2/7-18: I dag er det e-dag
more_vert
close

Få de daglige nyheder fra Version2 og Ingeniøren. Læs mere om nyhedsbrevene her.

close
By signing up, you agree to our Terms & Conditions and agree that Teknologiens Mediehus and the IDA Group may occasionally contact you regarding events, analyzes, news, offers, etc. by telephone, SMS and email. Newsletters and emails from Teknologiens Mediehus may contain marketing from marketing partners.

2/7-18: I dag er det e-dag

Illustration: arkiv

Selv om amerikanerne med deres underlige angivelse af datoer mener, at e-dag var 7. februar, og andre mener, e-dagen er 27. januar, så vil jeg nu mene, at det i år må være 2. juli, at vi skal fejre dette tal. Så skal vi ikke udnævne dagen i dag til Ingeniørens e-dag.

Tallet e optræder mange steder inden for matematik, naturvidenskab og ingeniørvidenskab, og jeg skrev en artikel om tallet i 2007 i forbindelse med 300 året for Leonhard Eulers fødsel.

Læs også: e: er matematikernes foretrukne tal

Jeg har sakset nedenstående fra den gamle artikel.

Historien om e begynder med historiens mest produktive matematiker Leonhard Euler, født for 300 år siden i 1707. Eulers betydning for matematikken er der skrevet mange bøger om. Her kan det kort bemærkes, at han var den første til at sætte Newtons love på matematisk formel, og at han udviklede store dele af den analytiske matematik, som i dag indgår i ingeniørmæssige beregninger, hvad enten der skal bygges broer eller opbygges omfattende kommunikationsnetværk.

Illustration: wikicommons

Derudover gav Euler os verdens smukkeste formel e^ (i pi) + 1 = 0, hvor pi som bekendt er forholdet mellem en cirkels omkreds og dens diameter, i er den imaginære enhed defineret ved at i^2 = -1, og e er hvad denne artikel skal berette mere om.

Ny viden medførte døden

Inden for de reelle tals verden findes de hele tal, de rationale tal (brøkerne) og de irrationale tal (f.eks. kvadratroden af 2). Opdagelsen af, at kvadratroden af 2 ikke kan udtrykkes som et brøk, tilskrives den græske filosof Hippasus, der levede for ca. 2.500 år siden. Hippasus var elev af Phytagoras, og de andre phytagoræer blev ifølge legenden så ophidsede, at de druknede Hippasus for hans kætterske opdagelse. Det kan betyde døden at finde ny viden!

En gruppe af de irrationale tal har dog det tilfælles med alle rationale tal, at de med simple matematiske operationer, som addition og multiplikation, kan bringes tilbage til de hele tal. Det gælder bl.a. kvadratroden af 2, som jo ganget med sig selv netop giver 2 - tallene siges at være algebraiske. I lang tid troede man, at alle tal var algebraiske. I dag ved man, at der findes irrationale tal, som slet ingen forbindelse har til heltallene - disse tal er transcendente. Et faktum, som de gamle grækere nok ville have opfattet som værende endnu mere kættersk end Hippasus' opdagelse.

Antallet af algebraiske tal er uendeligt - men de er dog tællelige, dvs. de kan stilles op i nummerorden. Antallet af transcendentale tal er derimod utælleligt. Selv om der på denne måde er mange flere transcendente tal end algebraiske tal, har matematikerne store huller i deres viden om disse tal.

Nøglen til at forstå de transcendente tal har vist sig at være grundtallet for den naturlige logaritmefunktion e - som f.eks. kan bestemmes som grænseværdien for det matematiske udtryk (1+1/n)^n hvor n vokser mod uendeligt (e = 2,71828..). I 2007 beregnede Shigeru Kondo og Steve Pagliarulo e med 100 milliarder cifre.

Inden for matematikkens verden har ordet transcendent sin oprindelse hos Leibniz, der i 1682 viste, at sinusfunktionen ikke er en algebraisk funktion, dvs. at sinx ikke kan skrives som en polynomialfunktion i x. Han kaldte den derfor en transcendent funktion. Men Euler menes at være den første, der overvejede eksistensen af ikke-algebraiske transcendente tal, altså tal som ikke med matematiske operationer har en forbindelse til de hele tal.

Det lykkedes ham aldrig at bevise, at sådanne tal findes, om end han ifølge John B. Cosgrave fra St. Patrick's College i Dublin havde en formodning, som senere har vist sig rigtig.

Tag to rationelle tal r_1 og r_2 og beregn forholdet mellem logaritmeværdierne for de to tal (p = logr_1/logr_2). Det gælder så, at enten er p rationalt eller transcendent, men aldrig et irrationelt, algebraisk tal - enten er p utroligt simpelt eller utroligt kompleks, som Cosgrave udtrykker det.

Tallet pi er transcedent

I 1844 var Joseph Liouville den første til at finde et tal, som det kunne bevises var transcendent. Liouvilles tal er den uendelige sum af 1/10^n! (L = 0,11000100.., hvor der er 1 på pladserne 1,2,6, 24, 120 osv.).

I 1873 viste Charles Hermite, at e er transcendent. Disse tals betydning blev for alvor erkendt, da Georg Cantor i 1874 viste, at mængden af transcendentale tal er uendelig og så stor, at den ikke kan tælles. Med Hermites metode lykkedes det for Ferninand Lindemann i 1882 at bevise, at pi er transcendent. En direkte konsekvens af dette er, at det er umuligt at løse cirklens kvadratur - dvs. med passer og lineal at konstruere et kvadrat med samme areal som en given cirkel.

Så er e+pi vel også transcendent? Formodentlig, men det er endnu ikke bevist. Det er nemlig kompliceret at bevise, at et tal er transcendent. Opskriften er at formode, at et bestemt tal er algebraisk og søge at komme frem til et udsagn, der er i modstrid hermed. Men det er ganske vanskeligt i praksis, så det er forbavsende hvor få transcendente tal, der kendes.

Har man et transcendent tal, er det relativt enkelt at forstå, hvad der sker med tallet under de fire simple matematiske operationer: addition, subtraktion, multiplikation og division. Men under potensdannelse er det svært.

Nøglen til en forståelse har vist sig at være en dybere indsigt i e og eksponentialfunktionen, og dermed er man tilbage med Euler igen.

Det er let af forstå, hvad 2^3 betyder, nemlig to multipliceret med sig selv tre gange. Med hvad menes der med at opløfte et tal til pi - man kan jo ikke multiplicere noget pi gange? Det lille problem løste Euler, og samtidig viste han, hvordan et tal som a^b kan udtrykkes som e^x, og hvordan x afhænger af a og b.

Alan Baker fra University of Cambridge fik i 1970 matematikernes fornemmeste pris, Fields Medaljen, for at øge forståelsen af sammenhængen mellem transcendente tal og eksponentialfunktionen, men selv efter Baker, vidste man ikke, om e+pi er transcendental. For selv om det umiddelbart ser ud som et simpelt additionsproblem, ligger nøglen til forståelsen mellem forholdet af e og pi nemlig i virkeligheden gemt i forståelsen af e selv.

Stephen Schanuel fra University of Buffalo i New York fremsatte dog i 1966 en formodning om e og transcendentale tal. Hvis denne formodning kan bevises, følger det direkte, at e+pi og e gange pi og andre tal af samme type er transcendente. I den meget korte udgave går Schanuels formodning ud på, at sammenhængen mellem e og transcendens er så enkel, som man kan forvente. På den måde knytter den sig til Alexandr Gelfond og Theodor Schneider, der i 1930?erne viste, at hvis man har to ikke-transcendente tal a og b, så er a^b transcendent, så længe a ikke er 0 eller 1 og b ikke er forhold mellem to heltal.

Det seneste gennembrud er kommet så sent som i 2004 fra den russiske matematiker Boris Zilber fra University of Oxford. Han har anvendt metoder fra den matematiske logik til at definere en funktion, der opfører sig præcist som Schanuels formodning siger, at potensdannelse skal gøre. Det er en funktion, der minder om eksponentialfunktionen så meget, at Zilber kalder den for en pseudoeksponentialfunktion. Han har bevist, at denne pseudoeksponentialfunktion eksisterer og opfylder Schanuels formodning, og at der tilmed kun er én pseudoeksponentialfunktion.

Hvad er så mere nærliggende at konkludere, end at pseudoeksponentialfunktionen så nok er det samme som den eksponentialfunktion, vi kender? Kan dette sidste skridt tages på fuldstændig matematisk sikker grund, ja så er Schanuels formodning bevist og vores viden om de transcendentale tal meget større.

Emner : Matematik
sortSortér kommentarer
  • Ældste først
  • Nyeste først
  • Bedste først

Tak for den meget fine, oplysende og derfor virkelig spændende artikel.
Tak også for at have rygrad til at kritisere det ellers så prægtige folk på den anden side af Atlanten for deres særlige notationer af datoer – som dog godt kan have berettigelse i data- og programmeringssammenhænge, når de gennemføres konsekvent med årstal-måned-dato-klokkeslæt.

En anden ting er disse prægtige amerikaneres (respektløse?) forhold til andre sprog end engelsk, således italiensk, når de insisterer på at være på fornavn med Galileo Galilei (på dansk, Galilæi, efternavnet refererer til det bibelske Galiæa).
Det er så galt, at mange i det kontinentale Europa virkelig tror, at den store italiener faktisk hed Galileo (altså på linje med Newton, Planck, Bohr, Einstein). Men der kunne nok blive forvirring, hvis vi udelukkende talte om Isac, Max, Niels og Albert.
Nu er Galileo altså fornavnet, så man må jo spørge: ”Hvilken Galileo”? Ligesom man ville spørge: ”Hvilken Leonardo”? Leonardo da Vinci, Leonardo da Pisa (identisk med Leonardo Fibonacci med fibonacci-rækken)?
Eller har italienerne måske en måde at forholde sig til fornavne og efternavne på, som kunne begrunde det?

  • 5
  • 0

Tilslutter mig Ole's tak for en rigtig spændende artikel.

Og om datoen for e, tja. hvis man nu skal følge logikken, så skulle fødselsdagen (altså år nul) være:

Onsdag den 2. juli 1828 klokken 18:28:45,904...

Ah, det er nok for langt ude. Eller rettere ikke lang nok tilbage. Og skal man tro de mange dato-opslagsværker, så udmærker den 2. juli 1828 sig ved, at der absolut ingenting er sket på denne dag.

  • 5
  • 0

Her kan det kort bemærkes, at han var den første til at sætte Newtons love på matematisk formel,

Gjorde newton ikke selv det?

  • 2
  • 0

Eller har italienerne måske en måde at forholde sig til fornavne og efternavne på, som kunne begrunde det?

Moden har skiftet meget i tidernes løb om det var fornavn eller efternavn man brugte.

Overordnet er det vist nok fornavnet der fører indtil ca. oplysningstiden hvor (gammel)adlen begynder at lægge vægt på slægtsnavnene for at stå ud fra de nyrige industrialister, dette breder sig derefter nedaf.

Struense lovfæster dette da han indfører navnelovene i slutningen af 1700-tallet fordi det hverken er til at finde hoved og hale i bønderstanden der bruger afstamningsnavne (Peter Hanssen, Hans Petersen, Lars Hansen, Peter Larsen osv...)

  • 1
  • 1

Tak for en virkelig interessant artikel.

Den komplekse eksponentiel funktion exp(ix), hvor Eulers identitet exp(iπ) = -1 er et special tilfælde, knytter den reelle del af eksponentiel konstanten til radian målet således at værdien af eksponentiel konstanten direkte er udtryk for radius vektorens omløb på enhedscirklen i radianer.

Er x = π er radius vektoren omløb π rad ( en halvcirkel) og er x = 1 er radius vektorens omløb 1 rad.

Tilsvarende er x = ln(2) er radius vektorens omløb 0,693... rad.

Det sidste tilfælde kan omskrives exp(iln(2)) = 2ⁱ og generaliseres til funktionen nⁱ hvor n er et naturligt tal. For den komplekse funktion nⁱ = exp(iln(n)) gælder så |nⁱ| = 1 (længden af radius vektoren i enhedscirklen) og ln(n) er omløbet af radius vektoren i radianer.

Med venlig hilsen Peter Vind Hansen

  • 4
  • 0

Fred være med at amerikanerne kalder Gallilei ved fornavn. Hvad jeg finder langt værre, er at stort set alle danske journalister ikke ved, at det amerikanske "you" sjældent skal oversættes til "du". Amerikanere, der ikke kender hinanden personligt siger Sir eller Mam og bruger efternavn og/eller titel. Hvis Donald Trump til Kim Jong-un siger "My nuclear button is larger that yours", skal det oversættes til "Min nukleare knap er større end Deres". Aldrig "din". Trump siger heller ikke "du" til Angela Merkel.

Den anden ting er, at det er underligt, at ingeniørens hjemmeside ikke kan skrive matematiske formler og tilsvarende (i brødtekst) som matematisk formler, men må ty til noget, der mest minder om computerkode. Når wikipedia kan, kan ing.dk vel også?

Sorry, det var vist et par sure opstød uden megen relevans for datoen i dag!

  • 2
  • 4

Han (og alle andre, der taler engelsk) har ligesom f.eks. tyskere og franskmænd, en meget tydelig skelnen mellem formelt sprog og personligt sprog. Som jeg skrev er det formelle, engelske at anvende Sir/Mam, efternavn og/eller titel og det er efter mening en hel misforståelse når mange journalister (ja, ja, jeg skrev "stort set alle", hvilket måske er en overdrivelse) konsekvent bruger du i stedet for De, når de oversætter, hvad engelsk-talende siger til hinanden. Heldigvis er DR endnu ikke faldet i den grøft, og undertekster (f.eks. i Barnaby) er korrekte. Når han (altså Barnaby) taler til sin hustru, er oversættelsen "du", men når Barnaby taler til fremmede er det "De".

  • 4
  • 0

om 1 år kan vi fejre at det var i dag vi gjorde de første spæde forsøg med den vanvittigt revolutionerende cykel teknologi ,der med et fingerknips skød den 200 år gamle trædecykel ud i rumalderen.

Så kan vi til den tid grine overbærende af hvor besværligt/dyrt og forurenende det var for den gamle verden at transportere sig 10-15 kilometer.

  • 0
  • 6

Sammenligne Eulers matematik med en forsøgordning med pubertære e-cykler?
Nivauet er lige styrtet ned i en kilometerdyb mineskakt.

  • 6
  • 0

Hvordan skelner Trump mellem "De", "Dem", "dig" og "du" - når det hele hedder "you"?

De's formen på engelsk er som nævnt "you" - du formen er gået af brug for mange år siden. Du = "thou" - hvilket lyder noget antikveret/bibelsk eller "Shakespeare'sk" idag.

/Nis

  • 1
  • 0

Ja, super artikel om et emne som de færreste læsere sikkert har i parat-viden.

Wikipedia viser, ikke overraskende, artiklens formel her:
https://en.wikipedia.org/wiki/E_(mathemati...
(Iøvrigt også interessant artikel).

Jeg bemærker, at det er uskønt, uestetisk, når formlen summationen starter med "0" - fordi den summerede talrække bliver 1 + 1 + 1/2 + 1/6 ...... (se Wiki).
Havde formlen været skrevet 1 + sum(1/N!), hvor N= 1 til "uendelig" (dårligt tastatur.....), så havde det været "kønnere" - måske.
Men det er der sikkert en grund til ? - altså den oprindelige udformning.

Bemærk også, at denne formel konvergerer hurtigt, langt hurtigere, end grænseværdien omtalt andet steds i artiklen (1+1/N)^N.

Det er lidt sjovt at lege med formlerne i et regneark - og lettere end fjer og blæk.

  • 0
  • 0

Ramskov skrev om Euler:

Her kan det kort bemærkes, at han var den første til at sætte Newtons love på matematisk formel

Og uddybede ved at henvise til egen artikel med overskriften Newton på latin, hvor man kan læse:

F = m.dv/dt = ma
hvor F, p, v og a er vektorer for henholdsvis kraft, moment, hastighed og acceleration.

I værket Mechanica fra 1736 var Leonhard Euler den første til at sætte Newtons dynamik på matematisk formel.

Ramskov, det er ikke korrekt. Hvor har du den røverhistorie fra?

Newton kenderen Michael Nauenberg fra Physics Department, University of California skrev i 2011:

Proposition 1 (Newton’s 2. lov) is the cornerstone of the Principia, where Newton implemented his second law of motion using a geometrical algorithm to obtain the polygonal trajectory of a body under the action of a sequence of centripetal impulses at equal time intervals.

Although Leibniz gave an incorrect physical interpretation to his own equation, two decades later, several practitioners of his calculus, including Jacob Hermann, Pierre Varignon, and Johann Bernoulli, also succeeded, without apparent difficulties, in expressing Newton’s formulation of the second law in the form of differential equations in both Cartesian and polar coordinates.

Opfattelsen deltes af den ultimative Newton kender, Bernhard Cohen (død 2003).

De var alle før Euler:
Jacob Hermann, Pierre Varignon og Johann Bernoulli kan alle findes på Wikipedia.

Eksempelvis skrev Jacob Hermann i 1716 (20 år før Euler) i værket Phoronomia (som heldigvis er tilgængeligt på Internettet) følgende på side 56 nederst og side 57 øverst:

G = M dV :dT,

Hvor G er kraften (Gravitationen), M er massen og dV:dT er hastighedsændringen i tidsintervallet dT.
Med andre ord var Euler ikke den første til at sætte Newtons 2. lov på en matematisk formel.

  • 3
  • 0

Ramskov skrev:

Nøglen til at forstå de transcendente tal har vist sig at være grundtallet for den naturlige logaritmefunktion e - som f.eks. kan bestemmes som grænseværdien for det matematiske udtryk (1+1/n)^n hvor n vokser mod uendeligt (e = 2,71828..). I 2007 beregnede Shigeru Kondo og Steve Pagliarulo e med 100 milliarder cifre.

Korrekt. Men vil det ikke på sin plads at nævne, at opdagelsen af e tilskrives Jacob Bernoulli i 1683, der i forbindelse med overvejelser over renters rente fandt e som grænseværdien af: [latex]e = \lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}[/latex]Jeg vil på ingen måde underkende Eulers geni, som - samtiden taget i betragtning, ikke overgås den dag i dag, hvilket også ses af de talrige frembringelser, Euler har lagt navn til.

Samtidig sender jeg en venlig tanke til nu afdøde underviser i matematik på DtH, Flemming Damhus Pedersen, hvis inspirerende undervisning fik mig til at grave i Bernoulli-familiens fremragende matematiske frembringelser.

  • 2
  • 0

Der findes en formel, der kan beregne de enkelte digits i pi hexidecimalt.
Findes en tilsvarende formel for e?

  • 0
  • 0

De's formen på engelsk er som nævnt "you" - du formen er gået af brug for mange år siden. Du = "thou" - hvilket lyder noget antikveret/bibelsk eller "Shakespeare'sk" idag.

At skelnen mellem De og du er forsvundet fra det engelske sprog har desværre også ødelagt Edward Cokes vidunderlige fornærmelse mod Raleigh "I thou thee, thou traitor"

/Bo (der endelig fandt noget at bruge sin fortabte ungdoms blindgyde på engelsk-studiet til)

  • 3
  • 0