Forførende kurver i matematik og kunst
more_vert
close
close

Vores nyhedsbreve

close
Ved at tilmelde dig accepterer du vores Brugerbetingelser, og at Mediehuset Ingeniøren og IDA-gruppen lejlighedsvis kan kontakte dig om arrangementer, analyser, nyheder, tilbud mm via telefon, SMS og email. I nyhedsbreve og mails fra Mediehuset Ingeniøren kan findes markedsføring fra samarbejdspartnere.

Forførende kurver i matematik og kunst

Den britiske bygningsingeniør og forsker ved University of Cambridge Allan McRobie tager i sin bog 'The seduction of curves' udgangspunkt i den franske matematiker René Thom samt hans katastrofeteori og dennes beskrivelser af kurver med spidser og sløjfer. Katastrofer skal her forstås som bratte overgange, der kan opstå ved meget små ændringer. Ud over sådanne katastrofer taler man også overgange (transitions). Læber (lips) er en overgang sat sammen af to spidser (cusp) og ses ved hullet over kravebene. Illustration: Helena Weightman

»Kurver er forførende. De har en attraktivitet og en tiltrækningsevne, man ikke finder hos rette linjer og firkantede hjørner. Kurver er linjerne for skønhed, der taler til os på et dybt instinktivt niveau.«

Hver en linje i tegningen ‘Female Nude’ af Henri Gaudier-Brzeka er med matematikkens sprog en katastrofe, forklarer Allan McRobie i bogen og bemærker, at »det er en helt ny måde at se kropstegninger på.« Illustration: Henri Gaudier-Brzeka

Sådan indleder den britiske bygningsingeniør og forsker ved University of Cambridge Allan McRobie sin bog om forførende kurver inden for matematik, kunst og ingeniørvidenskab.

McRobies udgangspunkt er den franske matematiker René Thom samt hans katastrofeteori og dennes beskrivelser af kurver med spidser og sløjfer, der er helt anderledes end de geometriske kurver, som opstår ud fra de klassiske keglesnit som ellipser, parabler, hyperbler.

Katastrofer er bratte overgange

Katastrofer skal her forstås som bratte overgange, der kan opstå ved meget små ændringer.

Det gælder eksempelvis nulpunkter og lokale maksima og minima for polynomier som x^3 + ax eller x^4 + ax^2 + bx.

For tredjegradspolynomiet gælder det, at der findes tre nulpunkter for a < 0 og et lokalt maksimum og minimum, mens funktionen er monotont voksende for a > 0. Punktet a = 0 angiver, hvor en form for stabilitet pludseligt og dramatisk tabes.

For fjerdegradspolynomiet udgør en kurve af punkter i (a,b)-rummet, skillelinjen mellem stabilitet og ikke-stabilitet.

René Thoms indsigt bestod bl.a. i at forklare, at der findes syv – og kun syv – fundamentale katastrofer, hvor andengradspolynomiet (folden) og tredjegradspolynomiet (spidsen eller cusp’en) er de to mest simple.

Svalehaler og sommerfugle er mere komplicerede katastrofer knyttet til henholdsvis femte- og sjettegradspolynomier, og Thoms alfabet for kurver fuldendes med tre flader i tre dimensioner.

Disse er grundformer for alle kurver på samme måde, som de kemiske grundstoffer er de fundamentale elementer for alle molekyler.

Illustration: MI Grafik

Ikke mere om matematikken i denne omgang, for det er ikke en matematikbog, Allan McRobie har skrevet, men en bog om, hvor man i kunsten og menneskekroppen kan genfinde de fundamentale former, der er alle kurvers abc.

Allan McRobie kommer lidt ind på betydningen inden for ingeniørvidenskab og brobyggeri i forbindelse med kollapset af broen over floden Cleddau i Wales under dens opførelse i 1970, men det er dog ikke noget, som fylder meget i bogen. Der er noget mere om anvendelser inden for optik, hvor begrebet katastrofe-optik er et aktivt forskningsområde.

Billederne imponerer

The seduction of curves er udgivet på Princeton University Press. Illustration: Princeton Press

Det er de flotte billeder taget til bogen af fotografen Helena Weightman, der imponerer, og når McRobie går på jagt efter Thoms grundlæggende former i eksempelvis Naum Gabos skulpturer og Salvador Dalis malerier og tegninger.

I 1983 malede Dali sit sidste billede ‘Svalens hale’, efter han nogle år før havde lært Thom at kende, og Dali erklærede, at han fra da af udelukkende ville tage udgangspunkt i katastrofefænomenet i sit arbejde.

Senere samme år forærede René Thom Dali en kopi af sin bog ‘Paraboles et Catastrophes’ fra 1980, som Dali til trods for sin Parkinson-sygdom forsynede med skitser af nøgne kvinder. Thom nævnte aldrig selv en forbindelse mellem kata­strofeteori og croquistegning.

René Thoms katastrofeteori har med sit stærke matematiske fundament fundet anvendelse inden for flere videnskabelige discipliner, men Allan McRobie skriver afslutningsvist i sin bog, at det har været hans formål at vise, at katastrofeteorien også har noget at sige om kunst og skønhed.

Om det er andet end en skør idé, vil han lade læserne selv afgøre: »men hvis jeg er skør, var Salvador Dali det også,« lyder hans udgangsreplik.

Allan McRobie: ‘The seduction of curves’, Princeton University Press, 168 sider.

Med meget små midler kan man konstruerer en maskine der kan frembringe en kurve der udviser spidskatastrofe. Man skal bruge en træplade, en cirkulær papskive , en tændstik, to elastikker, to tegnestifter og en blyant. Prøv at google på søgestrengen ”Zeeman machine” for illustrationer. Ellers henvises til bogen ”Den geometriske dimension” af matematik professor Vagn Lundsgaard Hansen hvor der er en grundig introduktion til og indføring i katastrofeteori.

De kurver man kan frembringe med Zeemans katastrofemaskine (en konkav ruderform) med et spidspunkt og i nærheden af spidspunktet udviser systemet bimodalitet, pludselige spring, divergens, og hysterese.

Med venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 1
  • 0

Salvador Dali er ikke helt ukendt indenfor matematikken. Salvador Dali er en af de få kunstner (måske den eneste?) der har en funktion opkaldt efter sit efternavn.

Kunst og matematik smelter lidt sammen når man går i gang med de surrealistiske tal. Og i teorien for surrealistiske tal findes da også en Dali funktion δ(x) der konverterer et reelt tal x til et surrealistisk tal. Dalis funktion har fire forskrifter og for det mest simple surrealiste tal 0 giver Dalis funktion, δ(0) = {|} = 0

Det stater let med et tælletræ hvor der på den nulte dag fødes det surrealistiske tal 0. På førstedagen fødes de surrealistiske tal -1 og 1. Og på andendagen fødes -2, -½, ½ 2 og så fremdeles. Det bliver dog hurtigt mere kompliceret. På den yderste dag fødes bl.a. det surrealistiske infinitesimal ε og uendeligheds tallet ω samt helt nye tælletræer. Se flg link.:

https://upload.wikimedia.org/wikipedia/com...

https://en.wikipedia.org/wiki/Surreal_number

En teoretisk indføring om de surrealistiske tal findes i Claus Tønderings noter som findes på nettet, se flg. link:

https://www.tondering.dk/download/sur16.pdf

Når man i mængdelæren udvider talmængden fra naturlige tal til hele tal og rationelle tal osv. til reelle tal og komplekse tal ligge de surrealistiske tal som den yderste udvidelse (som jeg forstår dette).

Med venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

at det har været hans formål at vise, at katastrofeteorien også har noget at sige om kunst og skønhed.

Om det er andet end en skør idé, vil han lade læserne selv afgøre: »men hvis jeg er skør, var Salvador Dali det også,« lyder hans udgangsreplik.

Ja, det er blot en skør ide, og Salvador Dali var heller ikke helt normal. Når der er en sammenhæng fra kurver til skønhed og kunst, så skyldes den at evolutionen er nødt til at sikre reproduktion, hvorfor vi alle har en medfødt glæde ved kurver af bestemte faconer. (og det lukrerer bildesignere og andre så på),

  • 0
  • 0