Forskere bøjer, strækker og fletter sig frem til helt nye opdagelser

En matematiker, der studerer topologi, kan populært sagt ikke se forskel på en kaffekop med en hank og et bildæk. Uden at klippe eller skære, men kun ved at bøje eller strække er det nemlig muligt at omdanne kaffekoppen til et bildæk – i hvert fald i den abstrakte verden.

I topologi interesserer man sig ikke for afstande, men for strukturer, og ikke mindst for egenskaber, der ikke forandres, uanset hvor meget man bøjer, strækker eller fletter et emne.

Når topologi i disse år får større og større betydning inden for flere videnskabelige discipliner, er det ikke, fordi det er en avanceret form for gummigeometri, men fordi man ved hjælp af abstrakte begreber kan skabe nye materialer og komponenter.

Sådan har det ikke altid været. I midten af forrige århundrede var interessen for topologi blandt fysikere langt mere behersket. Den kendte russiskfødte fysiker George Gamow, som ofte var gæst hos Niels Bohr i København, konkluderede for godt 50 år siden, at af matematikkens mange discipliner var det kun talteori og topologi, der ikke havde nogen anvendelser inden for fysik.

I år har topologi fået fuld opmærksomhed bl.a. med tildelingen af Nobelprisen i fysik til tre ældre britiske fysikere for ‘teoretiske opdagelser af topologiske faseovergange og topologiske materiale­faser’.

Ikke engang for 50 år siden havde Gamow helt ret, for allerede da havde topologi en relevans inden for den generelle relativitetsteori, der jo netop handler om deformationer af rummet eller mere præcist af den firedimensionelle rumtid foranlediget af stoffet i universet. Generel relativitetsteori er altså også en slags gummigeometri.

I takt med at såkaldte gaugeteorier de seneste 40 år er blevet mere og mere populære inden for kvantefysikken, er topologi også blevet mere og mere interessant for fysikere.

Gaugeteorier er ikke et nyt begreb. Maxwells elektromagnetiske feltteori fra midten af 1800-tallet er også en gaugeteori.

Gauge betyder måler, og en gaugeteori er en teori, hvor bestemte størrelser er uforandrede, selv om andre størrelser i teorien udsættes for transformationer.

Når kaffekoppen transformeres til et bildæk, er der også noget, som er uforandret eller i topologiens sprog invariant – hullet. Når man skal håndtere invarianter i gaugeteorier, er det naturligt at bruge et matematisk værktøj som topologi, der netop beskriver invarianter under transformationer.

Topologi vinder frem

Leonhard Euler var den første til at finde topologiske invarianter, selv om han ikke kaldte det topologi.

I 1750 viste han, at for konvekse polyedre gælder det, at antallet af hjørner minus antallet af kanter plus antallet af flader altid er 2 (h−k+f=2). Det gælder eksempelvis for det fodboldlignende polyeder bestående af 20 sekskanter og 12 femkanter (h=60, k=90, f=32) og en terning med 8 hjørner, 12 kanter og 6 flader, som derfor topologisk set er ens.

Men hvis man derimod samler flader til en rumlig form med et hul i midten (som noget, der minder om et bildæk), så gælder det, at h−k+f=0. Den franske matematiker Antoine-Jean L’Huilier viste i 1813, at hvis der er g huller i strukturen, gælder formlen h−k+f=2–2g.

I slutningen af 1800-tallet og begyndelsen af 1900-tallet begyndte udviklingen mod et mere abstrakt topologisk begreb baseret på mængdelære.

Et af de problemer, man skulle tackle, var, hvordan kontinuitet skulle forstås i mængdelæren.

Det var en naturlig overvejelse, efter at den franske matematiker Augustin-Louis Cauchy i begyndelsen af 1800-tallet havde givet en præcis matematisk beskrivelse af kontinuitetsbegrebet for funktioner med den såkaldte epsilon-delta-­definition.

Fra gymnasiets matematikundervisning eller undervisningen på de videregående uddannelser vil mange sikkert mindes, at en funktion f er kontinuert i punktet x, hvis der for ethvert y og givet et epsilon findes et delta, så |y–x| < delta medfører, at |f(y)–f(x)| < epsilon.

Afgørende for Cauchys definition er, at man kan bestemme afstande. Det er let for reelle tal, men det er også muligt i visse mere generelle rum med flere dimensioner. Sådanne kaldes af samme årsag for metriske rum, og for disse er det forholdsvist enkelt at generalisere kontinuitetsbegrebet.

Ud over metriske rum findes dog også såkaldte topologiske rum, hvor man kan definere et kontinuitets­begreb uden at kunne bestemme en afstand. Det er i høj grad fra denne form for generel topologi eller punktmængdetopologi, at fysikerne henter deres topologiske værktøjer.

Skal vi snuppe den formelle definition på et topologisk rum? Tag en dyb indånding:

Lad X være en mængde, og lad T være en familie af delmængder af X. Da kaldes T en topologi på X, hvis den tomme mængde og X er elementer i T. En vilkårlig forening af elementer i T ligger i T, og et snit af endeligt mange elementer i T ligger i T. Hvis T er en topologi på X, kaldes parret (X,T) et topologisk rum.

Velkommen til anyoner

Lad os vende tilbage til fysikken.

I 1980 opdagede den tyske fysiker Klaus von Klitzing en variant af den velkendte Hall-effekt, hvor en elektrisk strøm i en tynd leder, som gennemkrydses af et magnetfelt, tvinger de ladningsbærende dele ud mod en af lederens sider og dermed skaber elektrisk spænding på tværs af strømretningen.

Klaus von Klitzing fandt, at ved lave temperaturer i todimensionelle systemer er Hall-effekten kvantificeret. Tre år senere forklarede den ene af årets Nobelprismodtagere i fysik, David Thouless, dette med hjælp fra topologi og topologiske invarianter, der som antallet af huller i objekter kun kan antage heltalsværdier.

Dette blev startskuddet til en øget interesse for topologi inden for fysikken og førte til en række teoretiske forudsigelser, som man først i disse år er begyndt at kunne studere eksperimentelt. Det gælder bl.a. partikler, som kaldes anyoner.

Alle elektroner i verden er ens, og alle fotoner er ens, men de opfører sig markant forskelligt. Tager man to fotoner og bytter dem rundt, er den samlede bølgefunktion for de to fotoner uforandret. Bytter man derimod to elektroner med hinanden, skifter bølgefunktionen fortegn.

Alle naturlige partikler i den tredimensionelle verden er enten bosoner (som fotonen) eller fermioner (som elektronen) og efterlever derfor den ene af disse to regler.

Det overraskende er, at der i todimensionelle strukturer kan findes partikellignende tilstande (kvasipartikler), som kan være alle mulige mellemtilstande mellem fermioner eller bosoner. De kaldes af denne årsag for anyoner.

Bytter man to anyoner rundt med hinanden, kan bølgefunktionens fase skifte med en vilkårlig værdi. Et faseskift på 0 grader svarer til bosoner, mens et faseskift på 180 grader svarer til fermioner.

Fremstilling af anyoner baseret på halvledere og superledere og fletning af disse i et abstrakt matematisk rum studeres bl.a. ivrigt på Center for Quantum Devices (QDev) på Niels Bohr Institutet ved Københavns Universitet, da de er særligt interessante i forbindelse med topologiske kvantecomputere.

Med topologiens hjælp kan man også forstå og designe objekter, der er isolatorer i deres indre, men har elektrisk ledende tilstande på overfladen. Sådanne såkaldte topologiske isolatorer er af interesse for den gren af elektronik, som kaldes spintronik, hvor man udnytter elektronens spin frem for dens ladning i forbindelse med hurtige elektroniske komponenter.

Når forskerne bøjer, strækker og fletter overfladetilstande på topologiske isolatorer eller anyoner, sker det ikke i den fysiske verden, men i et virtuelt matematisk rum, som når matematikeren i sit hoved laver en kaffekop med hank om til et bildæk.

Forskellen er dog, at for fysikeren kan de matematiske operationer udmønte sig i håndgribelige komponenter af stor teknologisk interesse.