Er 𝜋^𝜋^𝜋^𝜋 mon et heltal?

Illustration: arkiv

Amerikanerne skriver 14. marts som 3/14. Derfor er denne dag også kendt som den internationale pi-dag, som det sikkert er kendt af mange af Ingeniørens pi-entusiaster.

Efter den tyske matematiker Ferdinand von Lindemann i 1882 viste, at 𝜋 er et transcendent tal, og cirklens kvadatur, som de gamle grækere havde kæmpet med i århundreder, derfor ikke var mulig, kunne man tro, at der måske ikke var så meget for matematikerne at kaste sig over omkring 𝜋 - måske udover at beregne 𝜋 med flere og flere cifre.

Men på internettet kan man finde flere interessante og pudsige 𝜋-spørgsmål, som matematikerne ikke kender svaret på.

Et af dem vedrører tallet 𝜋^𝜋^𝜋^𝜋. Kan det tænkes, at det er et heltal?

Det burde da være enkelt at finde ud, skulle man tro, men det er det ikke.

Og hvorfor skulle det i det hele taget kunne være et heltal?

Lad mig tage et andet eksempel først.

Hvis du finder en lommeregner frem og prøver at udregne exp(𝜋√43) så bliver du præsenteret for dette resultat 884.736.744. Et heltal! Det havde du nok ikke ventet.

Nå, rent faktisk er der en lille afrundingsfejl, for med lidt flere decimaler er resultatet 884.736.743,9998. Men det var da tæt på. Tallet er et næsten heltal.r

Men på baggrund af dette eksempel er det måske ikke helt umuligt at forestille sig, at et tal som 𝜋^𝜋^𝜋^𝜋 kunne være et heltal.

Hvorfor så ikke bare tjekke det? Lad os lige se på, hvilket slags tal vi har med at gøre.

𝜋^𝜋 er ca 36,46. 𝜋^𝜋^𝜋^𝜋 er ca. 1,3 x 10^18.

Antallet af cifre i 𝜋^𝜋^𝜋^𝜋 er i størrelsesordenen 10^18. Det er kort sagt problemet. Tallet er simpelthen alt for stort til, at vi kan udregne det og tjekke det.

Hvis du vil have en forklaring på, hvorfor man ikke afvise, at 𝜋^𝜋^𝜋^𝜋 kan være et heltal og samtidig lære lidt mere om transcendente tal, kan du se denne video. Hav en fortsat god pi-dag.

Emner : Matematik
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Jens, regner du den som venstre- eller højre-associativ ?

(((2^2)^2)^2) = 256

(2^(2^(2^2))) = 65536

(hvis jeg da ellers kan regne...)

  • 0
  • 0

Skyldes det, at matematikere synes, at det er uinteressant, eller har seriøse matematikere faktisk prøvet afgøre spørgsmålet uden success?

Det er ikke svært at stille spørgsmål, som ingen matematikere nogensinde har kigget på (fordi det ikke har nogen relevans), og dermed sige, at matematikerne ikke kender svaret. Men det betyder ikke, at det er særligt dybsindigt.

I det nævnte tilfælde er svaret næsten med sikkerhed "nej, det er ikke et heltal", og bare fordi almindelige double-precision floating-point tal ikke har præcision nok til at regne tallet ud med nok cifre til, at man kan se det første ciffer efter decimalkommaet, der ikke er 0 eller 9, betyder ikke, at det ikke kan lade sig gøre at beregne tallet med tilstrækkelig præcision ved at bruge andre talrepræsentationer. Men det kræver selvfølgelig en større indsats end at stille spørgsmålet, så det er der nok ikke nogen, der gider -- for så kommer der et lige så nemt stillet spørgsmål kort bagefter.

Bemærk, at et bevis for, at 𝜋^𝜋^𝜋^𝜋 ikke er et heltal næppe kan blive optaget i et matematisk tidsskrift -- for det er det oplagte svar. Så der er næppe nogen, der gider gøre arbejdet.

Så mit krav til folk, der stiller den slags spørgsmål er, at de selv har gjort en hæderlig indsats for at løse det. Og at taste det ind i en lommeregner og opdage, at der ikke er cifre nok er IKKE en hæderlig indsats.

  • 10
  • 1

Hvorfor så ikke bare tjekke det? Lad os lige se på, hvilket slags tal vi har med at gøre.

𝜋^𝜋 er ca 36,46. 𝜋^𝜋^𝜋^𝜋 er ca. 1,3 x 10^18.

Antallet af cifre i 𝜋^𝜋^𝜋^𝜋 er i størrelsesordenen 10^18. Det er kort sagt problemet. Tallet er simpelthen alt for stort til, at vi kan udregne det og tjekke det.

10^18 er et tal på 18 cifre. Dette er ikke specielt stort. Regnes det ud på lommeregneren på PC'en, giver det dog ikke det anførte tal, men kun et tal på 15 cifre. Heller ikke et stort tal. Det er intet problem, at lave et program der udregner tallet korrekt med mange flere cifre - men, det er korrekt, at lommeregnere ofte ikke kan. Ifølge Microsofts lommeregner på PC'en, er det ikke et helt tal.

  • 0
  • 2
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten