Tænkeboks: Peberbøssen poppede op på 1,50 sekunder

Illustration: Ingeniøren

I sidste uges opgave fra Mads Clausen Instituttet ved SDU i Sønderborg tabte kokken sin peberbøsse ned i en 45 cm dyb gryde med tomatsuppe.

Bøssen vejer 140 g, har en diameter på 4 cm og en højde på 11,5 cm, suppens densitet er 1.000 kg/m3, tyngdeaccelerationen er 9,81 m/s2, og peberbøssens hydrodynamiske formfaktor er 0,86.

Spørgsmålet lød: Hvor lang tid tager det peberbøssen i opretstående position at stige op fra bunden, indtil den bryder suppens overflade? (Se løsningen herunder).

– – –

Alle opgaver og deres løsninger kan efterhånden findes på ing.dk/fokus/taenkeboksen

Vi bringer en ny opgave i næste uge.

Illustration: Privatfoto
Illustration: Privatfoto

/elp

sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Løsningen? Jeg tror sidste led i a(v), kv^2, mangler at blive divideret med m. Der står også i løsningen at kv^2 er lig med væskemodstanden - som er en kraft - som dog trækkes fra accelerationer i a(v)

  • 4
  • 0

Efter min bedste overbevisning er løsningen der er vist på bagsiden forkert. Det er ret let at se at løsningen må være det må være forkert da bremsekraften ved en hastighed på 0,42 m/sec langt overstiger opdrift - tyngdekraft. Bremsekraften er lig opdrift - tyngdekraft ved ca 0,286 m/sec

Herunder min løsning:

Acceleration af peberbøssen vs hastighed giver flg. ulineære differential ligning.

[latex] \ddot{x}=g - k*\dot{x}^2 [/latex]

X = afstand fra bund.

g = accelerationen opad ved start med hastighed 0. (NB: Ikke tyngde acceleration her)

k er suppens bremseaccelerationen ved en hastighed på 1 m/sec

m = masse af peberbøssen

g beregnes af (opdrift - Tyngdekraft)/masse = 0,316 m/sec^2

A = arealet af peberbøsse toppen

Bremsekraften Fd er givet ved (Hvis jeg da har forstået Cd rigtigt)

[latex] F_{d} = \frac{C_d *A * \rho} {2} *v^2 = k *m *v^2 [/latex] Hvor [latex] k = \frac{C_d *A *\rho} {m *2} [/latex] [latex] k=\frac{C_d *\rho *\pi *d^2 } {8 *m} = 3,86 [/latex]

Løsning af denne ulineære differentialligning har jeg fundet på nettet (lidt Snyd ?) (døbt parachute equation)

[latex] x= \frac{1}{k}*(ln(\frac{e^{2b} + 1}{2})-b) [/latex]

Hvor [latex] b=t*\sqrt{gk} [/latex]

Heraf har jeg fundet t vs x til

[latex] t=\frac{\ln(e^{kx}+\sqrt[]{e^{2kx}-1})}{\sqrt[]{gk}} [/latex]

Indsættes X = 0,335 m og værdierne for k og g findes t = 1,78 sec.

undervejs til løsningen er der løsning af en 2. grads ligning hvor kun den ene rod kan bruges.

Der er også en løsning af differentialligningen for hastighed v vs t på nettet.

[latex] \dot{v}=g - k*v^2 [/latex] er løsningen

[latex] v=\sqrt{\frac{g}{k} }*(1-\frac{2}{\mathrm{e}^{2t\sqrt[]{gk}}+1}) [/latex]

Indsættes værdierne i denne findes V = 0,275m/sec ved toppen af suppen.

Jeg har verificeret resultatet med simulation i Excel.

Der er set bort fra at der i starten opbygges lidt undertryk under pebebøssen ligesom bremsekraften nok falder i nærhed af toppen. Men ellers en sjov opgave at løse.

Jeg har prøvet at løse på samme måde som vist på bagsiden. Her må jeg dog ty til min gamle opslagsbog med løsning på div integraler. Får dog samme resultat.

  • 3
  • 0

Kære opgaveløsere,

I har jo ret: Der mangler tydeligvis at blive divideret med 'm' i det sidste led i udtrykket for accelerationen. Sikke en dum fejl! Det betyder, at den rigtige værdi for hastigheden ved overfladen nu bliver 0,275 m/s, og tiden for at nå derop bliver 1,78 s.

(Det er da godt, at der ikke længere bliver uddelt "opgavestillerwhiskey" som for år tilbage - en sådan havde jeg da ikke fortjent for denne opgave...! :-) )

Venlig hilsen Bjarne Schmidt, opgavestiller.

  • 0
  • 0

Integral nr. 2 kan løses i hånden ved at opdele integranden i partialbrøker. For overskuelighedens skyld indsætter jeg de forskellige talværdier, så integranden får udseendet:

1 / ( 0.316 - 3.86 v^2 )

Nævneren har rødder +/- 0.286, så brøken kan skrives

1 / [ -3.86 ( v - 0.286 )(v + 0.286) ]

som ved opsplitning i partialbrøker giver

  • 1 / 3.86 * [ 1.75 / ( v - 0.286 ) - 1.75 / ( v + 0.286 ) ]

Nu kan integrationen udføres ved ledvis integration uden større ståhej.

Når jeg ikke har medtaget disse detaljer i den trykte løsning, er det dels for at løsningen ikke skal fylde for meget, og dels for at holde fokus på det, der var tanken med opgaven, nemlig de hydrodynamiske overvejelser (på bekostning af integrationsteknikker).

Jeg synes, det er en udfordring at finde på opgaver til Tænkeboksen, der både er lidt anderledes, lidt sjove, lidt svære, og hvor løsningen alligevel ikke fylder mere end det nederste af en avisside. Jeg tyer derfor undertiden til at hukke en hæl og klippe en tå i løsningerne, hvor jeg dog forsøger at få fremgangsmåden til at fremstå klart.

  • 1
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten