Tænkeboks: Hvor hurtigt kom peberbøssen op af suppen?

Illustration: Ingeniøren

Efterårets første opgave kommer fra Mads Clausen Instituttet ved SDU i Sønderborg og lyder:

Opgave 34:
En kok taber ved et uheld sin cylindriske peberbøsse, og den trænger ned til bunden i den 45 cm dybe tomatsuppe i gryden foran ham.

Peberbøssen vejer 140 gram, den har en diameter på 4 cm og en højde på 11,5 cm. Suppens densitet er 1.000 kg/m3, tyngdeaccelerationen er 9,81 m/s2, og peberbøssens hydrodynamiske formfaktor (ved det relevante Reynolds tal) er 0,86.

Hvor lang tid tager det peberbøssen i opretstående position at stige op fra bunden, indtil den bryder suppens overflade?

– – –

Vi bringer løsningen i næste uge, men fra søndag eftermiddag ligger opgaven også på adressen ing.dk/fokus/taenkeboksen, hvor I kan diskutere jeres forslag til løsninger.

/elp

Illustration: MI Grafik
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

er 1,78s.

Jeg fik en 2. ordens, ulineær differentialligning af formen h" = a - b * h'^2.

h(t) er peberbøssens afstand fra grydens bund som funktion af tiden og a, b er konstanter.

  • 2
  • 0

Det er et godt bud, men jeg tror at den oplysning vi skal bide mærke i er, at peberbøssen trænger helt ned til bunden af gryden, 45 cm under suppens overflade. Heraf kan vi udlede at kokken er igang med at lave en voldsom stor mængde tomatsuppe, hvorfor peberbøssens doseringsåbning har været maksimalt åbnet, idet han taber den. Så da peberbøssen lander i opretstående position på bunden af gryden, er den blevet fyldt med tomatsuppe og har derfor mistet sin opdrift. Ergo kommer den aldrig op til overfladen igen.:-)

  • 3
  • 0

Jeg har ledt efter udtrykket, men ikke fundet en forklaring. Måske er det ligesom Cv for en bil, men hvem ved. Opdriften er tilsyneladende 4,4 gram, som ikke er meget hvis suppen er bare lidt tyk. Der er for mange ubekendte, som jeg ikke gider gætte om. Alene det at den først skal slippe bunden , før den begymder at stige, giver en stor usikkerhed. Umidelbart vil en løsning kræve en længere beskrivelse af forudsætningerne for løsningen end jeg har lyst til.

  • 1
  • 0

Jeg tænkte også at stigningstiden nok kunne beregnes på en eller anden måde, men undrede mig mere over at kokken må have tabt peberbøssen fra ret stor højde, hvis den skulle nå helt ned på bunden :-)

  • 0
  • 0

Et bud måske lidt utraditionelt. reynolds tal = 0,86= hastighedhydraulisk diameter/dynamisk viskocitet 0,86=v 0,04m/0,315 m^2/sec v= 0,86*0,315/0,04=6,77m/sec grydens højde er 0,45 m og bøssen er 0,04 m dvs stighøjde på 0,41 m hvis bøssen ligger ned på bunden. dvs 0,6 sec. om at stige op.

  • 0
  • 0

Hvis nogen har mod på at beregne hvor højt oppefra han tabte peberbøssen, kan der måske hentes inspiration i dette link ?: https://www.ncbi.nlm.nih.gov/pmc/articles/...

Lad os for nemheds skyld se bort fra luftmodstand og rotation, og antage at peberbøssen rammer væskeoverflade med endebunden (og ikke går i stykker ved nedslaget) og falder lige ned til den rører bunden af gryden. Samt at den lige præcis har hastigheden 0 i det øjeblik den rører bunden af gryden. :-)

  • 0
  • 0

Det kan også regnes på flg. måde volumen af bøssen 144,51 cm^3 vægt 114g densitet 114/144,51=0,788 a= 9.81(1000/788 -1)=2,64 m/sec^2 s= 0,5at^2 derfor: 0.335*2/2,64=t^2 og t=0,5 sec

  • 0
  • 0

En eksakt løsning

Newtons 2. lov benyttes på peberbøssen i positiv projektion lodret opad mdv/dt = rhogAh - mg - c0,5rhov^2A Her er v den varierende lodret opadrettede hastighed, t den varierende tid og A bøssens grundareal. De øvrige betegnelser fremgår af opgaveteksten. Med x som bøssebundens højde over grydebunden har vi dv/dt = dv/dxdx/dt = dv/dxv = 0,5dv^2/dx Der indsættes i bevægelsesligningen og omrokeres dv^2/dx + av^2 = b med a = crhoA/m = 7,719 m^(-1) og b = (rhoAh/m -1)2g = 0,6325 m/s^2 Med begyndelsesbetingelsen v^2 = 0 for x = 0 har vi løsningen v^2 = b/a(1-exp(-ax)) Ud fra v = dx/dt findes sammenhængen melle t og x dt = sqrt(a/b)/sqrt(1-exp(-ax))dx For at integrere dette indføres parameteren u u = sqrt(1-exp(-ax)) dt= 2/sqrt(ab)/(1-u^2)du t = 1/sqrt(ab)ln((1+u)/(1-u)) hvor der ved integrationen er sat t = 0 for u = 0 (dvs. x = 0). Jeg orker ikke at indsætte formlen for u. Bøssen når væskespejlet ved x = 0,45 - 0,115 = 0,335 m. Det giver u = 0,9616 og dermed t = 1,78 s

  • 2
  • 0

Løsningen? Jeg tror sidste led i a(v), kv^2, mangler at blive divideret med m. Der står også i løsningen at kv^2 er lig med væskemodstanden - som er en kraft - som dog trækkes fra accelerationer i a(v)

  • 2
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten