Matematikopgave: Eksisterer en kasse med disse mål?
Heine Strømdahl, der er ungdomskolelærer, har indsendt denne opgave, som han mener vil udfordre Ingeniørens læsere.
Til en kunstudstilling vil en designer lave en stofklædt hængende kasse, der har form som en almindelig retvinklet kasse. Den skal have en højde på 1,4 meter og et rumfang på 12 kubikmeter. Der skal anvendes spånplader til at bygge kassen, og alle kassens sider inklusive top og bund skal efterfølgende beklædes med noget særligt udvalgt stof. Designeren råder over 29 kvadratmeter af dette stof.
Har designeren stof nok til at bygge sin kasse med de angivne mål og efterfølgende beklæde den med stoffet? Det kan antages, at spånpladerne er uendeligt tynde, således at indre og ydre rumfang er ens.
Kan der opstilles nogle generelle formler og betingelser, som beskriver situationen?
Sådan lyder Heins Strømdahls opgave, som jeg selv har forsøgt at løse.
Jeg kan tilføje, at opgaven kan løses med brug af simpel matematik kendt fra gymnasiet, så det er bare at gå i gang – og der er ingen hjælp at hente hos Google.
Skriv gerne dit svar nedenfor: ja/nej til om designeren kan bygge kassen, og det mindste antal hele kvadratmeter han skal bruge for at beklæde kassen med et rumfang på 12 kubikmeter og en højde på 1,4 meter.
Hvis der allerede er én, der har samme løsning som dig, så giver du en tumbs up – så vi kan se om der bliver en konsensus.
Vi bringer Heine Strømdahls svar med en udførlig løsning enten torsdag eller fredag.
Rumfang 12m^3, højde 1,4m : Kassen har en grundflade på 12/1,4 = 8,57m^2
Et kvadrat har det største areal i forhold til omkredsen.
Sidelængde sqrt(8,57)=2,92m.
Areal af en side = 1,42,92 = 4,10m^2
4 sider = 44,10 =16,40m^2
Top+bund = 2*8,57 = 17,14m^2
Total areal 33,54m^2
Stof tilrådighed 29m^2, ikke nok.
Med 12m3 og højde 1,4m fås grundareal 8,57m2
Den mindste omkreds pr areal fås når grundarealet er kvadratisk. Så mindste sidelængde i bunden er kvrod(8,57m2) = 2,93m
Så mangler blot at beregne arealerne.
Top og bund er lige store hver 8,57m2
Kanterne er der 4 af så det bliver 41,42,93 = 16,4m2. Ialt 16,4+28,57 = 33,5m2
Så medmindre stoffet er strækfrotté kan det ikke gøres.
Generelt:
Amin = 2(V/h)+4hkvrod(V/h)
Lidt mere der-ud-af løsning: Hvis kassen har målene HxBxD skal følgende gælde:
B^2-B/H(Amax/2-V/H)+V/H=0, med H=1.4 m, V=12 m^3 og Amax=29 m^2. Denne har ingen reel løsning. Hvade den haft en løsning er D selvfølgelig givet ved D=V/(HB). God weekend!
Skal det være spånplader?
Heraf kan ses at man ikke skal bruge stjerne som gangetegn...
[latex]2(\frac{12m^3}{1.4m})+4\times1.4m\times\sqrt\frac{12m^3}{1.4m} = 33.54 m^3[/latex]
Red: Underligt, latex vises fint i preview.
Nu er jeg kun en slags agroingeniør og min gymnasiematematik er 37 år rusten, men;
man opstiller 2 ligninger som beskriver rumfang og areal, reducerer til en ligning med en ubekendt og får en parabel der vender benene nedad. Da løsningen af andengradsligninger fortaber sig i glemselens tåger, må jeg løse grafisk og får omtrent 2,3 og 3,7 m som de to andre sider.
På ingen måde udfordrende. Ikke engang for en 9 klasses elev. Og hvorfor angive at kassen skal bygges i spånplade? Især når man angiver at de er uden tykkelse?
Lyder virkelig som noget en ungdomskolelærer har fundet på. Men hvad laver den på ing.dk?
Jeg tror den største udfordring for en ingeniør er vist at finde den skjulte fælde, der må være siden det bliver anset for en udfordring. ;-)
Hehe, nu er det jo ikke laboratoriematematik men en kunstudstilling.
Idet jeg er enig i beregningerne i de to øverste kommentarer, får man:
2 kvadratiske sider: 2,93 x 2,93 x 2 = 8,57 m2 x 2 = 17,14 m2
4 rektangulære sider: 2,93 m x 1,4 m x 4 = 16,40 m2
Jeg synes, at han skal sætte kassen på gulvet eller hæve den så højt op, at han kun behøver at beklæde de 5 sider:
16,40 m2 + 8,57 m2 = 24,97 m2.
Så har han ca. 4 m2 stof, han kan klippe i strimler og binde i sit hår.
Det giver 11.91m^3
Med en højde på 1,4 får jeg
21,42,3 =6,44
21,43,7 =10,36
22.33,7 =17,02
Ialt=33,88m^2 stof
Men i øvrigt er det lidt kontraintuitivt at det er praktisk taget den samme mængde stof, selvom sidemålene afviger fra den kvadratiske grundflade, der burde være optimal.
Efter du har fundet din løsning, har du så også prøvet at indsætte løsningen i den oprindelige opgave for at kontrollere, at du ikke har regnet forkert undervejs?
Det er desværre et punkt, som mange forsømmer, når de løser eksamensopgaver.
Med højden h og siderne a og b skal følgende ligninger være opfyldte:
1) a · b · h = 12 <=> a = 12/(b·h)
og
2) 2 · a · b + 2 · a · h + 2 · b · h = 29
værdien af a indsættes i ligning 2 hvoraf følger
24 / h + 24 / b + 2 · b · h = 29 <=>
(24 : h) · b + 2 4 + 2 b² · h = 29·b <=>
2·h · b² + (24:h -29)·b + 24 = 0
Determinanten er (24:h - 29)² - 4 · 2·h · 24 = 140,59 - 268,8 = -128,21
Determinanten er mindre end 0 og derfor er der ifølge min gamle regnebog ingen reel løsning for b.
Kassen kan ikke laves med de stillede betingelser.
Selv med en kubisk kasse skal der bruges lidt over 31m2 stof.
6*12^(2/3)
Hvor stort et rumfang kan jeg få, når jeg kun har 29 m2 stof?
Areal= 2x2 + 5,6x (4*1,4=5,6) (2x i anden)
29= 2x2 + 5,6x (2x i anden)
0 = 2x2 + 5,6x - 29 (2x i anden)
x = max. 2,65 m ( løsning af 2. gradsligningen)
Så rumfanget bliver højest 2,652 * 1,4 = 9,88 m3 (2,65 i anden)
Tallene er afrundet.
Stofareal = 2 x 2,65 x 2,65 + 5,6 x 2,65 = 28,85 m2
Det er svært at skrive formler i dette forum, håber I kan gennemskue det.
for der skal bruges 33,54 m^2. Måske jeg skal give den til mine 2.g'ere.
Det kan være, de tager deres nylærte differentialregning i brug, for når man har en hammer så .... ;)
"Kunstnerisk frihed er friheden kunstnere har til at anskue, fremstille, dokumentere eller udtrykke virkeligheden i et kunstnerisk perspektiv."
https://da.wikipedia.org/wiki/Kunstnerisk_...
;o)
En ellipsoide med hovedaksler 1,4, og 1,43 og 1,43 har et volumen på 12, og en overflade på 25,33
Et firkantet areal med kortest mulig omkreds, er og bliver kvadratisk, så det gør ikke problemet mindre at du gør sidelængderne forskellige.
Hvilken del af præmissen "retvinklet kasse" forstår du ikke?
Masser af grimme ingeniør-løsninger her. Uden brugbare bredder og længder på stoffet blir det alligevel ikke muligt at beklæde kassen pænt. Skrumlet får ikke lov at stå på min kunstudstilling med stoffet sømmet fast i synlige samlinger med påklistrede strimler. Større stofmængder har sædvanligvis en standardbredde på 4 meter, der så kunne være udgangspunkt for fortsatte beregninger - og så går regnestykket indlysende nok slet ikke op.
Stoffet er 1,4 m. bredt, det fremgår da klart, lol
En lidt anden anskuelse, og dog... :)
Bredde og længde (B og L) skal opfylde 2 betingelser:
1) Overfladeareal (A) = 21,4B + 2 1,4L + 2BL = 29 => 2,8(B+L) + 2BL = 29
2) Rumfang (V) = 1,4BL = 12 => BL = 12/1,4
Ved at indsætte udtrykket for BL fra (2) i (1), fås:
2,8(B+L) + 24/1,4 = 29 => B + L = (29 - 24/1,4)/2,8 ca= 4,235
B kan udtrykkes som funktion af L:
1) B = 4,235 - L
2) B = 12/1,4L
Sættes de lig hinanden fås andengradsligningen:
4,235 - L = 12/1,4L => 4,235*1,4L - 1,4L^2 = 12
(lidt pænere:) -1,4L^2 + 5,928L - 12 = 0
Diskriminanten er negativ, derfor ingen løsning.
God weekend! :)
Kassen på 12 m² kan fremstilles med sidelængderne:
H = 1,4 m
L = B = 2,9277 m
men der skal anvendes 33,538 m² stof til kunstværket.
Jeg har bare valgt stretch-nylon af indlysende årsager:
Det gør det meget lettere at få det til at sidde pænt og stramt om kassen.
Og det gør at der er rigeligt...
https://www.fabric.com/buy/uk-959/telio-st...
" Description: With a soft hand and feel, this nylon shaper mesh fabric has 4 way stretch, with 30% stretch across the grain for added comfort and ease. This shape wear fabric can be used to line garments in order to give the body a sleek and smooth silhouette. Perfect for use under sheer fabrics, bra making, panties, lingerie and more! "
Jo, det kan den sagtens (bortset fra at uendeligt tynde spånplader er noget skrøbeligt juks at arbejde med).
Derimod kan den ikke dækkes af det for hånden værende klæde.
Jeg har allerede uddelt opadvendte tommelfingre til dem der har kommet med den korrekte løsning, så jeg skal ikke gentage den her.
Ville egentlig bare gerne kunne give yderligere en til Allan for at påpege, at selvom man har lavet en matematisk korrekt analyse, bør man ALTID tjekke ved at indsætte resultatet i den oprindelige opgaveformulering.
Jeg forstår ikke baggrunden for den opgave. Den er så fjernt fra virkeligheden som den kan komme.
Der opstilles nogle præmisser for en opgave, som på en eller anden måde ikke kan lade sig gøre, og så ender det med svaret "nej". Jamen hvad så? Kunstneren har fået beviliget penge fra Statens Kunstfond til sit projekt, og nu kan det ikke lade sig gøre, fordi der ikke er stof nok. Hvad gør han så nu? Søger om flere penge (det er nok hvad han gør)? Eller slækker kravet til 12m³? Eller slækker kravet til 1.4m i højden?
Eller det mest nærliggende, at han ikke beklæder enten top eller bund, for en af dem vil være lige meget med en svævende kasse.
Hvor stor er højdeforskellen på små og store mennesker? Mindre end 1.4m, og derfor behøver enten top eller bund ikke at være dækket af stof. Men at fråse med offentlige midler er vel også en kunstners natur? Undskyld min minimalistiske tilgang til verden.
Rigtige problemer er godt at bruge i opgaver, men dette er et rigtigt dårligt eksempel. Hvad skal det til for?
Måske er det en pyramideform? Og siderne er retvinklede, og det er højden på kassen, der er 1.4 meter, ikke siderne. Det drejer sig måske bare om at læse opgaven igen?
Så det letteste er da at starte med og se om den mest optimale situation overhovedet kan lade sig gøre, altså en kube på 12^m3
sqr(2,3 meter)* 6 flader giver over 31 m^2, alstå mere end der er til rådighed.
Så det bliver bare et nej.
Spændende pointe, men så skal det være en pyramidestub, da en pyramide jo ikke har en topside, som jo også er nævnt i opgaven.
Men en retvinklet kasse er altså svær at lave om på...
Det er en god nødløsning, men den opfylder ikke kravsspecifikationen, nemlig at alle 4 sider samt top og bund skal beklædes med, hvad vi kan kun formode, er et meget kunstnerisk stof.
En pyramide(stub) med retvinklet grundflade har ikke rette vinkler mellem siderne.
For de fleste er dette nok svært at fastslå "intuitivt", men så har jeg et lille trick:
Forestil dig en pyramide med en kvadratisk grundflade på 1x1 meter og en højde på 1 millimeter. Den vil nærmest bare fremstå som en flad sten, og kanterne mellem de 4 sider vil bare fremstå som et kryds på overfladen. Her vil vinklen mellem to nabosider være meget tæt på 180°.
(Tænk evt. på de rektangulære felter i en ventilationskanal. Disse er ofte udformet som sådan en pyramide for at give dem lidt mere stivhed.)
Så for "almindelige" pyramider med en retvinklet grundflade må vinklen mellem to nabosider være større end 90° og mindre end 180°.
Under forudsætning af at siden er vender ind mod vægen ikke skal beklædes - den kan jo alligevel ikke ses (som bekendt er glasset hverken halvtom eller halvfuld, det er 50% for stort):
Den hurtige løsning (der ikke virker):
V = 1,4 * x * x = 12
=> x = 2,92
Areal = 2 * 2,92 * 2,92 (top og bund) + 3 * 1,4 * 2,92 (2 sider og 1 front) = 29,3 m^2
Nej, det går ikke.
Så må vi igang med papir og kuglepen:
V = 1,4 * x * y = 12, x = brede og y = dybte
=> x = 12 / (1,4 * y)
A = 2 * 1,4 * y (sider) + 2 * x * y (top+bund) + 1 * 1,4 * x(front) = 29
Sub. af x:
=> 2,8 * y + 2 * y * (12 / (1,4 * y)) + 1,4 *(12 / (1,4 * y)) = 29
=> 2,8 * y * y - 11,8 * y + 12 = 0
d = b * b - 4 * a * c = (-11,8) * (-11,8) - 4 * 2,8 * 12 = 6,19
y = (-b +/- sqrt(d)) / (2 * a)
=> y = (11,8 +/- sqrt(6,19) / (2 * 2,8)
=> y = 2,55 og y = 1,66
Beregner x:
x = 12 / (1,4 * y)
=> x = 3,36 og x = 5,16
Kontrol af løsning 1:
V = 1,4 * 3,36 * 2,55 = 12, ok
A = 2 * 1,4 * 2,55+2 * 3,36 * 2,55+1 * 1,4 * 3,36 = 29, ok.
Kontrol af løsning 2:
V = 1,4 * 5,16 * 1,66 = 12, ok
A = 2 * 1,4 * 1,66+2 * 5,16 * 1,66+1 * 1,4 * 5,16 = 29, ok
Under forudsætning af at bagsiden ikke skal beklædes, og at stoffet har en brede på 1,4m, så kan de to løsninger beklæde kassen.
-Eivind
En brede på 1,4m er ikke godt nok. Det giver problemer med top og bund. Det må accepteres at der slippes og klistres med stoffet for at alle (5) sider er dækket.
-Eivind
"Under forudsætning af at siden er vender ind mod vægen ikke skal beklædes...
Hvor forudsætningen er: "og alle kassens sider inklusive top og bund..."
Så nej...
Du mener 100% for stort, ikke? :-)
Okay! Ikke morsomt!
- Det synes jeg ellers selv. :-)
Ja man kan sagtens lave halvdelen opgaven. Ligesom med Ringstedbanen nu er færdig, men signalerne virker ikke.
Men ellers er jeg enige i tynde spånplader. De skriger endnu mere til himlen, at det er et dårligt eksempel, at bruge som opgave.
Kassen skal op at hænge! Højden er jo ikke nødvendigvis en matematisk højde i denne opgave, men afstanden fra kassens nederste til øverste punkt, når den hænger i loftet. Så kunstneren har jo sin frihed til at hænge den op i en krog monteret i et af hjørnerne, og så bliver kassen til en "rhombe", hvor højden er afstanden mellem 2 modsatte hjørner, og så kan det muligvis lade sig gøre.... Værsgo' at regne hvem som har noget tid I overskud....
h=1,4; Solve[hbd==12 && 2(bh+dh+d*b) == 29,{b,d}]
b = 2,11..± i 2,02.. ; d = 2,11..±i 2,02..
det sidste ± skulle vendes op og ned.
Længden af bredde plus dybde er 2(b+d ) = 4,44.. gange højen bliver 6,22 m^2
Og top og bund dækkes af 2(bd) = 17,07.. så der går i alt ca 23 m^2 stof til
Det der med at regne i hovedet duer ikke ( en gang til)
H=1,4; Solve[hbd==12 && 2(bh+ dh+bd) == 29,(b,d)];
A= 2h( b+d) +2 (bd) /.%
A
29.0
Hvor stort et rumfang kan du få med[latex]29{m^2}?[/latex]
[latex]A = 2{x^2}+ 4\times1.4x[/latex]
[latex]29 = 2{x^2}+ 5.6x[/latex]
[latex]0 = 2{x^2}+ 5.6x - 29[/latex]
Løsningen giver x = 2,65 m. og dermed max. rumfang 9,88[latex]m^3[/latex]
Latexkode virker bare ikke.
Med et tilpas afslappet forhold til begrebet kasse, kunne man lave en kugle med radius 1,4m.
Den vil næsten blive 12m3 rumfang og 25m2 overflade.
Måske det også kunne klares i et koordinatsystem med mere end 3 akser.
Det er jo klart for enhver hvordan man kommer til et resulat der aksepterer de 29. Alle de unge bruger jo CAS og der eksisterer jo en løsning med complekse værdier.
Eksisterer kassen? Jo det gør den da i et matematisk univers med komplekse tal.
Men sådan her i dette univers kriber det jo lidt. Det er jo glædeligt at se at de fleste ing er umiddelbart klar over at et kvadrat har en min omkreds ved et bestemt volumen.
I min erfaring er det jo ikke lige mathmatik som er de fleste ings styrke. Jeg tilbragte 15 år i Kina med at lære ingeniørerne der det de skulle have lært på universitetet ( som bijob)
Der efterlyses formler. Læs mere på: https://www.regneregler.dk/parallelepipedu...
Tænkte på følgende:
Forestil dig at du blæser en ballon op inden i en kasse .
Alle modstående sider er parallelle og sider der støder op til hinanden er vinkelrette, men hjørnerne vil ideelt set være en 1/8del af samme kugle. og kanterne vil blive en del af en cylinder.
Den figur som ballonen danner opfylder vel kravene?
Jeg kunne bygge en kasse i spånplade, med indvendige mål 1,4x3x3 m3 og lave en slags ballon som vil rumme 12m3 inde i kassen og blæse den op, så hjørnerne bliver en del af en kugle med en radius på 0,2 m. den ballon vil have et rumfang på 12m3 og en overflade på 29m2 - ca.
Regn selv efter.
Som de har sagt på DR-P4 den seneste måned: Man skal tænke ind i boksen. ;-)
Hvis man antager at kassens sider blot skal overholde "retvinklet" så står det jo frit for at konstruerer en kasse der ikke er et kvadrat. Sådan som jeg læser opgaven.
Altså en kasse der i sin ydre fremtoning vil være en slags kugle udført i lego, vil vel overholde retvinklet kasse begrebet om end "almindelig" er at strække sig.
En kasse udført på denne måde vil lige nøjagtig kunne ramme indenfor skiven med højden på 1,4 et volumen på 12 og en overflade på 29.
Kassen skal beklædes på alle sider, men bagsiden behøver ikke være dækket, blot beklædt. Ikke en kat vil gø, når først den hænger på væggen.
Først bør det overvejes hvad der forstås ved en hængende kasse til en kunstudstilling. Er det en kasse der hænger i en snor, hvor alle sider er synlige? eller er det en vægophængt kasse, hvor bagsiden er usynlig og derfor ikke behøves dækket af stof?
Jeg finder den vægophængte kasse mest sandsynlig ud fra de givne oplysninger. Oplysningen om at alle sider skal beklædes kan læses som en normal kasses 6 sider, men hvis den ene side er et åbent hul, og kassen derfor kun består af 5 spånplader, kan oplysningen "alle sider" også læses som de 5 spånplade-sider.
Et sådant problem løses af nedenfor opstillede ligningssystem, hvor x og y er sidelængder i kassens bund (læg mærke til at en kvadratisk bund ikke optimerer dette problem)
Solve(1.4xy=12 and 2xy+21.4x+1.4*y=29,x,y)
=>(x,y)=(1.673,5.12339) v (x,y)=(2.56169,3.346).
Stakkels kinesere, du har undervist, det er jo det rene volapyk, du kommer med.
...vil nøjes med de 29 kvadratmetre stof og kunne acceptere at siderne blev 1,7 meter høje, vil han få et kasseoverflade på 28,99598 M^2 :)
På dansk hedder en sådan løsning "En Klarenberg" :)
med højden 1.4 ?
Det er altså lidt sjov, hvordan flere besvarelser prøver at få opgaven til at være et trickspørgsmål.
I opgave er det formuleret:
Tænker man så straks på en pyramide med retvinklet bund, en kasse med trekant bund og retvinklet i forhold til lodret, eller en kasse med rund bund (cylinder) der er retvinklet mellem bund og side?
Jeg kan nok ikke rigtigt tænke ud af boksen, og kan ikke få det til at blive andet end et parallelepipedum.
Forslag: Tre-sidet pyramidestub, ligesidet trekant.
En kasse, 3x2x2 m = 4x6 +2x4 =32 kvm. hurtig hovedregning, når man lige får stillet skarpt.
Har du prøvet at læse opgaven igen, efter du fandt din løsning?
Det kan undre, at ingeniører ikke har fundet ud af, hvordan man på en pc kan skrive adskillige specialtegn.
Nogle eksempler:
aº, a¹, m², m³, ±125, ¼, ¾, 24°C, 5‰,
123×456 (med rigtigt gangetegn),
– (tankestreg, ikke at forveksle med bindestreg -),
— (amerikansk tankestreg).
Fremgangsmåden er ellers ganske nem.
Synes folk glemmer at vise det mindst mulige.
[latex]h = 1.4[/latex]
[latex]V = hdl = 12 \qquad \Rightarrow \qquad d = \frac{12}{1.4l}[/latex]
[latex]A(l) = 2(dh+ld+lh) = \frac{24}{l} + 2.4l + \frac{24}{1.4}[/latex]
Løsning for 29m^2 ?
[latex]A(l) = 29 \qquad \Rightarrow \qquad 2.4l^2 - 11.86l + 24 = 0[/latex]
Som rigtigt nævnt tidligere eksisterer der ikke en løsning med reelle tal.
Men hvad er det mindst mulige?
[latex]\frac{dA}{dl} = 2.4-\frac{24}{l^2}[/latex]
Vi leder dernæst efter stedet hvor hældningen er 0
[latex]2.4-\frac{24}{l^2} = 0 \qquad \Rightarrow \qquad l = \sqrt{10}[/latex]
Det mindst mulige areal er da
[latex]A(\sqrt{10}) = 32.3 m^2[/latex]
Glemmer vi et øjeblik kravet om en højde på 1,4 meter, har en kubisk kasse med et volumen på 12 m³ et overfladeareal på 31,45 m², hvis alle 6 sider skal beklædes. Men nu står der ikke, at der er 6 sider og der står ikke, at alle vinkler er rette. Derimod står der, at der er tale om "en almindelig retviklet kasse". Spørgsmålet er jo så, hvad det dækker over?
Næste overvejelse er, om det findes geometriske figurer med et rumfang på 12 m³, som har et overfladeareal på 29 m² eller mindre? Svaret er ja: En kugle med et rumfang på 12 m³ har et overfladeareal på 25,34 m². Så jeg lugter trickopgave.
Jeg har ikke regnet på problemet, men det første jeg ville forsøge mig med var nok to kegler sat sammen bund mod bund, så vinklen mellem dem er ret. Hvis det kan lade sig gøre indenfor opgavens krav, er det bare at variere den ide, indtil man på en eller anden led kan vride en højde på 1,4 meter ud af kassen....
Personligt gider jeg nok ikke forsøge, fordi det alligevel bliver en strid om ord, hvad en helt almindelig retvinklet kasse betyder?
En Toblerone æske er vel også en slags papkasse...
Byg kassen, så volumet passer ala det i alle sammen har beskrevet. Demonter den igen, svøb pladerne i stoffet, sæt et passende antal frimærker på og send så skidtet afsted til det kunstmuseum i en fart og kom videre. Jeg gider ikke engang hitte ud af om de kan svøbes med et lag stof imellem hvis de stakkes. Selv i den mest primitive løsning er alle sider omgivet af stof.
Eller er den?
Nu er denne opgave ret simpel, og man kan ikke få stoffet til at dække kassen med i øvrigt nogen som helst højde på kassen. Det ligner da utallige projekter man har hørt om, hvor enderne ikke kunne nå sammen. Den gamle indianske fortælling om den døde hest lever i bedste velgående.
Heine Strømdahl har blot villet vise, at du kan få opgaver som er uløselige på de givne betingelser. Da er det væsentligt at kunne påvise umuligheden i at løse opgaven, før alt for meget investeres.
Der er altid nogle som siger jamen--- . Så er det vigtigt at have teorien og fysikken i orden, så det kan tilbagevises på et fornuftigt og praktisk grundlag, samtidig med at man tager sine egne forudsætninger op til overvejelse.
Opgaven er måske mere realistisk end de fleste vil vedkende sig, særligt når kompleksiteten vokser. Der kunne jo altid være nogle hjørner man har overset?
Det var en skæg opgave.
Det undrer mig, at ingen af de deltagende ingeniører (jeg er blot en pensioneret skolelærer) har opstillet en formel for kassens overflade som funktion af den ene af kassens sider. (Den anden af de tre sider findes ud fra at rumfanget skal være 12 m³.)
Dernæst skal denne funktion differentieres for at finde ud af, hvornår værdien er 0.
Dette sker ved x = 2,928 m (afrundet)
For denne x-værdi er overfladen 33,538 m² – altså større end kravet på 29 m².
Svaret på det stillede spørgsmål er således et Nej.
En Fustage?
Personligt har jeg skiftet differential/integral regning ud med numeriske metoder, og det kun hvis problemet er for komplekst til at overskue.
Hvis opgaven nu var lidt sværere end at designe en kasse, men f.eks. finde ud af hvor meget atmosfæren har at sige for hastigheden på en Falcon 9 raket, efter trin 1 er brændt ud. Så er det meget nemmere at lave 7 kolonner i excel, (højde, atmosfærens densitet, motorens trykkraft, hastighed, luftmodstand, rakettens masse, acceleration) og så beregne en række for hvert sekund, end at løse det med ligninger.
Det er nok i et forsøg på at finde den udfordring der påstås at være i opgaven.
Bingo - skylder ing.dk os ikke snart en forklaring på dette besynderlige stunt?
Hvis man læser opgaven pålydende, er der jo ikke meget hverken udfordring eller tvivl om resultatet - jeg kan i hvert fald ikke få øje på noget, der indikerer andre muligheder end en 1.4 højt potrusion af et rektangel (kvadrat for at optimere volumen/areal) - d.v.s. rette vinkler overalt - og her har adskillige jo vist, det ikke er muligt.
Nærmest ligegyldigt om det er den ene eller anden form for ret vinklet form (med 12 kubik meter rumfang), ja så kan det lade sig gøre.
"og alle kassens sider inklusive top og bund skal efterfølgende beklædes med noget særligt udvalgt stof. Designeren råder over 29 kvadratmeter af dette stof."
Givet at det særlige, ved det særligt udvalgte stof er at det er noget stof der kan strække sig (som rigtigt mange stof typer kan i dag ;)
Jeg går ud fra at sider + bund skal beklædes, og alle 29 m2 skal anvendes:
Sidernes mål er så 5,83 og 1,47. Højden er 1,4
Hilsen
Birke Sørensen
Prøv at læse opgaven igen - - -
Der er masser af eksempler regnet igennem i tråden, der viser det umulige i den opgave - med mindre der ligger et trickspørgsmål gemt - som vel og mærke ingen indtil nu har kunnet gennemskue.
der hænger på en kunstudstilling, er selvfølglig åben ud til beskueren, og har derfor kun 5 flader
Derfor ja, designeren har stof nok til beklædning af alle sider, samt top og bund
De kreative tolkninger giver anledning til at overveje situationen hvor man tillader ALLE legemer med den givne højde og det givne rumfang.
Så hvis restriktionen kun er at h=1,4 og V=12, hvad er så det mindst mulige overfladeareal A ?
+1
I den virkelige verden, er det selvfølgelig meget pænt hvis man kan lave en smuk formel. Men hvis man bare skal have et tal, så brug dog et regneark eller lignende. Resten er spild af kundens penge, eller du overholder ikke budgettet. (hvis der er plads i budgettet, giver chefen nogle gange lov til lidt sjov: medarbejderpleje)
Jeg synes tråden er gået for vidt , er der et telefonnummer til HP's tryllekunstforening?
Spændende spørgsmål. En oblat (omdrejningsellipsoide) med c = 0,7 meter har en højde på 1,4 meter. Skal volumen være 12 m² bliver a = 2,023 meter og overfladearealet bliver 31,37 m².
Bahnsen:
Det fremgår ingen steder - det eneste der står er, at alle sider skal beklædes. Jeg ville derimod antage at en kasse altid som minimum har fire sider og en bund, hvorimod låg kan optionalt.
Stig:
Hvad har det med retviklet kasse at gøre? Hvis man frit kan vælge at se bort fra dele af opgavens tekst, giver det jo ingen mening.
mvh Flemming
"Det fremgår ingen steder - det eneste der står er, at alle sider skal beklædes. Jeg ville derimod antage at en kasse altid som minimum har fire sider og en bund, hvorimod låg kan optionalt."
Det er så din antagelse.
Der står ingen steder at kassen har mere end 5 sider, blot at alle kassens sider skal betrækkes
Kasser som beholder forekommer overalt med 5 sider, og benævnes: kasse. Dette uanset hvilken side der er åben, da den til en hver tid helt beskriver den geometriske form.
Wiki formulerer det fint:
"En kasse som beholder har en side, der er åben, eller en side der på en eller anden måde er udformet som låg/lukkeanordning"
.
Grunden til at åbningen vender udad er at rumindholdet er et helt klart krav.
Hvis nu designeren også er kunstner,(som der er nogle i tråden der allerede har dømt ham til) kunne han kalde værket: "12 kubikmeter"
Men da vi ikke kan gå ud fra at designeren også er kunstner, har kassen nok et andet formål.
Hvis designeren blot ville udstille sit udvalgte stof på en kunstnerisk måde, betrukket over kassen, giver de krævede 12 kubikmeter absolut ingen mening
Så er der ikke plads til åbne sider!
Opgaven og de mange forskellige løsningsforslag er et godt eksempel på hvor vigtigt det er at få formuleret opgaven entydigt. Formuleringen:
"en stofklædt hængende kasse, der har form som en almindelig retvinklet kasse. Den skal have en højde på 1,4 meter og et rumfang på 12 kubikmeter. Der skal anvendes spånplader til at bygge kassen, og alle kassens sider inklusive top og bund skal efterfølgende beklædes med noget særligt udvalgt stof."
Levner plads til fortolkning (og rummer en del overflødige oplysninger). Personligt læste jeg opgaven som: "Er det muligt at konstruere en kasse med højden 1.4m og et volumen på 12 m3, så det samlede indvendige areal ikke overstiger 29m2? Den ene af kassens sider skal være åben (og dermed ikke beklædt med stof), da det ellers ikke er svært at betragte den udstillede genstand."
Enkelte andre har læst opgaven tilsvarende og løst de resulterende to ligninger med to ubekendte:
1.4 x y = 12 og 2.8 y + 1.4 x + 2 x y = 29
(https://www.symbolab.com/solver/system-of-...)
Så: ris til opgavestilleren som aldrig må smide noget så tvetydigt efter en hær af ingeniører :-)
Bahnsen:
Bingo: Opgaven er ikke defineret, men beror på antagelser (din, min eller andres) og derfor ikke løsbar ;o)
Var det givet, at en "side" kan udelades, er opgaven simpelthen for let til dette forum, så et eller andet sted er der nok nogen, der griner af os - - -
PS: Vil "kunstværket ikke være grimt med en flot bekædt (særligt stof) yderside og synlig spånplade gennem den manglende side ;o)
mvh Flemming
(Der venter i spænding på Ramskov)
Det er en forkert antagelse at en kasse ikke kan være åben
.
Der er ihvertfald en del at grine og græde over hvis man læser tråden
.
Nu ved vi jo ikke om de indvendige sider bliver synlige under udstillingen, da vi ikke har fået oplyst hvad de 12 kubikmeter skal bruges til.
(Men spånplader der er: "uendeligt tynde, således at indre og ydre rumfang er ens." må ligge et sted imellem helt gennemsigtige og klart usynlige, så det udvalgte stof har nok en pæn bagside)😜
V = 12 m3.
h = 1,4 m.
Jeg vælger f.eks. l = 3 m og b bliver derfor ca. 2,857 m.
V = 1,4 x 3 x 2,857 = 11,9994 m3.
Kassen har 6 sider, men der står ingen steder at der ikke må være hul i disse.
Så jeg fjerner alt, undtagen de yderste 10 cm.
Jeg får nu følgende arealer
top & bund: 3 x 2,857 - 2,8 x 2,657 = 1,1314 m2
forside & bagside: 3 x 1,4 - 2,8 x 1,2 = 0,84 m2
højre & venstre: 2,857 x 1,4 - 2,657 x 1,2 = 0,8114 m2
i alt 2 x 1,1314 + 2 x 0,84 + 2 x 0,8114 = 5,5656 m2
Meget mindre end 29 m2.
Så, ja, det er muligt at lave kassen med de givne forudsætninger.
man kan gå hele vejen omkring, med alle 6 flader, cirkelrunde kikhuller i de 4 sideplader, disse med samlet areal på minimum 4,5M2
Man kunne jo beklæde de indvendige sider i kassen istedet, men så bliver forudsætningen:
"en stofklædt hængende kasse" liiidt søgt
Korrekt - lige så forkert som at at antage, at den er det ;o)
(for via den "omvej" at nå frem til svaret JA)
Men: Selv hvis du optimerer kassen som et kvadrat der er 1.4 meter højt og 2.93 ** 2.93 i plan og fjerner en side (ikke bund eller top, som jo er fastlagt via termen "højde"), har vi vel ikke nok stof: Det kræver 29.44 m2: 3 flader (siderne) a' 1.4 * 2.93 + 2 flader (top og bund) a' 2.93 * 2.93
mvh Flemming
Du har ret, min hovedregning er ikke hvad den har været.
Jeg holder på kikhullerne istedet, skulle kunne give op til godt 6M2 ved Ø1,4 hvis den virker nu
Når wiki ligefrem definerer, at der ikke hører låg til en kasse (det passe vel også fint med "ølkasse", tror jeg opgavestilleren har en anden løsning i sigte.
Helt banalt har en kasse med en højde på 1,4 m og en kvadratisk bund en sidelængde på knap 2,93 meter. Overfladen af 5 sider bliver "kun" 24,97 m², så måske er meningen, at kassen skal beklædes med et stykke stof i et helt stykke?
Det mest oplagte vil være en stofbredde på højde plus en halv sidelængde: 2,86 meter. For at kunne beklæde kassen bliver der et spild ved hjørnerne, men det kan gøres med en stoflængde på 4 sidelængder, så stoffet skal have en længde på 11,71 meter. Men det giver et stofareal på 33,54 m².
Alternativt kan man have en stofbredde på 1,4 meter, som trækkes rundt om kassen, hvorefter man får brug for tre stofbredder til bunden. Det giver et stofareal på 28,7 m², som afrundet jo er 29 m².
Det er jo ikke til at vide, hvad opgavestilleren har i tankerne. Er det det praktiske beklædningsproblem vi skal løse eller hvad? En traditionel kasse med 6 sider kan det jo i hvert fald ikke blive til, så det er nok ideen med de 5 sider der skal arbejdes med...
Nej det holder heller ikke.
Som Flemming påpeger: Hvis højden er 1,4, bliver den side der mangler ikke stor nok
Men hvis den retvinklede kasse skal holdes, må der nødvendigvis skulle fjernes areal der skal beklædes.
En kasse med huller kan vel stadig betegnes som en kasse, men hvor store, og hvor mange huller må der være, før det ikke er en kasse længere?
Hvis det er stoffet der er udstillingsemnet, giver det mening at beklæde kassen indvendigt og have store huller.
Kun en designer ville starte med en specifikation på 12 m3 for en kasse til det formål😏
Det er jeg uenig i. En af de få specifikke ting i opgaveformuleringen er, at højden på kassen er 1,4 meter. Ergo er det manglende låg en af de "store" sider, da et låg trods alt altid sidder ovenpå en kasse.
Ja man kalder det vel en luge, eller en dør hvis den sidder i siden, men det er dig der definerer den som værende et låg, og hvor er så top og bund hvis du har lagt kassen ned?
Højden er 1,4m , og højde er altid fra bund til top, uanset hvordan du vender Kassen, hænger alle 3 sammen.
I opgaven her er toppen og bunden de store flader (som skal betrækkes)
En ølkasse har en højde, på trods af at den er åben foroven. Såjeg er stadig uenig. Det er den store side der ikke skal dækkes (og det er også den side publikum ikke vil kunne se, idet kassen jo ophænges).
Kom nu ind i kampen Stig!
Der står udtrykkeligt, at sider, top og bund skal beklædes. Sammenholdt med en kendt højde på 1.4 meter og med fjernelse af en side giver det i bedste fald de før nævnte 29.4 m2
Så igen: med mindre der en skjult fælde i opgaven kan den ikke læses på nogen måde, der tilgodeser dit synspunkt.
Jo længere du svømmer ud ad den tangent, jo hårdere bliver rygsvømningen tilbage ;o))
Mvh Flemming
Der er enigehed om at den optimale udformning kræver 33,5 m2.
4,5 m2 mere end de foreskrevne 29 m2.
Alle overflader skulle beklædes, også top og bund.
Kassen skal hænge i loftet.
Hvis vi skærer et hul på 2,12 x 2,12 m i toppen er alle overflader beklædt og vi har
brugt 29 m2.
Toppen er optimalt 2,92m. - 2,12 m giver det en ramme på 80 cm hele vejen rundt
Nej
34 m^2
Min kones smykkeskrin er beklædt på alle sider, top og bundt med rødt silkefløjl - indvendigt.
Kære ing.dk kom nu med løsningen, og send mig så den præmie-rødvin!
2 x 3 sidet pyramidestub, ligesidet trekant(er) i top og bund, (Rhombe sammensat af to rumfang stofbeklædt).
kunne hænge ned lige over gulvet, der kan være et rundt hul Ø 2,4m i topladen , så man kan se ned i kassen, måske beklædt indvendigt med stoffet der interagerer med det der fylder 12m3
Jeg var faktisk ikke sikker på om den skulle beklædes både udvendigt og indvendigt.
Rumfanget:
V = 1,4·x·y = 12
<=> y = 12/(1,4·x)
Overfladen:
O = 2·x·y + 2·1,4·x + 2·1,4·y
= (2·x·12)/(1,4·x) + 2,8·x + (2·1,4·12)/(1,4·x)
= 2,8·x + 24/1,4 + 24/x
O differencieres:
O' = 2,8 – 24/x²
For at finde minimum, skal O' = 0:
O' = 0
<=> 24/x² = 2,8
<=> x² = 24/2,8
<=> x = kvadratroden af 24/2,8 = 2,928 (afrundet)
For denne x-værdi bliver overfladen:
O = 33,538 (afrundet) – altså større end 29
Det var også mit første bud Stig. Man kunne tillige overveje superæg og lignende men for en kugle med afskåret top og bund (et symmetrisk kuglesegment) får jeg:
R=1,701, A=30,049.
Jeg tænker det er svaret på det mere generelle spørgsmål: Hvad er det mindst mulige overfladeareal A for et legeme givet rumfanget V=12 og højden h=1,4 ?
Jeg foreslog flere akser end 3 i koordinatsystemet, og de findes og alle akser kan være ortogonale til de øvrige. Desværre ved jeg ikke hvordan en "kasse" ser ud i sådan et koordinatsystem.
Jeg er nok lidt for jordbunden. Det bliver geometri og matematik udover mit forestillingsniveau, ligesom matriksoperationer og deres anvendelse kræver at man afkobler sig noget fra vores tredimensionale virkelighed og løfter sig noget op fra jorden.
En torus + en cylinder der går til center af torusen, vil være 11,99 m3 og 28,79 m2.
Center af Torus radius er 1,094
(tegnet op i Solid Works...)
Gad vide om den form så er den 'optimale'. Måske Pappus-Guldins regler kan bruges til at afgøre det.
Njarh. I begge Pappus-Guldins to regler for hhv. overflade og volumen af et omdrejningssymmetrisk legeme indgår den vej, som tyngdepunktet af den roterede flade gennemløber. Vejen kan man dermed forkorte væk, og så står man blot med et nyt problem, som alle vel allerede havde indset:
Vi skal finde den fladeform, som har det største areal i forhold til den del af omkredsen, som ikke løber gennem omdrejningscentrum.
I reglen for overflade er det kurvens geometriske midtpunkt. I reglen for volumen er det fladens geometriske midtpunkt. Dvs. to forskellige veje. Så...
Hm. Ja. Du har ret.