Fingerfærdighed med romertal
more_vert
close

Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
Ved at tilmelde dig accepterer du vores Brugerbetingelser, og du accepterer, at Teknologiens Mediehus og IDA-gruppen lejlighedsvis kan kontakte dig om arrangementer, analyser, nyheder, job og tilbud m.m. via telefon og e-mail. I nyhedsbreve, e-mails fra Teknologiens Mediehus kan der forefindes markedsføring fra samarbejdspartnere.

Fingerfærdighed med romertal

De fleste originale romerske abacusser var lavet af træ og er derfor ikke bevaret. Kun tre fremstillet i bronze er med fuldstændig sikkerhed identificeret som værende originale. De findes på museer i Paris, Rom og norditalienske Aosta. Den ovenfor viste abacus fremstillet af elfenben er ligeledes original. Den tilhørte på et tidspunkt et nu nedlagt IBM-museum i Paris, men ingen ved, hvor den er i dag. Det er uvist, hvornår billedet af den er taget, men det findes på en hjemmeside tilhørende den schweiziske Illustration: Herbert Bruderer

Selvom færdighederne i hoved- og håndregning er for stærkt nedadgående, kan de fleste dog nok stadig løse et simpelt regnestykke som 2.345 - 678 i hovedet eller til nød med papir og blyant.

Men hvis jeg nu i stedet spurgte: Hvad er MMCCCXLV minus DCLXXVIII, kan du så uproblematisk finde frem til svaret MDCLXVII – og uden først at konvertere fra romertal til arabertal og tilbage igen?

Romertal har ry for at være svære at regne med, men at det slet ikke er så svært, som man skulle tro, har været kendt i mange år – og for romerne var det helt uproblematisk med brug af en lille lomme-regne­tavle eller abacus. Men selv uden denne geniale opfindelse er det også enkelt at regne med romertal, som eksempelvis Herbert Bruderer fra ETH, det tekniske universitet i Zürich, har redegjort for i en række nylige blogindlæg hos Communications of the ACM – udgivet af Association for Computing Machinery i USA.

Illustration: Ingeniøren

Simpel udregning på en abacus

Selv om romertallene kan se forvirrende ud, med separate symboler for såvel 10 og 100 som for 5 og 50 osv. og det faktum, at IV betyder en fra fem altså fire, mens VI betyder fem plus en altså seks, så er det uhyre simpelt at beregne CLX plus XLIV på en abacus.

Man sætter først en kugle i den nederste C-søjle og en kugle både i den øverste X-søjle (det svarer til L) og den nederste X-søjle. Dernæst tilføjer man fire kugler i I-søjlen og fire kugler i X-søjlen for XL.

Der er nu fuldt hus i den nederste del af X-søjlen, så man nulstiller med en kugle i den øvre del. Her var en kugle i forvejen, så man må nulstille igen ved at placere en kugle i den nederste del af C-søjlen, hvor der var en i forvejen, så nu er der to.

Nu kan abacussen aflæses: to kugler nederst i C-søjlen og fire kugler nederst i I-søjlen eller CCIV.

Men også uden abacus er det enkelt. I stedet for at skrive tallene over hinanden, som vi vil gøre, hvis vi skulle addere 160 og 44, skriver vi dem efter hinanden altså: CLX XLIV og samler symbolerne til CLLIV - idet to X’er går ud med hinanden, da det ene er foran og det andet efter et L. Det kan vi forkorte til CCIV.

Uproblematisk – med lidt øvelse

Den amerikanske ingeniør og matematiker Claude Shannon, som er grundlægger af den moderne kommunikationsteori, var kendt for også at designe mere eller mindre besynderlige maskiner. I begyndelsen af 1950’erne fremstillede han denne THrifty ROman-numeral BAckward-looking Computer eller THROBAC, som kunne udføre addition, subtraktion, multiplikation og division med romertal. Det findes nu på MIT Museum i Boston. Illustration: MIT Museum

Spørgsmålet i indledningen; MMCCCXLV minus DCLXXVIII, kan løses simpelt på en abacus, men det kan også gøres på følgende måde:

Det svarer til MMCCCXXXXV minus CXXV minus DLII, eller MMCCXX minus DLII, eller MDDCLLXVII minus DLII, som giver MDCLXVII. Øver man sig lidt, er det helt uproblematisk. Men hvad så med multiplikation? Det må da være svært. På en abacus løser man multiplikation ved gentagne additioner. Men det kan også gøres med symboler på en måde beskrevet allerede af Michael Detlefsen fra University of Notre Dame i Indiana, USA, tilbage i 1976 i artiklen Computation with Roman Numerals.

XLVI gange VIV svarer til (XL + V + I) ᐧ (X + IV). Vi ganger ud i parenteserne og får disse seks led: (XL ᐧ X) + (XL ᐧ IV) + (V ᐧ X) + (V ᐧ IV) + (I ᐧ X) + (I ᐧ IV).

Næste skridt kræver, at man kender en multiplikationstabel for romertal – men det svarer helt til at kunne den lille tabel. Herved kommer man frem til CD + CLX + L + XX + X + IV, som sammentrækkes til DLLXXXXIV - idet C’erne går ud mod hinanden, da det ene er før et symbol for en højere værdi, og det andet er før et symbol for en lavere værdi. Det kan sammentrækkes til DCXLIV.

Det er dog værd at bemærke, at der ingen oplysninger foreligger om, at romerne regnede på den måde.

I betragtning af romernes høje intellektuelle stade og de præcise beregninger, de måtte udføre for at kunne bygge deres imponerende konstruktioner, er det også umiddelbart en besynderlighed, at de ikke havde et symbol for nul. Men når man tænker på, at romerne faktisk ikke regnede direkte med romertal, men udelukkende brugte en abacus, så er der intet behov for et separat tal for nul, hverken af hensyn til at angive en position, som der er behov for i vores titalsystem, eller til at angive et nul-resultat.

Selv om romerne i princippet ganske ukompliceret kunne have regnet med romertallene, så gjorde de det ikke. De brugte i virkeligheden et titalsystem på en abacus og benyttede kun romertal til at angive resultatet af deres udregninger og mellemregninger. Og til det formål var det ganske smart, idet det tydeligt angav, hvordan kuglerne skulle placeres i en abacus til yderligere beregninger.

Emner : Matematik
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Nå. Det var da en ingeniør og ikke en cant scient der kan give mig ret. Abacus betyder en kugleramme. Tak for det. Det efter at man kan læse det i den store bogsamling, der findes på Universitets biblotekene, men ingen ville tage notam af.

Hvis kuglerammen er længre tilbage i tiden, så er der ikke 2 X 5, men 1 x 10 cifre og det er et udtryk for at man i Romertiden også havde titaldssystemet, blot med "husketallene" V, L og D (der findes også i dag kulgerammer, der er med 10 cifre).

Ex: År 1994 bør skrives MDCCCCLXXXXIIII lige ud af rammen og IKKE MCMLXLIV, som vi ellers har lært det i "Latin".

Jens

  • 1
  • 1

Bortset fra at det kan være en kuriøs interesse, er der så en årsag til, at en computer ingeniør beskæftiger sig med konstruktion af talberegning? Søger man noget til erstatning af 10-tals systemet eller der binære system? Altså fx. quantum beregninger?

  • 0
  • 0

Bortset fra at det kan være en kuriøs interesse, er der så en årsag til, at en computer ingeniør beskæftiger sig med konstruktion af talberegning? Søger man noget til erstatning af 10-tals systemet eller der binære system? Altså fx. quantum beregninger?


Ja, man bruger ikke kun 2-tals systemet i computere.

Mest anvendt er redundante talsystemer og 4-tals systemet.

Et redundant talsystem er et talsystem hvor et bestemt tal kan repræsenteres på flere måder.

I Pentium processoren bruges der f.eks. CS additioner (det er et redundant talsystem, bestående af to dele der adderes), og der bruges 4-tals systemet i deres multipliers og divisionslogik.

Netop årsagen til den kendte pentium fejl for mange år siden, lå i anvendelsen af redundante talsystemer i divisionslogikken. Ellers havde fejlen været nem at se. Havde Intel lavet talsystemet endnu mere redundant, havde der måske ikke været nogen fejl!

Signalprocessorer er langt værre - her konstrueres ofte talsystemer til formålet.

Talsystemer bruges også indenfor analog elektronik, f.eks. A/D konvertering og D/A konvertering, analoge og digitale signalgeneratorer, indenfor cache styring og meget andet.

  • 2
  • 0

Det er altid af "kuriøs interesse", når man laver noget efter folkeskolen. Ellers blev man ufaglærte arbjedere. Visse af os vil gerne vide, hvorfra tallene stammer og ikke blot kunne bruge tallene. Men jeg er heller ikke computer ingeniør, "blot" ingeniør!

  • 1
  • 0