Den lange jagt på det manglende bevis

Den fransk-amerikanske matematiker Louis de Branges har gennem mere end 50 år haft én afgørende interesse: At finde det manglende bevis for matematikkens måske største uløste problem, Riemann-hypotesen.

Gentagne gange har han meddelt: Nu er beviset i hus - blot for kort tid efter at måtte fortælle, at der nok alligevel var et enkelt punkt eller to, der skulle rettes. Seneste version af hans bevis er kun en måned gammel.

Mange matematikere har derfor for længst opgivet ham. Men professor Vagn Lundsgaard Hansen fra DTU mener, at man skal tage de Branges seriøst:

»Der er ingen tvivl om, at han er en højt anerkendt matematiker, der bl.a. har været inviteret som foredragsholder til den Internationale Kongres for Matematikere«.

De Branges har allerede taget en stor matematisk skalp. I 1984 beviste han et problem formuleret af Ludwig Bieberbach i 1916: Resultatet af en uendelig sum a0 + a1z + a2z^2 + a3z^3+ ... er endelig for |an| < n.

De Branges' første bevis for Bieberbach-formodningen blev dog ikke vel modtaget, idet mange opfattede det som usammenhængende. Men under et tre måneders ophold på Steklov Instituttet i Skt. Petersborg fik de Branges skruet et bevis sammen, som tilfredsstillede matematiksamfundet. Bieberbachs formodning kaldes nu også for de Branges' teorem.

De gode beviser er skønne

At de Branges' bevis ikke blev accepteret umiddelbart er ikke ualmindeligt. Der er nemlig ingen automatisk metode, når det skal vurderes, om en matematisk sætning er bevist.

Vagn Lundsgaard Hansen ridser betingelserne op på denne måde:

»Kravet til et matematisk bevis er, at velmeriterede matematikere accepterer og anerkender beviset. Jo flere matematikere, der har mulighed for at sætte sig ind i beviset og kontrollere dets holdbarhed, jo bedre«.

Det kan være en vanskelig opgave:

»Matematikerne søger efter det 'æstetiske', det 'skønne' eller det 'indlysende klare' bevis. Men før man når til det, skal man ofte først igennem vanskelige og lange beviser, som kun de skarpeste specialister kan trænge ind i,« siger Vagn Lundsgaard Hansen.

Det er de samme krav, de Branges denne gang er oppe mod. Og endnu engang går kritikken på, at de Branges anvender begreber, mange ikke kender, og en stil, der ikke harmonerer med den måde, matematikere normalt arbejder på.

Hans beviser er heller ikke indsendt til fagtidsskrifter. »Her har man ikke publiceret siden omkring 1994,« siger Vagn Lundsgaard Hansen.

Til gengæld kan alle læse med på de Branges hjemmeside. Der er dog ikke mange matematikere, som har orket at sætte sig ind i beviserne. Måske spiller hans blakkede ry ind.

Men Yashowanta Gosh fra Aquinas College i Michigan siger til New Scientist, at han er 'rimelig sikker' på, at de Branges' metode er korrekt, og den kun mangler nogle tekniske detaljer for at være et ægte bevis.

Riemann-hypotesen

Riemann-hypotesen drejer sig nu om noget så simpelt som at finde nulpunkter for en forholdsvis enkel funktion: zeta-funktionen.

Så længe man udelukkende betragter den som en funktion for de reelle tal, er nulpunkterne kendt at være alle lige negative tal. Når man betragter den som en funktion for komplekse tal af formen a + ib, hvor i er kvadratroden af -1, så dukker en lang række nye nulpunkter op for funktionen, der er en udvidelse af simple zenta-function til at være gældende for alle komplekse tal.

Med computerberegninger har man fundet mere end halvanden million af disse nye ikke-trivielle nulpunkter. Det interessante er, at realdelen for alle disse er ½.

Det er egentlig ikke så overraskende, som man umiddelbart skulle tro, for den tyske matematiker Bernard Riemann havde allerede i 1859 opstillet en hypotese om, at alle ikke-trivielle nulpunkter for zeta-funktionen har en realdel på ½. Lige siden har matematikerne søgt at bevise denne hypotese.

Da den tyske matematiker David Hilbert i 1900 opstillede en liste over 23 store uløste problemer inden for matematikken var Riemann-hypotesen naturligvis med. Og da Clay Mathematics Institute i 2000 udlovede en dusør på syv gange en million dollar for beviset for syv matematiske problemer var Riemann-hypotesen igen med.

Pengene skal gå til familieslottet

Louis de Branges er født i Frankrig i 1932 og tilbragte sin barndom både i Frankrig og USA. De Branges amerikanske morfar, Ellice McDonald, arbejdede i 1930'erne og 40'erne for forretnings- og amatørvidenskabsmanden Irenée du Pont, som senere blev direktør for firmaet du Pont.

Irenée du Pont blev de Branges første matematiske mentor. En dag fik han opgaven at finde løsninger til ligningen a^3 + b^3 = 22 c^3. Uden yderligere forklaringer eller hjælpsomme oplysninger og uden at vide, at problemet er en variant af Fermats store sætning. Den unge Louis arbejdede med opgaven et år.

De Branges' fulde navn er Louis de Branges de Bourcia. Og skulle han en dag blive anerkendt og belønnet for at have bevist Riemann-hypotesen, har han tidligere sagt, at han vil bruge pengene på at restaurere familiens gamle slot, Chateau de Bourcia.

Med hans egne ord »skuer ruinerne af Chateau de Bourcia ud over en frugtbar dal omgivet af skovklædte bakker. Stedet er ideelt for et matematisk forskningsinstitut. Restaureringen af slottet til dette formål vil være en passende brug af den ene million dollar, der gives for et bevis af Riemann-hypotesen«.

Riemann-hypotesen og primtallene

Riemann-hypotesen har relation til fordelingen af primtal, og det har gjort den ekstra interessant for mange. Allerede Gauss vidste, måske allerede så tidligt som i slutningen af 1700-tallet, at antallet af primtal mindre end x, kaldet p(x), med en god tilnærmelse er givet af funktionen Li(x), som er integralet af funktionen 1/ln(t) fra 2 til x. Den svenske matematiker Helge von Koch viste i 1901, at hvis Riemann-hypotesen er sand, har man en nøjagtig viden om, hvor stor forskellen er mellem Li(x) og p(x).

De Branges og Perelman

Louis de Branges tilhører klubben af excentriske matematiske enspændere, hvis mest berømte nulevende medlem uden tvivl er den russiske matematiker Grisha Perelman. Han beviste for nogle år siden et andet af de syv store matematiske problemer: Poincaré-formodningen.
Perelman blev hædret med den fornemme Fields Medalje i 2006 og kan gøre krav på en dusør på en million dollar fra Clay Mathematics Institute. Men han nægtede at modtage Fields Medaljen og har ikke vist interesse i at gøre krav på pengene - tværtimod. Perelman sagde sin stilling op på det kendte Steklov institut i Skt. Petersborg i slutningen af 2005 og lever efter sigende for sig selv uden kontakt med andre end sin gamle mor og muligvis med søsteren Elena, som også er en skarp matematiker - efter sin uddannelse i Israel i 2004 blev hun ansat på Karolinska Instituttet i Stockholm.

Emner : Matematik