Riemann-hypotesen forklaret

Af Robin Engelhardt 5. nov 2011 kl. 15.00

Riemann-hypotesen er nok det mest berømte uløste matematiske problem overhovedet. Plotter man begrebet ind i Amazons søgemaskine, får man over 500 hardcover-titler som resultat. Årsagen er vel nok, at Riemann-hypotesen er tæt knyttet til fordelingen af primtal i talrækken af de naturlige tal, og primtal er, det ved vi alle, hele matematikkens uudgrundelige legeplads.

Matematikere har i årtusinder forsøgt at finde orden i primtal, men forgæves. Der er ingen regler for, hvor de står i talrækken, og man har ikke fundet nogen formler, der fortæller, om et ukendt tal er et primtal eller ej. Måske er det ikke helt tilfældigt, at primtal er så uforudsigelige, da de jo pr. definition er det, der er tilbage, når man fjerner alle mønstre. Primtallene er det grundfjeld, der står tilbage, når talrækken er splittet op i sine bestanddele, divideret til bunds så at sige, og alle repetitioner fjernet.

Det er derfor heller ikke overraskende, at det er muligt at konstruere hele talrækken ud fra primtallene, og her er Riemann-hypotesens zeta-funktion central. Den blev faktisk formuleret første gang af Leonhard Euler og er ikke andet end en veldefineret sum af de naturlige tal. Mere eksakt: tag hvert enkelt naturligt tal fra 1 til uendelig, opløft det til potensen s, tag den reciprokke af dette, og læg det hele sammen:

Summen zeta er endelig, hvis s er større end 1, og uendelig, hvis s er mindre end 1. Euler viste at denne sum er ækvivalent med produktet af alle primtal, hvor opskriften nu er: Tag hvert primtal fra 2 til uendelig, opløft det til potensen s, og efter lidt mere aritmetik ganges de alle sammen:

Det er ganske slående, at en sum over alle positive heltal og et produkt af alle primtal kan være så tæt forbundet, og Riemanns revolutionerende indsigt var, at hvis man erstatter det reelle tal s med et komplekst tal af formen a + ib, hvor i er kvadratroden af -1, og undersøger funktionens nulpunkter, vil man få et godt bud på fordelingen af primtallene blandt de naturlige tal. Riemann-hypotesen siger formelt, at alle ikke-trivielle nulpunkter i zeta-funktionen er komplekse tal med en realdel på ½.

Hvis hypotesen er rigtig, vil det betyde, at naturen har fordelt primtallene på en meget rundhåndet måde, lidt ligesom gasmolekyler i et stort rum - man vil måske ikke vide helt præcist, hvor primtallene er, men alligevel være sikker på, at der ikke er vakuum i ét hjørne, og overfyldt i et andet. Hvis Riemann-hypotesen derimod er falsk, så vil primtallene være langt mere mærkeligt fordelt, end vi tror, og en masse matematiske teoremer, som baserer sig på Riemann-hypotesen, vil ikke holde.

Emner Matematik