En lille matematisk udfordring til Ingeniørens læsere

Illustration: arkivfoto

Her er fire små opgaver, som du kan fornøje dig med:

  • Find et positivt tal, som adderet til kubikroden af tallet giver 6.

  • Find to positive tal, hvor det ene er det dobbelt af det andet, så kvadratet af det største ganget med det mindste giver 40 minus summen af de to tal.

  • Find et positivt tal, som adderet til fire gange kubikroden af tallet giver 13.

  • Find et positivt tal, som efter subtraktion af tre gange kubikroden af tallet giver 10.

Var det for let, kan du kaste dig over denne opgave:

  • Find et irrationalt tal som ganget med summen af kvadratroden af tallet og 40 giver et positivt heltal. Et eksempel på et irrationalt tal er 3+√2, dvs. et tal, der ikke kan skrives som en brøk p/q, hvor p og q er heltal.

Svarene kan du i hvert fald for de første fire opgaver let få elektronisk hjælp til, når du har omformuleret spørgsmålene i matematisk notation – husk at negative tal eller komplekse tal ikke tæller som svar, og du ikke skal finde alle løsninger, hvis der er flere, men blot én løsning.

Derefter kan du spekulere over, hvad spørgsmålene har til fælles (og hvordan det femte adskiller sig fra de fire første), hvem der har stillet spørgsmålene, hvornår og hvorfor.

Det er efter min mening det mest interessante. Kvalificerede gæt modtages gerne.

Medmindre kommentarerne, der måtte komme, vil besvare alle disse spørgsmål fyldestgørende, vil jeg om en uges tid bringe en længere artikel, der besvarer netop disse spørgsmål.

Lad mig tilføje, at det ikke er en ukendt historie for matematikhistorikere – men jeg formoder, at det kun er ganske få læsere, der kender alle svarene på hv-spørgsmålene. Min indgangsvinkel til en sådan artikel vil i givet fald være en ny bog, som fortæller om en spændende periode i matematikkens historie.

OPDATERING14. juni 2020 kl. 23.00
Jeg har tilføjet en ekstraopgave i debattråden, som kan findes ved at scrolle ned til debatindlæg nr. 26. Det giver først mening at se denne opgave, når man læst de foregående debatindlæg.
Der vil senere komme en længere artikler om emnet med løsninger. Link bliver også indsendt her,,når denne artikel er er offentliggjort.

SVARET PÅ UDFORDRINGEN bringes 20. juni 2020 i en artikel, som der vil være link til her:

Læs også: Den store matematiske fejde om løsningen af tredjegradsligningen – med svar på udfordring til læserne

Emner : Matematik
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

1) x+x^(1/3) = 6, x>0.

2) x>0, y>0, y=2x, y^(1/2)x=40-(x+y)

3) x+4(x)^(1/3) = 13, x>0

4) x-3(x)^(1/3) = 10, x>0

5) x(40+x^(1/2)) = N, N er et naturligt tal. x er et irrationelt tal.

  • 1
  • 0

Vi ender i alle tilfælde i tredjegradsligninger, som der jo er en besværlig måde at løse på. De fire første er givne ligninger. I sidste opgave efterspørges en tredjegradsligning, hvor der findes løsning med en bestemt egenskab.

Og hva' så? Længere kommer jeg ikke. I hvert tilfælde ikke uden at google.

  • 0
  • 1

1:

Find et positivt tal, som adderet til kubikroden af tallet giver 6. x+x^(1/3)=6, x>=0 ensbetydende med x^(3/3)+x^(1/3)=6 ensbetydende med x^(4/3)=6 ensbetydende med x=6^(3/4)

Youtube (37 minutter): 500 years of NOT teaching THE CUBIC FORMULA. What is it they think you can't handle?

Historisk:

https://de.wikipedia.org/wiki/Scipione_del...

https://en.wikipedia.org/wiki/Cubic_equation

https://de.wikipedia.org/wiki/Cardanische_...

  • 1
  • 4

I italien i 1500 tallet udgave Girolamo Cardano et værk om algebra, med titlen Artis Magnæ. Heri indgår også løsning på kubiske ligninger, x3+ax = b. Man kan med Cardonos formler løse de ligninger som kan stilles op som Rasmus Dybbro har gjort det.

Nr to giver f.eks at det lille tal er (5+p)^(1/3) +(5-p)^(1/3), hvor p= kvrod(25+1/64), dvs cirka 2,0385 og det store tal 4,077.

Der er en del specielle forhold som er interessante:

Man havde ikke imaginære tal dengang, men der blev formuleret løsninger til problemer hvori der indgår imaginære tal. F.eks summen af to tal er 10. Produktet er 40. Det er hhv 5 plus kvrod(-15) og 5 minus kvrod(-15) .

Cardano nåede frem til at kubiske ligninger kunne have op til 3 rødder, men negative tal var heller ikke på det tidspunkt kendt.

Der var strid om ophavsretten til løsningerne til de kubiske problemer, hvor Cardano fik løsningen fra Nicolo Tartaglia Fontana, men Cardano fandt ud af at Del Ferro havde fundet Tartaglia Fontanas formel først. Så Cardano publicerede Del Ferros resultater, og Tartaglia mente så at Cardano havde kopieret ham. Men Del Ferro's studerende Antonio Fiore havde også kendskab til løsningen. Dengang var det også sådan at en professor (på latin betyder en lærer) ved et universitet skulle være den klogeste. Hvis det blev bestridt ville læreren ganske enkelt miste sin position og anseelse, og derfor kunne man udfordre en lærer og det gjorde Antonio Fiore, men Fiore tabte. Senere overtog Cardanos elev Ludovico Ferrari striden og endte med at besejre den efterhånden aldrende Tartaglia.

Den akademiske strid medførte en del ny matematik som blev opfundet og kan sammenlignes med kommerciel konkurrence hvor man tvinges til at udvikle bedre løsninger eller blive lukket ned. Og noget mere nobelt end at udkæmpe duellen på våben.

Mit bud på hvem hvad hvor spørgsmålet er at det drejer sig om nogle af de spørgsmål (gåder) som indgik i stridighederne med Tartaglia Fontana på den ene side og Cardano folkene på den anden.

Mit gæt er at spørgeren er italieneren Antonio Fiore og det var omkring 1530-1540 som en del af en matematisk duel med Tartaglia Fontana.

  • 5
  • 0

Jeg kan ikke med nogen af mine lommeregnere få det til at passe (x=6^0,75). Bruger du ikke en ulovlig regneregel ved at lægge eksponenterne sammen - det er jo en addition og ikke en multiplikation?

  • 1
  • 1

De fire første giver tredjegradsligninger, som kan løses med Cardanos formel. I hvert af tilfældene er der kun én reel løsning. Den femte opgave inviterer til at kigge i kvadratiske talringe, bestående af tal af formen a plus b gange kvadratrod(d), hvor a og b er hele tal og d er et kvadratfrit helt tal. Det fører til en ligning, hvoraf det fremgår at a må være negativ, og for hver mulig værdi af a kan man så finde værdier af b og d, som løser problemet. Jeg finder for hvert a to forskellige løsninger. Jeg tvivler på at der kan findes andre løsninger end disse, men de er jo så også uendelig mange.

  • 1
  • 0

x+x^(1/3) = 6 x^(1/3) = 6-x x = (6-x)^3 Her sættes x=t+6: t+6=-t^3 t^3+t+6=0

med p= kvrod(9+1/27) er t = (p-3)^(1/3)+(-p-3)^(1/3) og med x=t+6 er x=(p-3)^(1/3)+(-p-3)^(1/3) hvilket cirka er 4,3656 som Peter Vind Hansen korrekt angiver.

  • 0
  • 0

Opg.2: [latex]y=\sqrt[3]{\sqrt{1601}+40}+\sqrt[3]{40-\sqrt{1601}} [/latex] [latex]x=\frac{\sqrt[3]{\sqrt{1601}+40}+\sqrt[3]{40-\sqrt{1601}}}{2} [/latex]

  • 0
  • 0
  • x+4 x^(1/3) = 13

  • 4 x^(1/3) = 13-x

  • 64x = (13-x)^3

  • Her sættes x=t+13:

  • 64t+832=-t^3

  • t^3+64t+832=0

  • med p= kvrod(173056+262144/27) er t = (p-416)^(1/3)+(-p-416)^(1/3) og med x=t+13 er

  • x=(p-416)^(1/3)+(-p-416)^(1/3) +13 hvilket cirka er 5,8094

  • 0
  • 0

... Inflamed Renaissance Italy and Uncovered the Cubic Equation" har også på sit italienske orginalsprog den poppede hovedtitel "The Secret Formula". Forfatteren Fabio Toscanos fortæller om renæssance-matematikerne Antonio Maria Fior, Gerolamo Cardano og Niccolò Fontana Tartaglia mfl, så stort set alle kan være med - selvom de nævnte opgaver og mange andre formler er en del af læseoplevelsen. Jeg har med samme glæde læst en interessant bog om "the cannonball problem", men send mig ikke op til tavlen for at uddybe formlerne...

  • 0
  • 0

Der er flere gode svar i debatten, og vi er allerede kommet langt. Men måske er vi ikke kommet helt rundt om emnet endnu.

  • 0
  • 0

De fire første opgaver har det tilfælles at de kan skrives om til ligninger på formen x^3 +ax+b=0 og kan dermed løses med samme metode.

Det kan nummer 5 ikke.

  • 1
  • 0

Øv, jeg huskede Cardano's navn forkert, men jeg indså hurtigt, at det var 3° ligninger, det drejer sig om. Jeg brugte Wolfram Alpha til at løse den første, og løsningen er ganske kompleks:

https://drive.google.com/file/d/1R8Ov3P3gA...

Måske skal vi over i det generelle problem at finde rødder i polynomier, hvor der også findes en formel for 4° men ikke for nogen højere.

  • 0
  • 1

Bortset fra de trivielle tilfælde, hvor løsningen er et kvadrattal er opgave 6 speciel ved, at løsningen skrives med brug af i (sqrt(-1)) i Wolfram Alpha. Så mit gæt er, at det hele kunne dreje sig om, hvordan man kan anvende komplekse tal uden reelt at have en fuldstændig matematisk forståelse.

  • 0
  • 1

Nu om dage hvor vi jo ikke kan sætte Euler på opgaverne snyder vi jo ved at i stedet a lave små matematiske programmer, og så finde tallene med så mande decimater som ønsket, hvis de da ikke bliver uden decimaler.

  • 0
  • 0

Bjørn, jeg kan ikke læse dine links. Men hvis du med opgave 6 mener opgave 5 i min artikel, så er tallet ikke 100. Jeg skal nok komme med en løsning senere.

  • 0
  • 0

Nu ved vi, det drejer sig om tredjegradsligninger - bortset fra opgave 5. Tom Paamand var hurtigt til at finde bogen, og Jesper Hansen m.fl. har givet gode forklaringer. Der skal nok som lovet komme en længere artikel om emnet - som også vil indeholde løsningen til opgave 5.

Men indtil da er der en ekstraopgave til de særligt dygtige.

Hvem bad hvem om et svar på, hvordan man skal finde en løsning (husk kun positive løsninger tæller) på et problem, der svarer til at løse ligningen x^3-9x-10=0.

Jeg kan godt røbe, at den søgte løsning er 1 + sqrt6. Ligningen har også to negative løsnnger, men dem interesserer vi os ikke for.

Og måske interessant, hvorfor blev dette spørgsmål stillet? Og hvem forklarede efterfølgende, hvordan det skal gøres?

Jesper Hansen kan måske give svaret, men kan andre også?

  • 1
  • 0

De her stillede opgaver (selv om at de ikke er tilsvarende svære) minder mig om der tilbage i det 17ende århundrede, blev der årligt op stillet en opgave der var så svær at kun opmod 7 personer kunne løse den aktuelle.

Et år var det jo opgaven med at finde ligningen for en snor hængende kurve mellem to stolper, altså som en el ledning mellem vejkantstolperne. Og faderen til en søn der i Bernoullis familien (Eulers bekendte) havde løst problemet, og så opdagede at det havde opdagede sønnen også, blev sønnen smidt ud!

Desværre kan jeg nærmest ikke huske navne, efter et kraniebrud, og kan normalt ikke klare opfaver med navne, generindre navne, før jeg ser dem nedskrevne, selv at jeg har læst nærmest alt det der vides om matematik; har kun 400 matematikbøger.

  • 0
  • 0

@Jens Ramskov: Den får du lov at afsløre. Historien er din og snart alles. Tak for at bringe den til live igen.

Kan i øvrigt opforde dig og alle andre interesserede at kaste sig over Fermats theorem, eller Fermats sidste sætning. Dette utroligt elegante og simple udsagn har været et mysterium i hundreder af år og jagten på løsningen har fulgt verdenshistorien på godt og ondt helt ind i vor tid.

  • 0
  • 0

Nu ved vi, det drejer sig om tredjegradsligninger - bortset fra opgave 5.

???

Opgave 5: x(40+x^(1/2)) = N, N er et positivt heltal og x er et irrationelt tal.

Kan let omformes til: x^3 – 1600x^2 + 80Nx – N^2 = 0,

Eller alternativt hvis x = z^2 fås z^3 + 40z^2 – N = 0.

Sættes z = a + b^(1/2) fås:

(3a^2 + 80a + b)b^(1/2) + (a^3 + 40a^2 + 3ba) = N

Da N skal være et positivt heltal, må koefficienten til b^(1/2) være nul.

Regne,regne, der er flere løsninger, f.eks: a = -11 og b = 11gange 47 = 517 som giver

x = 638 – 22 gange (517)^(1/2) og N = 7128

Desværre kan jeg ikke påvise, at x irrationel, selv om både 11 og 47 er primtal!

  • 3
  • 0

Her er en skitse til et bevis. For at vise at kvadratroden af 517 er irrationel, kan man bruge at de eneste to tal som går op i 517 er 11 og 47. Argumentet føres ved modstrid: Antag at kvadretroden af 517 er rationel, dvs. der er en uforkortelig brøk n/m=sqrt(517), men der af følger også at n²/m²=517. Den eneste måde en brøk giver et ulige tal på er hvis n² og m² er ulige (og dermed også n og m), dvs. de kan skrives på formen n²=2q+1 og m²=2p+1 hvor p og q er hele tal. Heraf følger at n²=517m² og ved indsættelse (2q+1)²=517(2p+1)² som igen er 4q²+1+2q=517(4p²+1+2p). Ved at gange ind i parentesen og flytte konstantleddet over på den anden siden af lighedstegnet fås 4q²-516+2q=517(4p²+2p). Det som står på venstre side af lighedstegnet er lige og det som står i parentesen på højre side er lige. Dvs. der er et lige tal som går op i 517. Dette er en modstrid da de eneste tal som går op i 517 er 11 og 47. Derfor er kvadratroden af 517 irrationel.

  • 0
  • 0

Det var godt jeg kaldet det en skitse. Der er en meget nemmere måde at undersøg om kvadratroden er et tal er irrationel. Det bygger på at alle heltal har en entydig primtalsfaktorisering, altså n=p1p2p3....pn, hvor n er et heltal mens p1 til pn er primtal, som i dette tilfælde godt må optræde flere gang (det gør notationen lidt pænere). Dvs, at et kvadrattal kan skrives som n²=(p1p2p3....pn)². Heraf kan vi ser at kvadratroden af et heltal kun har heltalsløsning hvis alle primfaktorene har lige potens. Hvad så med brøker? kvadratroden af et tal r som har en rationel løsning, altså r=n²/m² må der gælde at nævner og tæller kan skrives som en primtalsfaktorisering hvor alle faktorere har lige potens, r=(p1p2p3...pn)²/(q1q2q3...qm)², hvor m og n gerne må være forskellige. Så for at teste om kvadratroden af et tal er irrationelt skal man blot kigge på primtalsfaktoriseringen. Tallet 517=11x47 har ikke lige potens og kan ikke skrives som en brøk derfor er kvadratroden af tallet irrationelt. Det er sgu noget nemmere.

  • 0
  • 0

@Henrik Det er en fin løsning.

Du skriver at koefficienten til b^(1/2) må være nul, hvilket jo opfylder betingelsen.

Det må også være gyldigt hvis koefficienten ikke er nul, såfremt b er et kvadrattal, og samtidig at (a+kvrod(b)) ikke er et kvardrattal, da vi jo ender med at x=kvrod(z).

Det giver jo mulighed for andre løsninger, hvilket man må formode der er.

  • 0
  • 0

Jeg har sat den i mit tidligere indlæg skitserede løsning af opgave 5 lidt i system og fundet følgende løsninger:

N = 5096, x1 = 702-26 x sqrt(533), 533=13x41

N = 4032, x1 = 728-56 x sqrt(133), 133=7x19

N = 6144, x1 = 672-96 x sqrt(33), 33=3x11

N = 7128, x1 = 638-22 x sqrt(517), 517=11x47

N = 2048, x1 = 768-512 x sqrt(2)

N = 8000, x1 = 600-200 x sqrt(5)

N = 8712, x1 = 558-54 x sqrt(53)

N = 576, x1 = 792-216 x sqrt(13)

N = 9216, x1 = 512-128 x sqrt(7)

N = 152, x1 = 798-38 x sqrt(437), 437=19x23

N = 9464, x1 = 462-14 x sqrt(413), 413=7x59

N = 9408, x1 = 408-24 x sqrt(93), 93=3x31

N = 9000, x1 = 350-50 x sqrt(13)

N = 8192, x1 = 288-32 x sqrt(17)

N = 6936, x1 = 222-6 x sqrt(213), 213=3x71

N = 5184, x1 = 152-8 x sqrt(37)

N = 2888, x1 = 78-2 x sqrt(77), 77=7x11

Da jeg ikke kan bruge stjerne som gangetegn bruges i stedet "x", mens den variable er omdøbt til "x1".

  • 2
  • 0

Derefter kan du spekulere over, hvad spørgsmålene har til fælles (og hvordan det femte adskiller sig fra de fire første), hvem der har stillet spørgsmålene, hvornår og hvorfor.

Alle fem opgaver ender op som 3’diegrads ligninger. De fire første har kun én variabel og derfor max. 3 positive reelle løsninger. Den sidste har to variable, og derfor mange flere løsninger, som dog begrænses af bindingerne på løsningsmængden.

Mht. det historiske er jeg blank og ser frem til en uddybning.

  • 0
  • 0

Jesper Hansen skrev mht. opgave 5:

Det må også være gyldigt hvis koefficienten ikke er nul, såfremt b er et kvadrattal, og samtidig at (a+kvrod(b)) ikke er et kvardrattal, da vi jo ender med at x=kvrod(z).

Først tak for de pæne ord. Men nej. b kan ikke være et kvadrattal, for så er a+sqrt(b) et heltal. Stik mod antagelsen. Det sidste har du også fået galt i halsen. x er ikke som du skriver x=kvrod(z), men derimod x = z^2.

Ing. tillader indlæg i MathJax, og for at tydeliggøre opgave 5 følger senere en løsning i Mathjax, som samtidig viser mulighederne, og som jeg håber andre fremover vil benytte sig af, fordi det tydeliggør forståelsen.

  • 0
  • 0

[latex]\color{red}{\text{Opgave 5 kan skrives som: } x\,(\sqrt{x} + 40)=N}[/latex]

[latex] \text{Sættes } x=z^{2}\text{ fås}:[/latex]

[latex]z^{3} + 40\,z^{2}=N[/latex]

[latex] \text{Sættes }z=a + \sqrt{b}\text{ ifølge det givne, hvor a er et heltal og b er et positivt heltal}[/latex]

[latex] \text{fås: }(3\,a^{2} + 80\,a + b)\,\sqrt{b} + a^{3} + 40\,a^{2} + 3\,a\,b + 40\,b=N[/latex]

[latex] \text{Da N et heltal må koefficienten til }\sqrt{b}\text{ være nul. Dvs.: }3\,a^{2} + 80\,a + b=0[/latex]

[latex] \text{som løses mht. a: } a=( - {\displaystyle \frac {40}{3}} + {\displaystyle \frac { \sqrt{1600 - 3\,b}}{3}} , \, - {\displaystyle \frac {40}{3}} - {\displaystyle \frac {\sqrt{1600 - 3\,b}}{3}} ) [/latex]

[latex] \text{Da a skal være et heltal, må } 1600 - 3\,b \text{ være kvadratisk. Dvs: } 1600 - 3\,b=y^{2}[/latex]

[latex] \text{som indsat giver: } a=( - {\displaystyle \frac {40}{3}} - {\displaystyle \frac {y}{3 }} , \, - {\displaystyle \frac {40}{3}} + {\displaystyle \frac { y}{3}} ) [/latex]

[latex] \text{Da b er et positivt heltal, må y være et heltal i intervallet 0 til 40.}[/latex]

[latex] \text{Det giver 40 muligheder, hvoraf en trediedel kan udelukkes, fordi a skal være et heltal.}[/latex]

[latex] \color{green}{ \text{ De fundne løsninger er listet i mit tidligere indlæg.}} [/latex]

  • 3
  • 0

Det er direkte usmageligt, at Ramskov først stiller en matematikopgave til samtlige læsere af Ingeniøren uden samtidig at nævne, at hans kommentar og forklaringer til løsningerne vil være bag en betalingsmur, som ikke alle har adgang til, deriblandt undertegnede.

Det har moret mig at ”løse” opgave 5. Hvis Ramskov i den ny betalingsartikel har kommenteret denne specifikke ”løsning”, bedes denne del venligst fjernet, da jeg selv er afskåret for muligheden for at læse den, endsige kommentere den.

RIP.

  • 7
  • 2

Skal vi gætte på, at det ikke er Ramskov men chefredaktøren der står bag den plan.

Jeg værdsætter Ramskovs artikler, så jeg håber, du har ret. Både Ramskov og chefredaktøren er i kommunikationsbranchen. Kommunikerer de slet ikke indbyrdes?

Ramskovs desværre få artikler er stort set de eneste, jeg læser. Fortsætter den hidtidige udvikling af ”Ingeniøren”, går avisen en strålende fremtid i møde som medlemsblad for ”Klima-Psykologisk Forening” med allehånde nonsens klima-debat-skænderier.

Bloggere, der kunne berige os med deres viden om moderne fysik, er for længst blevet skræmt væk af endeløse indlæg fra kvaksalvere med deres forkvaklede teorier, uden at den såkaldt ansvarlige redaktion har grebet ind.

De forkvaklede teorier skal også kunne høres, men det er redaktionens ansvar, at det ikke tager overhånd, og her har redaktionen skammeligt svigtet.

Tager jeg fejl, og kan redaktionen ikke skelne mellem skæg og snot, så er den fagligt inkompetent og bør udskiftes.

Ingeniøren har desværre valgt at initiere uendelig mange klimadebatter, hvis indhold dels er (tragi)komisk og dels består af sørgeligt fordummende gentagelser.

Sagligt ingeniørstof er i stor udstrækning pist væk og undertrykt til fordel for fordummelse.

Er det for profit eller for overlevelse?

  • 2
  • 0

Jeg værdsætter Ramskovs artikler, så jeg håber, du har ret. Både Ramskov og chefredaktøren er i kommunikationsbranchen.

Ramskov er vel bare naturvidendskabeligt interesseret og nyder at dele sin interesse. H. Heide har vel fået til opgave at skabe et overskud, og gør som han mener er bedst. Bortset fra mit private bekendtskab med ham husker jeg ham bedst fra et tåkrummende interview han gav i en kort periode, hvor han havde en lederstilling i DR's nyhedsafdeling.

Tager jeg fejl, og kan redaktionen ikke skelne mellem skæg og snot, så er den fagligt inkompetent og bør udskiftes.

Det kan den ikke, men det er heller ikke hvad der giver klik. Clickbait artikler giver klik.

Heldigvis, eller desværre for de medier der tilsyneladende har opgivet at dyrke egen originale historier, så kan man idag på nettet finde gratis og langt bedre dækningen af de emner mange medier tager op i deres artikler.

Så hvad skal man leve af som medie. Enten må man vel satse på egne originale historier eller også må man gå clickbait vejen. Vil man være The Guardian eller BT.

  • 1
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten