Debat : Kan D isoleres?

16. mar 2008 kl 17:32

Kan D isoleres?

Det går jeg kraftigt ud fra, men jeg kan altså ikke lige finde ud af det. Spørgsmålet er om det hele ender med at blive et trediegradspolynomium, en andengradsligning, om det kun kan løses ved iteration (hurra for min HP lommeregner med solverfunktion!),eller om det i virkeligheden kan gøres enklere? Jeg har udtrykket for volumenberegning af en cylindrisk tank, med to halvkugleformede ender. Lad "l" være længen af cylinderen (uden enderne): "D" vil være den eneste ubekendte i ligningen.

V=pi/4*D^2*l+pi/6*D^3

Inden jeg nu får hug for ikke at have fulgt godt nok med i matematiktimerne, må jeg hellere tilføje at jeg ikke er ingeniør, og at dette er noget udover min formelle uddannelses matematikniveau. Så jeg håber at kunne få lidt hjælp her. Det behøver ikke være hele det matematiske bevis, eller en forklaring med en masse matematiske fagtermer i. Bare ligningen reduceret mest muligt med D isoleret, så den er lige til at taste ind på en lommeregner uden solver ..;-)

16. mar 2008 kl 19:15

Thor Bych

nej :D

Hej

Nej, D kan ikke umiddelbart isoleres..

Det er ganske rigtigt en 3. gradsligning (polynomium) og der findes da også løsningsmetoder til disse i hånden, bare ikke nogen på den type ligning der har et "led" uden den variable (D) - hvilket vil være tilfældet når du trækker V over..
Denne type ligninger løses numerisk vha. lommeregner eller pc.

Jeg kan dog tage fejl, skyder fra hoften her hehe

16. mar 2008 kl 20:36

Henri Nielsen

Re: nej :D

Hej

Det bliver ganske rigtig et 3. ordens polynomium, og det kan bevises at alle polynomium til og med 4. orden kan løses eksakt, men hverken løsningen til 3. ordens og slet ikke 4. ordens ligninger er særlig kønne. :)

Så din nævnte lignig vil kunne løses i et vilkårlig symbolsk matematik program, hvis du adgang til sådan et. Ellers kan løsningen også nemt findes numerisk.

16. mar 2008 kl 21:19

Jonas Hansen

Vha. Maple

Jeg har smidt formlen ind i Maple (matematikprogram), og bedt den om at isolere D. Det er ikke noget problem for programmet, men svaret er ret langt. Som de 2 andre har skrevet, fås flere mulige svar (i dette tilfælde 3), og man må da argumentere for hvilket man vil vælge. Hvis du har nogle specifikke tal for V og L er det ret nemt (med Maple eller tilsvarende) at finde D, ellers fås en lang smøre. Jeg har lavet et billede af udregningerne i Maple, håber de kan bruges til noget:
http://aycu35.webshots.com/ima....jpg

Som forventet fås 3 meget lange svar, og efter at simplificere dem fås noget, der er nogenlunde til at have med at gøre. I de sidste 2 svarmuligheder indgår komplekse tal, og de vil derfor muligvis kunne kasseres. Prøv derfor at bruge den 3. nederste linje, hvis det ikke virker, så skriv igen (jeg svarer dog næppe, da jeg er på ferie i næste uge, men der er nok andre der læser dette, som har mod på at hjælpe).

Mvh. Jonas.

17. mar 2008 kl 00:38

Rolf Stribolt Andersen

Herre du milde gud :)

René, du skriver at du ikke er ingeniør, så du er undskyldt. Men alle de andres svar med deres programmer og numeriske løsninger .....

Ok, jeg er fra en generation, der voksede op med formelsamlinger, regnestokke og logaritmetabeller. Og jeg kiggede lidt i min gamle formelsamling, hvor løsningen på en tredjegradsligning selvfølgelig står på en af de første sider.

Du kan nemt reducere din ligning til formen:

x^3 + a*x^2 + b*x + c = 0

Så kan man glæde sig over, at b = 0 i dit tilfælde, og vi kun leder efter reelle løsninger, så derfor kan man lade:

Q = -a/9 og R = -(27*c + 2*a^3)/54

Derefter er:

S = rod 3 af [R + rod 2 af (Q^3 + R^2)]
T = rod 3 af [R - rod 2 af(Q^3 + R^2)]

og den eneste reelle løsning er:

x = S + T - a/3

Der er "naturligvis" en del undtagelser afhænging af om diskriminanten (Q^3 + R^2) er større end, lig med eller mindre en nul, men nu bliver det indviklet.

Se evt. Murray R. Spiegel: "Mathematical Handbook", eller en anden formelsamling.

Og ja gu' er det indviklet, men det var sådan vi lærte at løse tredjegrads-ligninger i 70'erne.

17. mar 2008 kl 19:06

René Hansen

Re: Herre du milde gud :)

Jeg ved faktisk ikke lige akkurat hvad begrebet "numerisk løsning" dækker over, men gætter på at det er hvis man regner med konkrete tal istedet for symboler, eller også at det er det samme som iteration?

Problemet med at læse sig til sådan noget, er at der ikke findes (eller jeg ihvertfald aldrig har kunnet finde) bøger der der lige gider forklare undervejs hvad begreberne dækker over, det forudsættes bekendt fra et eller andet semester jeg aldrig havde ;-)

Hvis jeg skal reducere udtrykket
V=pi/4*D^2*l+pi/6*D^3
til
x^3 + a*x^2 + b*x + c = 0
vil det så svare til at c er V, a er pi/4? Så er der lige leddet pi/6, som jeg ikke umiddelbart kan se hvordan jeg slipper af med? (x er selvfølgelig D).

18. mar 2008 kl 01:47

Rolf Stribolt Andersen

Re: Re: Herre du milde gud :)

Jow ... en numerisk løsning, som foreslået tidligere i strengen, betyder: "prøv dig frem, indtil du synes det passer". Det er det, mange lommeregnere kan gøre.

Lærebøger i matematik burde kunne findes på et velassorteret bibliotek - i mit tilfælde var det på allerførste semester på DTU efter gymnasiet.

Og ja, i dit tilfælde er c det samme som V, dog med modsat fortegn, når du flytter det over på den anden side af lighedstegnet. pi/6 slipper du af med ved at gange hele ligningen med 6/pi ... men nu er vi altså nede i almindelig gymnasie-matematik, med al respekt.

18. mar 2008 kl 02:10

Rolf Stribolt Andersen

Re: Re: Re: Herre du milde gud :)

Og pisssst: 'a' i din ligning er: (pi/4)*l*(6/pi)

... god fornøjelse ;)

18. mar 2008 kl 09:15

René Hansen

Tak for hjælpen!

Så er der lidt at sidde og prøve sig frem med her. Klart nok med 6/pi, når man lige får lidt starthjælp til at se det!
Og psst: det meste af alt hvad jeg kan ud over folkeskoleniveau har jeg selv kæmpet med at samle op, med lidt hjælp her og der. (Jeg slap igennem en mellemteknikeruddannelse uden studentereksamen. Så jeg lærte mere at bruge formler, end at forstå at udlede dem selv). Tak fordi I gad!

Log ind