Matematikundervisning skal revolutioneres
more_vert
close
close

Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
Ved at tilmelde dig accepterer du vores Brugerbetingelser, og at Mediehuset Ingeniøren og IDA-gruppen lejlighedsvis kan kontakte dig om arrangementer, analyser, nyheder, tilbud mm via telefon, SMS og email. I nyhedsbreve og mails fra Mediehuset Ingeniøren kan findes markedsføring fra samarbejdspartnere.

Matematikundervisning skal revolutioneres

Danske skoleelever kan ikke ligefrem prale af deres matematikevner. Den nye Pisa-test viser, at vi halter langt efter f.eks. Finland og Asien.

Ingeniøren vil derfor gøre sit til at få hævet niveauet i den danske undervisning, blandt andet gennem en konkurrence om at finde Danmarks bedste matematikformidler. Forkvinden for Danmarks Matematiklærerforening, Lene Christensen, synes initiativet er en god idé:

»Vi kan sagtens blive bedre til matematik i Danmark og det er nødvendigt for alle at kunne matematik. Selv for musikere, radioteknikere og historikere, der skal kunne statistik. Vi har også brug for det i dagligdagen, når vi køber hus osv.,« siger hun, der dog ikke har stor tiltro til Pisa-testen.

»Der er så meget andet, de finske elever ikke er så gode til som danske. Til de nordiske matematikkonkurrencer kan vi se, at de danske er bedre til at tænke selvstændigt, lave projekter og præsentationer end de finske.«

Mere vægt på læren

Niels Egelund, der er leder af center for Strategisk Uddannelsesforskning på Danmarks Pædagogiske Universitetsskole samt leder af Pisa, afviser kritikken fra matematiklærerne, som en automatisk reaktion.

»Vi tester i forhold til, hvad eleverne skal kunne for at klare en ungdomsuddannelse og livet. Vi har klaret os pænt, men er faldet en del tilbage og det kan ikke nytte, når vi og vores ingeniører skal konkurrere med dem fra Shanghai. Der skal lægges mere vægt på læren end væren, eleverne skal undervises af lærere med matematik som linjefag og læreruddannelsen skal være en kandidatuddannelse.«

Hvad er det de kan i Shanghai?

»I Shanghai lærer de på 10 år i skolen det, som vi lærer på 3.g-niveau. Tiden bliver brugt langt mere effektivt, og de er længere tid i skole samtidig med, at de også får ekstraundervisning i fritiden. De har en meget stram styring i skolerne uden uro og diskussion,« siger Nils Egelund.

Dokumentation

Er du Danmarks bedste matematikformidler? Deltag i konkurrencen Matematik: Sådan!

»I Shanghai lærer de på 10 år i skolen det, som vi lærer på 3.g-niveau. ...« siger Nils Egelund.

Jamen så er de åbenbart nået helt op på det niveau vi var på omkring 1960.

  • 0
  • 0

[quote]»I Shanghai lærer de på 10 år i skolen det, som vi lærer på 3.g-niveau. ...« siger Nils Egelund.

Jamen så er de åbenbart nået helt op på det niveau vi var på omkring 1960.[/quote]

Ah, ikke helt. Som bekendt ligger en studentereksamen anno 2010 under en realeksamen anno 1970, og taler vi om matematik endda /langt/ under.

Matematik forstået som abstraktion og bevisførelse er nemlig i grund- og gymnasieskolen erstattet af regning, som ikke behøver forståelse. Selv på Københavns Universitet er den gal; jeg har dog så sent som i dag af en pensioneret universitetslektor fra DTU fået at vide at DTU holder standarden ... og at virksomhederne aktivt checker om nyuddannede ingeniører er matematisk modne.

  • 0
  • 0

Jeg tror man skal ned i maskinrummet og se på matematikbøgerne i folkeskolen. De er ødelæggende for fornuftig matematisk indlæring. Til gengæld kan dette forhold hverken bebrejdes lærere eller undervisningsministeriet, da disse organisationer ikke har noget med lærebøgerne at gøre. Grundlaget for matematikundervisningen fastlægges af forlaget Gyldendal og andre bogforlag, så det er der man skal begynde.

  • 0
  • 0

"»I Shanghai lærer de på 10 år i skolen det, som vi lærer på 3.g-niveau. Tiden bliver brugt langt mere effektivt, og de er længere tid i skole samtidig med, at de også får ekstraundervisning i fritiden. De har en meget stram styring i skolerne uden uro og diskussion,« siger Nils Egelund."

Ja tak for kaffe, til gengaeld har menneskerettigheder, arbejdsmiljoe, ligestilling, og stort set alt lige undtagen den haarde pengemaskine soergelige forhold i Kina.

Det er virkelig far ringe at vi skal sammenlignes med Kineserne, og desuden faas til at tro at deres helt ulidelige topstyring og undertrykkelse af folk er noget at se op til !

Vi maa kunne bedre end det, og samtidig bevare de kvaliteter i det Europaeiske samfund der er vores styrker - vores aabenhed, vores rettigheder, vores knaegtelse af de undertrykkende tendesnser i samfundet osv. Den slags holder ikke laenge hvis vi indfoerer et "effektivt" skolesystem som i KIna !

  • Jesper
  • 0
  • 0

Matematikundervisningen behøver kun udvikles.

Ing. og dennes medarbejdere skal og bør kunne skrive talværdier og enheder korrekt.

Eks: Energi måles i f eks. mWs eller MWh med en faktor 10^9 som forskel mellem m og M.

Det fremmer ikke forståelsen af matematik at benytte enheden sekundmeter sm eller s*m for hastighed, når det skal være m/s.

Det fremmer heller ikke forståelsen af matematik at "glemme" tegnsætning i talværdier, formler og enheder, fordi det er gammel praksis.

Som indlæget påpeger:
"Til de nordiske matematikkonkurrencer kan vi se, at de danske er bedre til at tænke selvstændigt."

Det kan matematikundervisningen ødelægge ved ikke at være tilstrækkelig stringent.

Et fromt ønske til Ing. inden man starter forsøg med matematikundervisning:

Benyt Excel's tegn og skrivemåde, det fungerer på ing.deb.

Mvh Tyge

PS: Som håndskrevet multiplikationstegn bruger jeg en lille femtakket stjerne. Den er enkel at indøve og sjov at benytte.

  • 0
  • 0

Hej Aage Andersen

Der er ikke noget i vejen med . prik som punktum eller x som bokstav, men de bliver ikke entydige for multiplikation i matematikken.

Prik . kan desværre bruges som både decimaltegn og 1000 tal skiller.

Kryds x bruges som variabel og ubekendt som bekendt.

En femtakket lukket stjerne ligner * tegnet for multiplikation i Excel, og er meget lettere at tegne på fri hånd end en 6-takket stjerne.

Prøv og øv, hilser Tyge

  • 0
  • 0

Prik eller kryds? Har du helt glemt vektorer?

I øvrigt bør man holde sig til standardnotation, som er udviklet gennem århundreder. Altså:

ax^2 + bx + c = 0, ikke ax^2 + bx + c = 0;

Og 'i anden' bør hvor muligt skrivers i superscript.

Man bør heller ikke have overflødige parenteser, men holde sig til det normale infix operatorhierarki.

  • 0
  • 0

Hej Per Erik Rønne

Tak for dit eksempel og dit spørgsmål:

Svar; nej jeg har ikke glemt vektorer og har bladet siderne 52 - 92 igennem og fundet flere eksempel på manglende tegn for multiplikation.
Der hvor det leder til misforståelse har man indført en fed prik, et tegn som ikke findes i ing.deb. [Matematik I (1962) Kristensen og Rindung]

Har du helt glemt en viktig læresætning:

FAKTORENES ORDEN ER LIGEGYLTIG

Kan man således også skrive:

x^2a + xb + c = 0

Hvad skal en tænksom elev i folkeskolen tro på?

Skal vi ikke hellere tro på og indføre en beregningsbar excelnotation end en 100 år gammel og engang normal men forvirrende notation, hilser Tyge

  • 0
  • 0

Ja, det er vist ikke herfra revolutionerne skal komme: "åååhh.....i min tid kunne vi meget mere end ungdommen nutildags, min realeksamen fra 1970 var meget bedre end det nymodens skidt som ungdommen lærer nutildags...." - fortsæt selv i denne skure. Med den slags holdninger kommer man næppe nogle vegne, den gamle grammofonplade er vist hørt før....

  • 0
  • 0

En femtakket lukket stjerne ligner * tegnet for multiplikation i Excel, og er meget lettere at tegne på fri hånd end en 6-takket stjerne.

Prøv og øv, hilser Tyge

Jeg har tidligere været mester i at tegne stjerner med et ulige antal spidser :-) . Jeg tror jeg naaede op paa 11 og det var mægtigt sjov men som operatortegn har jeg aldrig anvendt det.
Jeg maa nok tilslutte mig Per Erik Rønne, at den gamle skrivemaade er den bedste.

Et udtryk som ax^2 + bx + c er for mig fuldstændig entydig ogsaa hvis man skriver det x^2a + xb + c. Vil man tydeliggøre det for dem, der ikke er helt stive i det vedtagne operatorhiraki, kan man bruge parenteser og mellemrum:

(x ^ 2) a + x b + c.

I haandskrift bruger jeg aldrig multiplikationstegn men jeg kan godt se du har en pointe, hvis man vil skrive noget der umiddelbart kan sættes ind i excel. Saa skal mellemrummet erstattes med * .

  • 0
  • 0

Hej Aage

Dine synspunkter er helt forståelige også for mig, som er vokset op med den samme notation.

Du skriver:
"Et udtryk som ax^2 + bx + c er for mig fuldstændig entydig ogsaa hvis man skriver det x^2a + xb + c.
Er det stadigvæk entydigt med a=2, b=-1og c=3:
x^22+x-1+3?

Tænk også på, at et bogstavudryk skal kunne kontrolleres ved at entydigt kunne indsætte talværdier for x og andre bogstaver.

Multiplikation er lige så væsentlig som division i formler og enheder og bør derfor heller ikke udelades eller "glemmes".

Dette at udelade nødvendige tegn ser jeg som en måde at komplicere matematikundervisningen på.

"Ingeniøren" har ambitionen at forbedre matematikundervisningen, hilser Tyge

  • 0
  • 0
@Tyge Vind skrev:
Dette at udelade nødvendige tegn ser jeg som en måde at komplicere matematikundervisningen på.

Og jeg vil så sige at det at udelade Unødvendige tegn, som overflødige parenteser eller implicitte multiplikationstegn, er det der letter læsbarheden af matematiske formler. Personligt holder jeg også i logiske udtryk fast operatorhierarkiet; '∧' binder mere end '∨'. Derimod har ingeniørers tilbøjelighed til at skrive et eventuelt '*' for '∧' og et '+' for '∨' altid forvirret mig, selv om formålet naturligvis er at holde fast i operatorhierarkiet [problemet er selvfølgelig at i gamle dage + udtaltes som 'og'!]. Men jeg er jo heller ikke ingeniør men datalog.

  • 0
  • 0

Dette at udelade nødvendige tegn ser jeg som en måde at komplicere matematikundervisningen på.

Selvfølgelig. Men multiplikationstegnet er ikke nødvendigt, naar man kender konventionen og det er en almindelig brugt konvention at udelade *. Der for bør man ogsaa have kendskab til det. Jeg finder formler er lettere læselige uden * .

  • 0
  • 0

Tak Per for dit besvær, som jeg ser som et tegn på nødvendigheden af entydighed og skrivemulighed.

Som datalog er du vel fortrolig med Excel's tegn og gerninger?

Jeg kan lide det, fordi jeg kunne bruge det helt uden yderligere (matematik)uddannelse.
Kontrolleret mod HP bordsregnere; bl. a. med ekstreme fordelingsfuntioner for kornstørrelser i PFBC asker.

Har du nogen indvendinger imod at benytte Excel's skrivemåde helt fra folkeskolens matematik, spørger Tyge

  • 0
  • 0

Prik eller kryds? Har du helt glemt vektorer?

I øvrigt bør man holde sig til standardnotation, som er udviklet gennem århundreder. Altså:

ax^2 + bx + c = 0, ikke ax^2 + bx + c = 0;

Og 'i anden' bør hvor muligt skrivers i superscript.

Man bør heller ikke have overflødige parenteser, men holde sig til det normale infix operatorhierarki.

Hvorfor skal ax^2 ikke fortolkes som (a*x)^2 ? Hvad nu hvis jeg har en variabel "ax"? Hvad så?

Operatorhierarkiet er fuld af lettere besynderligere undtagelser! (måske en kridttavle afledning?):

Common operator notation:
http://en.wikipedia.org/wiki/Common_operat...
Citat: "...
Note that, contrary to popular belief, prefix and postfix operators do not necessarily have higher precedence than all infix operators. For example, if the prefix operator 'sin' is given a precedence between that of '+' and '×',

\sin 4 \cdot 3+2 = ((\sin(4 \cdot 3)) + 2)   

..."

Unary prefix operators '+', '-' operatorer har højre prioritet end gange!

Order of operations:
http://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_oper...
Citat: "...
A function name usually applies to the monomial following the name, thus "sin xy" means sin (xy) but sin x + y means (sin x) + y.
...
Sometimes a dash or a heavy dot is used as a multiplication sign which has [b]higher precedence[/b] than division. For example, J/kg K, J/kg-K, and J/kg · K are all equivalent.
..."

Selv lommeregnere fra samme fabrikant kan slække på konsekvens:

Order of operations:
http://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_oper...
Citat: "...
Calculators may associate exponents to the left or to the right depending on the model. For example, the expression a ^ b ^ c on the TI-92 and TI-30XII (both Texas Instruments calculators) associates two different ways:

The TI-92 associates to the right, that is

    a ^ b ^ c = a ^ (b ^ c) = a^{(b^c)} = a^{b^c}

whereas, the TI-30XII associates to the left, that is

    a ^ b ^ c = (a ^ b) ^ c = (ab)c.

An expression like 1/2x is interpreted as 1/(2x) by TI-82, but as (1/2)x by TI-83. While the first interpretation may be expected by some users, only the latter is in agreement with the standard rules stated above.
..."

[b]For mennesker uden større matematik kringelkrog indsigt er det uforståeligt![/b]

  • 0
  • 0

Flere semantiske besynderligheder:

Plus and minus signs:
http://en.wikipedia.org/wiki/Plus_and_minu...
Citat: "...
All three uses can be referred to as "minus" in everyday speech. In the USA, -5 is pronounced "negative five" rather than "minus five"; however "minus" is more common for English in most other parts of the world, speakers born in America before 1950 and is still popular in some contexts, but "negative" is usually taught as the only correct reading in the US.[6] Likewise, textbooks in America encourage -x to be read as "the opposite of x" or even "the additive inverse of x" to avoid giving the impression that -x is necessarily negative.[7]
...
In mathematics and most programming languages, the rules for the order of operations mean that -5^2 is equal to -25. Powers bind more strongly than multiplication or division which binds more strongly than addition or subtraction. While strictly speaking, the unary minus is not subtraction, it is given the same place as subtraction. [b]However in some programming languages and Excel in particular, unary operators bind strongest, so in these -5^2 is 25 but 0-5^2 is -25.[/b] [8] [ Hvabar' ? ]
..."

Mon man sender rumraketter til vejrs og laver investeringer baseret på Excel beregninger?

En syntax jeg har haft personlig gavn af er at "bandlyse" notation med "/" og infix "-" og istedet for:

3-2^2+2/x

"normalisere" "/" og infix "-" væk og skrive:

3+(-2^2)+2*x^-1

Jeg synes det gør det lettere at forstå, leddene kan lettere byttes rundt og sikkert også lettere at formidle.

En sproglig besynderlighed er "og" og "eller" - skal de opfattes som streng logiske operatorer hvor "og" har højere prioritet end "eller"? Hvad med evt. plantede kommaer og semikoloner? - kan det "rykke" prioriteten?

  • 0
  • 0

Flere semantiske/syntakstiske besynderligheder:

Plus and minus signs:
http://en.wikipedia.org/wiki/Plus_and_minu...
Citat: "...
[b]However in some programming languages and Excel in particular, unary operators bind strongest, so in these -5^2 is 25 but 0-5^2 is -25.[/b] [8] [ Hvabar' ? ]
..."

Hvordan mon programmører som skriver i programmeringssprog som C og C++ ville have det med ovenstående og underforståede gangetegn som også ændrer operatorprioriteten - og tænk på nedarvning af disse operatorers anvendelser - ikke godt !

Hmm skal jeg fortolke x2 som "x2" eller x*2?

  • 0
  • 0

...
En syntax jeg har haft personlig gavn af er at "bandlyse" notation med "/" og infix "-" og istedet for:

3-2^2+2/x

"normalisere" "/" og infix "-" væk og skrive:

3+(-2^2)+2*x^-1

Jeg synes det gør det lettere at forstå, leddene kan lettere byttes rundt og sikkert også lettere at formidle.
...

Der hvor der står infix skal der også stå "operator med to operander".

  • 0
  • 0

Hvad med at begynde forfra og benytte postfix notation? Ingen paranteser, ingen operatorprioritets fnidder og ingen underforståede gangetegn.

Så skal vi alle sammen benytte HP lommeregnere ;-)

-

Alle programmører skal benytte Forth syntaks...

  • 0
  • 0

...
En syntax jeg har haft personlig gavn af er at "bandlyse" notation med "/" og infix "-" og istedet for:

3-2^2+2/x

"normalisere" "/" og infix "-" væk og skrive:

3+(-2^2)+2*x^-1

Jeg synes det gør det lettere at forstå, leddene kan lettere byttes rundt og sikkert også lettere at formidle.
...

Kvadratrodstegnet (som også har underforstået parantesegenskab) skal også "normaliseres" væk og erstattes med potensopløftet i 1/2.

F.eks. x^(1/2)

  • 0
  • 0

Mnemonics:
http://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_oper...
"...
These mnemonics may be misleading, especially if the user is not aware that multiplication and division are of equal precedence, as are addition and subtraction. Using any of the above rules in the order "addition first, subtraction afterward" would also give the wrong answer.

    10 - 3 + 2

The correct answer is 9, which is best understood by thinking of the problem as the sum of positive ten, negative three, and positive two.

    10 + (-3) + 2  

..."

Yes! - "normaliser" "-" med to operander væk!

  • 0
  • 0

@Tyge Vind,

Ja, jeg har problemer med at bruge Excels idiotiske system, som nok er passende for bogholdere, men ikke andre.

Jeg holder fast ved at bruge den standardnotation vi har udviklet i århundreder, og som ikke indeholder overflødige tegn, der blot slører billedet. Implicitte tegn som følge af operatorhierarkiet gør blot alting lettere, og i et matematikprogram som Mathematica er der jo ingen problemer her.

Hvorfor i Plutos navn skal ingeniører og cand.scient.er i øvrigt rende rundt og bruge Excel og Excel-notation? Brug dog noget der er beregnet til det arbejde, der udføres.

  • 0
  • 0

Yderligere en ting som burde fjernes:

Græske tegn skal alfabetiseres ! (hånden på hjertet, hvor mange kan genkende alle de græske tegn?)

I stedet for tegnet Theta - skriv theta !

Så ryger det implicitte gangetegn også !

sin(theta) - det kan alle læse. Og det skal ikke fortolkes som sin(theta).

o, ø og i som variabelnavne skal også holdes væk, da de kan fortolkes som nul, tomme mængde og en.

-

Der er kun et kæmpeproblem - det er at de fleste af ovenstående besynderligheder er internationale!

Men i det pædagogiske navn bør man undlade besynderlighederne i introduktionsfasen - og senere når eleverne er rustet, fortælle hvad man gjorde i den mørke middelalder - og stadig gør i en del lande i dag ;-)

  • 0
  • 0

Glenn, hvis du brugte WolframAlpha som grafregner på din iPhone ville du vide, at Θ, theta, er lige til at bruge.

Og danske tegn i variabelnavne? Da man i 80erne underviste i Pascal på datalogistudiets første år, datalogi 0, brugte man en særlig form for compas hvor man netop kunne have æ, ø og å med i variabelnavne ... ønsker du i øvrigt også at vi skal skifte Oehlenschläger ud med Shakespeare i de danske skoler, for at undgå danske specialtegn?

  • 0
  • 0

Tak Glenn Møller-Holst for flere indlæg

Vi kan kun håbe at ing. tar sin udfordring på fuldt alvor og også gennemfører en stringent, entydig normenklatur med * i sine skrifter.

At det kan gennemføres i folkeskolen har jeg drømt om lige siden jeg selv var udsat for at lære de gamle tvivlsskabende skrivemåder.

Jeg har excelnoteret et af dine eksempler med godt resultat, bliver man i tvivl kan man benytte ( )'er, som excel holder orden på.

Mvh Tyge

  • 0
  • 0

Tak for dine indlæg Per Erik Rønne

Desværre forstår jeg dig slet ikke!

Tråden handler om at revolutionere folkeskolens matematikundervisning med målet at nå bedre resultater.
Det mener jeg ikke, man når med hverken revolution eller bevarende, men bedst med en til dagens teknik tilpasset udvikling af uddannelse.

De større matematikprogrammer som nævnes benyttes desværre ofte sådan, at menneskene egentlig ikke ved, hvad de gør eller får for resultat.

Hvis du søger på "excel" vil du finde en enorm teknisk kreativivitet langt udenfor bogholderi, og det jeg ser som en nødvendig egenskab i matematik og regning, er at jeg kan se, hvad jeg gør og kan kontrollere resultat.

I gamle dage med regnestok og logaritmetabeller hade jeg "CRC Standard Matematikal Tables" 1978 med den klassiske notation som matematisk håndbog.
Den fungerede og var så vidt jeg ved uden fejl, men er efter min mening håbløst forældet både med hensyn til tegnsætning, græske bogstaver og enheders prefix, som jeg heller ikke helt har lært udenad.

Hvorfor skal vi og kommende generationer belastes med den slags unødvendig viden, spørger Tyge

Mvh Tyge, som gerne gentager egenudviklet excelmatematik for udviklingens skyld.

  • 0
  • 0

@Tyge Vind,

Der er efter min opfattelse to store problemer i dagens folkeskole.

Den ene er at den ser bort fra videnskaben når den implicit antager at børnenes udviklingspotentiale er ens. Men børnene fødes med forskellig genotype, og alene derfor er de ikke ens.

Nogle børn kan lære matematik, andre ikke, og de sidste må nøjes med regning. I dagens folkeskole med dens implicitte krav om at »hvad ikke alle kan lære må ingen lære« er det derfor blevet til at man nøjes med - regning. Til alle. Det er så ved sidste gymnasiereform røget videre til gymnasieskolen, og endda til universitetets matematikstudium.

Det andet problem ligger på seminarierne. Seminarieeleverne har på linjefaget aldrig skullet lære mere end deres elever skulle lære i folkeskolen, når seminarieeleverne var færdige med deres uddannelse. Det betyder at nutidens seminarieelever, og de unge lærere der allerede er ude, ikke kan tænke abstrakt matematisk. Og jeg vil her ganske klart sige: ingen matematik uden abstraktion, ingen matematik uden stringent bevisførelse.

Den dårlige faglige uddannelse af matematiklærerne gør at de ikke kan undervise på et højere fagligt niveau end det der kræves til 10. klasses eksamen. Og lige som da vi stadig havde en realeksamen ved siden af en ikke-boglig 10. klasse, så lærte eleverne der kun at løse to ligninger med to ubekendte, hvis ligningerne var lineære og lineært uafhængige, og kun ved at tegne ligningernes graf på et millimeterpapir, og på den måde finde skæringspunktet. Det er folkeskolens 'matematiske' ambition for 10. klasse i dag, det er de unge læreres topniveau i dag, hvis de ellers har linjefag i matematik, og ikke ad anden vej har skaffet sig yderligere færdigheder.

Folkeskolen er i dag en enhedsskole, og der er efter 9. klassetrin kun en afgangsmulighed: Folkeskolens Afgangsprøve. Officielt skal der være undervisningsdifferentiering, men reelt fungerer undervisningsdifferentieringen ikke, fordi den kun består i at sørge for, at de velbegavede børn ikke kommer til at kede sig /alt/ for meget, mens læreren sørger for at nogenlunde alle kommer med. Og ja, jeg har i et år som akademiker prøvet at undervise i folkeskolen (det er dog så mange år siden at dem jeg dengang havde i 1. klasse i dag går i 1. gymnasieklasse, eller på et lignende klassetrin). Jeg har oplevet en dreng i 4. klasse der sad for sig selv, og ikke deltog i undervisningen men i stedet for i engelsk-timerne sad og læste engelske børnebøger. Han kunne nemlig flydende engelsk, og kunne først inddrages i undervisningen når klassekammeraterne nåede op på hans niveau. Jeg sad i øvrigt selv sådan i de små klasser i vistnok alle fag, fordi jeg havde lært mig selv at læse som 4-årig, og som 5-årig havde læst min første rigtige bog, »Mio min Mio«. Og i øvrigt havde en indlæringshastighed der var 2-3 gange så hurtig som de andre børns.

Nu drejer denne debat sig om matematik, og her husker jeg en dreng i 5. klasse som til en 2-timers prøve var 10 minutter til at løse alle de opgaver, der var sat to timer af til. Her vil skolens »undervisningsdifferentiering« kræve at så skal han blot have en 10 gange så mange opgaver som de andre, så han ikke keder sig for meget. En reel undervisningsdifferentiering finder ikke sted i den danske skole; det eneste rigtige var da at lade dem der var i stand til det, lære algebra. Og ja, fra første klasse have mængdealgebra, som man omkring 1970 forsøgte på. 1/3 af børnene kunne uden problemer klare det, en anden tredjedel kun med noget besvær, mens resten slet ikke kunne klare det.

Men med det lave faglige niveau på seminarierne kan det ikke lade sig gøre, bortset fra at det efter min bedste overbevisning ville kræve holddeling, og vel at mærke på tværs af parallelklasserne på klassetrinene.

Så min løsning på folkeskolens problemer er: Retabler en mellemskole, der som i udlandet omfatter det 5-årige forløb 5.-9. klasse [1.-5. mellem] og som leder frem til en mellemskoleeksamen. Her ville halvdelen af børnene føle sig hjemme, og her ville der altid være ro i timerne, som det var tilfældet i den gamle boglige linje. Behold 5.-9. klasse for resten, og lad dem fortsat gå op til Folkeskolens Afgangsprøve, men lad kun dem med mellemskoleeksamen fortsætte på det gymnasiale niveau.

I underskolen bør børnene holdes samlet, men årgangene skal ses som et hele. Når en tilstrækkelig stor andel af en årgang inden for et emneområde har lært det der kræves, deles årgangen i sets i stedet for klasser, sets der ikke er permanente og ikke nødvendigvis er ens for de enkelte fag. Her kan den beste tredjedel af børnene i 1. klasse så få mængdealgebra i upper set, og man kan sørge for at den dårligste tredjedel i lower set får lært det de skal lære.

Og så bør grengymnasiet med det høje niveau det havde i 1970 naturligvis genindføres, og man bør igen kræve en matematisk-fysisk studentereksamen for at begynde på DTU, eller på Københavns Universitets matematisk-fysiske faggruppe.

Se, det er den eneste løsning jeg kan se.

  • 0
  • 0

Tak for dit udførlige indlæg rettet til mig.

Jeg har samme baggrund helt fra fyrrenes skole, og jeg ser de samme problemer, som du beskriver i dag for min datter, som er uddannet matematiklærere i Sverige.

Din løsning kan jeg forstå, men ikke bedømme, da jeg er helt uden pedagogisk uddannelse.

Det jeg tror, er at matematikken før, nu og i fremtiden udvikles.
Tænk på logaritmer, regnestok, miniregner og computer.
Den udvikling kan ing. måske fremme og formidle også til folkeskolen.

På mit museum har vi fine gamle tabeller for dampberegninger og regnestokke, som vi ikke skal glemme, men de er ikke en del af dagens matematik.

Som arbejdende maskiningeniør ser jeg Excel som dagens regnestok med langt større muligheder og frem for alt mindre mulighed for fejl.

Er det en utopi, at lade folkeskolen tage del af denne udvikling og eliminere gamle fejl og terperier?

Ser du slet ikke nogen matematisk udvikling i fremtiden, spørger Tyge

  • 0
  • 0

@Tyge,

Jeg ser regnestok og Excel som værktøjer til beregninger, ikke som matematik, som for mig er noget med abstraktion og bevisførelse.

I dag er regnestok og logaritmetabel naturligvis forældede, og som værktøjer til matematik i dag ser jeg ikke Excel, men matematikregnere som WolframAlpha [til iOS] og store matematikværktøjer som Mathematica og Maple.

Men det ændrer ikke på nødvendigheden af at de elever, der er i stand til det, lærer matematisk abstraktion, og til det hører altså fortrolighed med den matematiske notation, incl operatorhierarkiet og incl de implicitte tegn, som gennem århundreder er udviklet i den vestlige verden, og som i dag bruges på hele planeten.

  • 0
  • 0

WolframAlpha findes til alle platforme da den er browserdrevet og som applikation til iPhone/Android (kan anbefales) og Mathematica findes også både til Windows og iOS. Version 8 af Mathematica er wolframAlpha integreret og man har bare direkte adgang til data, hvilket man ikke har i søgemaskinen.

  • 0
  • 0

WolframAlpha findes til alle platforme da den er browserdrevet og som applikation til iPhone/Android (kan anbefales) og Mathematica findes også både til Windows og iOS. Version 8 af Mathematica er wolframAlpha integreret og man har bare direkte adgang til data, hvilket man ikke har i søgemaskinen.

Om WolframAlpha findes til Android kan jeg ikke udtale mig om; den findes i hvert fald til iOS i en universel applikation; kører fint på såvel iPhone som iPad.

Mathematica findes til Mac OS X, til Windows og til Linux. Ikke til iOS. Derimod findes der nogle små indlærings-applikationer til undervisningsbrug inden for emneområderne algebra, calculus og musik.

  • 0
  • 0

Hej Per Erik Rønne, som 23. jan 2011 kl 18:02 skriver:

"Jeg ser regnestok og Excel som værktøjer til beregninger, ikke som matematik, som for mig er noget med abstraktion og bevisførelse."

Det kan vi jo godt sige, og hvorfor skal folkeskolens elever ikke lære at udnytte dette enkle værktøj, som er tilgængeligt direkte med min computers tangenter?

Kan de store matematikværktøjer som Mathematica og Maple virkelig udføre multiplikationer uden tegn og gerninger, eller er konventionerne om de gamle matematiske notation, incl operatorhierarkiet og incl de implicitte tegn bare noget man finder på for at gøre sig selv interessant og matematikken vanskeligere for de tænksomme elever?

Men du har ret i, at det ikke kan forklare forskellen mellem Danmark/Sverige og Finland, hvis konventionerne gælder hele planeten.
Se også forskellen mellem Schweitz og Østrig!

Det triste for mig er, at så mange sidder fast i gamle konventioner og ikke ser nødvendigheden af udvikling!

Behovet fremgår dagligt ikke mindst her på ing.deb., hilser Tyge

  • 0
  • 0

@Tyge Vind,

Det at bruge et regneark er altså ikke matematik, og derudover er der også andre regneark end Excel, regneark som måske endda er enklere at gå til, fordi de kan mindre, og som derfor er pædagogisk mere hensigtsmæssige.

Men derfor skal de børn der kan klare det, altså stadig lære at løse et ligningssystem af denne type:

5x^2 + 2y + 2 = 5;
3y^2 + 5x + 3 = 0.

Og vel at mærke løse den analytisk.

  • 0
  • 0

Mnemonics:
http://en.wikipedia.org/wiki/Order_of_oper...
"...
These mnemonics may be misleading, especially if the user is not aware that multiplication and division are of equal precedence, as are addition and subtraction. Using any of the above rules in the order "addition first, subtraction afterward" would also give the wrong answer.

    10 - 3 + 2  

The correct answer is 9, which is best understood by thinking of the problem as the sum of positive ten, negative three, and positive two.

    10 + (-3) + 2    

..."

Yes! - "normaliser" "-" med to operander væk!

Endnu en grund til at "normalisere" "-" med to operander væk:

Har man mon opfundet nye fortegn, fordi man skulle regne med vektorer?

Den naturlige ekstrapolation kunne være at lave en ny fortegnsart for alle kombinationer af de to vektor operanders talstørrelser med positive, negative elementer.

(1;0) + (1;0)=(2;0)
(1;1) + (-1;-2)= (1;1) - (1;2) indførelse af subtraktiontegn
(1;0) + (1;-1)= (1;0) "+-" (1;1) indførelse af plusminustegn
...

Genereliseret kunne man lave et vilkårlig fortegnsvektor:
(+,+,+-,...,+,-,+,+)

-

Derfor:

"Normaliser" "-" med to operander væk - i det mindste i læringsfasen!

  • 0
  • 0

Til: Per Erik Rønne 24. jan 2011 kl 15:06

@Tyge Vind,
Det at bruge et regneark er altså ikke matematik, og derudover er der også andre regneark end Excel, regneark som måske endda er enklere at gå til, fordi de kan mindre, og som derfor er pædagogisk mere hensigtsmæssige.

Men derfor skal de børn der kan klare det, altså stadig lære at løse et ligningssystem af denne type:
5x^2 + 2y + 2 = 5;
3y^2 + 5x + 3 = 0.
Og vel at mærke løse den analytisk.

Findes der andre regneark, som en lærere anser mere pedagogiske, er det måske fornuftigt, at den lærere bruger disse i undervisningen.

For de ingeniøropgaver, jeg har arbejdet med i 50 år, finder jeg omvendt polsk notation og excel aldeles pålidelige. Det har jeg ikke altid kunnet kontrollere med mere sofistikerede programmer.

Ser jeg på dine to ligninger analytiskt, kommer jeg ikke til et enkelt, kontrollerbart resultat.
Beregner jeg på et par excel-rader(-linjer) kan jeg kontrollere resultatet, hvis jeg husker de glemte tegn.
Har du dette eksempel fra den praktiske virkelighed?

Når nu ing. vil revolutionere matematikundervisningen, var det så ikke på tide, at man forsøgte at nå op til det tekniske stade, som ing.matematik har i dag?

Mvh Tyge

  • 0
  • 0

Der findes masser af regneark der er pædagogisk mere velegnede end Excel, og det er på det nærmeste sådan at jo mindre et regneark kan, desto bedre er det set ud fra en pædagogisk synsvinkel. Især når vi taler om grund- og gymnasieskolen.

Omvendt polsk er særdeles velegnet når vi taler om programmering. For mennesker er den traditionelle infix notation at foretrække, og dine ingeniør-erfaringer kan her ikke bruges til noget, idet vi jo taler om skoleelevers indlæring.

Vedrørende ligningssystemet, så måtte jeg konstruere det. Og det er rigtigt at det ikke har kun én løsning.

Du prøver at løse det i Excel; prøv WolframAlpha i stedet. Det er langt lettere, og her tales der ikke om »manglende tegn«. Findes også som applikation til iPhone, iPod Touch og iPad, og da de fleste elever i forvejen har i hvert fald en iPod Touch får de dermed let en avanceret grafregner, der er din Excel langt overlegen. Til formålet.

Ligningssystemet blev lavet for at visualisere, hvad skoleeleverne skal lære. Herunder at isolere eksempelvis x på venstresiden i den ene ligning, og derefter indsætte højresiden på den anden ligning, med ret brug af parenteser.

  • 0
  • 0

Jeg kan ikke se problemet:
3 * 2 læses "tre gange to"
2x læses "to x"; man siger jo ikke "tre gange hest(e)" men "tre hest(e)"

Det er også kun simple lommeregnere, der kan forplumre 2 * 3 + 4 * 5
To tre'ere og fire femmere, så er det logisk at man ganger først og plusser bagefter.

  • 0
  • 0

Re: Underforstået gangetegn

Jeg kan ikke se problemet:
3 * 2 {og med Excel 3*2} læses "tre gange to"
2x læses "to x"; man siger jo ikke "tre gange hest(e)" men "tre hest(e)"

Hvordanl læses: 3 2 eller 32?
Betyder 2x: 2+x eller 2*x eller 2gange, og er det lig x2?

Siger man "tre gange 2 hest(e)" eller "tre to hest(e)?
Talværdier og enheden (heste) angives med mellemslag og skal ikke blandes sammen.

Du belyser mit folkeskoleprobem klart og tydeligt, hilser Tyge

  • 0
  • 0

Tre to giver ingen mening.
Derfor er det simpelt at forstå at for at skelne det fra toogtredive, skal der et gangetegn imellem.

Der kan forhåbentlig ses forskel på x og ×, hvis man ikke vil skrive * eller ·

Det kan give mening at opfatte x som en enhed.
2x+3x => 5x svarer til 2 heste + 3 heste => 5 heste
("=>" i betydningen "giver", ikke som i en ligning)

Man har vel tidligt erfaret at 2 · 3 = 3 · 2, og skridtet til at 2x = x2 er ikke stort.

Men det kan måske være et problem for enkelte?

  • 0
  • 0

Hej Leif

Tak for et hurtigt svar.
Her mine synspunkter:

  • Selvfølgelig skal der ALTID gangetegn imellem to faktorer.

  • Jeg kan ikke se forskel på x og ×, håndskrevet og × findes ikke på tangentbordet.

  • Hvis man vil skrive · en prik midt på en linje er den umulig at finde på mit tangentbord.
  • Kun * bør findes for gange og kan til og med bruges for multiplikation.

  • For min og den gamle notation er skridet mellem 2x og x2 enormt:
    2x tolkede jeg som 2*x
    x2 tolkede jeg som en talværdi i en serie f. eks. x0, x1, x2, x3.

Er det virkeligt så svært at se, at en notation med Excel er entydig og så fornuftig, at den kan anvendes på ing.deb.?

Mvh Tyge

  • 0
  • 0

Et historiskt spørgsmål:

For flere år siden lå der en lystbåd lige udenfor Amalienborg og den eksentriske eger cyklede rundt og hilste på gamle bekendte fra regnecentraltiden efter 1956, da han flygtede fra Ungarn.

Kan mine mistanker om, at han på Regnecentralen og DASK la grunden til Excel og andre program hos Mikrosoft, bekræftes?

Min bror Karl Vind formodede dette, hilser Tyge

  • 0
  • 0
  1. maj 2012, To Newton-problemer løst af 16-årig.
    Daily Mail En 16-årig skoleelev fra Tyskland har løst to matematiske gåder, der før blev kaldt uløselige.
    http://ing.dk/artikel/129623
    Citat: "...
    [ Sådan skal man undervise i matematik: ]
    Siden han var omkring seks år gammel, har den nu 16-årige dreng løst komplicerede ligninger, og siden han var helt lille, har hans far, der er ingeniør, givet ham matematiske problemer at løse.
    ..."
  • 0
  • 0