Gensyn med gymnasiets matematik

På Ingeniørens redaktion plejer vi at sige, at vore artikler skrives for læsere med en matematisk studentereksamen. Så derfor er det en fornøjelse at præsentere en bog, som netop henvender sig til alle Ingeniørens læsere: Studentereksamensopgaver i matematik 1806-1991. En ny bog af rektor Palle Bak Petersen, Frederiksværk Gymnasium og undervisningskonsulent Søren Vagner, Undervisningsministeriet.

Sagt med det samme, trods den tørre titel er det en spændende bog, som kan nydes på mange måder. Både for det generelle historiske og samfundsmæssige overblik, som bogen giver, i forbindelse med udformningen af diverse skole- og gymnasielove - naturligvis med særlig fokus på matematikundervisningen. For en indsigt i hvilke matematiske discipliner, der har været undervist i gennem tiderne. Og fordi man i bogen og på den medfølgende cd-rom kan finde sine egne studentereksamensopgaver.

Jeg kastede mig straks over: Studentereksamen maj-juni 1971, matematisk linje, matematisk-fysisk gren, Matematik 1. Og gik for anden gang i mit liv i gang med Opgave 1a.

Løs inden for mængden af reelle tal uligheden | |x| - 3 | < 2.

Nå, var det virkeligt ikke sværere. Vi betragter naturligvis først tilfældet for x > 0. Det giver hurtigt, at 1 < x < 5. Så betragter vi tilfældet x < 0. Og det giver det andet løsningsinterval -5 < x < -1. Det var jo ikke så svært. Nu fik jeg i al ubeskedenhed en pæn karakter ved eksamen, og noget hænger åbenbart stadig ved.

Der indgår tre andre enkle delopgaver af samme eller lidt vanskeligere sværhedsgrad i Opgave 1. Opgave 2 drejer sig om funktionen f(x) = sin2x + 2cosx i det lukkede interval 0-2*pi. Og der lægges op til både lidt hyggelig differentiation og integration i forbindelse med denne fornøjelige funktion. At sinus differentieret er cosinus, og at cosinus differentieret er minus sinus kan jeg godt huske, men det ville nu være rart at have en formelsamling i nærheden for at løse hele opgaven. Så jeg ser i stedet for på Opgave 3a:

I mængden M af ikke-negative tal reelle tal er kompositionen * defineret ved a***b =(a+b)/(1+ab). Bevis, at kompositionen er kommutativ og associativ.

Her stopper jeg. Tænke, tænke. Hvordan var det, nu lige det var med de begreber. Ærligt talt, det kan jeg ikke huske. Men jeg kan huske, at det sjovt og interessant, da lektor Erik Kristensen underviste os på Viby Amtsgymnasium fra 1968 til 1971 efter sin egne og Ole Rindungs berømte lærebøger: Matematik 1, 2 og 3.

Et lærebogsystem, som var næsten enerådende i gymnasiets matematikundervisning i 1960'erne og 1970'erne, og som Palle Bak Petersen og Søren Vagner roser med ordene: "Bøgerne har en lødighed og en værdi, der sikrer dem en fin placering på matematikbøgernes top-10 liste". Når så tilmed Erik Kristensen også var den perfekte underviser, ja så var matematik en udsøgt nydelse.

Næste dag slår det ned i mig. Kommutativ: Det er sikkert noget med at vise, at a***b = b***a - matematikere tager jo aldrig noget for givet, og hvad skulle det ellers være? Associativ: det er garanteret noget, der vedrører tre tal: a, b og c - på en eller anden måde.

Med brug af Google finder jeg hurtig en hjemmeside, der bekræfter, at en komposition er kommutativ, hvis a***b = b***a (det er indlysende for læsere med en sproglig studentereksamen, de ved, at ordet kommutabel stammer fra latin og betyder ombyttelig), og den er asscociativ, hvis a(*bc)=(ab)c* - tilsammen svarer det altså til en slags "faktorernes orden er ligegyldig". Det er umiddelbart let at se, at kompositionen er kommutativ, men det kræver en del mellemregninger at bevise, at den er associativ. Det kan jeg gøre en anden dag, beslutter jeg hurtigt.

Examen Artium

Det er et imponerende arbejde Palle Bak Petersen og Søren Vagner har gennemført ved at samle et totalt overblik over matematikundervisningen i Danmark. Og selv, hvis man som jeg ikke har helt styr på de kommutative og associative kompositioner, er der meget at fornøje sig over og at blive klog af.

Historien begynder for to hundrede år siden. Ved begyndelsen af 1800-tallet var der omkring en snes latinskoler i Danmark. De sigtede primært på unge, der ville studere teologi på Universitetet. Matematikorienterede elever havde tidligere i højere grad søgte mod de militære skole om Artillericadet-Instituttet, men nu var matematiske fag også begyndt at komme ind i latinskolen, om end aritmetik og geometri stadig var små fag i forhold til faget latin.

Adgangseksamen til Universitet var Examen Artium. I 1805 blev artiumprøvens formål og tilrettelæggelse formaliseret, og i 1806 blev der for så første gang afholdt skriftlig eksamen i matematik på et niveau, der svarer til dagens studentereksamen.

Det var ikke latinskolerne, der selv eksaminerede eleverne. Examen Artium blev indtil 1850, ifølge en fundats fra 7. maj 1788, afholdt på og arrangeret af Universitetet i København. Karaktererne var Laudabilis (rosværdig), Haud illaudabilis (ikke urosværdig), Non contemnendus (ikke at foragte) og endelig kunne man dumpe - få et Nul.

Ved den første matematikeksamen i 1806 skulle der besvares to opgaver inden for aritmetik og to inden for geometri.

Først i 1850 blev der på foranledning af kultusminister Johan Nicolai Madvig indført en skoleforordning, der bl.a. lagde eksaminationsretten ud til de enkelte lærde skoler, som latinskolerne også blev kaldt. (Et forsøg med dette princip var allerede påbegyndt i 1845 på tre skoler).

1850 var også året, hvor et egentligt matematisk-naturvidenskabeligt fakultet blev oprettet ved Universitetet. Siden 1829, hvor den Polytekniske Læreanstalt var oprettet, havde den i realiteten fungeret som det naturvidenskabelige fakultet for Universitet.

I 1858 udsendtes den første bekendtgørelse for matematik i den lærde skole. Plangeometri og rumgeometri var fyldigt dækket, som også komplekse tal var det.

Der blev afholdt såvel skriftlige og mundtlige prøver i henholdsvis aritmetik og geometri, med de skriftlige opgaver tilstillet fra Undervisningsministeriet. Det var naturligvis ikke tilladt at medbringe hjælpemidler som formelsamlinger til eksamen, så alle trigonometriske formler og formler for rumfang og overflade af kugle, kegle og polyedre skulle læres udenad.

Madvigs skoleforordning fra 1850 var i realiteten et enhedsgymnasium - med meget lange skoledage og op til 38 ugentlige timer. Der var efterhånden blevet proppet så meget ind i undervisningen, at nogle ønskede at vende tilbage til tiden før Madvig ved at reducere matematikken, andre ønskede derimod at styrke de reale fag, herunder matematikken. Så i slutningen af 1860'erne stod det klart, at tiden var moden til forandringer.

I 1871 blev en ny skolelov vedtaget i Rigsdagen, som bl.a. indførte en deling af skoleforløbet i en sproglig-historisk linje (dvs. klassisk sproglig linje med oldnordisk og svensk) og en matematisk-naturvidenskabelig linje. Der skete ikke de store forandringer i matematikpensumet, men analytisk geometri (herunder ligninger for linjer og keglesnit) blev for første gang indført i undervisningen. Latin var dog stadig hovedfaget i hele latinskolen. Ingen blev student uden mindst fire års undervisning i latin.

(Forkortet version af en artikel i den trykte udgave af Ingeniøren den 7. november 2003)