Polynesierne var først med et binært talsystem
Det er velkendt videnskabshistorisk viden, at det binære talsystem, som er grundlaget for moderne computere, blev opfundet af Gottfried Wilhelm Leibniz, der beskrev det i artiklen ‘Explication de l’Arithmetique Binaire’ i 1703.
Leibniz forklarede: ‘I stedet for en progression i tiere, hareg gennem flere år brugt den enkleste progression af alle baseret på toere, daeg har fundet, at det er nyttigt for perfektion af talteorien’.
Der er dog et lille twist på den historie. Andrea Berger og Sieghard Beller fra Universitetet i Bergen i Norge forklarer i en ny artikel i Proceedings of the National Academy of Sciences, at beboere på Mangareva i Fransk Polynesien brugte et binært talsystem flere hundrede år før Leibniz skrev sin artikel – eller mere retteligt: De brugte et kombineret binært og decimalt system, som har en lang række fordele, når man skal lave additioner og multiplikationer.
Polynesiernes talsystem vil endog med fordel kunne anvendes til division, skriver Berger og Beller, der dog også gør opmærksom på, at det ikke vides, om beboerne på Mangareva udførte divisioner.
Leibniz skriver i sin artikel, at et binært talsystem har en lang række fordele:
‘Det er ikke nødvendigt at lære udenad, som det gælder ved almindelige udregninger, hvor det eksempelvis er nødvendigt at vide, at summen af 6 og 7 er 13, og 5 multipliceret med 3 giver 15’.
På den anden side fører binære tal til meget lange udtryk, som kan være svære at overskue. Det er uden tvivl en af årsagerne til, at 10-talssystemer er det mest almindelige i forskellige kulturer – efterfulgt af 20-tals- og 5-talssystemer.
Der kendes kun få eksempler på 2-talssystemer. Et af disse er Middle Watut, som er et austronesisk sprog , der tales af omkring 1.350 personer på Papua New Guinea. Her tæller man på denne måde: morots (1), serok (2), serok a morots (3), serok a serok (4), serok a serok a morots (5) osv.
På Mangareva tales et sprog, som hører til den oceaniske gren af den austronesiske sprogfamilie. Antallet af personer, der taler mangarevansk er dog stærkt faldende og udgjorde i 2011 kun 600 personer.
På mangarevansk kan man tælle på to måder. Der findes et 10-talssystem med navne for 10-talspotenser op til 10 millioner (maeaea), som bruges i almindelighed. Derudover findes også et kombineret binært og decimalt system, der anvendes i forbindelse med optælling af meget værdifulde objekter som skildpadder, fisk, kokosnødder og blæksprutter.
Her er specielle navne for 10 (takau eller K), 20 (paua eller P), 40 (tataua eller T) og 80 (varu eller V) foruden navne for tal mellem 1 og 9.
Et vilkårligt tal udtrykkes således på mangarevansk:
N = [nV] + [T] + [P] +[K] + [n]
hvor n er et tal mellem 1 og 9, og de kantede paranteser indikerer, at udtrykket ikke er påtvunget.
Eksempelvis er 273 = toru varu paua takau toro = 3V P K 3 (idet toru betyder 3), og 219 = rua varu tataua iva = 2V T K 9 (idet rua betyder 2 og iva betyder 9).
I forbindelse med addition skal man kun vide og lære udenad, hvordan alle tal mellem 1 og 9 lægges sammen – eksempelvis at 4 + 8 = K2.
Når det gælder sammenlægning af potenser (den binære del) er reglerne mere enkle. Det er nok at vide, at K + K = P, P + P=T og T + T=V, og når det gælder multiplikation har man eksempelvis 3K = 2K + K = PK osv.
Bender og Beller bemærker, at mangarevanerne med deres system med både decimaltal og binære tal har undgået problemet med de meget lange udtryk ved et rent binært system, men bevaret fordelene ved de simple regneregler, som Leibniz også påpegede.
‘For denne enestående opfindelse og det, som vi kan lære heraf, fortjener mangarevanerne en fremtrædende placering, når det gælder teoretisering om numerisk kognition,’ lyder slutbemærkningen i de to forskeres videnskabelige artikel.
Med respekt for Jens Ramskov, artiklens forfatter, har jeg slået ordet "binær" op. Mon det på nogen måde kan betyde andet end "noget med to".
Så at kalde det ellers interessante talsystem for "binært" er vist en journalistisk frihed - som bør overlades til andre journalister.
Mon ikke de gamle danske betegnelser er nærmere ?
"Halvfjerdsindstyve" = 70 = [K] + [P] + [T].
En sandhed med modifikationer.
I totalsystemet maa man lære at 0 + 0 = 0, 0 + 1 = 1, 1 + 0 = 1, 1 + 1 = 10, 0 * 0 = 0, 0 * 1 = 0, 1 * 0 = 0, 1 * 1 = 1 og 10 * 10 = 100
Det er selvfølgeligt lidt nemmere end titabellen i titalsystemet.
Sådan har jeg godt nok aldrig opfattet halvfjerds. Jeg har fået det forklaret som "halvt op til fire" (altså 4-½ eller 3½) "gange, antal eller stykker" (sinde) af tyvere.
Men den forklaring fik jeg først længe efter at jeg havde lært udenad at halvfjerds = 70. Og så er vi ligesom tilbage ved Leibniz' påstand om, at vores talsystemer kræver udenadslære.
Derudover er jeg helt enig med dig i, at Jens Ramskov har strukket analogien lidt for hårdt.
Vores decimale talsystem har den egenskab tilfælles med det binære talsystem, at de begge er positionelle. Fraværet af denne egenskab får det Mangarevanske talsystem til at virke næsten ligeså primitivt som romertallene.
Vi i den Gamle Verden har været vældig gode til at sige at ting og processer blev opfundet når vi opdagede dem.
Mig bekendt fandtes der (helt op til nutidens billige lommeregnere) et avanceret og samtidig effektivt binært talsystem i NØ Afrika. Det har fungeret i lande/områder som har haft udbredt handel lige siden Faraoerne, og kan derfor formodes at have været i brug længe før den Gamle Verden kom til at dominere området.
Der findes ganske rigtigt fortællinger om alternative måder at regne på:
De store opdagelsesrejsende i 1500-1600-tallet var ikke de eneste, der rejste ud. Ofte fulgtes de af missionærer, der ikke bare forsøgte at udbrede den kristne tro, men også oprettede skoler, hvor den lokale befolkning brev undervist i at læse, skrive og regne. Til missionærernes store overraskelse var der områder, hvor befolkningen i forvejen kunne regne; blot på en helt anden måde end vi var vant til, men med det matematisk set rigtige resultat og en hel række fordele der gik langt ud det rent matematiske.
Eksempelvis kom missionærerne til Abessinien (nu Etiopien) og fandt, at indbyggerne havde et meget interessant system til multiplikation. Når bønderne drog til marked for at fx købe kvæg, havde de en pose pinde med sig, og disse pinde blev brugt til at udregne priserne på kvæget.
Hvis en bonde fx ville købe 5 køer á 13 Abes$, blev totalprisen udregnet på følgende måde:
I én række blev 5 pinde lagt op, og ved siden af blev nu en række på 13 pinde lagt op. Lad os blot for eksemplet sige, at de 5 pinde blev lagt op til venstre og de 13 pinde blev lagt op til højre.
Under de 2 rækker blev nu 2 nye rækker lagt op. Til venstre blev en ny række med det dobbelte antal pinde lagt op, dvs 10 pinde. Til højre blev en ny række lagt op med det halve antal pinde, dvs 6 1/2 pind. Nu er det jo sådan , at 1/2 pind vel også er en pind, så det giver jo ingen mening at tale om 1/2 pind. Derfor fjernes den halve, og der er kun 6 pinde. Således bliver man ved, og efter en del fordoblinger/halveringer får man 2 kolonner med følgende antal pinde (Jeg undlader hermed at tegne pinde, men skriver antallet i kolonnerne)
5 13
10 6 (1/2)
20 3
40 1 (1/2)
Da man i den venstre kolonne er kommet til 1, kan man ikke komme videre, og beregningen stopper hermed. Den lokale religion tilsiger desuden, at lige tal i højre kolonne (her 6) er djævlens værk og skal slettes sammen med deres ondsindede kumpaner i venstre kolonne. Man sammentæller derefter de tilbageværende tal i venstre kolonne og får resultatet 5 + 20 +40 (10 er fjernet sammen med 6 i højre kolonne) = 65.
Matematisk korrekt, men hvad der måske er endnu vigtigere:
Hele seancen med at optælle pinde (og den opmærksomme læser vil også have bemærket, at de handlende kan have haft interessante indledende diskussioner om hvorvidt 5 eller 13 skal stå i hhv højre eller venstre kolonne for at opnå et hurtigere resultat) var en væsentlig del af det sociale liv, og bidrog til et tæt sammenhold. Samtidigt er det bemærkelsesværdigt, at Abessinien igennem århundreder var i stand til at opretholde en rekordlav inflation. Enhver handlende, der forsøgte at gennemtvinge prisstigninger, blev straks meget upopulær, da det jo oplagt ville medføre, at man skulle medbringe sække af pinde for at udregne handelen, i stedet for de sædvanlige meget små poser. Ligeledes sikrede beregningssystemet en meget ligelig fordeling af landets ressourcer. Der var praktisk taget ingen millionærer i landet, da alene besværet med at beregne formuen umuliggjorde noget sådant.
Men den kristne kirke gjorde sit indtog, og med de nye beregningsmetoder, hvor 10'ere nemt kan blive til 100'ere eller 1000'ere, ændredes alt, og landet har siden praktisk taget stået i økonomisk ruin.