Brøktallets endeligt

I matematikken kaldes en brøk et tal, f.eks. 1/2.
Dette er i strid med tallenes grundlæggende egenskaber, hvorfor vi må aflive brøktallet:
En halvering og en fordobling er matematisk ligeberettiget, idet de er en del af en symmetrisk korrespondance hvor division og multiplikation kan vises at være modsatte regnearter ved korresponderende talstørrelser.
Vi har denne ligeberettigelse udtrykt ved: 8/2 (halvering) er ligeberettiget med 4*2 (fordobling). Er nu 8/2 et tal er også 4*2 et tal. Er 8/2 ikke et tal er 4*2 heller ikke et tal. Kaldes 8/2 et tal og 4*2 en multiplikationaopgave, er deres matematiske ligeberettigelse brudt, og denne ligeberettigelse bryder vi ikke gerne - brydes den kaldes brydningen for smartness matematik, og sådan smartness matematik er i strid med tallenes grundlæggende egenskaber. For de som ikke synes om smartness matematik, er brøktallet hermed aflivet.

Men hvad er en brøk? En brøk er (lige som multiplikation) en matematisk (divisions) opgave bestående af to tal og en operationsangivelse.
Smartness matematik holder liv i brøktallet - og så mange andre unoder.

Brøken

21,99114858/7 kaldes også PI

Common Sense Math

Jeg kan da godt følge dig, Kim, men jeg synes nu at "problemet" er lidt søgt.

Brøker er vel ganske praktiske når de udtrykker tal, som ikke nøjagtigt kan angives på anden måde. F.x. 1/3. Omvendt har jeg aldrig i praksis set, at nogen har angivet tal som 8/2 og ikke bare 4.

Hvis jeg ihukommer min gamle matematiklærer lød reglen noget i retning af "Enhver brøk som KAN forkortes SKAL forkortes - og den skal forkortes så meget som muligt".

Men der findes ikke nogen multiplikation, som ikke nøjagtigt kan udtrykkes ved et tal - evt. et kommatal.

På samme måde er vi jo også vant til, at angive meget store eller meget små tal som et kommatal gange en potens af 10 eller e. Her er endda tale om to regneoperationer - en multiplikation og en potensopløftning.

Hvis man endelig VIL "omdøbe" brøker, kunne man jo kalde dem - en streg i regningen !

Niels

tal

mon ikke et tal her bare skal forstås som en værdi

Re: Brøken

21,99114858/7 kaldes også PI

Nørd

Indrømmet, det ser lidt nørdet ud - men under den nørdede overflade gemmer der sig smartness matematik der jo "fungerer" så glimrende, men som ikke tilfredsstiller Platons krav om korrekthed.
Men hvorfor al den akkuratesse, verden går jo ikke under fordi vi sløser en smule med naturens grundlæggende egenskaber.
Spørgsmålet er så bare hvor grænsen går med sløseriet, jeg betænker megen anden matematisk materie.
Bjarke, interessant brøk. Brøken bliver først til (et tilnærmet) PI på den anden side af divisionsopgavens lighedsteg.
Niels, din tilgang er pragmatisk - hvorfor al den nørden?
Hvordan og hvor meget en brøk skal forkortes, afhænger af den matematiske sammenhæng.
Multiplikationens resultat afhænger af opgavens to led, og er ikke på forhånd givet at være eksakt (PI*3).
Jeg vil ikke omdøbe en brøk, blot ikke kalde den et tal - lige så lidt som jeg vil kalde Dronningen for Australier, men gerne kalder Mary det.

Værdi

Kurt
Et tal representerer en værdi - en matematisk kvantitet.
8/2 er ikke en værdi, men to værdier og en operationsangivelse.
4 udtrykker værdien af divisionen 8/2, og kaldes opgavens resultat.
4*2 er heller ikke et tal ............

Re: Værdi

Kurt
Et tal representerer en værdi - en matematisk kvantitet.
8/2 er ikke en værdi, men to værdier og en operationsangivelse.
4 udtrykker værdien af divisionen 8/2, og kaldes opgavens resultat.
4*2 er heller ikke et tal ............

Yes

- og jeg ønsker ikke brøken afskaffet, men kalder den ikke et tal - og dog vil jeg hellere nævne 1/3 som "tallet" 1/3 end 0,333333333333333333333333333333333333333333333333333333....
Men 0,33333333333333333333333333333333333333333333333333333.... er heller ikke noget tal, men smart er det da at kalde snart sagt alle matematiske kvantiteter for tal.

værdier

ja ja også derfor jeg foreslog værdier selv om tal ikke hidser mig op

Ophidset

Kurt
Jeg skelner mellem værdi (kvantitet) og tal:
Matematiske kvantiteter er enten diskrete eller udiskrete.
Diskrete kvantiteter angives med talsymboler og udiskrete kvantiteter angives med andre symboler. Er ikke så meget til det der smartness.

anvendelighed

hvis det virker så brug det

Nødvendige tegn og gerninger

Glædeligt at se indlæg med forståelsen af multiplikationstegn.

2*4 er ikke det samme som 24!

I enheder vil det være logiskt med brøk, f.eks. for hastighed.

km/h og ikke kun km.

Mvh Tyge

Andre talsystemer

Som jeg skrev i min første kommentar, f.x. 1/3 er jo utroligt bekvem at udtrykke som en brøk.

Som bekendt opererer vi med et positionstalsystem med grundtal = 10. Sikkert nok fordi vi er født med ti fingre. Sådan behøver det imidlertid ikke at være.

I forbindelse med computere (der som bekendt bruger grundtal = 2) er det - på grund af den fysiske organisering af memory - ofte bekvemt at regne med grundtal = 16 (2^4). Det giver såkaldt hexadecimale tal bestående af cifrene 0..9,A,B,C,D,E,F.

Man kan imidlertid bruge et hvilket som helst tal som grundtal. Hvis man vil udtrykke 1/3 fuldstændig nøjagtigt som et kommatal, kan man bruge 3 som grundtal - 1/3 kan da skrives som 0.1 (base 3).

Niels

Re: Brøktallets endeligt

I matematikken kaldes en brøk et tal, f.eks. 1/2.

Re: Brøktallets endeligt

Martin, jeg er meget enig.

Kims problem er, at han ikke kan tænke abstrakt, og derfor helst vil holde sig til de naturlige tal og deres egenskaber. Det fremgår efterhånden af mange tråde.

Jeg tror heller ikke, Kim vil anerkende -1 som et tal.

I øvrigt mener jeg da, at 2x4, 16/2 og to i tredje alle er det samme som krusedullen 8 - nemlig repræsentationer af tallet otte.

Navn

Martin og Anders
Det siges at et navn skal svare nogenlunde til indholdet.
Derfor kalder jeg ikke 8 for en krusedulle, kalder ikke Dronningen for Australier - og ikke en brøk for et tal.
Inden for et talsystem bør man altid angive et tal på kun een måde, og opgaver på en anden - hvilket man jo også gør: 8 er et tal og 4*2 er en opgave.
I et tal indgår aldrig en operationsangivelse, og et tal representerer kun eet: sig selv - dermed opfyldes: "Inden for et talalfabet bør man altid angive et tal på kun een måde".
Men - 4*2 = 8 Hvorfor ikke bare skrive 8 = 8 (hvis nu 4*2 er det samme som tallet 8). Det skyldes at der er en fundamental forskel, det første er en opgaveopstilling/det andet er ikke en opgaveopstilling!
Man kan selvfølgelig smartnesse sig til meget, bl.a. at kalde snart sagt alt for tal - kun matematikkens grundlæggende egenskaber ryster på hovedet, og beder om at vi er lidt mere præcis og ikke kalder Dronningen Australier.

1/3

Niels
1/3 er ikke et eksakt tal, men er en opgave bestående af to diskrete tal og en operationsangivelse.
1/3 = 0,3333u På højresiden er vist et "tal" der er udiskret og er ulig 1/3: Et diskret tal er aldrig et udiskret tal lig. Derfor gælder lighedstegnet ikke, vi bør benytte omtrent-lighedstegnet i stedet - hvilket man faktisk også jævnligt gør!

Re: 1/3

Kim, det er kun korrekt på grund af den tilfældighed at vi benytter 10-tal systemet.

Hvis vi i stedet benytter et positionstalsystem med grundtal 3, så bliver 1/3 NØJAGTIGT 0.1 (Base 3).

Så jo, 1/3 er netop et HELT eksakt tal, som vi dog ikke kan udtrykke eksakt som et decimaltal i vores almindelige titals talsystem.

Generel gælder, at for et talsystem med grundtal n, repræsenterer XYZ,xyz
X * n^2 + Y*n^1 + Z*n^0 KOMMA (decimalskilletegn) x*n^-1 + y*n^-2 + z^n-3. Denne forklaring kan naturligvis udviddes efter behov, på begge sider af decimalskilletegnet.

Pointen er, at uanset om vi udtrykker os i et positionstalsystem (med valgfrit grundtal), i brøker eller sågar i romertal, så er enhver endelig decimalbrøk selvfølgeligt et "rigtigt" og eksakt tal.

Hvis vi nu bare holder os til 10-tal systemet, vil du så også påstå at 0.1 ER et eksakt tal, men at 1/10 IKKE er det ?

Niels

Shop

Niels
Man kan ikke shoppe (mellem talsystemer/mellem talalfabeter) sig ud af matematiske problemer, gør man det - er vi i kategorien smartness.
Enten tages en debat i eet talsystem ELLER i eet andet talsystem.

I 10 talsystemet er 1/3 ikke et tal men, Wiki: "Brøkstregen skiller brøkens to tal". Altså er (i følge Wiki) 1/3 to tal og en brøkstreg - jeg er super enig.
Et matematisk lex: "Enhver brøk er et tal" - nogle siger at både Wiki og nævnte lex er rigtige.
Men det er i modstrid med: "Et tal er et tal - to tal er to tal - tre tal er tre tal ....."
Så vi snakker ikke bare om hvorvidt 1/3 er et eksakt tal, men om brøken overhovedet er eet tal - og her hjælper nok så megen shopperi ikke.

Re: Shop

@Kim

Hvorfor dog ikke ? Det er vel mit valg, om jeg vil benytte romertal, 7-tals system eller noget helt tredie ?

Det faktum at et tal er mindre end et, gør det vel ikke "ueksakt" ???

Hvis jeg har 1/3 liter mælk, har jeg vel EKSAKT 3.0000000... Deciliter mælk ?

Hvis vi nu skal tale HELT generelt, er det vel matematikens (egentlig talteoriens) opgave at beskrive tallene SOM BEGREBER, og dermed helt løsrevet fra hvilket system vi benytter til at udtrykke et tal.

Ellers kan du jo også hævde at 27 ikke er et tal, det er to tal + en multiplikation (2*10) + en addition (resultatet af multiplikationen plus 7). Her er regneoperationerne endda underforståede, og du skal på forhånd VIDE at 2-tallet skal ganges med netop 10 - i modsætning til 1/3 hvor det er rimeligt åbenlyst at man skal dividere en med tre.

Min pointe er, at uanset hvilket system vi benytter til at (re)præsentere tallene, grunder det sig på et fundament af forudvedtagne ting og konventioner. Uden disse måtte vi helt opgive at udtrykke tal.

Jeg kan tilføje, at andre talsystemer ikke er begrænsede til at have hele tal som grundtal. Hvis vi vælger grundtallet 1/3, bliver tallet 1/3 simpelthen at skrive som 1. Så kan det ikke blive meget mere eksakt :-)


Niels

0 og 1

er de eneste tal, alt andet er produkter deraf

Fod

Niels
Du missede min pointe.
Du kan satgens gå i 7 talsbutikkens - og i 10 talsbutikken, men ikke i blandingsbutikken.
I de to førstnævnte to butikker tages ikke imod samme møntfod, men valutavekslen klarer opgaven. Omregningen viser hvorfor butikkerne ikke har samme møntfod.

Re: Fod

Du kan satgens gå i 7 talsbutikkens - og i 10 talsbutikken

0 og 1

Kurt
0 skiller en uendelig tallinies + og - side (+ og - indført for at kende forskel på disse sider). Med tallet 1 samt addition/subtraktion kan alle tal fremkomme. Potentielt uendelig mange, men et potentiale der aldrig kan realiseres på grund af tallenes diskrete egenskaber - egenskaber der afviser uendeligheden.
Herved har du 0, uendeligheden, tallene og de primære matematiske operationer som grundlag for matematikken.
Nogle måtte mene at også smartness er en del af grundlaget.

Hvorvidt PI og rod 2 er tal, er så en anden snak.

Re: Shop

Niels
Man kan ikke shoppe (mellem talsystemer/mellem talalfabeter) sig ud af matematiske problemer, gør man det - er vi i kategorien smartness.

10 og 3

Niels
Vores problem var at i 10 talsbutikken var 1/10 eksakt og 1/3 ueksakt (0,33u).
I 3 taltbutikken er 1/3 eksakt (0,1) men nu er 1/10 ueksakt.
I ingen butikker er begge eksakt, og powershopping hjalp ikke.

Men hvor blev den egentlige pointe af - er 1/3 overhovedet et tal.
Jeg mener kunne vi gå i 1/3 butikken, der reklamerer "Vi sælger alle tal, ring for tilbud". Kan man her købe 1/3, eller er det falsk reklame.

Re: 0 og 1

Hvorvidt PI og rod 2 er tal, er så en anden snak.

Re: 0 og 1

Kurt
Potentielt uendelig mange, men et potentiale der aldrig kan realiseres på grund af tallenes diskrete egenskaber - egenskaber der afviser uendeligheden.

Gordisk

Anders
Ved at hugge den gordiske knude over, var knuden løst.
- Nogle mener ja, nogle mener nej.

Nogle (kvinder) mener at shopping løser alt, nogle mener nej.

Anders, så gerne om du kunne sige om en brøk er et eller to tal, om hvad en brøkstreg laver i et tal, om et tal er to tal - altså alle disse debatindlæg fremlagt.
Fat pennen og giv nogle bud.

Sådan gør rigtige butikker

Hvis du går ned i det lokale supermarked, vil du opdage at alle priser ender på noget i retning af 98 øre.

Det kan du imidlertid ikke betale efter at enøren, toøren, femøren, tiøren og senest 25øren er afskaffet. Med mindre at du bruger dit kreditkort, så kan du i princippet betale selv 1/3 øre.

Jeg tror at det er sådan du skal se vores lille diskussion: Mine andre talsystemer svarer ganske til det valutasystem man bruger i det pågældende land.

Men på samme måde som kreditkortet sætter os ud over den valuta og den inddeling man TILFÆLDIGVIS har valgt at bruge, på samme måde sætter anvendelsen af brøker os ud over den inddeling som følger af vores talsystem.

Ikke et perfekt system, men dog et skridt i retning af at kunne udtrykke tallene uafhængigt af vedtagne konventioner.

Niels

Udenom

Anders
Der sidder rundt omkring folk (eller rettere computere) og arbejder med store tal.
Det største tal er som så mange andre rekorder (og spørgsmål i det hele taget) afhængig af tiden:
P.t. er rekorden i længdespring 8,95m - bemærk P.t.
Har ikke fod på hvad der p.t. er talrekorden, med dette tal er med garanti ikke uendeligt, for det tal eksisterer ikke realiserbart (men kun som et potentiale). Ingen kommer nogen sinde til at opleve/se et uendeligt stort tal, men må nøjes med at fatasere om det og bilde sig ind at et u er uendeligt.

Præcis

Niels
Præcist udtrykt: "Ikke et perfekt system".
Men det er Platons mål at gøre de matematiske systemer perfekte.
Men matematikken driller os, hvorfor vi overhugger den gordiske knude og forlyster os med smartness matematik.

Re: Gordisk

Naturligvis er en brøk et tal.

Det er helt grundlæggende viden. Matematisk grundfjeld. Urokkeligt.

De reelle tal er faktisk DEFINERET som "alle tal, der kan skrives som en endelig eller uendelig decimalbrøk").

Hvis du ikke accepterer den definition, har du din helt egen matematik, som er noget andet end min. Fint med mig, men hvad skal vi dog med den - for jeg tror simpelthen ikke på, at du er klogere end de matematikere, der igennem flere tusinde år, har givet os den uhyre velfungerende matematik, vi har nu.

At man så også kan bruge brøkstreger som divisionssymbol er en helt andet sag. Det er praksisk og nemt i visse sammenhænge.

Re: Udenom

Har ikke fod på hvad der p.t. er talrekorden, med dette tal er med garanti ikke uendeligt, for det tal eksisterer ikke realiserbart (men kun som et potentiale). Ingen kommer nogen sinde til at opleve/se et uendeligt stort tal.

Re: Re: 0 og 1

*** Hvis der ikke er uendeligt mange naturlige tal, hvad er så det største naturlige tal, der findes?***

(Du kan ikke svare, at grænsen er flydende Kim - enten kommer du med TALLET eller også indrømmer du, at der er uendeligt mange )

Re: Udenom

Anders
Der sidder rundt omkring folk (eller rettere computere) og arbejder med store tal.
Det største tal er som så mange andre rekorder (og spørgsmål i det hele taget) afhængig af tiden:

Re: 0 og 1

Den anden vej rundt kan man også godt tænke sig en situation hvor der findes uendeligt mange diskrete tal, men hvor der stadig er en maksimal værdi.

Derudover er jeg naturligvis enig i at brøker nødvendigvis må opfattes som selvstændige tal...

1

Anders
Ok en brøk er et tal - fint nok - men i strid med Wiki: "Brøkstregen adskiller brøkens to tal". Så derfor igen, er en brøk eet eller to tal?
Ville du rette i Wiki: "Brøkstregen adskiller brøkens ene tal". Hvordan adskiller man eet tal. Det kan ikke skilles, da det er diskret - og denne egenskab afviser en adskilning.
Er alle tal brøker kan vi lige såvel sige at tallene er multiplikationer, additioner og sutraktioner.
Men nu går det for vidt, vi må skelne mellem tal og operationsangivelser der ikke i sig selv er tal men funktioner - funktioner der gør det muligt at vi ikke må nøjes med blot eet tal: 1.

Re: 1

Anders
Ok en brøk er et tal - fint nok - men i strid med Wiki: "Brøkstregen adskiller brøkens to tal". Så derfor igen, er en brøk eet eller to tal?

Re: 1

Er alle tal brøker kan vi lige såvel sige at tallene er multiplikationer, additioner og sutraktioner.

Men nu går det for vidt, vi må skelne mellem tal og operationsangivelser der ikke i sig selv er tal

Mere wiki, Kim

Wiki: Specielt hvis både tæller og nævner er et heltal, så er brøken et rationalt tal.

Wiki: En brøk repræsenterer det eksakte tal man får ved at dividere tælleren med nævneren: Eksemplet med repræsenterer således 2 : 3, der udtrykt som decimalbrøk er ca. 0,6667 - dette tal kan faktisk ikke skrives helt præcist som et decimaltal, så brøker er nyttige hvis man ønsker at beregne noget helt eksakt.

Der røg dit wiki-argument vist til jorden med et hult drøn!

Store tal

Anders
For et par år siden sendte TV et program (har været genudsendt for nylig), om en englænder der kunne store tal (husker ikke hans navn):
Tusinder af decimaler på PI og lign. havde han i hovedet.
I samme udsendelse vistes fraktale mønstre der opstår når computere arbejder med "uendelig" mange tal. Ingen kunne forklare mønstrenes betydning.
For nogle år siden besøgte jeg Matematisk Instituts Niels W. og her blev der arbejdet med endog meget store tal og deres egenskaber.
Jeg kender mennesket dårligt hvis ikke der er nogle der prøver at konstruere større og større tal, men konkret kender jeg dem ikke - bort set fra mig selv, og jeg kommer næppe med i Guiness.

Statsministeren sagde om Bjarne Riis: "Eet er at sige man vil vinde Tour de France, et andet er at gøre det". Som alle os andre havde Bjarne potentialet, men vi kan ikke realisere det - lige så lidt (for at sige det med et glimt i øjet) som uendelig mange tal kan realiseres, og blot drømmene om touren og de uendelig mange tal må vi slå os til tåls med.

0 og 1

enten er der noget eller også er der ikke noget
der er jo ikke -10 ikke noget, eller 1 der er lidt mere noget
derfor er der kun de to reelle værdier
den ene er urørlig, den anden uendelig rørlig

Re: Store tal

Anders
For et par år siden sendte TV et program (har været genudsendt for nylig), om en englænder der kunne store tal (husker ikke hans navn):
Tusinder af decimaler på PI og lign. havde han i hovedet.
.

Børn

Anders
Ja men så er jo en brøk både et tal og en måde "at skrive regnstykker på".
En brøk er altså både et tal og et regnestykke. Det er eet fedt.
Men et tal er ikke et regnestykke, men et tal - og - et regnestykke er ikke et tal, men et regnestykke.
Et tal og et regnestykke er vidt forskellige ting:
Læreren: Nu skal i regne disse opgaver ud:
2 56 0 3 1
Hvad gør børnene? De siger, men det er jo ingen opgaver i det.
Læreren: Jo, for det siger Annders.
Jeg holder med børnene.

Re: Store tal

Jeg kender mennesket dårligt hvis ikke der er nogle der prøver at konstruere større og større tal, men konkret kender jeg dem ikke - bort set fra mig selv, og jeg kommer næppe med i Guiness.

Stort

Anders
PI virkede stort - så stort at en (vist nok Japaner) for nogle år siden udsendte en bog med eet eneste indhold: PI. Heller ikke her var de uendelig mange decimaler angivet. Om han så udgav 10000000 bøger, kan potentialet ikke realiseres på PI og dets decimaler. Men han kan selvfølgelig drømme om at udgive uendelig mange bøger, strengt taget er der ikke noget loft (dog et fysisk loft) men en grundlæggende naturens orden, hvor uendeligheden aldrig nås på grund af bøgernes diskrete egenskab.
Har ikke skiftet mening om tallet PI, men bruger i en snæver og nem vending tal om 1/3 m.v.

Re: Børn

Anders
Læreren: Nu skal i regne disse opgaver ud:
2 56 0 3 1
Hvad gør børnene? De siger, men det er jo ingen opgaver i det.
Læreren: Jo, for det siger Annders.
Jeg holder med børnene.

Tal

Tal fremstår altid ved "værdi" og "antal".
7777777777777777 har en stor værdi og et lille antal (1).
2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 2 3 1 2 3 2 2 1 2 3 3 har alle en lille værdi, men optræder i et stort antal (såden da).

Re: Stort

Anders
PI virkede stort - så stort at en (vist nok Japaner) for nogle år siden udsendte en bog med eet eneste indhold: PI.

Re: Tal

Tal fremstår altid ved "værdi" og "antal".
7777777777777777 har en stor værdi og et lille antal (1).
2 3 1 2 3 2 3 1 2 3 2 3 2 3 1 2 3 2 2 1 2 3 3 har alle en lille værdi, men optræder i et stort antal (såden da).

Ydmyg

Anders
Måske er jeg ikke på nineau med børn, men blot ydmyg lyttende og (ok) som børn tager hvad du nævner bogstaveligt:
En regneopgave er et tal.

Re: Store tal

I samme udsendelse vistes fraktale mønstre der opstår når computere arbejder med "uendelig" mange tal. Ingen kunne forklare mønstrenes betydning.

Mange

Anders
Mange og stort er ikke helt det samme, om end vi i flæng ofte bruger gloserne frit.
PI har mange decimaler, men det gør ikke "tallet" stort - selv om mange og jeg selv ville bruge stort om "tallet", når vi ser Japanerens bog.
Men at bruge stort om PI er ikke så tosset endda, da "tallet" potentielt er uendeligt - og uengelig mange giver ikke mening om en kontinuert størrelse, men derimod mening om diskontinuerlige størrelser (når disse optræder i "stort" antal).
Og så er stor og lille relativt, så PI er hverken stort eller lille før vi ser det i en sammenlignende sammenhæng.
Så 10^8 er ikke selvstændigt stort eller lille.

Man hvad Amerikanerne gør, er altid at drømme stort - siges der. Og store drømme skal der til for at se åbenbaringen: Et uendeligt stort tal.

Fraktal

Niels
Fraktale mønstre har gentagelsen som grundlæggende element, og netop det er computeren god til (vi mennesker bliver hurtig trætte).
Nej computere kan ikke regne med uendelig store tal - enig - derfor nævnte jeg det med gåseøjne, tallene er så store at de virker "uendelige".
Ellers enig i at computerens arbejde med store tal viste sælsomme gentagne mønstre var noget sludder - som så mange andre ville jeg heller ikke tro på hvad jeg rent faktisk så.
Ligesom den ufo jeg rent faktisk så for nogle år siden - jeg tror ikke på hvad jeg så.

Re: Ydmyg

Anders

En regneopgave er et tal.

Re: Fraktal

Ligesom den ufo jeg rent faktisk så for nogle år siden - jeg tror ikke på hvad jeg så.

To minutter

Niels
Nej der blev ikke budt på kaffe.
Men godt to minutter var alt hvad jeg fik til at observere i:
Den hang over hovedet som en stor oval lysdims - lydløs og hvilende.
Så - bevægelse i en lydløs spiral og væk i synsretningen.
Det var alligevel en tand for mærkeligt, og jeg kan ikke forliges med hvad jeg så.

Lighed

Anders
Et lighedstegn udtrykker almindeligvis at to størrelser er lige store. 8 = 8:
Tallet er sig selv lig.
2+6+3-5+17+1 = 24. Venstresiden er ikke eet tal, ikke engang een opgave -men derimod 5 opgaver (5 svarer til antallet af operationsangivelser).
At der er tale om 5 opgaver, skyldes at den matematiske opgave kun accepterer to led (og een operationsangivelse) i opgaven.
2/4:8/16, er 3 opgaver - og ikke en opgave bestående af to tal.
2/4+6-56*2:17, er igen 5 opgaver - og ikke noget med at kalde 2/4 og 2:17 for to tal.
Vores børnelærdom slår ikke helt til, omend den "fungerer" godt til vores alm. hverdagsbrug.

Komedie

Når vi debatterer matematikkens grundlag, går det ikke med sløseri - vi får enden på komedie, og det er matematikken der eksekverer dommen.
Så hellere lytte til naturens smukke melodier, de er aldrig falske.
Det er overvældende, ik?

Matematisk kvælning

Til alle
Vi har i denne tråd været omkring matematikkens grundlag.
Vil afslutte med et eks. og vise den eventuelle duelighed for en opstrammet enkel matematik:
16+2 = 18
16 er opgavens grundtal, + er opgavens operationsangivelse, 2 er opgavens operand, = er opgavens svar, 18 er opgavens resultat.
2 kaldes opgavens addent og denne lægges til grundtallet, så grundtallet vokser til 18 - kaldet opgavens resultat.

16+2 =
18 =
Ved en (meget) overfladisk betragtning er disse to opgavers svar det samme.
Forkert - det øverste har kun een (to) løsning, det andet har potentielt uendelig mange løsninger.

Derfor er en brøk ikke et tal:
et tal har potentielt en uendelighed af ligheder
en brøk har kun een lighed (eller to hvis brøkens egen lighed medregnes).

Arbejder vi sådan, kvæler vi smartness matematik i dets fødsel - så gerne at det var sket for længst.

Re: Matematisk kvælning

hvorfor tror du at 16+2= kun har en løsning, ud over påstanden kunne være falsk eller ikke være i stand til at beskrive virkeligheden, så er der da en uendelighed af svar man kunne sætte efter påstandstegnet ud over det som de fleste tænker på

Re: Matematisk kvælning

Er 18 overhoved et tal? det er jo en sammensætning af to tal, på hver sin position... Reelt er det en oplysning om at der er èn tier og otte enere. Når vi registrerer tallet 18, så læser vores hjerne reelt 1*10+8*1 = 18(base10), har vi tidligere i teksten fået oplysninger om at man kan formode at tallet er opgivet i 16-tals systemet, vil hjernen i stedet læse: 18(base 16) eller måske ligefrem 1*16+8*1 = 24(base 10)...

Reelt findes der kun 10 tal i 10-tals systemet (hvilket vel siger sig selv ud fra navnet, 10-tals system = et system der består af 10 tal)

Men matematik er lidt mere avanceret. I matematikken er A et tal, hvis det er defineret som et tal, på samme måde som PI er et tal der er defineret. 1 er kun et tal fordi vi tillægger symbolet en plads i 10-tals systemet og vi kan vælge at A er lig med 1. Hvis vi definerer A = 1/3 er A et tal, der har en værdi og 3*A er ligeledes et tal, da A er defineret.

Symbolet 1 er bare en værdi som vi tillægger og har derfor ikke noget med matematik at gøre 1/3 er lige så meget et tal som 3/1... Og "3/1 =" har nøjagtig lige så mange sande løsninger som "3 ="

...sikke noget...

...kalder ikke Dronningen for Australier ...men hvad nu hvis hun er det ?

...så benægter du det stadig ! Det her minder lidt om standup humor...

titalssystemet

hvis vi har titalssystemet fordi vi har ti fingre, hvor kom nul så fra, eller hvilken finger er det?

???????

Hvem i alverden er kompetent til at afskaffe brøktallene? Önsket ligger vel i overskriften -brøktallets endeligt- og er efter min mening lidt afsporet.
Vi har gamle målesystemer som bygger på brøktallene. Sålænge de er i brug er resten kun tom teori.
Måleenheden "tomme" findes stadigvæk. Derfor er der brug for betegnelsen 1/4". 1/2", 3/4" osv. for stålrør med gevind. De rør er efter min mening ikke til at afskaffe.
Brøktallet er en del af vores tekniske kultur!

Sitdown humor

@Kim:

Du har bevist een, og kun en ting for mig: Du lever i dit eget yderst særprægede univers, og har kun drypvis kontakt med den virkelige verden.

Hvis du vil opretholde din påstand om at 1/3 ikke er et eksakt tal, så forklar venligst følgende:

3 * 1/3 = 1.00000.......u0

Så ved at gange et ikke-eksakt tal med tre, får man et eksakt tal ? Hvorledes går "ueksaktheden" på hver af de tre trediedele ud mod hinanden ?

Og denne gang kan du ikke beskylde mig for "at shoppe rundt" mellem forskellige talsystemer - selv om jeg NATURLIGVIS er i min gode ret til at gøre det !

Nu skriver du så meget flot, at 16 + 2 = 18, og du gennemgår på begynderbørnehaveklasseaspirantassistentlærlingeniveau regnestykkets opbygning (og laver et par fejl eller tre undervejs, men skidt...). Hvorefter du påstår at det (godt nok i parantes) kan have to løsninger ? Hvad er den anden løsning ?

Som om det ikke var nok opstiller du også "regnestykket" 18 = , og påstår frejdigt at det har uendeligt mange løsninger. Nu vil jeg ikke være så urimelig at bede dig opremse dem alle - men kunne du ikke prøve at nævne blot en 5 - 10 stykker ?


@ Kurt

Hvor nullet kommer fra kunne jeg godt komme med et bud på, men det her er jo stadig en forholdsvis pæn forsamling, så ...

Niels

Re: titalssystemet

Nullet er faktisk en helt fantastisk opfindelse og har nok skabt den moderne mattematik :) Hvis ikke man havde fundet på et symbol for ingenting og gjort det som en del af talsystemet, havde vi sikkert stadig regnet med romertal eller tilsvarende talsystemer... III + II = V og 2 * V = X... Det er endnu mere logisk når man ved at "kvadratroden af XVI" = IV :)

16+2 =

Kurt
- Har kun een løsning: 18.
Begrundelse.
Erstatter vi 18 med andet, ville vi være tvunget til at benytte et ulighedstegn (16+2 er ulig 20) - eller - da et spørgsmål grundlæggende fordrer et svar, kan et nyt spørgsmål ikke være opgavens løsning (16+2 = 14 + 4).
Det er ikke forbudt at stille nye spørgsmål, men dette er ikke opgavens løsning (men nye spørgsmål kan nemme - for os - en løsning).

Brøk tallet

Peter/Bernhardt
Jeg ønsker ikke brøken afskaffet, kun smartheden ved at kalde den et tal.
Som du skriver er brøken meget nyttig - enig - men er Dronningen Australier og ER brøken et tal, ændrer jeg gerne attitude men først efter rimelige argumenter. Smartness accepteres ikke gerne.

Re: 16+2 =

det kan du jo kun gennemskue fordi regnestykket er så simpel, et hvert regnestykke er jo en påstand der står til prøvelse i virkeligheden
desuden kunne man komme ud for at det eneste rigtige resultat man kunne skrive på den anden side af lighedstegnet er 1/3, er regnestykket så uløseligt?
matematik er altså ikke virkeligheden, men en meget god måde at beskrive den på, og selvfølgelig skal man vide hvordan den anden regner for at forstå dennes opfattelse af virkeligheden, så hvis det er vedtaget at 1/3 er et tal, så er det et tal, eller snakker man ikke inden for det rammer man vil beregne sammen med andre, eller også skal man sende en forklaring med hvergang man sender noget

18

Michael
Er 18 et tal. Eller to tal. Eller uendelig på højkant og et tal. Eller 81 læst bagfra. Eller ............
Jo 18 er et tal (der er genbrug af 1 og 8, men har ikke noget med værdierne 1 og 8 at gøre (når operationer udelades). 18 udtrykker en selvstændig kvantitet, der ikke kan skrives ved noget andet tal. 18 er noget ganske særligt, nemlig sig selv (lige som alle andre tal er noget særligt).
Så 18 er eet tal, og ikke noget andet.

Brøk

Michael
En brøk er ikke et tal, og her hjælper nok så mange definitioner ikke.
Brøkstregen duer ikke som en del af et tal, da det er en operationsangivelse og sådanne har intet med tal at gøre og er selv kvantitativt ubenævnte.

Kompetent

Peter
- til at afskaffe brøken - hvem er kompetent til at indføre den.
Har ikke megen kompetance, men så gerne at den ikke tillægges smartness egenskaber.

Leg

Niels
Børn er gode til at lege, og læser vi videnskabens personalehistorie går dette træk igen hos ganske mange af de store.
Så du må ikke smigre mig ved at se mig som et barn - det fortjener jeg ikke.
Jeg vil vise dig en smule matematikleg.
3*1/3 =
Her har du opstilling af to opgaver: Det ses nemmere af 3*1:3.
Vi løser dem med (3*1):3 eller 3*(1:3). Bruger vi en flink lommeregner fås samme resultat: 1
Første metode foretrækkes på grund af vores decimalbøvl.
1/3 er ikke et tal, læs lidt i tråden.

Nul

Michael
Prøver igen
Enig i at 0 er en glimrende opfindelse, også ALTET er det.

Re: 16+2

Kurt
Også 284663746500387726155473625366645322273+444736453421129444 =
har kun een løsning (eller evt. resultatets egenhed).
Ikke noget med smartness her.

tillige

Kurt
Efter evt. indsættes tillige.
Ved ikke om det er smart, men det er i ald fald uden smartness.

Re: 16+2

jo jo, men svaret var at det ikke kunne beskrives anderledes end (lad os her sige) 1/3, er det så ubrugeligt smartnes, eller en virkelighed der ikke kan beskrives fyldestgørende matematisk

Brøkregning

Kurt
øh, 2/3 - 1/3 = 1/3
Vi kan udmærket regne med OPGAVER, og her er 1/3 svaret/resultatet.

Derimod forventes 2 - 1 = 1, her ville vi ikke svare 1/1 ved resultatsangivelse.

Øverst forventes ikke: 0,333333.......

Det ene er talregning, det andet er opgaveregning.

Men din opmærksomhed er helt fin.

Re: Brøkregning

det kommer da an på hvad man vil prøve på at illustrere med regnestykket
det kunne være at der var en pointe i at vise at en var ud af en og ikke 2/2
det er jo kun fordi vi ikke har virkeligheden med at det ser åndsvag ud
for du antager at det der skal forventes er det som man normalt forventer, men det er jo virkeligheden der bestemmer hvad der er den rigtige måde at vise resultatet, og ikke ens forventninger til en vanetænkning for hvordan førsteklassesregnestykker ser ud

Brøkregning

Kurt
Jo såmænd,
i den rene brøkregning ikke bare forventes brøker, men brøken er ligefrem et krav.
I den rene talregning - på samme vis.
Så her kan vi slette forventningen.
Og snip snap snude, så er Kim Sahl ude

To

Niels
Du har rigtig opdaget en fejl.
18 =
har kun een (ikke to) løsning : 18 = 18
18 er et tal og disse er sig selv lig.
16+2 = er en opgave, og har som opgaveregning uendelig mange løsninger.
Mener du der er flere fejl så lad os se dem.
I dansk fik vi 25 øre når vi opdagede en fejl i læsebogen - og så gik jagten ind.

Løsning

Opgaveregning og talregning.
18 =
har som talregning een løsning resultatet 18, som opgaveregning resultaterne 16+2, 27-9, 3*6 m.v. uendelig mange.
Men sådan er vi jo ikke opflasket matematisk, så med De Nattergale der synger lad det ligge/lad det ligge/lad det ligge klarer vi os nok uden al den nørderi.

Spild af tid

Jeg ved godt at følgende vil være spild af god tid; men alligevel:

Forestil dig en tallinje, vælg et punkt (et tal) på tallinjen, f.eks 1/3 (resultatet af det du kalder regnestykket 1:3).
Dette tal kan nu skrives på mange forskellige måder (repræsentationer). Det kan f.eks. skrives som 0,333u eller 0.1 base 3 eller 10/3 -3. Disse repræsentationer udtrykker det samme, det er bare forskellige måder at udpege det samme punkt på tallinjen på.

Din skelnen mellem tal og udregninger er helt vilkårlig og meningsløs i matematisk sammenhæng.

Som tidligere omtalt i tråden kan f.eks. 18 ligeså godt kaldes et regnestykke som det kan kaldes et tal.

Re: Spild af tid

Jeg ved godt at følgende vil være spild af god tid;

Tidsspilde

Per
Det er ikke tidsspilde at forestille sig en tidslinie.
Liniens grundlæggende egenskab er at den er potentielt uendelig lang, og at ingen punkter kan angives meningsfuldt uden en 0 angivelse!
Alle punkter usammenfaldende med 0 er nu benævnt "værdier".
Vi afsætter "1", og kan vi det - kan også 2 afsættes o.s.v.
Da en fordobling kunne afsættes, kan også en halvering afsættes (disse afsættelser er matematisk symmetrisk korresponderende og er ligeberettiget) - og da fordoblingen 2 ikke er en brøk (er ikke en opgave men et tal), er halveringen også et tal 0,5.
Linien kaldes en tallinie, en opgavelinie inddrager operationssymboler og er en lidt anden sag men heller ikke denne er tidsspilde.

Spild

Anders
Lad os spilde lidt tid:
På tallinien har vi angivet "1".
Mellem 0 og 1 findes potentielt uendelig mange tal, disse kan ikke alle angives - derfor er det alene et potentiale.
Hvor mærkeligt det end lyder er talangivelser her afhængig af tiden.
Kvantiteten 1 er diskret, kvantiteten der optræder mellem 0 og 1 er kontinuerlig. Begge disse størrelser er tilknyttet tiden, og det er måske endnu mærkligere.

Never argue with a fool

People might not notice the difference !

Ha' det fortsat fornøjeligt - jeg trækker mig fra denne streng nu !

Niels

P.S. Kim, hvor køber du dit hash - det er godt nok stærke sager !

Hashtåger

Niels

Jo det er lidt tåget, som det sædvanligvis altid er når nye ideer ser dagens lys.
Men Carl Nielsen har skrevet den smukke "Tågen letter".
Hav det godt.

Re: Brøktallets endeligt

I matematikken kaldes en brøk et tal, f.eks. 1/2.

Dette er i strid med tallenes grundlæggende egenskaber, hvorfor vi må aflive brøktallet:

Brøk

Aage
En brøk har stort set ikke tallenes egenskaber:
Alle brøker har en tæller og en nævner - fænomener der er ukendte ved tallene. En brøkstreg er en integreret del af enhver brøk - et fænomen der er ukendt ved tallene. I en brøk indgår to størrelser (tæller og nævner), i et tal indgår aldrig mere end een (tallet selv). Reglerne i brøkregning er ganske anderledes end reglerne i talregning, blot et eks.
To brøker multipliceres ved at gange tæller med tæller og nævner med nævner. Dette er helt fremmed for to tals multiplikation, her multipliceres tallene blot. Kun der hvor vi fokuserer på brøkens to tal finder vi "fælles" egenskaber med tallene - ikke så mærkeligt da tal er tal lig.
Når tallene udsættes for operationer, kalder jeg det talregning.
Når brøker udsættes for ditto, har vi opgaveregning.
Brøker vil ikke kaldes tal, lige så lidt som et tal altid frabeder sig at blive kaldt en brøk.

halv

hvad er det du ikke forstår ved talværdien "en halv liter mælk"
er det mere forståeligt med to liter mælk
er der et skjult regnestygge gemt du skal regne ud før du kan hælde op
og skal du så også regne for at hælde to liter op
er det bedre at skrive 0,5 eller 1,5 i stedet for 1/2 og 3/2

Mælk

Kurt
0,5 l og 2 l mælk har samme kvalitet men forskellig kvantitet.
Vi kan da godt angive kvantiteterne som 1/2 l og 10/5 l.
Vi gennemskuer straks sagens rette sammenhæng.
Mindre godt er 4536/2268 l og 0.01254+1,98746 l
0,5 l og 2 l er talangivelser, de andre er opgaveangivelser.
Så umiddelbart ingen forståelsesproblemer, og der er ikke behov for smartness her.

Hæ

Hvor kom det nummer fra?

Tal

Tallene kan angives som brøker, siges det:
1 som 1/1 2 som 2/1 3 som 3/1, eller som f.eks. n/x (n = et tal og x = 2/2 ) o.s.v. At kalde brøker for tal udfra noget sådant er ikke engang smart men plat.

Så kan tallene også angives som multiplikationer:
1 som 1*1 2 som 2*1 3 som 3*1, eller som n*x (n = et tal og x = 0).

Således naturligvis også talangivelser ved addition og subtraktion.
Indholdsløst og stort set intetsigende plat.
Men hvad der for den ene er lavt, kan for andre være en åbenbaring.

Mere interessant må det være at opklare hvorfor matematikken driller os, hvorfor der er størrelser der kan angives eksakt og andre ikke.
Der er mange tiltag, kardinaltal integration afrunding m.v. der alle forgæves forsøger at angive noget ueksakt - eksakt.
Smartness matematik giver ikke svaret på om hvorvidt det er muligt, omend den giver et tilnærmet svar - og et tilnærmet svar er ikke tilfredsstillende.

Re: Tal

sjovt nok er 2 tit 2*1, selv om det også godt kan være 2pi, men det er jo også 2*1 hvis man ser på det som en enhed

Antal

Kurt
Alt hvad der har eksistens er tilknyttet et matematisk fænomen: antal.
ALTET optræder i et antal: 1
Antal er altid diskrete, og som man siger "Antal er absolut".
Pladserne i folketinget er 179 - ikke 178,561
Regning med antal er sjovere end regning med de til tider besværlige matematikkens øvrige kvantiteter.
Nu skal vi til valg, og her skal vi bare kunne tælle til 179.

jeps

...179 x 1 person Tak!

For at finde flertallet skal man tælle den unionsmængde af hele enige personer hvor antallet er er større end 89 x 1 person + 1 :o)

Kim, Tal er et abstrakt begreb et værktøj der anvendes til at kommunikere med og forstå størrelser og begreber.

At tillægge tal i sig selv egenskaber som du gør det er måske morsomt for dig , men er fuldstændigt uden mening for os andre.

Det er fuldstændig som at høre Valomanden beskrive en vaskpulverkarton, hvor den karton gav ham et livsindhold der var aldeles uforståeligt for os andre.

Det er muligt at grækerne, pythagoræerne, andre der lagde grundstenene til vore dages matematik havde en opfattelse af tal var noget gudgivent.
Efter Newton er den æra forbi.

Hvad er resultatet?

Hej Kim

Du skriver: "Mindre godt er 4536/2268 l og 0.01254+1,98746 l" ... er " opgaveangivelser".

Kan du ikke lige bergene "0.01254+1,98746 l" for mig - jeg er lidt slap i koden idag.

-Eivind

Re: jeps

Hej Bjarke

"Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk ('De hele tal har Gud skabt, alt andet er menneskeværk')" citat af Leopold Kronecker

Mere på flg. link:

http://www.denstoredanske.dk/I...cker

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

Tal

Bjarke
Jo såmænd er tal bare et navn - og har kun egenskaben navn.
Et navn dækker altid over omfanget af et indhold, og netop sådanne indhold har egenskaber. F.eks. tal. Så det er indholdet og ikke navnet der her er til debat.
En ny tråd kunne debattere navnet, her vil jeg ikke gøre indsigelser - mine indsigelser gælder alene det indhold den "materie" som navnet tal (bør) omfatte.
Hvad med 44,75*4 mennesker i folketinget.
Tolnø skriver at 1 "opfattes som klodset" at skrive, så derfor 179 mennesker tak.
VH Valomanden

Sprog

Peter
"Universet er skrevet i matematikkens sprog" - Galilæi
Er vel matematikkens mest berømte sætning.

Sløv

Eivind
Her ses et det ikke altid er en fordel at angive et resultat som en opgave.
Sløve padde - 0,5 og 2

Matematisk kontekst og Kims udfordring.

Hej Kim og alle andre der interessere sig for tal.

TAL:

Hermed menes almindeligvis et reelt tal, undertiden et naturligt tal.

De naturlige tal (hele, positive tal) er tallene 1, 2, 3,... De er tilstrækkelige for sædvanlig tælling og angivelse af endelige samlinger genstande, og de danner grundlag for opbygning af andre talområder.

De naturlige tal er organiseret ved kompositionsreglerne addition og multiplikation; det betyder at summen og produktet af to naturlige tal også er et naturligt tal. Subtraktion fører derimod uden for de naturlige tal; der findes således ikke noget naturligt tal, der er lig med 3 - 5.

Denne mangel udfyldes ved at supplere de naturlige tal med med tallet nul og med de negative hele tal. I det fremkomne talområde, de hele tal, har man kompositionsreglerne addition, multiplikation og subtraktion, d.v.s. at sum, produkt, eller differens af to hele tal er selv et helt tal.

Dette gælder imidlertid ikke for division. F.eks. 5 : 3 ikke et helt tal. En anden formulering af denne mangel er, at en ligning af formen nx = m, hvor n og m er hele tal ikke altid har en løsning, når den ubekendte x forlanges at være et helt tal.

Konstruktionen af de rationale tal (brøker) løser denne vanskelighed. Et rationalt tal er af formen m/n, hvor m og n er hele tal, og n forskellig fra 0. De hele tel er rationale tal med nævneren n lig med 1. De rationale tal er organiseret ved aritmetikkens fire fundamentale operationer som kompositionsregler: additions, subtraktion, multiplikation og division, og de tillader løsninger enhver ligning ax = b, hvor a og b er rationale tal, og a ikke er nul. De rationale tal repræsenterer et hovedpunkt i udvidelsen af talbegrebet. De danner et tallegeme og er fuldt tilstrækkelige til mange formål.

En vanskelighed viser sig ved måling af længder. der findes liniestykker, hvis længde ikke kan udtrykkes som rationale tal, f.eks. hypotenusen i en retvinklet trekant, hvor begge kateder har længden 1. Et andet udtryk for denne vanskelighed er, at ligninger som f.eks. x^2 = 2, x^2 = 3 og x^2 = 5 ikke har løsninger, hvis den ubekendte x skal være et rationalt tal. Denne vanskelighed løses ved at konstruerer de reelle tal. Disse tal omfatter de rationale tal og de irrationale tal som f.eks kvadratrod 2. Ligesom for de rationale taler aritmetikkens fire grundlæggende operationers kompositionsregler inden for de reelle tals område. Men når de reelle tal afbildes på en abscisseakse (lineær skala), udtømmer de alle punkter på denne, og de kan følgelig bruges til måling af enhver længde. Denne egenskab, og den ordnede mængde af reelle tal kaldes et kontinuum.

Reelle tal repræsenteres som regel i et titalssystem, idet det er nødvendigt at tillade uendelige decimalbrøker for at omfatte alle tal. De rationale tal viser sig på decimalform enten som endelige eller uendelige decimalbrøker.

Udover inddelingen af de reelle tal i rationale tal og irrationale tal kan man dele dem i algebraiske og transcendente tal. Et algebraisk tal er et, der er rod i et polynomium (med rationale koefficienter); et eksempel herpå er kvadratrod 2, som er rod i rod i x^2 - 2; et andet eksempel er den 3. rod af 5, der er rod i x^3 - 5.

Et transcendent tal er et reelt tal, som ikke er algebraisk; fremtrædende eksempler herpå er tallene pi og e (de naturlige logaritmers grundtal). Det er i regelen en vanskelig opgave at bevise, at et forelagt tal reelt tal er transcendent.

Mange grene af matematikken giver ikke behov for en udvidelse af de reelle tal. En algebraisk mangel ved de reelle tal er i at visse algebraiske ligninger, f.eks. x^2 - 1 i kke har reelle løsninger; det er derfor nyttigt at foretage en yderligere udvidelse til komplekse tal. De komplekse tal tillader løsning af denne type ligninger; der gælder endda, at enhver algebrarisk ligning har rod i de komplekse tals område.

Medens de reelle tal kan tænkes fordelt på en ret linie, kan man tænke sig de komplekse tal fordelt over hele planen, hvorved hvert komplekst tal repræsenteres ved retvinklede koordinater. Men de komplekse tals fordele koster en pris; den lineære ordning, som er et iboende træk ved ved de sædvanlige tal, er tabt ved de komplekse tal.

Videre, betydningsfulde udvidelser udover de komplekse tal eksistere, men sådanne tal er af en mere avanceret natur er ikke i almindelig brug. (Overstående beskriver ikke den historiske rækkefølge; f.eks indførtes negative hele tal langt senere end positive rationale tal). Der findes også generalisationer af talbegrebet i en anden retning, udgående fra de naturlige tal. Det drejer sig om udvidelsen til de transfinite tal (uendelige kardinaltal og ordinaltal) og den transfinite aritmetik for disse. Denne retning fører til problemer i forbindelse logik og med matematikkens grundlag.

Overstående tekst er saksset fra Matematisk Opslagsbog fra Politikens Forlag 1986. Nu på nettet. Forbehold for slåfejl.

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

Re: jeps

Tak for linket Peter V. H.

Mange kendte forskere var religiøse, således også Newton der på et tidspunkt studerede teologi. Ligeledes var både Einstin og Bohr religiøse.
erindre "Gud spiller ikke med terninger", Bohr!

Kroencker levede jo for hundrede halvtreds år siden og har givet også være religiøs.

Hans udtalelse opfatter jeg som en betragtning over og af, hvor let det er at operere med de hele tal, fremfor at skulle gå de algebraiske omveje for at beskrive og forstå verden omkring os.

Re: jeps

Tak for linket Peter V. H.

Mange kendte forskere var religiøse, således også Newton der på et tidspunkt studerede teologi. Ligeledes var både Einstin og Bohr religiøse.
erindre "Gud spiller ikke med terninger", Bohr!

Kroencker levede jo for hundrede halvtreds år siden og har givet også være religiøs.

Hans udtalelse opfatter jeg som en betragtning over og af, hvor let det er at operere med de hele tal, fremfor at skulle gå de algebraiske omveje for at beskrive og forstå verden omkring os.

Religiøs

Maxwell sagde at det var noget større end ham selv der havde skabt de 4 ligninger - som han skabte.
Det er en sådan "religiøsitet" mange af de store kunne nikke genkendende til, og ikke den barnelige udgave hvor vi lægger tilværelsens store spørgsmål i hænderne på fatter Gud.
Som barn/ung var Einstein naiv religiøs, men fra 11 årsalderen var det slut - han troede ikke mere på de mange af Bibelens fortællinger.
Bohr meldte sig ud af folkekirken umiddelbart før brylluppet med Margrethe.
Også H.C.Andersen var "religiøs", især i en poetisk kærlig Gud.
Ægte religiøs var derimod S.Kierkegaard, i den betydning at han tog religiøsiteten alvorligt - og revser den statsansatte præst der "leger religion".

Status

Peter Vind
Det var da på tide at få tallenes status på banen.
Udmærket fremstilling.
Den viser en naiv udvikling, først positive tal - når vi så er i bekneb udvides med de negative - når vi så er i bekneb nye tiltag o.s.v.
Hertil tilføjes også udviklinger baseret på ren abstraktion, udviklinger der ikke er afstadkommet af bekneb-problemer.
En anden udvikling ville kunne have fundet sted hvis man fra start havde satset på et stærkere fundament, det fundament naturens matematik benytter sig af. Men hvad er dette fundament, og hvorfor driller naturen os med genstridige ueksakte kvantiteter som vi så gerne vil angive eksakt.

Klaver

Når vi lærer at spille klaver, opdager vi at de hvide tangenter er tilstrækkelige. Men så en dag - hov - vi er i bekneb og må benytte os af en sort tangent. Nu troede vi lige et de sorte var overflødige.
Med tiden opdager vi at alle tangenter er ligeberettiget, og har været det siden Bachs tid. En klaverstemmer har dog nogle kneb for at få ligeberettigelsen til at fungere: Han stemmer en smule falsk.
Som med tangenter således også med tal, de positive/negative tal er matematisk fuldstændig ligeberettiget (og her blander ingen klaverstemmer sig med falskhed). Her begår matematikudviklingen en af sine første og store bummerter. Alligevel opbygges matematikken herpå, og snart skal smartness matematikken se dagens lys.

Tommer!

Er sgu godt nok, sådan nogle Franskere skal ikke komme her og spille smarte

Regnearterne

- De grundlæggende regnearter er to, addition og subtraktion.
De har kun og alene eksistens samlet som: modsætninger.
Multiplikation og division er bekvemme afledninger, og har ikke status som "grundlæggende".
Vi får ikke en smuk komposition ud af at kalde snart sagt alt for tal og "grundlæggende".