Bagsiden: Den græssende ged finder sin løsning

Blandt de matematiske gennembrud i 2020 noterer Bagsiden, at der langt om længe kom en løsning på det flere hundrede år gamle problem om en ged bundet til hegnet af en cirkulær indespærring med radius 1 – vælg selv enheden, den er ligegyldig.

Det simple spørgsmål lyder: Hvor lang skal snoren være, for at geden kan græsse på præcis halvdelen af arealet inden for hegnet? Man kan tro, det er et helt simpelt geometrisk problem. Det er det ikke.

Matematisk kan problemet koges ned til at finde en løsning til ligningen sinx -xcosx=p/2. Marshall Fraser beskrev nemlig i 1982, at rebets længde så er r =2cosx.

Denne ligning for x har ingen eksakt løsning, på samme måde som der f.eks. findes eksakte løsninger for andengradsligninger. Man kan finde en tilnærmet løsning ved iteration og med mere eller mindre besvær komme frem til r = 1,15945…

Sidste år viste den tyske matematiker Ingo Ullich dog, at hvis man tager en omvej via kompleks funktionsanalyse – og hvem havde dog lige tænkt på det – kan man finde en eksakt løsning for r med anvendelse af såkaldte konturintegraler, som vedrører integration langs en kurve i den komplekse plan.

Det kræver dog stadig numeriske metoder at løse konturintegralerne og dermed finde længden. Og så er man jo lige vidt, vil gedeejere nok mene.

Eksperter vil derimod glæde sig over, at der ikke længere er ged i matematikken, for nu kan længden findes uden iteration.