Det ses let, at 1.000.009 = 1000^2 + 3^2.
Kan man finde to andre tal a og b, så 1.000.009 = a^2 + b^2, så havde Euler en metode til at vise, at 1.000.009 ikke var et primtal. Det er dog ikke umiddelbart indlysende, om der findes tal a og b, der opfylder betingelsen.
Euler fandt dog frem til tallene: a= 972 og b=235. Hvordan han gjorde det, vides ikke.
Civilingeniør Harald Friis Madsen har sendt redaktionen en redegørelse for, hvordan Euler muligvis har tacklet problemet.
"Hvordan Euler stødte på den anden opdeling, har han ikke beskrevet. Talmesterens uhyre talsans og fænomenale hukommelse er forbløffende, men hvad der gør mysteriet endnu dybere er, at på den tid var Euler i halvfjerdserne, og han havde været fuldstændig blind i mere end ti år, og delvis blind længe før.
En egentlig mulig formelløsning er endnu i 2011 ikke fundet.
Men ved en forenklet fremgangsmåde er det muligt at løse problemet forholdsvis let ved et par enkle regningsforsøg."
Se hele Harald Friis Madsens fremgangsmåde her.
Nu er det læsernes tur. Mon det var sådan Euler løste problemet?
Vi lægger spørgsmålet ud til jer læsere. Har du et godt bud på et svar? Så skriv det i debatten nedenfor. Vi følger alle jeres gode bud i debatten.
Læs og stil spørgsmål til Scientariet
En Euler-episode af Harald Friis Madsen
Man kan også tjekke om mindst et af primtallene op til kvadratroden af tallet går op i det. Altså, er der et primtal mindre end 1.000 som går op i 1.000.009?
Selvfølgelig kræver det en røvfuld udregninger, men måske er det alligevel mere effektivt end bare at gætte sig frem til a^2 + b^2. Der er trods alt "kun" 168 primtal mindre end 1.000.
Er der ikke et primtal under 1.000 som går op i 1.000.009 er det et primtal.
"Kan man finde to andre tal a og b, så 1.000.009 = a^2 + b^2"
Et heltal c med egenskaben c^2 = a^2 + b^2 har sikkert et navn (Fermat-tal?), men primtal hedder det ikke! Og hverken 927 eller 235 er primtal, hellere.
Gorm, det virker som om du slet ikke har læst artiklen ?
,
Hvordan viste Euler, at 1.000.009 ikke er et primtal?
Han ville ikke have trykt tallet som et primtal i en bog, hvis han havde vist det.
Det var nok en af læserne som sendte en rettelse til ham.
Læseren havde nok en masse studende til at arbejde for sig.
I gamle dage brugte de vel ofte "brute force" til at bevise ting, eller hvad tror i?
Dvs for at vise at N er et primtal på den "barske" måde prøver man at dele N med alle primtal op til kvadrat roden af N. Hvis et af regnestykkerne går op er N ikke et primtal.
Det største primtal som er mindre end eller lig med SQRT(1.000.009) er 997 ifølge http://en.wikipedia.org/wiki/List_of_prime...
Inkl. 997 er der så kun 168 divisioner som skal prøves - det er jo ikke noget særligt stort arbejde i en tidsalder hvor folk kunne bruge år på at fremstille tabeller for diverse formler. Efter 62 divisioner vil man forresten se at 1000009 kan deles med 293, dermed er det ikke et primtal.
Mvh.
Steen
Jeg kom til at skrive det samme som Patrick! Sorry. Helt enig!
Følgende er simpelt, dog med et uklart punkt...
Det ses let, at 1000009 = 1000^2 + 3^2
Benyt identiteten:(ac-bd)^2+(ad+bc)^2=(a^2+b^2)(c^2+d^2)
(det vides at Euler brugte denne ligning i forbindelse med magiske kvadrater)
Dvs. find a,b,c,d heltal >0 så: ac-bd=1000 og ad+bc=3
Dette har løsningen a=2,b=17,c=7,d=58.
(Det her er det uklare punkt, kan det findes simpelt?)
Hermed har vi:
1000009=(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(2^2+17^2)(7^2+58^2)=
(4+289)(49+3364)=293*3413
Thomas Egense
Manglede lige et minus foran d:
Dette har løsningen a=2,b=17,c=7,d=-58.
Dvs. find a,b,c,d heltal >0 så: ac-bd=1000 og ad+bc=3 Dette har løsningen a=2,b=17,c=7,d=58.
Jeg får ac-bd = -972 og ad+bc = 235, ikke hhv. 1000 og 3.
Dog er ac+bd = 1000 og bc-ad = 3.
Euler bruger en af sine egne sætninger (4n+1 sætningen), der siger, at et primtal p af formen p=4n+1 kan skrives entydigt som en sum af to kvadrater. Da 1000009 er 4*250002+1, er det kun et primtal, hvis det kun kan skrives på en måde som en sum af to kvadrater.
Da 1000009 = 1000^2+3^2 og 1000009 = 972^2+ 235^2 konkluderede han derfor, at 1000009 ikke er et primtal.
Jeg tilføjede en rettelse... d=-58 og ikke d=+58
(og betingelse skal være a,b,c,d != 0)
Men mysteriet i opgaven forstod jeg som hvordan han fandt de 2 tal 972 og 235. Det gør jeg rede for.
Torben, forklaringen på du fik resultatet ved at bruge d=58 i stedet d=-58 skyldes den 3.dobbelte identitet.
(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac+bd)^2+(ad-bc)^2= (ac-bd)^2+(ad+bc)^2
Den enkleteste forklaring er altid den rigtigeste.
Euler eller en af hans læsere slog op i en tabel med sammenlagtre kvadrattal, og fandt et sted i en spalte hvor der stod 1.000.009.
Du spøger formentlig.
Men hvis man skal finde to kvadrattal, der tilsammen skal give et tal, kan man bruge, at et kvadrattal altid ender på 0, 1, 4, 5, 6 eller 9. Så hvis summen skal ende på 9, skal de to kvadrattal enten ende på hhv. 0 og 9 eller 4 og 5. Så tallene inden kvadrering skal ende på enten 0 og 3, 0 og 9, 2 og 5 eller 8 og 5. Det indskrænker søgningen en del.
Man kan vel sagtens forestille sig at Euler havde en gedigen tabel over kvadrater. De anvendte jo også computere den gang, altså menneskelige. Ikke noget man fandt det værd at nævne.
Man kan vel sagtens forestille sig at Euler havde en gedigen tabel over kvadrater. De anvendte jo også computere den gang, altså menneskelige. Ikke noget man fandt det værd at nævne.
1000 kvadrattalt gange 1000, delt med 2 gentagelser, og med 500 tal på hver side så bliver det til (ca.) 1000 sider.
@Peter
Du har jo ret i det med at det er nemmere at bruge tabeller, hvis man har dem. Det har Euler med garanti ikke været bleg for. Og han har helt sikkert også været god til at delegere.
Det kan faktisk gøres med en tabel over de første 1000 heltals-kvadrater, ikke andet. Sådan en har jeg her på bordet. Ikke lavet på computeren, men på tryk i en bog fra "de gode gamle dage". Så det kan vi antage at Euler også havde.
Det væsentlige, som andre vist allerede har nævnt, ligger i 4m+1 teoremet: hvis et tal af den form er et primtal, så er det kun lig med een slags kvadratsum.
Så jeg har fundet en glimrende algoritme (som der ikke er plads til i marginen;) og med den har to af Eulers assistenter sikkert ordnet det på under en times tid. Uden papir og blyant.
Et rigtig interessant tal.
At finde heltal a og b så a^2+^b^2=1000009 er ikke
n^2 tidskomplekst. Det er kun sqr(n) tidskomplekst.
Du starter med x=1 og ser om 1000009-x^2 er kvadrat tal.
Det gør du for alle x op til sqrt(1000009/2)~=708
Hermed højest 708 udregninger.
I situationen her ville man have fundet løsningen allerede
efter kun 235 udregninger.1000009-235^2=944784=972^2
Jeg formoder kraftigt man havde en tabel over de første 1000 kvadrattal.
Så jeg er mest til den afmystificerede tabel-løsning kombineret med lidt
regne-slave arbejde. Tabellen bruges både til at finde x^2 samt se om
substraktionen giver et kvadrat tal. Så det er kun tale om 235 substrationer.
Derudover er 1000009 et let tal at lave substraktion fra.
@Thomas
Ja, det er næsten optimalt. Men der er to grunde til at starte fra toppen i stedet for:
(i) Vi skal ned til det kvadrattal der er nærmest 500 000, og det tager kun max ca. 300 den vej. (Det er ikke fordi jeg ved man rammer ved 972, det er naturligvis held.)
(ii) 1 000 009 = 999 999 + 10. Derfor kan man subtrahere pr. inspektion, ved at tage komplementet til 9 af hvert ciffer fra venstre af. Dernæst addere 10. Den ene assistent kalder disse cifre, et ad gangen, mens den anden assistent leder fra starten af tabellen (de små kvadrattal). Så snart der er et ciffer der ikke matcher kan de gå videre til næste tal fra oven.
Det eneste de skal passe på er når et af de store kvadrattal har 0 på næstsidste plads. Så skal der korrigeres, ikke hvad? Men det er kun et par stykker.
Det er altså, som du bemærker, et tal det er let at lave subtraktion fra.
Vi må jo gerne gøre matematikken underholdende her på Ing.dk. Da vi har løst "mysteriet" om hvordan Euler gjorde, så er jeg gået tidligt på fredagsbar.
Euler (E) tilkalder to assistenter (A1+A2).
- Jeg har en opgave til jer i dag, som jeg finder spændende. Jeg har på fornemmelsen at 1 000 009 ikke er et primtal, som de siger. Sæt jer ind i sidegemakket, tag kvadrat-tabellen ud af pengeskabet, og gør sådan: ... Jeg har bedt fru Hudson stille nogle colaer derind, og om at indskærpe staben at I ikke må forstyrres.
Fra sidegemakket høres assistenternes stemmer:
- Gimme 0 - Check!
- 0 - Check!
- 2 - Check!
- 0 - Check!
- 0 - Check!
- 8 - Next!
Euler vender tilbage til sine tanker, mens flere af hans talrige børn kravler rundt på ham.
- Hvordan var det nu, e^ipi, hvad kan det mon være...
- Faaar! Må jeg få en is?
- Ikke lige nu, skat!
- Hvad var det jeg kom fra, joh, e^ipi, skulle det mon være noget simpelt, det kunne blive elegant...
Pludselig:
- Gimme 0 - Check!
- 5 - Check!
- 5 - Check!
- 2 - Check!
- 2 - Check!
- 5 - Hot Dawg!
Euler fandt ikke ud af hvad e^i*pi er lig med den dag.
An inquiry into whether or not 1000009 is a
prime number
Leonhard Euler
Presented to the St. Petersburg Academy on March 16, 1778.
Tak til Søren Daniel Sørensen for at komme med en henvisning Eulers egen forklaring - som findes på arxiv.org sammen med den allernyeste forskning.
Jeg synes faktisk, at Eulers forklaring er enklere at forstå end den, som Harald Friis Madsen har lanceret, og som vi bad læserne diskutere.
Det beviser endnu engang rigtigheden af Laplaces udsagn: "Lisez Euler, lisez Euler, c'est notre maître à tous." - som sædvanligvis oversættes til engelsk på denne måde: "Read Euler, read Euler, he is a master for us all"
Lad mig så sluttelig afslutte med en henvisning til min artikel om Euler fra 2007 i anledning af 300 året for hans fødsel:
Kommentarer (21)