Hip hip hurra: Den generelle relativitetsteori fylder 100 år

Mens Første Verdenskrig rasede, holdt Albert Einstein fire torsdage i november for hundrede år siden foredrag i Det kongelige preussiske Videnskabsakademi om den generelle relativitetsteori, han havde arbejdet på i flere år.

Fra uge til uge modificerede han sin teori og dens fundamentale ligninger, indtil han den 25. november 1915 endeligt kunne erklære:

'Damit ist endlich die allgemeine Relativitätstheorie als logisches Gebäude abgeschlossen'.

Huset var bygget færdigt. Punktum. Slut.

Nu er der gået 100 år. Huset står stadig solidt og har forsvaret sig mod alle angreb.

Einsteins foredrag 25. november 1915 Die Feldgleichungen der Gravitation udkom ugen efter i videnskabsakademiets tidskriftserie.

Rum-tiden fortæller stof, hvordan det skal bevæge sig; stof fortæller rum-tiden, hvordan den skal krumme

Den amerikanske fysiker John Archibald Wheeler har beskrevet essensen af den generelle relativitetsteori i en enkelt smuk sætning:

'Rum-tiden fortæller stof, hvordan det skal bevæge sig; stof fortæller rum-tiden, hvordan den skal krumme'.

Mens kvantemekanikken i årene efter blev udviklet af mange personer, syntes Albert Einstein nærmest som en solohær i sit arbejde. Han var dog, som det senest er beskrevet i Nature af to førende videnskabshistorikere, inspireret af og fik hjælp af både kendte og ukendte forskere.

Til sidst var Albert Einstein endog i kapløb med datidens største matematiker, David Hilbert i Göttingen, om at komme frem til en konsistent teori. Derfor havde Einstein travlt i november med at få huset bygget færdigt.

Hvor Einsteins specielle relativitetsteori fra 1905 konceptuelt er forholdsvis enkel at forstå, og matematisk set ikke kræver kendskab til andet end gymnasiematematik, så er den generelle relativitetsteori af en noget anden kaliber.

Wheelers smukke sætning har to dele. Angivelsen af, hvordan rum-tiden fortæller, hvordan stof skal bevæge sig, er baseret på princippet om maksimal ældning, som det meget sigende er døbt af den amerikanske fysiker Edwin Taylor.

Angivelsen af, hvordan stof fortæller, hvordan rum-tiden skal krumme, er beskrevet med Einsteins feltligninger, som han færdiggjorde 25. november 1915.

Vi tager en del af gangen.

Princippet om maksimal ældning

I den specielle relativitetsteori bestemmes banen i rum-tiden for en partikel, der bevæger sig langsommere end lyshastigheden, udfra princippet om maksimal ældning.

Det er ikke umiddelbart indlysende, om dette også vil gælde i den generelle relativitetsteori, hvor rummet er krumt. Men Albert Einstein har forklaret, at på et tidspunkt kom den lykkeligste tanke i hans liv til ham.

Einstein indså, at en person i et frit fald fra taget af et hus ikke ville mærke nogen tyngdekraft. Hvis han i sit fald slap en sten i hånden, ville den relativt set være i en tilstand af hvile eller konstant bevægelse. Personen kan derfor med god ret betragte sig som værende i hvile.

Hertil kan tilføjes, at denne opfattelse naturligvis vil ændres, når personen rammer jorden.

Ud fra dette kunne Einstein argumentere for, at uanset om rum-tiden er flad (som det gælder i den specielle relativitetsteori) eller krum (som i den generelle relativitetsteori), gælder princippet om maksimal ældning. En partikel, der bevæger sig langsommere end lyshastigheden, følger derfor også i den generelle relativitetsteori den bane, hvor egentiden er størst.

Når partikler bevæger sig i henfold til rum-tidens krumning og princippet om maksimal ældning, har det den tilsyneladende effekt, at der findes massetiltrækning.

Det er svært at forestille sig krumninger i rum-tiden. Det er noget lettere at forestille sig krumninger i rummet alene. Men her kan man se noget tilsvarende.

Antag at to personer står på ækvator med en passende stor afstand mellem sig. De bevæger sig nu begge stik nord i samme tempo. Efterhånden vil de opdage, at de kommer tættere og tættere på hinanden for til sidst at mødes i samme punkt på Nordpolen. Hvis de ikke tænker over, at de har bevæget sig på en krum overflade, så kunne de få den opfattelse, at massetiltrækning er forklaringen på, at de mødes i samme punkt.

På noget tilsvarende vis er rum-tidens krumning årsag til de gravitationelle effekter.

Det er vigtigt at forstå, at det ikke er rummet, der er krumt. Det er rum-tiden.

Faktisk giver det slet ingen mening at tale rummet for sig selv og tiden for sig selv i den generelle relativitetsteori, det er kun rum-tiden, der giver mening. Den måde, man matematisk kan beskrive en krumning på i rummet, er dog den samme, som beskriver en krumning i rum-tiden.

Måske skal man ikke forsøge at tænke alt for meget over, hvordan en krumning i rum-tiden 'ser ud', men udelukkende basere sig på matematikken.

Selv fotoner mærker rum-tidens krumning og vil derfor afbøjes rundt om stjerner. Selv om fotoner ikke har masse vil de faktisk også afbøjes efter Newtons love, men ikke på samme vis. Det var målinger af denne afbøjning af lys fra stjerner rundt om Solen, som fik Eddington til at erklære den generelle relativitetsteori for eksperimentelt eftervist (se boks).

Einsteins feltligninger

Men hvorfor krummer rum-tiden, og kan vi beregne, hvor meget den krummer? Det er anden del af Wheelers sætning.

Svaret er Einsteins feltligninger, som han kæmpede med til det sidste for 100 år siden.

Vi hopper lige ud i det og præsenterer Einsteins løsning her:

[latex] R_{\mu \nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} [/latex]

G er her Newtons gravitationskonstant, og c er lyshastigheden. De andre størrelse vender vi tilbage til.

Ofte ser man endnu mere simple versioner præsenteret, idet man antager, at udregningen foregår i enheder hvor enten c=1, eller det gælder både c=1 og G=1.

En yderligere forsimpling er, at hele venstre side ofte sammentrækkes til et symbol.

[latex] G_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} [/latex]

Dette er i virkeligheden ikke kun én ligning. Der er tale om 10 koblede ikke-lineære partielle differentialligninger, som kan være ganske svære at løse.

Når det er tilfældet, er det fordi,T på højre side og G på venstre side med de sænkede bogstaver er tensorer. T kaldes for stress-energi tensoren, mens G simpelt hen kaldes for Einsteins tensor - den må endelig ikke forveksles med Newtons konstant, også kaldet G, som er et tal på højre side.

De sænkede bogstaver my og ny kan hverisær være en af de fire parametre i rum-tiden (t,x,y,z). Tensorerne er derfor 4x4 matricer. Alle 16 elementer i matricerne er dog ikke uafhængige af hinanden, og derfor er der 'kun' 10 koblede ikke-lineære partielle differentialligninger.

Stress-energi tensoren er bestemt af fordelingen af masse og energi (husk at masse og energi er forbundet via E=mc^2) i rummet.

Einstein-tensoren angiver meget kort fortalt, hvordan rummet krummer. Den første ligning viser, at det er beskrevet ved en krumingstensor R (første led) og en skalar krumningsparameter R.

Hertil kommer yderligere tensoren g - kaldet den metriske tensor. Den angiver, hvordan infinitesimale afstande i rum-tiden skal beregnes og spiller en afgørende rolle i den generelle relativitetsteori.

Ud over at teorien skal præsentere forudsigelser, som kan testes eksperimentelt, skal den også for svage gravitationsfelter, hvor krumningen i rumtiden er meget lille, og for partikler, der bevæger sig langsomt i forhold til lysets hastighed, gå over i Newtons ligninger.

Umiddelbart ser Einsteins feltligninger meget anderledes ud end Newtons anden lov og massetiltrækningslov:

[latex] F = m a \text{ og } F = \frac{GmM}{r^2} [/latex]

Det er lettere at se en sammehæng, når man opstiller Newtons gravitationlov som en Poisson-ligning:

[latex] \nabla^2 \Phi = 4 \pi G \rho [/latex]

hvor Laplaceoperatoren indgår på venstre side og virker på gravitationspotentialet, og massetæthen rho indgår på højre side.

Nu ligner ligningerne straks meget mere hinanden og er, som det bl.a. fremgår af beskrivelsen på side 14-15 i Sean Carrolls note A No-Nonsense Introduction to General Relativity, identiske for et svagt gravitationsfelt og langsomme partikler.

Einsteins største fejltagelse

Som mange sikkert er bekendt, indførte Albert Einstein på et tidspunkt en kosmologisk konstant i sine ligninger.

Han gjorde det fordi, det ellers ville være umuligt at forklare, at Universet var statisk, som alle formodede, det var på dette tidspunkt. Når de gravitationelle effekter ville få alle ting til at nærme sig hinanden og Universet dermed til at kollapse, måtte der være et element, der modvirkede dette.

Det kunne en kosmologisk konstant, lamda, på venstre side i ligningen rette op på. Ligningssystemet kom derfor til at se sådan ud:

[latex] R_{\mu \nu} - \frac{1}{2}Rg_{\mu \nu} + \Lambda g_{\mu \nu} = \frac{8 \pi G}{c^4} T_{\mu \nu} [/latex]

Da Edwin Hubble i 1929 viste, at Universet udvidede sig, og ikke var statisk, skyndte Einstein at fjerne sin konstant igen og erkendte næsten brødebetynget, at den havde været hans største fejltagelse.

Opdagelsen i 1998 af, at Universet ikke alene udvider sig, men at udvidelsen er accelererende, har dog fået astrofysikerne til at genindføre den kosmologiske konstant.

Standardmodellen inden for kosmologi kaldes for Lambda-CDM, hvor lambda er den kosmologiske konstant, og CDM står for cold dark matter.

Sådan bliver du endnu klogere

Denne beskrivelse har forhåbentligt givet et lille indblik i grundlaget for den generelle relativitetsteori. Hvis den forekommer at være for overfladisk eller uforståelig, kan det anbefales at se denne forelæsning på en time fra et kursus ved Massachusetts Institute of Technology.

Læs dernæst dette udkast til et kapitel i en ny bog, som er skrevet Edmund Bertschinger (forelæseren i videoen) og Edwin Taylor og denne korte introduktion til den generelle relativitetsteori skrevet af John Baez og Emory Bunn. De kræver ikke kendskab til den allerhøjeste matematik, men giver begge en dybere forståelsen af teorien.

Det tager lidt tid, men du bliver med garanti klogere og havner et spændende sted i rum-tiden.

Hvis du ikke orker at høre mere om Einsteins feltligninger, så husk blot, at rum-tiden fortæller stof, hvordan det skal bevæge sig; stof fortæller rum-tiden, hvordan den skal krumme.