Kan du folde dig til løsningen hvor Archimedes gav op?

SOMMERENS GEOMETRI: Sommerferien nærmer sig, og hvad er mere skønt end en tur til stranden, hvor man samtidig kan genopfriske lidt af den klassiske græske geometri.

Af 4. jul 2010 kl. 08.00

Forstyr ikke mine cirkler, sagde den geniale matematiker Arkimedes, da han sad på stranden ved den gamle græske koloni Syrakus på Sicilien, da den blev angrebet af romerne i år 212 f. Kr. Arkimedes havde designet byens forsvarsanlæg, men ifølge legenden blev ordene hans sidste, før han blev dræbt af en romersk soldat, og byen blev løbet over ende.

Med lineal og passer kunne grækerne løse en lang række geometriske problemer. Tre store problemer måtte de dog give op over for: Cirklens kvadratur, terningens fordobling og vinklens tredeling.

Problemerne plagede matematikere i mange hundrede år. Først i 1837 beviste den franske matematiker Pierre Laurent Wantzel, at man ikke kan tredele en vilkårlig vinkel og fordoble rumfanget af en terning. Han viste nemlig, at man ikke kan tredele en vinkel på 60 grader, og at kubikroden af 2 ikke kan konstrueres med lineal og passer.

Vinklens tredeling med origami. Kilde: Hisashi Abe, 1980. (Klik for at forstørre) Foto: Thomas Hull

I 1882 viste den tyske matematiker C.L. Ferdinand von Lindemann, at pi er et transcendent tal, det vil sige, at det ikke er rod i noget polynomium med heltallige koefficienter. Da man ved, at ethvert tal, der kan konstrueres, er rod i et polynomium med en grad, der er en potens af 2, så kan pi ikke konstrueres - og det samme kan så heller ikke kvadratroden af pi - altså kan cirklens kvadratur ikke løses.

Papirfoldning løser geometriske problemer

Skulle det i ferien blive regnvejr, så indendørs sysler forekommer mere velegnede end det at tegne streger i sandet, kan papirfoldning i stedet anbefales. Det vil sikkert for de fleste være overraskende, at man med papirfoldning kan løse to af de græske problemer: terningens fordobling og vinklens tredeling.

Papirfoldning betragtes normalt som kunst og primært japansk kunst i form af origami. Men papirfoldning er også kendt i andre lande. Alex Bellos forklarer i sin nye bog, "Alex's Adventures in Numberland", at Friedrich Fröbel allerede i Tyskland i midten af 1800-tallet brugte papirfoldning i geometriundervisningen.

Han var inspirator for den indiske matematiker T. Sundara Row, der i 1901 udgav bogen "Geometric Exercises in Paper Folding". Her argumenterede han for, at origami var en matematisk metode, som i mange henseender var den græske geometri med lineal og passer overlegen.

Fold dig til en kubikrod

Et gennembrud kom i 1936. Da viste den italienske matematiker Margherita Piazzolla Beloch fra universitet i Ferrara, at man med udgangspunkt i en længde L på et stykke papir kan folde en længde, der var kubikroden af L.

Da man naturligvis også først kan folde sig til 2L, kan man altså også folde sig til kubikroden af 2L - og dermed kan man fordoble terningen. (Se hvordan HER) Beloch viste også, at man kan tredele en vinkel ved foldning. Dermed havde hun løst to af de store problemer, som ikke kunne løses på græsk manér.

Hendes italienske artikel var længe overset, og det var først i 1970'erne, at matematikerne begyndte at tage origami alvorligt. Alex Bellos fortæller blandt andet om den 74-årige Kazuo Haga, som har fundet en lang række nye matematiske teoremer med origami.

»De fleste japanere prøver at skabe nye former med origami, jeg søger at opdage nye matematiske fænomener,« forklarer Haga, der ifølge Alex Bellos er det nærmeste vi kommer en nutidens Pythagoras.

Regner ferien væk, eller er du blot træt af den klassiske græske lineal og passer-geometri, så prøv at google origami-matematik og søg eksempelvis på navnene Beloch og Haga. Så finder du let materiale, der kan fornøje dig på en våd dansk sommerdag.