En matematisk analyse af slikposer

På Princeton University i USA kan de godt lide M&M pastiller, faktisk så godt, at de interesserer sig voldsomt for, hvor mange der kan være i en pose. Og forskning viser noget overraskende, at der kan være flere, end man umiddelbart skulle forvente.

Traditionelt har matematikere mest interesseret sig for kugler og ikke ellipsoider, som M&M pastiller, når de har studeret, hvor tæt objekter kan pakkes. Stabler man kugler i et fast mønster, på samme måde som grønthandlere stabler appelsiner i
pyramideform, får man den største tæthed - det viste allerede Johannes Kepler i 1600-tallet, men det endegyldige bevis for Keplers formodning kom først for ganske få år siden. Stables kuglerne optimalt, vil deres rumfang udgøre p/Î18 (cirka 0,74) af den
beholder, de stables i.

Når man køber slik i poser er de dog ikke stablet, men ligger helt tilfældigt. Hælder man Pinocchiokugler ganske forsigtigt i en pose, vil kuglerne kun udgøre omkring 60 procent af posens rumfang. Ryster man forsigtigt posen,
vil kuglerne pakke sig tættere, og der er så plads til flere kugler. Kuglerne kan nu udfylde 64 procent af posens rumfang. "Random close packing" er fagbegrebet for den situation, hvor alle kugler ligger tilfældigt, men er fastlåst af hinanden, så
ingen kan bevæge sig.

Princeton-forskerne med Salvatore Torquato i spidsen foretrækker åbenbart M&M pastiller frem for Pinocchiokugler, så de ville gerne vide, hvor stor andel af en poses indhold, de ellipsoideformede M&M pastiller kan udgøre. Som
seriøse forskere gik de både eksperimentelt og teoretisk til værks.

Først lidt faktuelle oplysninger: Standard M&M pastiller har en størrelse på 1,34 centimeter x 0,693 centimeter, og har dermed et forhold mellem ellipsoidens akser på 1,93.
Mini-M&M'er har en størrelse på 0,925 centimeter x 0,493 centimeter, og et akseforhold på 1,88. Før de otte forsk-

ere, der var involveret i projektet, holdt slikpause, hældte de pastillerne i en kvadratisk formet kasse med en sidelængde 8,8 centimeter.
e fyldt kassen til en højde på 2,5 centimeter, medens den blev forsigtigt rystet. Eksperimentet viste, at almindelige M&M'er udgjorde 66,5 procent af rumfanget, og minierne fyldte hele 69,5 procent.

Så gik forskerne i gang med teorien, og de
modificerede den såkaldte Lubachevsky-Stillinger algoritme for pakning af kugler til også at omfatte ellipsoider. Deres beregninger viser, at hvis Mars Incorporated, der producerer M&M, justerede akseforholdet en lille smule, kunne pastillerne fylde
helt op til 71 procent af rumfanget.

Forskerne har ikke en helt skudskikker forklaring på, hvorfor ellipsoider kan pakkes tættere end kugler, men en god formodning. Den største tæthed i en tilfældig pakning opstår, når der er mekanisk stabilitet. En
kugle kan skubbes rundt af sine naboer, men kan ikke bringes til at rotere. En ellipsoide kan derimod bringes i rotation af sine naboellipsoider og derved smutte ud af en ellers fastlåst situation. Det kræver derfor omkring ti naboellipsoider for at
holde en ellipsoide fuldstændigt fastlåst, men kun omkring seks nabokugler at holde en kugle fastlåst. Derfor kan ellipsoider pakkes tættere. (Science 13/2-04) ram