Redaktionens favoritter: Den svære matematiske kunst at lægge fliser
more_vert
close

Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
Ved at tilmelde dig accepterer du vores Brugerbetingelser, og du accepterer, at Teknologiens Mediehus og IDA-gruppen lejlighedsvis kan kontakte dig om arrangementer, analyser, nyheder, job og tilbud m.m. via telefon og e-mail. I nyhedsbreve, e-mails fra Teknologiens Mediehus kan der forefindes markedsføring fra samarbejdspartnere.

Redaktionens favoritter: Den svære matematiske kunst at lægge fliser

Matematik er for mange noget af det skønneste, man kan forestille sig.

Inden for algebra findes æstetisk flotte udtryk som Eulers formel :

[latex] e^{i\pi} + 1 = 0 [/latex]

Kærligheden til matematik er et særkende hos Ingeniøren, og matematiske gåder er blandt de mest læste. De bedste gåder er dem, som vi kender fra hverdagen - og har man nogensinde forsøgt sig med at lægge et flisegulv, har man måske bemærket, at trekanter, firkanter og sekskanter kan dække en plan flade. Men ikke regulære femkanter. Men der er alligevel tricks, som man kan læse i denne artikel, hvor en mindre kendt 'einstein' optræder. - Henrik Heide, redaktionschef. Illustration: Nanna Skytte

Men for de fleste kommer skønheden nok tydeligst til udtryk inden for geometrien.

Både kunstnere og matematikere interesserer sig for flader, mønstre og symmetrier, periodicitet – eller mangel på samme. Det samme gør flisemurere og fliselæggere, når de arbejder med små badeværelses­gulve eller store torve.

Som alle kunstnere, håndværkere og matematikere ved, så er det bl.a. muligt med regulære trekanter, firkanter og sekskanter at dække en plan flade, mens det er umuligt med en regulær femkant.

Men der findes flere forskellige konvekse, irregulære femkanter, der kan udfylde en plan flade. I konvekse polygoner er alle vinkler under 180 grader – konkave polygoner giver flere muligheder og andre problemer, som vi vender tilbage til sidst i artiklen.

(1-5) De fem første irregulære konvekse femkanter, der kan udfylde en plan flade, blev opdaget af den tyske matematiker Karl Reinhardt i 1918. Længe troede man, at der kun fandtes de fem. (6-8) Nummer 6, 7 og 8 blev dog opdaget i 1968 af den amerikanske matematiker Richard Kershner. (9) En niende blev opdaget af Richard James III i 1975. (10-13) Nummer 10, 11, 12 og 13 blev opdaget af Marjorie Rice i 1976 og 1977. (14) Nummer 14 fandt Rolf Stein i 1985. (15) Den 15. blev opdaget af Casey Mann i 2015. Og nu er det bevist, at der ikke findes flere. Illustration: MI Grafik

Den tyske matematiker Karl Reinhardt var den første til at finde konvekse femkanter, der kan dække en flade. I sin doktorafhandling fra 1918 beskrev han fem forskellige slags – eller rettere sagt beskrev han familier af konvekse femkanter.

De er nemlig alle beskrevet eksempelvis som summen af vinklerne A, B og C er 360 grader, eller vinkel C= vinkel E =90 grader og a=e, c=d – og derfor findes der inden for familierne forskellige varianter, der kan se lidt forskellige ud, der opfylder Reinhardts betingelser.

Derimod findes ingen konvekse syvkanter, ottekanter osv., der kan udfylde en plan flade. Hverken regulære eller irregulære slags.

Det er forholdsvis let at bevise: Mindst tre polygoner skal mødes i et punkt. Heraf følger, at gennemsnitsværdien for den indre vinkel i polygonen ikke må være højere end 120 grader. I en syvkant er gennemsnitsværdien 900/7 grader = 128,6 grader, og denne gennemsnitsværdi stiger med antallet af kanter i polygonen.

Gennembrud i 1968

Længe mente mange, at Karl Reinhardt nok havde fundet alle de konvekse femkanter, der kunne dække en flade, men i 1968 fandt den amerikanske matematiker Richard Kershner yderligere tre familier af konvekse femkanter.

Samtidig hævdede han med stor sikkerhed, at der ikke fandtes yderligere konvekse femkanter, der kunne gøre det samme. I sin lille artikel undlod han at præsentere et bevis for denne påstand, med begrundelsen at »det ville fylde en større bog«.

Da Kershners nye femkanter kom til bredere kendskab via Martin Gardners populære klumme i Scientific American i 1975, var en læser, Richard James III, lynhurtig til at gøre opmærksom på, at der også var en niende femkant. Og to år efter havde amatørmatematikeren Marjorie Rice fundet yderligere fire. Så nu var der 13.

Ro over femkanterne

En professionel uddannet matematiker, Rolf Stein fra Dortmund, fandt i begyndelsen af 1980’erne nr. 14, som kom til omverdenens kendskab via en kort note i Mathematics Magazine i 1985.

Så faldt der igen ro over femkanterne, indtil Casey Mann fra University of Washington sammen med et par kolleger for to år siden gennemsøgte et større antal kandidater og fandt en 15. femkant, som kan udfylde en plan flade.

Da Reinhardt havde troet, han havde fundet alle, og Kershner var overbevist om, at han havde gjort det samme – og begge havde taget fejl – ville Casey Mann ikke erklære, at nu var alle femkanter fundet. Men det viser sig nu at være tilfældet.

Beviset handler om 'positiv densitet'

Beviset herfor er fremsat for nylig af Michaël Rao – en 37 år gammel matematiker fra École Normale Supérieure de Lyon i Frankrig.

Raos bevis baserer sig på, at hvis en femkant kan udfylde planen, så har den en særlig egenskab, som Rao kalder ‘positiv densitet’.

Det vil blive meget matematisk teknisk at gå i detaljer med, hvad dette helt præcist betyder, men det afgørende er, at der kun er en begrænset mængde af femkanter, der opfylder denne betingelse. I sin artikel viser Michaël Rao, at der er 371 forskellige.

Og så er det blot at undersøge, hvilke af disse potentielle kandidater der rent faktisk kan udfylde planen. Det er nu ikke helt så enkelt, som det lyder, har Michaël Rao fortalt.

Hans analyse reducerede i første omgang de 371 mulige tilfælde til 24, hvoraf de 15 første er de allerede kendte tilfælde. Det afgørende er, at tilfældene nr. 16-19 alle er specialtilfælde af de allerede kendte, og at nr. 20-24 ingen løsning har. Og dermed har han bevist, at der kun findes de allerede kendte 15 versioner.

Thomas Hales fra University of Pittsburgh er ekspert i brug af computere til løsning af geometriske problemer – og som tidligere omtalt af Ingeniøren kendt for sit computerbevis for Keplers formodning fra 1611 om, hvor tæt man kan pakke kugler i en stabel.

Kan man dække en flade i et aperiodisk mønster med blot en enkelt fliseform, og hvordan kan en sådan flise i givet fald se ud? Det er et uløst matematisk problem. Det eneste bud, der kendes i dag, er den såkaldte Socolar-Taylor flise, der er brugt til mønsteret herover – hvor én flise udgør de brune felter. Den har dog den skavank, at den ikke udgør en sammenhængende enhed og derfor kun vanskeligt kan betegnes som en flise. Illustration: MI Grafik
Socolar-Taylor-flisen kan dog laves i denne sammenhængende 3D-udgave, hvor sammensætning af 3D-elementerne vil dække hele fladen men ikke føre til en jævn overflade. Derfor anses Socolar-Taylor-flisen hverken i sin 2D- eller 3D-version for at være den såkaldte einstein (se hovedartiklen), som matematikerne er på jagt efter. Illustration: MI Grafik

Han siger ifølge Quanta Magazine god for Raos metode, så selv om artiklen endnu ikke har fået sin officielle blåstempling i form af et peer-review og en optagelse i et anerkendt tidsskrift, så skulle beviset altså være rigtigt nok.

Jagten på ‘einstein’

Rao har sagt, at han er en smule skuffet over ikke at have fundet nye femkanter, men hans metode kan måske vise sig egnet til at tackle det beslægtede problem: om det er muligt at udfylde planen i et aperiodisk mønster med fliser, der alle har samme form.

Det er muligt at dække gulve i et aperiodisk mønster, hvis man bruger flere forskellige fliser.

Den britiske matematiker og fysiker Roger Penrose viste eksempelvis i 1970’erne, at det var muligt med brug af kun to figurer – eksempelvis to forskellige romber.

Men det er endnu uvist, om det er muligt med blot en fliseform. En sådan kaldes i fagsproget en einstein.

Navnet har ikke noget med den kendte fysiker at gøre, men er blot en sammentrækning af ordene ein stein, som tilskrives den nu afdøde tyske matematiker Ludwig Danzer – som i øvrigt var vejleder for tidligere omtalte Rolf Stein, der fandt den 14. femkant.

Der kendes faktisk en bizar form for ‘flise’, der kan dække en flade i et aperiodisk mønster, men den er karakteriseret ved at bestå af adskilte dele. Den blev fundet af den australske amatørmatematiker Joan Taylor i samarbejde med Joshua Socolar fra Duke University i USA i 2011 og kaldes i dag for Socolar- Taylor-flisen.

Selv om man kan designe denne flise i en sammenhængende 3D-udgave, som kan placeres på en plan overflade og dække den fuldstændigt i et aperiodisk mønster, så regnes den ikke som en ægte einstein.

Kan datalogerne hjælpe?

Men ved endnu ikke, om en einstein findes, men måske kan geometrikerne få hjælp af dataloger til at finde svaret.

Dens eksistens er nemlig knyttet til problemet, om der findes et generelt computerprogram, der kan afgøre, om en vilkårlig flise kan dække en plan.

Mange eksperter formoder, at dette ikke er tilfældet – uden at der dog endnu foreligger et bevis herfor. Hvis denne opfattelse er sand, vil det betyde, at der findes en einstein, har Casey Mann – manden med den 15. femkant – tidligere beskrevet og forklaret i en artikel fra 2004 i American Mathematical Monthly.

Michaël Rao oplyser, at han vil arbejde videre ad einstein-sporet, men det er en vanskelig opgave, fordi det nødvendigvis betyder, at han skal arbejde med konkave polygoner, og de udgør et meget større kombinatorisk problem end konvekse.

Einstein-problemet er i øvrigt ikke det eneste uløste fliseproblem, der plager matematikerne. Der er stadig mange sten at vende inden for fliselægningens matematik, og nye gennembrud holder vi skarpt øje med her på redaktionen.

Emner : Matematik
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Nogen som ved om man kan købe den slags fliser (ude eller inde) nogen steder?
En hurtig søgning på nettet afslører at specielt "Cairo-fliser" er udbredt som flisebelægning i... Carios gader, men jeg kan ikke se nogen under mere danske himmelstrøg eller...?

  • 2
  • 0

Nogen som ved om man kan købe den slags fliser (ude eller inde) nogen steder?
En hurtig søgning på nettet afslører at specielt "Cairo-fliser" er udbredt som flisebelægning i... Carios gader, men jeg kan ikke se nogen under mere danske himmelstrøg eller...?

Svaret er at disse fliser ikke er rigtige fliser med underside og overside. foruden at rigtige fliser skal have et sted at begynde. Man lægger et bånd af fliser i en linje og lægger de andre ud fra denne stribe.

  • 0
  • 3

Man lægger et bånd af fliser i en linje og lægger de andre ud fra denne stribe.


Det er klart der vil være nogle randproblemer, men det plejer at kunne løses med en diamantskive - ligesom når der er et brønddæksel som stikker op i ens fliser. Derudover kan fliserne jo sagtens lægges hvis de blot eksisterer - og her er det vel bare et spørgsmål om at der skal være forme hos en producent, fuldstændigt som at der jo kan købes hexagone fliser (med alle vinkler = 120°) med tilhørende kantafslutninger (til rette linier)

  • 0
  • 0

...at det kun er 3, 4, 5 og 9 som har et mønster jeg ville lægge.

Hvis pointen er at finde en sten som dækker uanset mønster så opfylder alle 15 det men det skal altså også se ud så folk vil have det liggende.

Set ud fra et rent videnskabeligt synspunkt er det selvf. meget interressant.

  • 0
  • 0

Havde nogen søgt efter en løsning før Reinhardt?

Jeg spørger på grund af løsning nr. 3. Det ligner en løsning, som mange kloge hoveder (men måske ikke undertegnede) ville være kommet på ret hurtigt, hvis de var blevet bedt om at lave et mønster af femkanter. Det er jo blot det klassiske mønster af regulære hexagoner, hvor man efterfølgende har opdelt hver hexagon i 3 ens femkanter ved at trække 3 linier ud fra centrum med 120 graders mellemrum.

...at det kun er 3, 4, 5 og 9 som har et mønster jeg ville lægge.


Det er lidt sjovt, for det er nok dem, jeg ville undgå på grund af for meget synlig repetition eller for mange retvinklede kryds mellem to linier.

Det smukke ved mange af de andre mønstre er, at det tager lang tid at finde et system, når man kigger på dem. De ligner en stak fliser, der er kastet tilfældigt ned på jorden og på magisk vis alligevel udfylder pladsen perfekt. Det gælder især for nr. 2, 8 og 10.

  • 3
  • 0

Rigtigt interessant artikel - tak!

Jeg vil lige tilfoeje, at einstein-problemet er ikke helt praecist angivet i artikelen. Problemet er ikke at finde ud af om, det er muligt at udfylde planen i et aperiodisk mønster med een fliseform - men derimod at finde en fliseform der kan udfylde planen men kun i aperiodisk mønstre og ikke i et periodisk mønster.
Faktisk findes aperiodiske mønstre, som er dannet ud fra eet af de 15 femkanter beskrevet i artiklen, ihvertfald hvis man udelukker forskydelse men tillader rotationer. Disse aperiodiske mønstre blev fundet og senere opkaldt af een af mine kolleger her paa UNSW Sydney: the Hirshhorn tiling. Een af mine tidligere specialestuderende, Maria Fischer, skrev en nydelig speciale derom; hendes forkortet udgave er at laese i tidskriftet Parabola: https://www.parabola.unsw.edu.au/2010-2019...
Nyd!

  • 4
  • 0

Problemet er ikke at finde ud af om, det er muligt at udfylde planen i et aperiodisk mønster med een fliseform - men derimod at finde en fliseform der kan udfylde planen men kun i aperiodisk mønstre og ikke i et periodisk mønster.

Jeg skulle lige til at skrive samme indvending.

Udover den reference, du nævnte, kan man sagtens lave aperiodiske fliselægninger bare med 2×1 rektangulære fliser: De lægges parvis til 2×2 kvadrater, og kvadraterne lægges i et aperiodisk mønster med lodrette og vandrette delinger.

  • 0
  • 0