værd at vide

Elliptiske kurver er kryptologernes favorit og matematikernes mareridt

Andres Wiles i gang med at beskrive egenskaberne af elliptiske kurver ved et foredrag på Københavns Universitet. Syv fyldte tavler blev det til på 60 minutter. Illustration: J.J. Ramskov

ADVARSEL: Vi skal i denne uge på besøg i matematikkens værksted, så denne artikel indeholder matematiske formler og begreber, hvoraf nogle er på kanten af det, som skribenten selv forstår. Hvis du ikke kan løse en andengradsligning uden elektroniske hjælpemidler, skal du næppe læse videre.

Skal man holde på en hemmelighed, er elliptiske kurver en god hjælper. Det har kryptologerne vidst i mange år.

Det skyldes de særlige egenskaber, man kan definere for addition af punkter på elliptiske kurver, som jeg tidligere har skrevet om.

Læs også: Få bedre it-sikkerhed med elliptiske kurver

Men for de rene matematikere, der ikke tænker i anvendelser, er elliptiske kurvers egenskaber stadig i høj grad et mysterium, og i takt med at forståelsen ikke rigtigt rykker sig vel en slags mareridt, hvis man skal sætte sagen på spidsen.

Det kunne den kendte britiske matematiker Andrew Wiles, der især er berømt for sit bevis af Fermats sidste sætning fra midten af 1990'erne, fortælle tilhørerne i et overfyldt auditorium på H.C. Ørsted Instituttet, der bl.a. huser matematikerne ved Københavns Universitet.

Jeg havde vovet mig ind til foredraget, selvom jeg nok forhånd formodede, at noget ville være over mit eget matematiske niveau.

Læs også: Andrew Wiles får Abelprisen for beviset for Fermats sidste sætning

Jeg forstod dog, at der er rigtig meget, der er Værd at Vide om elliptiske kurver. Og langt mere end, vi allerede ved.

Små fremskridt sker fortløbende, men afgørende ny viden mangler, fortalte Andrew Wiles. Så elliptiske kurve-matematikerne ser ikke ud til at blive arbejdsløse lige med det samme.

Allerede 20 minutter før Andrew Wiles' foredrag skulle begynde, var det store auditorium fyldt til sidste plads. Illustration: J.J. Ramskov

Elliptiske kurver er ikke ellipser

Inden foredraget forsøgte jeg med Googles hjælp at blive klogere på elliptiske funktioner, og som med så meget andet bliver de mere fascinerende, jo mere man forsøger at sætte sig ind i dem.

I det følgende skal jeg kort prøve at give en form for indblik i det, jeg fik ud af foredraget.

Men lad os lige for det første slå fast, at elliptiske kurver ikke har noget at gøre med kurven for en ellipse, som man i en form naivitet måske kunne formode.

Ellipsens ligning

[latex] \frac{x^2}{a^2} + \frac{y^2}{b^2} = 1 [/latex]

er et eksempel på en kvadratisk ligning, som også parablens ligning er det.

Allerede de gamle grækere havde helt styr på disse ligninger, og løsningen af andengradsligningen er jo i dag elementært skolepensum, og den er vel groft sagt det, som deler elever med en interesse og evner for matematik fra de øvrige elever.

Men tager vi skridtet videre til en ligning af denne type

To typiske eksempler på elliptiske kurver. Illustration: wikipedia

[latex] y^2 =x^3 +ax + b [/latex]

som ved første øjekast kun ser ganske lidt mere kompliceret ud end en kvadratisk ligning, begynder problemerne at hobe sig op.

Man kan definere særlige regler for addition af punkter på elliptiske kurver. Det er denne egenskab, der gør dem velegnet til brug inden for kryptografi, men det er en helt anden historie i forhold til det, som interesserer Andrew Wiles. Illustration: Ingeniøren

Det er denne ligning, der definerer en elliptisk kurve, som kan have forskellig form, alt efter hvilke værdier a og b har.

For at undgå, at de elliptiske kurver skal danne sløjfer eller spidser, indfører man normalt betingelsen, at 4a³+27b² ikke må være 0.

Fermat og elliptiske kurver

Fermats sidste sætning siger som bekendt, at ligningen

[latex] x^n +y^n =z^n [/latex]

kun har heltalsløsninger (med alle tal forskellige fra 0) for n=2 - eksempelvis x=3, y=4 og z=5.

Men Fermat interesserede sig også for elliptiske kurver, og han hævdede bl.a., at ligningen

[latex] y^2 = x^3 -2 [/latex]

kun havde heltalsløsningerne x= 3 og y = ± 5.

Heltalsløsninger til elliptiske kurver er altså noget, som har interesseret matematikere i hundredvis af år.

Det, som interesserer Andrew Wiles og en række andre matematikere, er, hvad man kan sige løsninger, som er rationale tal, dvs. heltal og brøker.

Og lige så lidt som Fermat og datidens matematikere havde andet i tankerne end deres egen interesse og nysgerrighed, kan det samme siges for Andrew Wiles og de andre matematikere, der beskæftiger sig med elliptiske kurver.

Stilstand, selv om dusør på en million dollars lokker

I 1960’erne opstillede matematikerne Bryan Birch og Peter Swinnerton-Dyer en formodning om de rationale løsninger for elliptiske kurver, som matematikerne siden har kæmpet hårdt for at bevise.

Birch og Peter Swinnerton-Dyer-formodningen er et af de syv matematiske problemer, som Clay Mathematics Institute op til årtusindeskiftet udpegede som et Millenium-problem, hvor dusøren for et bevis er sat til en million dollars.

Et slags endemål for studier af rationale tal på elliptiske kurver vil derfor være et bevis for Birch og Peter Swinnerton-Dyer-formodningen.

»Men der er lang vej,« mente Andrew Wiles.

Fra 1960’erne og fremefter voksede indsigten, men efter midten af 1990’erne har der nærmest var tilstand på de store linjer, og der er kun sket mindre forbedringer.

Rangen har vokseværk

Skal vi blive en smule tekniske, så er det især på området rangen for elliptiske kurver, der er sket en udvikling.

Jeg tror, jeg blot her vil holde mig til, at rangen for en elliptisk kurve har en forbindelse med, hvor mange rationale punkter, der findes på kurven. Den præcise definition af rang er noget mere kompliceret.

I 1938 kendte man elliptiske kurver med rang 3 og ingen højere.

Eksempelvis lægger de tre rationale punkter (-8,12), (-1,9) og (49/4, 231/8) på den elliptiske kurve y² = x³ - 82x - og de angiver, at rangen er 3.

Ud over de angivne punkter ligger naturligvis de tilsvarende punkter med negative y-værdier samt det trivielle punkt (0,0) også på kurven.

I 1975 var man nået op på rang 7, og i dag er man helt oppe på rang 28, som det bl.a. fremgår af denne liste, som Wiles henviste til.

Er der en øvre rang? Formodentlig ikke.

Er der en øvre rang? Det vides ikke, men nye måder at anskue problemet på antyder, at der måske er en maksimal rang for alle elliptiske kurver.

Alt i alt var foredraget et besnærende indblik i matematikkens værksted, men jeg ved sådan set ikke rigtigt, hvad jeg skal konkludere, ud over at talteori og elliptiske kurver er et område, som endnu ikke er udforsket til fulde til trods for ligningens forholdsvis simple natur.

sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Metoden, addition af punkter, minder om den metode de gamle græker adderede linjestykker på.

Hvis man afsætter en (f.eks. spids) vinkel og på den hosliggende side afsætter målet 1 og linjestykket B og på den overliggende side afsætter linjestykket A. Forbind målet 1 og punktet A med den tredje side i trekanten og parallel forskyd denne nye side til punktet B og til den overliggende side. Det nye punkt på overliggeren er repræsentant for linjestykkerne af A+B.

Med venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

Rettelse:

Metoden, addition af punkter, minder om den metode de gamle græker multiplicerede linjestykker på.

Hvis man afsætter en (f.eks. spids) vinkel og på den hosliggende side afsætter målet 1 og linjestykket B og på den overliggende side afsætter linjestykket A. Forbind målet 1 og punket A med den tredje side i trekanten og parallel forskyd denne nye side til punktet B og til den overliggende side. Det nye punkt på overliggeren er repræsentant for linjestykket af A·B.

Med venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 0
  • 0

Alt i alt var foredraget et besnærende indblik i matematikkens værksted, men jeg ved sådan set ikke rigtigt, hvad jeg skal konkludere, ud over at talteori og elliptiske kurver er et område, som endnu ikke er udforsket til fulde til trods for ligningens forholdsvis simple natur.

Det var da befriende at høre, at man som forsker stadig har mulighed for at fokusere på fundamentale problemer, som ikke har nogen umiddelbare anvendelser. Det ville formentlig ikke hue Helge Sander, men det huer mig.

  • 6
  • 0
Bidrag med din viden – log ind og deltag i debatten