Tænkeboks: Møllen kan udnytte 59,3% af vindenergien

Illustration: Ingeniøren

I sidste uges opgave fra lektor Morten Grud Rasmussen ved Institut for Matematiske Fag ved AAU skulle I finde den præcise grænse for, hvor stor en andel af vindens kinetiske energi en vindmølle kan optage og omdanne.

Det forudsættes bl.a., at luftstrømmen er konstant et stykke før og et stykke efter interaktionen med ‘møllen’, som vi betragter som en uendeligt tynd cirkelskive, samt at vinden bevæger sig vinkelret igennem ‘møllens’ skive, og at vindhastigheden i interaktionsskiven er gennemsnittet af den konstante fart før og efter.

Løsning: Massen af vinden, der passerer pr. sekund, må være tætheden r gange arealet S gange farten v = 1/2 (f+e), hvor f og e er hhv. farten før og efter interaktionen (ligheden var en antagelse i opgaven).

Da denne masse er bevaret, må den kinetiske energi pr. sekund inden være 1/2 rSv f2, mens den bagefter må være 1/2 rSv e2V.

Vindens tab i kinetisk energi er altså 1/2 rSv (f2-e2).

Indsætter vi v = 1/2(f+e) i ovenstående, fås 1/4 rS(f+e)(f2-e2) = 1/4 rS f(1-(e/f)2+(e/f)-(e/f)3).

Maksimeres dette udtryk som funktion af e/f, ses det, at e/f = 1/3 er det optimale forhold, altså skal vindhastigheden bremses til en tredjedel af den oprindelige hastighed.

Effekten, der kan optages, er så 1/4 rS f(1+1/32+ 1/3-1/33), som udgør 1/2(1+1/32+1/3-1/33)=16/27 = 59,3% af vindens kinetiske energi pr. sekund.

Denne maksimale udnyttelsesgrad kaldes Betz’ lov, og moderne vindmøller kan udnytte op mod omkring 45–50% af vindens energi ved visse vindhastigheder, svarende til 75–85% af det maksimalt mulige.

Antagelsen om, at vindfarten i interaktionsskiven er gennemsnittet af den konstante fart før og efter viser sig i øvrigt at være rigtig. elp

– – –

Læs også: Tænkeboks: Find den præcise grænse for vindmøllers effektivitet

Alle opgaver og deres løsninger kan efterhånden findes på ing.dk/fokus/taenkeboksen

Vi bringer en ny opgave i næste uge.

Illustration: Ingeniøren