
Nu er det 'SIMPELT'/'MULIGT' at udregne sandsynligheden får hvad det andet barn blev, udfra den valgte antagelse og det synlige barn. Når du har både sandsynligheden for en dreng og en pige, har du også svaret på dit spørgsmål!
Det behøves ikke være super kompliceret.

Ovenstående indlæg burde gære det nemt for alle at overskue alle yder senarier(antagelser):
http://ing.dk/artikel/110748-simpel-matema...

Og husk, at i Monty Hall-problemet vægtes de to tilbageværende døre heller ikke nødvendigvis 50% hver. Selv om der er 3 udfald tilbage, er der bestemt ingen gylden regel der siger de skal vægtes ens!

  • 0
  • 0

Hej Jakob,
Du lyder faktisk lidt overbevidst, siden du ikke anklager noget for at være forkert...Det er det heller ikke og det er så simpelt at alle kan være med.
Jeg fornemmer at du begynder at se lyset og kan se en pointe, som er svær at skyde ned, da den er rigtig.

For at ovenstående skal give mening, hvilket jeg ikke mener det gør, skal man ikke blot antage at den oplysning vi får er tilfældig, men også at det spørgsmål der søges besvaret er tilfældigt.

Spørgsmålet er, som hele tiden, er: "En far med to børn. Han nævner kønnet på den ene." I F's tilfælde ved vi det er en dreng, så er det det vi regner på.

Nu er det 'SIMPELT'/'MULIGT' at udregne sandsynligheden får hvad det andet barn blev, udfra den valgte antagelse og det synlige barn. Når du har både sandsynligheden for en dreng og en pige, har du også svaret på dit spørgsmål!
Det behøves ikke være super kompliceret.

Ovenstående indlæg burde gøre det nemt for alle at overskue alle yder senarier (antagelser):
http://ing.dk/artikel/110748-simpel-matema...

Og husk, at i Monty Hall-problemet vægtes de to tilbageværende døre heller ikke nødvendigvis 50% hver. Selv om der er 3 udfald tilbage, er der bestemt ingen gylden regel der siger de skal vægtes ens!

Så spørgsmålet er ikke tilfældigt, du ved der er to børn, du ved den ene er en dreng og du må bestemme dig for din antagelse, ud fra viden eller mavefornemelse. Og fra det har du sandsynligheden for at den ukendte er en pige og sandsynligheden for en dreng.

Du må kunne se at der er et resultatet, hvis du ved han ubetinget skal nævne pige om muligt, han har to drenge, når han nævner dreng.
Og et andet resultatet, hvis du ved han ubetinget skal nævne dreng om muligt.

  • 0
  • 0

Hej Jakob,
Du lyder faktisk lidt overbevidst, siden du ikke anklager noget for at være forkert...Det er det heller ikke og det er så simpelt at alle kan være med.
Jeg fornemmer at du begynder at se lyset og kan se en pointe, som er svær at skyde ned, da den er rigtig.

For at ovenstående skal give mening, hvilket jeg ikke mener det gør, skal man ikke blot antage at den oplysning vi får er tilfældig, men også at det spørgsmål der søges besvaret er tilfældigt.

Spørgsmålet er, som hele tiden, er: "En far med to børn. Han nævner kønnet på den ene." I F's tilfælde ved vi det er en dreng, så er det det vi regner på.

Nu er det 'SIMPELT'/'MULIGT' at udregne sandsynligheden får hvad det andet barn blev ved fødslen (ved kastet, når det er mønter), udfra den valgte antagelse og det synlige barn. Når du har både sandsynligheden for en dreng og en pige, har du også svaret på dit spørgsmål!
Det behøves ikke være super kompliceret.

Ovenstående indlæg burde gøre det nemt for alle at overskue alle yder senarier (antagelser):
http://ing.dk/artikel/110748-simpel-matema...

Og husk, at i Monty Hall-problemet vægtes de to tilbageværende døre heller ikke nødvendigvis 50% hver. Selv om der er 3 udfald tilbage, er der bestemt ingen gylden regel der siger de skal vægtes ens!

Så spørgsmålet er ikke tilfældigt! Du ved der er to børn, du ved den ene er en dreng og du må bestemme dig for din antagelse (ud fra viden eller mavefornemelse). Og ud fra din antagelse, får du et præcist resultat for: Sandsynligheden for at den ukendte er en pige og sandsynligheden for at den ukendte er en dreng.

Du må kunne se at der er et resultatet, hvis du ved han ubetinget skal nævne pige om muligt, han har to drenge, når han nævner dreng.
Og et andet resultatet, hvis du ved han ubetinget skal nævne dreng om muligt.

  • 0
  • 0

Hej Jakob,
Du lyder faktisk lidt overbevidst, siden du ikke anklager noget for at være forkert...Det er det heller ikke og det er så simpelt at alle kan være med.
Jeg fornemmer at du begynder at se lyset og kan se en pointe, som er svær at skyde ned, da den er rigtig.

For at ovenstående skal give mening, hvilket jeg ikke mener det gør, skal man ikke blot antage at den oplysning vi får er tilfældig, men også at det spørgsmål der søges besvaret er tilfældigt.

Spørgsmålet er, som hele tiden, er: "En far med to børn. Han nævner kønnet på den ene." I F's tilfælde ved vi det er en dreng, så er det det vi regner på.

Nu er det 'SIMPELT'/'MULIGT' at udregne sandsynligheden får hvad det andet barn blev ved fødslen (ved kastet, når det er mønter), udfra den valgte antagelse og det synlige barn. Når du har både sandsynligheden for en dreng og en pige, har du også svaret på dit spørgsmål!
Det behøves ikke være super kompliceret.

Ovenstående indlæg burde gøre det nemt for alle at overskue alle yder senarier (antagelser):
http://ing.dk/artikel/110748-simpel-matema...

Og husk, at i Monty Hall-problemet vægtes de to tilbageværende døre heller ikke nødvendigvis 50% hver. Selv om der er 3 udfald tilbage, er der bestemt ingen gylden regel der siger de skal vægtes ens!

Så spørgsmålet er ikke tilfældigt! Du ved der er to børn, du ved den ene er en dreng og du må bestemme dig for din antagelse (ud fra viden eller mavefornemelse). Og ud fra din antagelse, får du et præcist resultat for: Sandsynligheden for at den ukendte er en pige og sandsynligheden for at den ukendte er en dreng.

Antagelelsen medfører resultatet!

Du må kunne se at der er et resultat, hvis du ved han ubetinget skal nævne pige om muligt, han har to drenge, når han nævner dreng.
Og et andet resultatet, hvis du ved han ubetinget skal nævne dreng om muligt.

En antagelse kan også være at han ikke vil nævne drenge før piger eller omvendt!

  • 0
  • 0

Til Bue, men også andre !
Tirsdage er her helt væk, men jeg har spekuleret over det mærkelige faktum, at denne opgave tilsyneladende udløser uendelig uenighed. Er løsningen paradoksbefængt ?
Paradokser skyldes, så vidt jeg ved, som regel en eller anden sygdom i tankegangen, og hvordan kan en sådan ting være indbygget i en opgave, der ser så enkel ud ?
Når jeg spørger om dette, er det fordi, jeg synes, at der i dine opstillinger Bue (det sidste link) er i hvert fald to forskellige modeller (de to sidste), som viser to forskellige løsninger, uden at der tilsyneladende er fejl i nogen af dem samtidig med, at de ikke udelukker hinanden (tværtimod).
Jeg læser dig sådan : Hvis man laver en uendelig række Foshee opgaver, vil der i halvdelen af disse blive sagt : "Jeg har en dreng". Hvis man kigger på disse tilfælde, vil der i halvdelen af disse tilfælde være to drenge. Jeg kan med min bedste vilje ikke se, at der er nogen kant, denne sandhed kan angribes fra. Den synes for mig (lige nu) at være, hvad man kunne kalde uomgængelig, og den synes at tilsige, at når der i halvdelen af de tilfælde , hvor der SIGES "en dreng" er to drenge, må svaret være 1/2. Og her vil jeg gerne modsiges !
MEN MEN MEN. Det er jo lige så uomgængelig sandt, at i samme øjeblik (eller et mikrosekund efter) Foshee har sagt "dreng", har han givet os følgende information : Jeg tilhører en udvalgt delmængde af alverdens tobørnsfædre, som ikke har to piger, men mindst én dreng, og dette er et faktum, uanset hvad arrangører og andet godtfolk finder på. Sådan er jeg bare. Dette faktum siger du udløser løsningen 1/3, Bue, men begge dele kan jo ikke være sandt, og Foshee er jo ikke udvalgt, fordi han tilfældigvis tilhører en eller anden delmængde. Det gør han bare. Vis mig én, der ikke gør. Mit spørgsmål er derfor : uanset scenarier : Står vi i løsningen overfor et paradoks. Er der slet ikke en entydig løsning ? Steen
P.S. Hvis der i opgaven er indbygget et paradoks, tror da biiiiip, at vi ikke kan blive enige.

  • 0
  • 0

Jeg fornemmer at du begynder at se lyset ...

Her har man i indlæg efter indlæg forsøgt at sætte ny rekord i højrøvethed. Og så kommer det her der gør alle mine anstrengelser til grin.

  • 0
  • 0

Spørgsmålet er, som hele tiden, er: "En far med to børn. Han nævner kønnet på den ene."

Ikke enig. Spørgsmålet er, citeret efter hukommelsen: "Hvad er sandsynligheden for at jeg har to drenge?"

Hvor kom det andet fra?

  • 0
  • 0

Argumenter for at svaret er ½:

Der er kun ét ukendt barn. Vi skal slet ikke bekymre os om det andet barn. Derfor er svaret ½.

eller

Når et udfald bliver udelukket, skal sandsynligheden for dette udfald lægges ubeskåret til ét bestemt af de andre udfald. Derved bliver svaret ½.

eller

Sandsynligheden for ethvert udfald skal vægtes med chancen for at den givne oplysning var fremkommet med netop dette udfald. Det giver svaret ½.

eller

Der kunne have været stillet et andet spørgsmål end det der faktisk blev stillet. Når vi vægter med sandsynligheden for at det var sket, bliver svaret ½.

eller

Spørgsmålet bliver stillet efter oplysningen er givet. Det kan ikke udelukkes, at denne sproglige detalje betyder, at svaret er ½.

Dermed har ½-siden 4-5 indbyrdes modstridende metoder til at nå deres resultat. I stedet for at få afklaret hvilken af disse metoder man vil satse på, lader man blot uenigheden bestå og gratulerer hinanden med at være havnet det samme sted.

Argument for svaret 1/3:

Antal gunstige udfald divideret med antal mulige.

  • 0
  • 0

Argument for svaret 1/3:

Antal gunstige udfald divideret med antal mulige.

Hvis du nu havde læst indlæggene med forståelse for øje, så ville du have bemærket, at det også er sådan man når frem til resultatet 1/2.

Antal gunstige udfald divideret med antal mulige er simpethen den måde man med kombinatorik når frem til en sandsynlighed.

Sprøgsmålet står om hvilke udfald der er i gruppen af hhv. mulige og gumstige udfald. Og denne uenighed skylde opgavens sproglige formulering er er således en sproglig uenighed.

Det ser ud som om at du tror, at uenigheden er om matematikken. Det er den IKKE.

  • 0
  • 0

Citat Jakob:
Argument for svaret 1/3:
Antal gunstige udfald divideret med antal mulige.
Fra tidligere:
Der findes i hvert fald 3 kendte tilfælde med dette tema:

Foshee
Monty Hall
Bridge / teorien om begrænset valg

Du har selv bragt Monty Hall, som noget du mener du kan forstå! Du giver ikke meget argument for din løsning, andet end at der er 3 udfald, som du dividerer med... Det kan kaldes forsimplet matematik!

I Monty Hall's tilfælde ville det få opgaven til entydigt at give 50% chance for at vinde... Og vi er vist mange der har forstået (fint beskrevet på wikipedia), at i Monty Hall's opgave er det ikke nødvendigvis nok at "antal gunstige udfald divideret med antal mulige", da dette giver et forsimplet resultat.

Hvis du virkelig mener at du ser noget galt i de enkelte og meget simple opstillinger fra mit indlæg, synes jeg du skulle kommenterer/citere dette.
http://ing.dk/artikel/110748-simpel-matema...

De simple nok til alle kan sætte sig ind i dem og citerer hvad der skulle være forkert.

Citat Jakob:
[quote]Spørgsmålet er, som hele tiden, er: "En far med to børn. Han nævner kønnet på den ene."

Ikke enig. Spørgsmålet er, citeret efter hukommelsen: "Hvad er sandsynligheden for at jeg har to drenge?"

Hvor kom det andet fra?[/quote]Kan du generelt lide at forsimple ting, som du gør ved at vise et udklip af mit indlæg og sige "det forstår jeg ikke!"?
Fra mit indlæg:
"En far med to børn. Han nævner kønnet på den ene." I F's tilfælde ved vi det er en dreng, så er det det vi regner på. Nu er det 'SIMPELT'/'MULIGT' at udregne sandsynligheden får hvad det andet barn blev ved fødslen".

Jeg har svært ved at tro at du ser det som en meget forskellig opgave...men hvem ved og forsimpling er vel altid godt, ik?

  • 0
  • 0

Steen, der er ikke noget paradoks...:

Jeg læser dig sådan : Hvis man laver en uendelig række Foshee opgaver, vil der i halvdelen af disse blive sagt : "Jeg har en dreng". Hvis man kigger på disse tilfælde, vil der i halvdelen af disse tilfælde være to drenge. Jeg kan med min bedste vilje ikke se, at der er nogen kant, denne sandhed kan angribes fra. Den synes for mig (lige nu) at være, hvad man kunne kalde uomgængelig, og den synes at tilsige, at når der i halvdelen af de tilfælde , hvor der SIGES "en dreng" er to drenge, må svaret være 1/2. Og her vil jeg gerne modsiges !
MEN MEN MEN. Det er jo lige så uomgængelig sandt, at i samme øjeblik (eller et mikrosekund efter) Foshee har sagt "dreng", har han givet os følgende information : Jeg tilhører en udvalgt delmængde af alverdens tobørnsfædre, som ikke har to piger, men mindst én dreng, og dette er et faktum, uanset hvad arrangører og andet godtfolk finder på. Sådan er jeg bare. Dette faktum siger du udløser løsningen 1/3, Bue, men begge dele kan jo ikke være sandt

Som det jo nok er observeret, er det en sproglig opgave, og ikke en matematisk opgave.

Når du er ude efter '½-løsningen', så skal du have fat i fædre der har [b]eet[/b] barn, som er en dreng (født på en tirsdag, i fuldmåne d. 29. februar m.m.m.

[b]Har[/b] man en dreng og forventer nummer 2, er sandsynligheden naturligvis ½.

Nu går opgaven imidlertid ud på, at man [b]har[/b] to børn, hvoraf den ene er en dreng (+ nogle 'ligegyldige' attributter)

Ovenfor er udfaldsrummet begrænset til DP,DD, men i sidstnævnte er udfaldsrummet DP,PD,DD - altså 1/3 for DD.

afhængig af den sproglige fortolkning kan du udlede både ½ og 1/3.

  • 0
  • 0

Hvis man laver en uendelig række Foshee opgaver, vil der i halvdelen af disse blive sagt : "Jeg har en dreng". Hvis man kigger på disse tilfælde, vil der i halvdelen af disse tilfælde være to drenge. Jeg kan med min bedste vilje ikke se, at der er nogen kant, denne sandhed kan angribes fra.

Dette er helt korrekt! Ihvertfald matematisk, hvis det opstilles i en model hvor vi behandler drenge og piger ens. Når vi regner på et enkelt tilfælde, kan vi vælge at antage at drenge og piger skal behandles ens!

Det er jo lige så uomgængelig sandt, at i samme øjeblik (eller et mikrosekund efter) Foshee har sagt "dreng", har han givet os følgende information : Jeg tilhører en udvalgt delmængde af alverdens tobørnsfædre, som ikke har to piger, men mindst én dreng, og dette er et faktum, uanset hvad arrangører og andet godtfolk finder på. Sådan er jeg bare. Dette faktum siger du udløser løsningen 1/3

Nej, det gør han ikke! I det tilfælde at han ikke kommer fra en 'filtreret' gruppe, kan de tre udfald ikke behandles ens.

En ikke udvalgt gruppe

De tre udfald ikke behandles ens, grundet at:
DD resulterer i to ud af to tilfælde til at sige dreng.
Blandet resulterer statistisk IKKE i to ud af to tilfælde til at sige dreng.
Ud af seks mand med to DD, to DP og to PD:
To nævner dreng og har DD.
En nævner statistisk dreng og har DP.
En nævner statistisk dreng og har PD.
DD tvinger faren til at nævne dreng og gør at DD vejer tungere.
1/2 af de fire, der statistisk nævner dreng, har DD.

En udvalgt gruppe

I en udvalgt gruppe hvor mindst en dreng er krav:
De tre udfald er fuldstændig ens, grundet at:
Ud af seks mand med to DD, to DP og to PD:
To har en dreng og har DD.
To har en dreng og har DP.
To har en dreng og har PD.
1/3 af de seks har DD.

  • 0
  • 0

Hvis man laver en uendelig række Foshee opgaver, vil der i halvdelen af disse blive sagt : "Jeg har en dreng". Hvis man kigger på disse tilfælde, vil der i halvdelen af disse tilfælde være to drenge. Jeg kan med min bedste vilje ikke se, at der er nogen kant, denne sandhed kan angribes fra.

Dette er helt korrekt! Ihvertfald matematisk, når drenge og piger behandles ens. Når vi regner på et enkelt tilfælde, kan vi vælge at antage at drenge og piger skal behandles ens!

Det er jo lige så uomgængelig sandt, at i samme øjeblik (eller et mikrosekund efter) Foshee har sagt "dreng", har han givet os følgende information : Jeg tilhører en udvalgt delmængde af alverdens tobørnsfædre, som ikke har to piger, men mindst én dreng, og dette er et faktum, uanset hvad arrangører og andet godtfolk finder på. Sådan er jeg bare. Dette faktum siger du udløser løsningen 1/3

Nej, det gør han ikke! I det tilfælde at han IKKE kommer fra en 'filtreret' gruppe, kan de tre udfald ikke behandles ens.

En ikke udvalgt gruppe

De tre udfald ikke behandles ens, grundet at:
DD resulterer i at der i to ud af to tilfælde, bliver sagt dreng.
Blandet resulterer statistisk IKKE i, at der i to ud af to tilfælde, bliver sagt dreng.
Ud af seks mand med to DD, to DP og to PD:
To nævner dreng og har DD.
En nævner statistisk dreng og har DP.
En nævner statistisk dreng og har PD.
DD tvinger faren til at nævne dreng og gør at DD vejer tungere.

4 nævner en dreng, men udgør ikke en filtreret gruppe, 2 af de 4 har DD!

En udvalgt gruppe

I en udvalgt gruppe hvor mindst en dreng er krav:
De tre udfald er fuldstændig ens, grundet at:
Ud af seks mand med to DD, to DP og to PD:
To har en dreng og har DD.
To har en dreng og har DP.
To har en dreng og har PD.
Alle 6 tilhører en udvalgt gruppe og har en dreng, 2 af de 6 har DD!

  • 0
  • 0

Tak for svar Stig. Jeg kan da slet ikke være uenig i noget af det, du skriver, men hvorfor er det ikke nok til en 1/2-løsning, (selvom man allerede har begge to børn), hvis følgende er sandt : "I halvdelen af alle Foshee-opgaver i verden, vil der blive sagt: "Jeg har en dreng" (lige stor sandsynlighed for begge udsagn, indtil meldingen er kommet), og det gælder, at i disse tilfælde, vil der i halvdelen af tilfældene være to drenge". Hvis dette er sandt, hvorfor er det så ikke nok til at svaret er 1/2. Og ER påstanden sand ??? Steen

  • 0
  • 0

Argumenter for at svaret er ½:

Der er kun ét ukendt barn. Vi skal slet ikke bekymre os om det andet barn. Derfor er svaret ½.

eller

Når et udfald bliver udelukket, skal sandsynligheden for dette udfald lægges ubeskåret til ét bestemt af de andre udfald. Derved bliver svaret ½.

eller

Sandsynligheden for ethvert udfald skal vægtes med chancen for at den givne oplysning var fremkommet med netop dette udfald. Det giver svaret ½.

eller

Der kunne have været stillet et andet spørgsmål end det der faktisk blev stillet. Når vi vægter med sandsynligheden for at det var sket, bliver svaret ½.

eller

Spørgsmålet bliver stillet efter oplysningen er givet. Det kan ikke udelukkes, at denne sproglige detalje betyder, at svaret er ½.

Dermed har ½-siden 4-5 indbyrdes modstridende metoder til at nå deres resultat. I stedet for at få afklaret hvilken af disse metoder man vil satse på, lader man blot uenigheden bestå og gratulerer hinanden med at være havnet det samme sted.

Argument for svaret 1/3:

Antal gunstige udfald divideret med antal mulige.

Tja - der er mange løse ender på tråden:
1) Omhandler opgaven et eller to børn?
2) Hvem er udvalgt og hvordan? Og fra hvilken gruppe?
3) Hvad er tilfældige oplysninger i opgaven?
4) Skal der benyttes a priori sandsynligheder, frekventielle sandsynligheder eller subjektive sandsynligheder?
5) Skal der indføres specielle præferencer?
6) Betyder tirsdagen noget?
7) Betyder kønsoplysningen noget?
8) For de forskellige tolkninger: Er argumenterne divergerende eller konvergerende?
9) Er uenigheden om matematikken, det sproglige eller det logiske - og giver det mening at skille det ad?
10) Har det betydning for opgaven, at det er en mand der siger noget?

  • 0
  • 0

1) Omhandler opgaven et eller to børn?
Svar: 2...
2) Hvem er udvalgt og hvordan? Og fra hvilken gruppe?
Svar:Vi får intet af vide om udvalgt...
3) Hvad er tilfældige oplysninger i opgaven?
Svar:Ingen oplysninger behøves behandles som tilfældige...Men man kan antage at det er tilfældigt at en oplysning nævnes, hvis der var flere mulige...
4) Skal der benyttes a priori sandsynligheder, frekventielle sandsynligheder eller subjektive sandsynligheder?
5) Skal der indføres specielle præferencer?
Svar: Hvis man mener at der er grundlag for dette...men i en matematisk opgave er det oplagt at antage at der er 'Ingen præference'.
6) Betyder tirsdagen noget?
Svar:??? Man bør tage den med i sit regnestykke og lade matematikken tale!
7) Betyder kønsoplysningen noget?
Svar: Man bør tage den med i sit regnestykke og lade matematikken tale!
8) For de forskellige tolkninger: Er argumenterne divergerende eller konvergerende?
9) Er uenigheden om matematikken, det sproglige eller det logiske - og giver det mening at skille det ad?
Svar: Uenigheden er om det matematiske, da nogen mener at man, uanset situation mm, blot kan dividere med antallet af udfald og få et svar..
10) Har det betydning for opgaven, at det er en mand der siger noget?
Svar: Nej..

  • 0
  • 0

Tak for svar Stig. Jeg kan da slet ikke være uenig i noget af det, du skriver, men hvorfor er det ikke nok til en 1/2-løsning, (selvom man allerede har begge to børn), hvis følgende er sandt : "I halvdelen af alle Foshee-opgaver i verden, vil der blive sagt: "Jeg har en dreng" (lige stor sandsynlighed for begge udsagn, indtil meldingen er kommet), og det gælder, at i disse tilfælde, vil der i halvdelen af tilfældene være to drenge". Hvis dette er sandt, hvorfor er det så ikke nok til at svaret er 1/2. Og ER påstanden sand ??? Steen

Steen, lad os se bort fra det sproglige, og forholde os til 2 forskellige scenarier:
Scenarie 1:
Jeg [b]har[/b] en dreng(+attributter) og skal have et barn til - hvad er sandsynligheden for 2 drenge?
Her ved vi, at førstefødte er en dreng, og afventer kun ankomsten af nr. 2.
Da den førstefødte (i dette scenarie) er en dreng, kan hændelsen udelukkes af sandsynlighedsberegningen, da det er en indtruffen begivenhed (P=1).
Sandsynligheden for dreng eller pige vil altid være ½ (vi ser bort fra 51/49 'problemstillingen').

Scenarie 2:
Her er situationen lidt anderledes, for nu [b]har[/b] man 2 børn, hvoraf den ene er en dreng (+attributter).

I dette scenarie kan drengen [b]både[/b] være førstefødt, og sidstefødt, så udfaldsrummet (og mængden) for (forskellige) udvides fra DP til DP/PD.

  • 0
  • 0

I dette scenarie kan drengen både være førstefødt, og sidstefødt, så udfaldsrummet (og mængden) for (forskellige) udvides fra DP til DP/PD.

Tak, hvis der er nogen der ikke havde fattet dette endnu:-)

  • 0
  • 0

Hej Bue og tak for svar. Det er løbet ind, mens jeg skrev svar til Stig.
Dét, jeg STADIG ikke helt forstår, er følgende :
Foshee møder op og fortæller os nogle realiteter om sin familie, og stiller os et spørgsmål. Vi ved ikke noget om ham, før han åbner munden. Men da han har sagt dreng, ved vi noget. Vi ved, at han ikke kunne have sagt to piger, for det har han ikke. Vi ved, at han måske kunne have sagt en pige, men at chancen, for at dette vil ske, kun er halvt så stor, som at han sagde dreng (givet at han faktisk ikke har to piger).
Dét, jeg ikke kan se, er at Foshees vilkår, og det, vi får at vide af ham, skulle vægtes anderledes, hvis han ikke måtte komme og stille sin opgave, hvis han havde to piger. En sådan filtrering, ville jo ikke ramme Foshee. Han ville gå lige igennem filteret, og hans mulighed for at have to drenge ville da være nøjagtigt den samme, ligesom vores viden om ham ville være den samme.
Hvis F. var udvalgt, ville vi vide, at to piger var udelukket, men det ved vi også, i kraft af at han har sagt dreng, så jeg har svært ved at se forskellen.
Jeg skriver jo dette i det lønlige håb, at 1/2 løsningen kunne gælde både i den ikke-udvalgte og den udvalgte situation, fordi de faktisk er identiske (hvis de altså er, og HVIS 1/2-argumentet holder i den "ufiltrerede" version).
Noget, jeg også godt kan lide ved denne løsning, er, at den overtrumfer 13/27-løsneingen og dermed gør tirsdagsoplysningen overflødig. Steen

  • 0
  • 0

Til Stig ! Igen 100% enig - mindst. Selvfølgelig giver det to muligheder for blandet kuld, at vi ikke ved, hvem vi ved noget om, og det giver tre muligheder i alt. Men vi har jo også læst, her på tråden, at alle muligheder måske ikke altid skal vægtes lige. Derfor spurgte jeg om det ikke medførte, at 1/2- løsningen var den rigtige, hvis det var sandt, at der i de Foshee-opgaver, hvor der blev sagt dreng ville være to drenge i halvdelen af tilfældene. Og om påstanden var sand. Det kunne da være interessant at få opklaret. Steen

  • 0
  • 0

En sådan filtrering, ville jo ikke ramme Foshee. Han ville gå lige igennem filteret, og hans mulighed for at have to drenge ville da være nøjagtigt den samme, ligesom vores viden om ham ville være den samme.

Hvis du tager 1000 mennesker, med 2 børn og beder dem navne kønnet på den ene kan alle gøre dette.
500 vil have blandet. 500/1000 har blandet. 1/2 har blandet.

Hvis du tager 1000 mennesker, med 2 børn og fjerner de 250 der statistisk har PP.
500 vil have blandet. 500/750 har blandet. 2/3 har blandet.

Hvad F' har, DD eller blandet, ændrer sig ikke. Men de informationer vi har til rådighed, ændrer sig om det er en udvalgt gruppe eller ej.

En gruppe af fædre, med et barn, der nævner ugedagen af dette fødselsdag, vil ikke redicere gruppen.

Hvis samme gruppe udvælges til dem der har et barn født en tirsdag, reduserer gruppen til 1/7.

Vi har forskellig viden om de to gruppe, f.eks kan jeg sige at der er 100% chance for at faren i den udvalgte har et barn født en tirsdag.

  • 0
  • 0

En sådan filtrering, ville jo ikke ramme Foshee. Han ville gå lige igennem filteret, og hans mulighed for at have to drenge ville da være nøjagtigt den samme, ligesom vores viden om ham ville være den samme.

Hvis du tager 1000 mennesker, med 2 børn og beder dem navne kønnet på den ene kan alle gøre dette.
500 vil have blandet. 500/1000 har blandet. 1/2 har blandet.

Hvis du tager 1000 mennesker, med 2 børn og fjerner de 250 der statistisk har PP.
500 vil have blandet. 500/750 har blandet. 2/3 har blandet.

Hvad F' har, DD eller blandet, ændrer sig ikke. Men de informationer vi har til rådighed, ændrer sig om det er en udvalgt gruppe eller ej.

Eks på en udvalgt gruppe.

En gruppe af fædre, med et barn, der bedes nævne ugedagen af barnets fødselsdag, vil ikke reducere gruppen.

Hvis samme gruppe udvælges til dem der har et barn født en tirsdag, reducerer gruppen til 1/7.

Vi har forskellig viden om de to gruppe, f.eks kan jeg sige at der er 100% chance for at faren i den udvalgte har et barn født en tirsdag. I den ikke udvalgte gruppe er samme sandsynlighed 1/7.

Det giver forskellige resultater!

  • 0
  • 0

1) Omhandler opgaven et eller to børn?
Svar: 2...

Ja, 2 børn er nok hvad mange mener. Det er sådan set også min opfattelse.

Men så er der Jens Olsen, der har en anden holdning:

"Nej det handler faktisk kun om et barn. Nemlig om det barn som Foshee ikke har udtalt sig om kønnet på."

http://ing.dk/artikel/109315-simpel-matema...

Det ville da være rart om 1/2 tilhængerne kunne blive enige om hvor mange børn, der er i spil...

  • 0
  • 0

Du har fundet et, over en måned gammelt indlæg, fra d. 26. jul 2010 kl 23:21.
Det du bringer frem er taget ud af en sammenhæng, fra...en debat...behøver nok ikke opsumere en debat afsluttet for en måned siden. Jens har vist vist at han forståelsen til at beskrive både 13/27 løsninger, 1/2 og derimellem.
@Troels (du startede selv:-D)
I gamle dage kunne du, så vidt jeg husker, kun se det fra en vinkel.. Tælle dinne udfald...som regel fra et skema og komme til 1/3 (13/27), uden den store argumentation, nå ja...dit skema;-).

  • 0
  • 0

Du har fundet et, over en måned gammelt indlæg, fra d. 26. jul 2010 kl 23:21.
Det du bringer frem er taget ud af en sammenhæng, fra...en debat...behøver nok ikke opsumere en debat afsluttet for en måned siden. Jens har vist vist at han forståelsen til at beskrive både 13/27 løsninger, 1/2 og derimellem.
@Troels (du startede selv:-D)
I gamle dage kunne du, så vidt jeg husker, kun se det fra en vinkel.. Tælle dinne udfald...som regel fra et skema og komme til 1/3 (13/27), uden den store argumentation, nå ja...dit skema;-).

Jeg er sådan set stadig tilhænger af at tælle udfald.
Det kan være lidt svært at vide hvornår det er OK at henvise til tidligere indlæg, men det kan da godt være at Jens i dag mener noget andet. Det hører vi nok fra ham senere.

Så lad os tage noget helt aktuelt:

Dit svar Bue:
"9) Er uenigheden om matematikken, det sproglige eller det logiske - og giver det mening at skille det ad?
Svar: Uenigheden er om det matematiske, da nogen mener at man, uanset situation mm, blot kan dividere med antallet af udfald og få et svar.."

Citat Jens Olsen (fra 02. sep 2010 kl 00:57)
"Sprøgsmålet står om hvilke udfald der er i gruppen af hhv. mulige og gumstige udfald. Og denne uenighed skylde opgavens sproglige formulering er er således en sproglig uenighed.

Det ser ud som om at du tror, at uenigheden er om matematikken. Det er den IKKE."

http://ing.dk/artikel/110748-simpel-matema...

Er det matematik, retorik eller lingvistik der diskuteres?

  • 0
  • 0

1/2 tilhængerne kunne blive enige

Jens Olsen, Poul Bundgaard, Raymund og jeg selv ikke har været ueninge om det overordnede og resultatet i over 1,5 måned... Vi citerer ofte ikke hinanden, grundet at vi er enige om substancen...når der har været uenigheder om substancen, har vi indbydes debateret os til en afklaring.

Men vi har forskellige måder at beskrive samme løsning.. Det lyder nok som forskellige løsninger for nogen... Men har man først forstået problemet, er problemet, løsningen og dertilhørende antagelser, faktisk rimelig simpel at tale om..Også selv om den kan beskrives af mange forskellige veje.

  • 0
  • 0

[quote]1/2 tilhængerne kunne blive enige

Jens Olsen, Poul Bundgaard, Raymund og jeg selv ikke har været ueninge om det overordnede og resultatet i over 1,5 måned... Vi citerer ofte ikke hinanden, grundet at vi er enige om substancen...når der har været uenigheder om substancen, har vi indbydes debateret os til en afklaring.

Men vi har forskellige måder at beskrive samme løsning.. Det lyder nok som forskellige løsninger for nogen... Men har man først forstået problemet, er problemet, løsningen og dertilhørende antagelser, faktisk rimelig simpel at tale om..Også selv om den kan beskrives af mange forskellige veje.[/quote]

Hvis i har været enige så længe er det vel OK at citere ældre indlæg. Så ser jeg bare frem til at høre om hvor mange børn opgaven handler om. Og om det er matematik eller sproglig fortolkning der diskuteres?

  • 0
  • 0

Så ser jeg bare frem til at høre om hvor mange børn opgaven handler om.

Et mærkeligt spørgsmål da opgaven selvfølgelig omhandler TO børn.
Der har vi været, nemmest hvis du læste de gamle indlæg... Håber ikke du vil til at åbne en afsluttet debat..

Kort opsummering:
Det du finder frem er taget ud af en sammenhæng.
Hvis du kaster 1000 mønter og viser 999 tilfældige. F.eks dem længst dem længst til venstre, så regner du kun på en mønt længst til højre.
Der ligger altid en længst til højre og der er 50% chance for hvad den blev...Uafhangig af udfaldet af de 999 andre.
Men du kan godt, ved KORREKT brug af sandsynligheds regning komme til dette resultat, selv om du regner på alle 1000 mønter..Det er bare væsentligt mere kompliceret..
For nogen, næsten umuligt, selvom når vi kun har to mønter.

Håber dette giver svar på den debat du undrer dig over som kørte over en måned tidligere!

  • 0
  • 0

[quote]1) Omhandler opgaven et eller to børn?
Svar: 2...

Ja, 2 børn er nok hvad mange mener. Det er sådan set også min opfattelse.

Men så er der Jens Olsen, der har en anden holdning:

"Nej det handler faktisk kun om et barn. Nemlig om det barn som Foshee ikke har udtalt sig om kønnet på."

http://ing.dk/artikel/109315-simpel-matema...

Det ville da være rart om 1/2 tilhængerne kunne blive enige om hvor mange børn, der er i spil...[/quote]

Opgaven drejer sig (i hvad jeg mener er læsningen af opgaven efter normalt sprogbrug) om kun et barn, da fødslerne af de to børn er uafhængige. Det betyder dog ikke, at vi ikke kan regne opgaven igennem med begge børn i spil, bare for att ilfredstille dem, der insisterer på at det skulle give et andet svar. Det gør det imidlertid ikke. Svaret vil stadigvæk være 1/2, når vi udgår fra den samme forståelse af opgaven, og det uanset af hvor besværlig en vej vi vælger at nå frem til resultatet.

  • 0
  • 0

Med al kredit til Bue o.a. vil jeg vil efterhånden gerne have svar på følgende spørgsmål :
1) Er det sandt, at i alverdens "Fosheeopgaver", vil der blive sagt :"Jeg har en dreng" i ca. 50% af tilfældene (oversat : en tilfældig Foshee kunne ligeså godt have sagt pige som dreng, - indtil oplysningen er faldet). Sandt eller falsk ?
2) Er det sandt, at hvis ovenstående er sandt, så repræsenterer vores Foshee et af de 50% af alle tilfælde, hvor der blev sagt :"Jeg har en dreng ?" Sandt eller falsk ?
3) Er det sandt, at halvdelen af repræsentanterne for den halvdel af alle Fosheeopgaver, som vores Foshee repræsenterer (nemlig den halvdel, som siger "jeg har en dreng") har to drenge. Sandt eller falsk ???
4) Hvis det er sandt, at 3) er sand, hvorfor medfører det så ikke, at det rigtige svar på opgaven er 1/2 ????
Jeg vil selvfølgelig helst have svar fra 1/3 og 13/27 folkene. Hvor er det kæden hopper af, hvis den gør ?????? Steen

  • 0
  • 0

hej Steen.
Nu har jeg holdt lav profil et stykke tid, og troede at debatten var ved at ebbe ud, det er den så ikke :-)
Jeg ved ikke om du bliver klogere af mine svar, men jeg vil da godt give det en chance.
1. Ja.
2. Ja.
3. Ja.
4. Det medfører 1/2.
5. Kæden er ikke hoppet af endnu.
mvh raymund

  • 0
  • 0