Matematisk gennembrud: Det største uløste problem inden for heltalsligninger er knækket
more_vert
close

Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
Ved at tilmelde dig accepterer du vores Brugerbetingelser, og du accepterer, at Teknologiens Mediehus og IDA-gruppen lejlighedsvis kan kontakte dig om arrangementer, analyser, nyheder, job og tilbud m.m. via telefon og e-mail. I nyhedsbreve, e-mails fra Teknologiens Mediehus kan der forefindes markedsføring fra samarbejdspartnere.

Matematisk gennembrud: Det største uløste problem inden for heltalsligninger er knækket

Det er en af matematikkens helt store skalpe, den 43-årige japanske matematiker Shinichi Mochizuki fra universitetet i Kyoto nu gør krav på.

Han har for nylig lanceret et bevis på 500 sider for abc-formodningen, som er i familie med Fermats sidste sætning, der siger, at der ikke findes heltallige løsninger til ligningen x^n + y^n = z^n, når n er et heltal større end 2.

Pierre Fermat skrev i 1630 i en af sine bøger: 'Jeg har fundet et virkelig vidunderligt bevis for denne sætning, men denne margen kan ikke rumme det.'

Matematikerne kæmpede de næste 350 år med at finde et bevis, indtil det endelig lykkedes for Andrew Wiles i 1994 med et bevis, der fyldte mere end 100 sider, og som næppe er det samme, som Fermat påstod at have haft.

Abc-formodningen - og vi kommer senere til, hvad den mere præcist går ud på - blev formuleret så sent som i 1985 af Joseph Oesterlé fra Université Pierre-et-Marie-Curie i Paris og af David W. Masser fra Universität Basel.

I første omgang er det interessant at notere sig, at hvis abc-formodningen er sand, så er det relativt enkelt at bevise Fermats sidste sætning.

Andre topmatematikere forstår det ikke endnu

Shinichi Mochizuki er en anerkendt matematiker, så hans kollegaer er opsat på grundigt at gennemgå hans bevis.

Det er dog en vanskelig proces, for Mochizuki har udviklet en lang række matematiske værktøjer, som er komplet uforståelige for selv nogle af verdens allerskrappeste matematikere. Mochizuki beskriver sig selv som en 'inter-universal geometer'.

Matematikeren Jordan Ellenberg fra University og Wisconsin, der skriver matematikbloggen Quomodocumque (latin for 'uanset hvordan') har beskrevet det på denne måde: 'Ved første øjekast, føles det, som om du læser noget fra det ydre rum.'

Beviset indeholder dog analyser af elliptiske kurver af formen y^2 = x^3 + ax + b, som også var en del af Andres Wiles bevis for Fermats sidste sætning.

Terence Tao fra University of California, Los Angeles, der har modtaget matematiksamfundets højeste anerkendelse, Fields-medaljen, i 2006, skriver i en kommentar til Jordan Ellenbergs blogindlæg, at han ikke er ekspert inden for Mochizukis felt, men han finder mange af tankerne interessante.

På sin egen blog giver Terence Tao en begrundelse for, hvorfor matematikerne anser abc-formodningen for at være rigtig.

Det må formodes at tage lang tid, før andre topmatematikere kan sige god for Mochizukis bevis.

Den franske matematiker Lucien Szpiro fra City Unversity of New York mente i 2007 at have et bevis for abc-formodningen, men der viste sig at være en fejl i beviset. Så der er ingen garanti for, at Mochizukis bevis vil klare sig gennem et grundigt gennemsyn.

Det begyndte med de gamle grækere

Fermats sidste sætning og abc-formodningen er begge diofantiske ligninger, som er opkaldt efter den græske matematiker Diofant, der levede i det andet århundrede.

I diofantiske ligninger er opgaven at finde heltalsløsninger.

Det var i en kopi af bogen Arithmetica, den latinske oversættelse af en bog af Diofant, at Fermat skrev sin berømte kommentar.

Abc-formodningen er blevet beskrevet som det største uløste problem inden for diofantisk analyse.

Primtal, kvadratfrie tal og kvadratfrie dele af et tal

Og nu nærmer vi os sagen.

Først skal nogle begreber dog på plads. Det gælder begreber som primtal, kvadratfrie tal og den kvadratfrie del af et tal.

Primtal er som bekendt et heltal, som ikke kan deles med andre tal end tallet selv og tallet 1.

Et kvadratfrit tal er et tal, som udelukkende indeholder forskellige primtalsfaktorer. 35 er et eksempelvis et kvadratfrit tal, fordi 35 = 5 x 7. Tallet 12 er derimod ikke et kvadratfrit, da 12 = 2^2 x 3.

For tal, der ikke er kvadratfrie, kan man definere en kvadratfri del, som er produktet af forskellige primtalsfaktorer i tallet. For tallet 12 er den kvadratfrie del 6, da 2 x 3 = 6.

Vi tager nu tre tal, som vi kalder a, b og c - og heraf kommer navnet abc-formodningen - således, at a+b=c.

Vi udregner den kvadratfri del af produktet abc, som vi betegner sqp(abc). Her benyttes den engelske betegnelse sqp for 'square free part'.

Et eksempel: a=5, b=8, c=13 giver abc = 5 x 2^3 x 13 og sqp(abc) = 5 x 2 x 13 = 130.

Det ses, at sqp(abc) > c. Sådan vil det være for de fleste tal.

Der findes dog en række undtagelser. Tager vi tallene a=1, b=8 og c=9, så er sqp(abc)=6 mindre end c=9.

Når dette er tilfældet, har vi en såkaldte abc-triplet.

David Masser beviste, at forholdet sqp(abc)/c kan være vilkårligt lille.

Det gælder således, at uanset hvor lille et tal din værste fjende giver dig, kan du finde en abc-triplet, hvor sqp(abc)/c er mindre end dette tal.

Abc-formodningen siger, at hvis man i stedet udregner sqp(abc)^r/c, så findes der en minimumsværdi for dette forhold, så længe r er større end 1. Og det gælder, uanset hvor lidt r er større end 1. Man kan f.eks. vælge r=1,0000001.

Hollandsk projekt finder abc-tripletter

Man kan opstille en såkaldt kvalitetsfaktor for abc-tripletter, som er q=log(c)/log(sqp(abc)).

q er dermed det tal, man skal opløfte sqp(abc) til for at få c. For en abc-triplet er q >1.

Man kan omformulere abc-formodningen, så den siger, at vælger man et tal h, som er større end 1 (f.eks. h=1,0001) så vil der være uendeligt mange abc-triplet med en kvalitet mellem 1 og h, men kun et endeligt antal abc-triplets med en kvalitet større end h.

Der findes også en svagere formodning, som siger, at nok er der uendelig mange abc-triplets, men der findes en tal g, så ingen abc-triplet har en kvalitet større end g (det kaldes også den svage abc-formodning).

Er den stærke formodning sand, er den svage også, mens det omvendte ikke er tilfældet.

Gillien Geuze og Bart de Smit fra Matematish Instituut, Universiteit Leiden i Holland har siden 2005 gennemført projektet Reeken mee met ABC (Beregning med ABC) og et internetprojekt kaldet ABC@home, der har til hensigt at finde abc-tripletter.

Den største kvalitetsfaktor, de har fundet, er q=1,6299, som gælder for tallet a = 2, b = 3^10 x 109 = 6.436.341 og c = 23^5 = 6.436.343.

Diofantisk projekt om kvadratroden af 2 hos Aarhus Universitet

Der findes flere andre uløste problemer inden for diofantisk analyse. Et af disse søger lektor Simon Kristensen fra Institut for Matematik ved Aarhus Universitet at løse.

Han modtog i 2010 en bevilling på 8,4 mio. kr. fra Det Frie Forskningsråd til et fireårigt forskningsprojekt inden for diofantiske ligninger. Projektet med navnet 'Diophantine approximation in small sets' gik i gang 1. februar 2011.

Overordnet har projektet relation til det uløste problem om fordelingen af cifre i kvadratroden af 2, som kan skrives som 1,414213562373095048801.., er jævn. Er der lige så mange 1-taller som 2-taller, 3-taller osv. i denne uendelige række? Meget tyder på det, men ingen har bevist det.

Dokumentation

Mochizukis hjemmeside
Ivars Petterson: The amazing ABC conjecture
ABC at home
Diofantisk projekt ved Aarhus Universitet
Terence Tao: The probabilistic heuristic justification of the ABC conjecture

Emner : Matematik
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Jeg har set en liste over fordelingen af tallene, der viste en vis variation.
Det er efter 10-talssystemet.
Er der nogen forskel på fordelingen hvis der anvendes andre talsystemer - f.eks. 16-talssystemet?

  • 0
  • 0

Giver man lidt slip i formaliteterne bliver det lidt sjovere.

Eks. 1: sqrt(1)^2 + sqrt(2)^2 = sqrt(3)^2 da 1 + 2 = 3

Eller den diofantiske kvantetrekant

(-1)^2 + (0)^2 = (1)^2

Jeg forsøgte at finde et eksempel mere end 3,4,5,-trekanten hvor tallene lå helt tæt og kom frem til den diofantiske kvantetrekant.

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

Det er dog en vanskelig proces, for Mochizuki har udviklet en lang række matematiske værktøjer, som er komplet uforståelige for selv nogle af verdens allerskrappeste matematikere. Mochizuki beskriver sig selv som en ’inter-universal geometer’.

Projektet lyder spændende, men jeg håber ikke han har brugt http://thatsmathematics.com/mathgen/

:-)

  • 0
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten