Hr. Frø er en meget klog frø, som vi første gang mødte i børnebogen ‘Fermats sidste sætning’ i foråret.
Læs også: Kloge hr. Frø lærer små børn rigtig matematik
Her forklarede Hr. Frø de andre dyr i skoven, hvordan man kan anvende modstridsbeviser til at bevise matematiske udsagn – som Andrew Wiles gjorde i sit bevis for Fermats sidste sætning, der siger, at der ikke findes heltalsløsninger til ligningen x^n + y^n = z^n for n større end 2.
Læs også: Andrew Wiles får Abelprisen for beviset for Fermats sidste sætning
I bogen ‘Primtalstvillinger’ er det Hr. Frø, der får stillet et vanskeligt spørgsmål: Hvis sidste ciffer i lillebror er 1, foretrækker næste lillebror så at ende på 7, 9 eller 1?
Vi vender tilbage til, hvem eller hvad lillebror er, men det er et interessant spørgsmål, som har forbindelse til en helt uventet opdagelse gjort tidligere på året af to matematikere fra Stanford University i USA.
Primtal med præferencer
Bortset fra tallene 2 og 5 vil alle primtal have 1, 3, 7 eller 9 som sidste ciffer, og det er bevist, at selv om der er uendeligt mange primtal, kan man godt tillade sig at sige, at lige mange har henholdsvis 1, 3, 7 og 9 som sidste ciffer.
Den umiddelbare følgeslutning vil være, at hvis et primtal har 1 som sidste ciffer, er der 25 pct. chance for, at næste primtal også har 1 som sidste ciffer. Men som Kannan Soundararajan og Robert Lemke Oliver viste i marts, er det ikke tilfældet.
Blandt den første en milliard primtal gælder det, at hvis sidste ciffer i et primtal er 1, vil kun 18 pct. af næste primtal også have 1 som sidste ciffer. I omkring 30 pct af tilfældene vil sidste ciffer for næste primtal være 3, det samme for 7, mens 22 pct. af tilfældene vil have 9 som sidste ciffer. Denne skævhed bliver mindre, men forsvinder ikke, jo længere frem man kommer i talrækken.
Mellem brødre
I den nye børnebog er emnet primtalstvillinger – altså talpar af formen 5-7, 11-13, 17-19 osv. hvor begge tal er primtal, hvor det største tal er 2 større end det mindste.
I børnebogen kaldes de to tal for henholdsvis lillebror og storebror. Det synes jeg er gode udtryk, selv om det kan synes lidt mærkeligt at tale om lillebrødre og storebrødre i forbindelse med tvillinger.
Hr. Frø får altså med andre ord stillet det svære spørgsmål, om denne skævhed i fordelingen af sidste ciffer, som kendes og er bevist for primtal, også gælder for lillebror i et tvillingepar.
Ad omveje får Hr. Frø fortalt følgende:
‘Det er sådan, at hvis lillebror ender på 1, så foretrækker den næste lillebror at ende på 7, dernæst 9 og slet ikke 1.’
En stabil skævhed
Kan det virkelig være rigtigt, tænkte jeg og tog kontakt til lektor Simon Kristensen fra Aarhus Universitet, der sammen med sin tidligere ph.d.-studerende Steffen Højris Pedersen har været matematisk konsulent på bogen. De har udregnet alle primtalspar op til 100 millioner.
I en e-mail forklarede Simon Kristensen: ‘Vi er ikke i nærheden af at vise noget stringent (på samme måde som Stanford-matematikerne,red.), men der er tale om en skævhed, der forekommer og ser stabil ud fra et numerisk synspunkt.’
Han tilføjede, at det ikke er urimeligt at forvente denne skævhed, hvis man er villig til at antage en hel masse ubeviste formodninger, og at skævheden fra følgen af alle primtal nedarves til følgen af tvillingeprimtal. Men hvor stor er denne skævhed, og er den lige så markant, som Hr. Frø får at vide i bogen?
Jeg fik Aarhus-matematikernes tal udleveret og kunne selv beregne, at hvis lillebror ender på 1, så vil det for alle tal op til 100.000 gælde, at 39,9 pct. af de næste lillebrødre ender på 7, 32,9 pct. på 9 og kun 27,2 pct. på 1. Der er altså noget om det, som Hr. Frø får fortalt.
Hr. Frø er fejlinformeret
Skævheden bliver dog relativt set mindre for tal op til 100 millioner. Her gælder det, at hvis en lillebror ender på 1, vil 37,2 pct. af de næste lillebrødre ende på 7, 32,2 pct. på 9 og 30,6 pct. på 1. Så jeg synes faktisk, at beskeden til Hr. Frø er trukket rigeligt skarpt op.
Vil forskellen konvergere mod 0? På mit spørgsmål herom svarede Simon Kristensen:
‘Jeg forventer ikke, at forskellene går mod 0, men det er jo som sagt spekulativt.’
Jeg mindes ikke, at en anden børnebog på samme måde har fået mig til at studere talteori. Den må være en oplagt julegave om ikke til børnene så til talinteresserede forældre eller bedsteforældre.
Jeg ser kun ét problem: Bogens stil passer nok bedst til børn omkring 6-7 år, mens primtal hører hjemme i undervisningen efter 4. klasse, hvor børn nok foretrækker en anden fortælle- og tegnestil.
Læs også: Dansker jagter verdensrekorder for primtal
Jan Egesborg, Johannes Töws og Pia Bertelsen: ‘Primtalstvillinger’, Forlaget Alvilda, 32 sider, kan findes til omkring 110 kr. på internettet.
