værd at vide

Kan ulige tal være fuldkomne?

De otte mindste fuldkomne tal, der findes – og i baggrunden René Descartes, der i 1638 fandt det eneste kendte positive ulige tal, der er næsten fuldkomment. Illustration: Ingeniøren

Inden for talteori findes en række udsagn, som vi formoder er rigtige, men som har vist sig ualmindeligt svære at bevise. Mange er knyttet til primtal. Der er f.eks. Goldbachs formodning om, at ethvert lige tal større end 2 kan skrives som summen af to primtal (8 = 5+3 eller 12 = 7+5) eller formodningen om, at der findes uendeligt mange tvillingeprimtal som 5 og 7, 17 og 19, 1.301 og 1.303, som er to primtal med en forskel på 2. En lidt beslægtet tredje formodning knytter sig til de fuldkomne tal.

Et fuldkomment tal – også kaldet et perfekt tal – er et tal, som er lig med summen af sine divisorer inkl. tallet 1, men fraregnet tallet selv. De første fuldkomne tal er 6 og 28, da 6=1+2+3 og 28=1+2+4+7+14. De næste er 496 og 8.128, og herefter bliver tallene hurtigt meget store. Der kendes i dag 51 fuldkomne tal, hvor det største har 49.724.095 cifre. Et af de uløste problemer er, om antallet af fuldkomne tal er endeligt eller uendeligt. Et andet problem er knyttet til, at – som du måske har bemærket – alle de kendte fuldkomne tal er lige tal. Den græske matematiker Nicomachus fra Gerasa (der var flere kendte nicomachusser fra den græske oldtid) erklærede allerede ca. 100 år før vor tidsregning, at der kun fandtes lige fuldkomne tal, men ingen har nogensinde bevist det.

Der findes enkle teknikker til at vise, om et tal er fuldkomment. Man kan på simpel vis udregne summen af alle divisorer for ethvert tal, denne gang inkl. tallet selv, hvis man opløser tallet i dets primtalsfaktorer. Eksempelvis er 1.260 = 2^2 x 3^2 x 5 x 7, og en enkelt algoritme fører til, at summen af divisorer for dette tal er 4.396. Da 4.396 er forskellig fra 2 x 1.260, er 1.260 ikke et fuldkomment tal. Laver vi samme udregning for 496 = 2^4 x 31, kommer vi på tilsvarende vis frem til 992, som er det dobbelte af 496, der derfor er et fuldkomment tal.

René Descartes søgte efter denne opskrift at finde et ulige fuldkomment tal, og det lykkedes næsten i 1638 med tallet 198.598.575.189, som kan udtrykkes som 3^2 x 7^2 x 11^2 x 13^2 x 22.021. Læg mærke til, at alle faktorer som krævet er primtal bortset fra 22.021. Bruger man samme algoritme som for tallene 1.260 og 496, kommer man frem til værdien 397.171.152.378, der er præcist det dobbelte af det 12-cifrede tal, som altså ville være et fuldkomment ulige tal, hvis blot 22.021 havde været et primtal. Det er det desværre ikke, da 22.021 = 19^2 x 61. Men dette tal, som kaldes Descartes-tallet, er blevet kendt som et spoof eller fup-fuldkomment ulige tal. Bemærkelsesværdigt er, at der skulle gå 361 år, før den amerikanske matematiker John Voigt kom op med et andet slags fup-tal, nemlig tallet −22.017.975.903, der er lig med 3^4 × 7^2 × 11^2 × 19^2 × (−127). Hvis man accepterer -127 som en slags primtal (det positive tal 127 er et primtal), så er dette negative 11-cifrede tal et fuldkomment ulige tal.

Hvis vi holder os til, at fuldkomne ulige tal skal være positive, og at negative tal ikke kan være primtal – og det er reglen – så blev det i 1998 vist, at sådanne tal måtte være større end 10^300, såfremt de skulle eksistere. Denne grænse øgede de to franske matematikere Pascal Ochem og Michaël Rao i 2012 til 10^1500. Det er jo sådan set rart at vide, og det understøtter stærkt formodningen om, at sådanne tal ikke findes, men matematikerne vil jo gerne bevise, at Nicomachus havde ret i, at disse tal slet ikke findes. Quanta Magazine oplyser, at den unge amerikanske matematiker Pace Nielsen fra Brigham Young University i Utah mener, det kan være en udvej at se nærmere på fup-tallene, som Descartes gjorde. Da eventuelle rigtige fuldkomne ulige tal må være en delmængde af fup-tallene, kan man måske ved at bevise visse egenskaber omkring disse tal erklære, at ægte fuldkomne ulige tal ikke findes. På den måde tackler han et større problem, men det kan nogle gange være den rigtige vej at gå, mener han. Foreløbig er han kommet lidt videre i forståelsen af fup-tallene, men uden endnu at kunne udelukke eksistensen af ægte fuldkomne tal blandt dem.

Meget tyder på, vi kommer til at leve med, at eksistensen af fuldkomne ulige tal er stærkt tvivlsom, men at vi ikke kan vide os helt sikre mange år endnu. Det kan være stærkt intellektuelt utilfredsstillende, men det klarer vi vel nok.

Emner : Værd at vide
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Eller måske rettere: Gammel kærlighed ruster næsten aldrig!

Carl-Otto Johansen's bog, "Tossede Tal" er her den gamle kærlighed og begrebet er "venskabstal", med følgende relation:

sum(divisors(x))=y && sum(divisors(y))=x

For ca 30 år siden skrev jeg på en DEC/Pro 380 (# WF00063 med J11 CPU) et lille program i DECUS C eller PDP11-C som fandt (nogle af ) disse tal-par; så jeg nød Jens Ramskov's beretning om det beslægtede emme: Perfekte Tal.

Om venskabstal: https://en.wikipedia.org/wiki/Amicable_num...

René Descartes (og Fermat) genopdagede disse talpar, som desværre er gået lidt af mode siden.

René Descartes: https://plato.stanford.edu/entries/descartes/

Descartes, udover at lægge navn til det lokale møderum i DEC/ETC/GUSS, var mennesket bag: "Je pense, donc je suis." (da: Jeg tænker, derfor er jeg.)

Fik jeg sagt, Tak Jens?

  • 3
  • 0

...hvis man opløser tallet i dets primtalsfaktorer. Eksempelvis er 1.260 = 22 x 32 x 5 x 7, ...

22 og 32 er jo ikke primtal, og desuden er 22 x 32 x 5 x 7 = 24640. Skulle der mon ikke stå 2^2 og 3^2 i stedet for (så "kineserhatten" simpelthen er forsvundet)? Samme fejl optræder vist flere steder i artiklen.

  • 0
  • 0

Samme fejl optræder vist flere steder i artiklen.

Den gør den nemlig. Det skyldes, at artiklen er skrevet i vores avis-system og derefter er konverteret til vores onlinesystem ,og lige meget hvor mange gange, jeg gør opmærksom på, at så skal man være opmærksom på de hævede tegn, så går det galt. Det bliver ikke bedre af, at konverteringen sker på tidspunkter, jeg ikke selv er til stede. Jeg tror snart, jeg opgiver at skrive sådanne artikler.

Men nu håber jeg, at alle 'kineserhatte' er kommet på plads.

  • 5
  • 0

Men nu håber jeg, at alle 'kineserhatte' er kommet på plads.

Næsten, der mangler stadig ved

Laver vi samme udregning for 496 = 24 x 31,

  • 0
  • 0

Det er blevet bevist, at perfekte tal skrevet i binær form har bestemte mønstre i fordelingen af bits (jeg husker ikke præcis hvilke). Det er på den måde bevist, at ulige perfekte tal (hvis de eksisterer) har en bestemt form, og det er bl.a. det der gør, at man kan udelukke ulige tal under 10^1500.

  • 0
  • 0

Det virker måske lidt overdrevet at sammenligne denne talforskning med numerologi, men det er vel den samme fascination af besynderlige sammenhænge, som driver værket.

  • 1
  • 2
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten