Fra B til C
"I det videre sving vil den vertikale hastighed falde samtidig med, at den horisontale hastighed øges."
Hmm, mindskes den horisontale hastighed ikke ligeså, når først Tarzan har nået bunden af svinget?
Japansk forsker har fundet Tarzans optimale sving
Stakkels Tarzan. Når han skal svinge sig gennem skoven, kræver det en lidt mere kompleks analyse, end man umiddelbart skulle tro, at beregne, hvor langt det er muligt at springe ved at svinge sig i lianerne.
Det fremgår af en ny matematisk analyse gennemført af Hiroyuki Shima fra universitetet i Yamanashi i Japan.
Han skriver i sin artikel, at mange umiddelbart vil mene, at Tarzan får det længste spring, hvis han slipper lianen, når den har en vinkel på 45 grader i forhold til lodret.
Det var også dette bud, som et par af mine kollegaer på Ingeniørens redaktion gav, da jeg spurgte dem. Men det er forkert.
Det er egentligt let at forstå, hvorfor 45 grader forekommer som et godt bud. Det en nemlig den vinkel, man skal stille en kanon i, for at den kan sende en kanonkugle længst væk.
Men fysikken i Tarzans spring er anderledes end i en affyring af en kanon.
Længden er en funktion af flere variable
En model af Tarzans sving og spring er vist i figuren, der ledsager denne artikel.
Tarzan tager afsæt i et punkt A med en vinkel alfa i forhold til lodret. Herfra vinder han hastighed, så længe han bevæger sig nedad til punkt B.
I det videre sving vil den vertikale hastighed falde, samtidig med at den horisontale hastighed øges. Tarzan skal nu vælge punktet C og den tilhørende vinkel theta-s, der giver ham det længste spring L.
Hvis man negligerer luftmodstand, lianens vægt og eventuelle bøjninger, så er det en relativ simpel opgave at beregne L, som viser sig at være en funktion af theta-s (ikke overraskende), men også lianens længde r i forhold til h, som er den højde, Tarzan har over jorden i det laveste punkt.
Særligt interesserede læsere henvises her til Shimas artikel og den formel for L, han beregner. Det afgørende er, at L er funktion af både alfa, h/r og theta-s.
To eksempler illustrerer dette:
Er alfa 90 grader og h/r = 10, opnås det længste spring for theta-s = 16,5 grader. Springlængden vil da være 6,78 gange lianens længde.
Er alfa 90 grader og h/r = 0,3, opnås det længste spring for theta-s = 37,4 grader. Springlængden vil da være 2,64 gange lianens længde.
Det interessante er, at i alle situationer vil theta-s være mindre end 45 grader.
Forskellen på praksis og teori
Som en tilføjelse kan det nævnes, at det dog i praksis er tvivlsomt, om Tarzan kan svinge sig fra lian til lian.
Det fremgår af websitet www.verdensskove.org, at 'ligesom træer skal lianerne have rødder i jorden for at få vand og næring. Det betyder, at man ikke bare kan svinge i dem. De sidder fast oppe i træerne og har rødderne nede i skovbunden. Hvis man alligevel vil have en svingtur i en lian, er man nødt til at hugge lianen over nede ved jorden, men så dør lianen.'
Flere opgaver til Tarzans hjælpere
Læsere, der - til trods for manglen på praktisk relevans - er blevet yderligere interesseret i at analysere Tarzans sving og spring, kan finde tre opgaver i slutningen af Shimas artikel.
Svar på disse tre spørgsmål modtages gerne som kommentarer til denne artikel.
Dokumentation
Læs også
Tarzan sving
Jeg husker som barn når vi lavede længde hop på gynger. Hvis jeg hoppede af i en vinkel på 45 grader fremad kom jeg lige op i luften og landede lige neden for hop punktet. Hvis jeg derimod hoppede af i den samme vinkel hvor Tarzan skal slippe lianen var kraten så stor at jeg fortsatte et godt stykke ud. Sjovt at jeg ubevist har brugt den rigtige formel.
Hvis Tarzan skulle kunne svinge sig igennem skoven i lianerne er det ikke nok at de er løsnet fra jorden. De skal også være gjort klar og strammet op i en vinkel ud fra lodret i samme retning. Ud over det skal de også have den rigtige afstand for at få den optimale efekt. Hang lianerne lige ned ville Tarzan hurtigt miste fremdriften.Når man ser de gamle Tarzan film kan man se at det er trapetzer han svinger sig i og at de lige netop er hængt op på den rigtige måde.
Misforståelse?
Fint nok - men det er en stor misforståelse at Tarzan havde intentioner om at springe så langt som muligt.
Opgaven var at finde en ny lian han kunne svinge videre med. Han brugte ikke lianerne til at springe, men til at svinge hen til næste sted, hvor regissøren havde anbragt næste lian (eller reb) så han kunne liste sig ind på Numa.
Start endnu højere?
I notatet betragtes kun de tilfælde, hvor startvinklen alfa er 90 grader eller lavere. Men starter Tarzan lidt højere, så vil han jo have mere potentiel energi at gøre godt med og skulle derfor kunne komme længere. Problemet er selvfølgelig, at så vil lianen ikke være strakt i Tarzans indledende lodrette fald. Men derfor kunne man vel godt regne på det. For selv om kraften på lianen bliver uendelig stor i det øjeblik, den strækkes (da den jo betragtes som ueftergivelig), så kan man jo sagtens regne med bevarelse af energi og bevægelsesmængde.
Re: Tarzan sving
Praktiske erfaringer?:
Disney's George of the Jungle: Vine Swinging:
http://www.youtube.com/watch?v=BxQt3t75LK8
George of the Jungle - Ursula KOs and Faints:
http://www.youtube.com/watch?v=LEeUElvHjks
Den er jo helt galt
Efter gennemregning (og afprøvning i haven) får jeg ikke de opgivne 37,4 grader, men der i mod 37,9 - som bedste vinkel ved h/r=0,3 :-)
Re: Start endnu højere?
For selv om kraften på lianen bliver uendelig stor i det øjeblik, den strækkes (da den jo betragtes som ueftergivelig), så kan man jo sagtens regne med bevarelse af energi og bevægelsesmængde.
- problemet er at lianer ikke hænger ned fra trætopoppen, men er hæftet fast forneden!
Bygningsingenører
i George of the Jungle ser vi en ualmindeligt flot trætophotel. Måske kunne et par bygningsingenører kaste sig over opgaven med at beregne hvor lang tid det ville tage at opføre en sådan bygning med et smådumt abemenneske og nogle fjollede chimpanser samt en enkelt småøret "afrikansk" elefant som eneste entreprenørmaskine.
Måske kunne vi derved udkifte de sædvanlige østarbejdere.
(Byggeriet af "Vandhalla" lige uden for mit køkkenvindue er nu et halvt år forsinket)
Længdeskydning med bue.
Når man skyder længdeskydning med bue skal man heller ikke skyde i en vinkel på 45 grader - men lidt mindre end 45 grader - for at få pilen længst ud. Har jeg hørt og muligvis også læst - jeg har ikke efterprøvet det, da min bue muligvis ville kunne skyde pilen ud på 3-400 m. Jeg har heller ikke prøvet at lave en ballistisk beregning - men det kunne egentligt være meget sjovt at prøve. Jeg ved bare ikke hvilke formler jeg skulle bruge. Verdensrekorden er i øvrigt over 1800 m.
Jens Ramskov
Journalist
Er læserne bange for en udfording?
Min artikel sluttede med disse ord:
"Læsere, der - til trods for manglen på praktisk relevans - er blevet yderligere interesseret i at analysere Tarzans sving og spring, kan finde tre opgaver i slutningen af Shimas artikel.
http://arxiv.org/pdf/1208.4355v1.pdf
Svar på disse tre spørgsmål modtages gerne som kommentarer til denne artikel."
Det kan da ikke passe, at ingen af har forsøgt sig. Lad os få nogle svar på banen. Eller skal I lokkes med præmier?
Hvem sagde primier??
Svingningstiden for et pendul for store udsving [altså hvor sin(alfa) ikke længere er lig alfa] er
P=2pi(R/g)^0.5(1+1/4sin(0,5alfa)^2+9/64sin(0,5alfa)^4+...)= 2pi(R/g)^0,5(1+0,1250+0,0352+..)=2pi(R/g)^0,51,160 med alfa=pi/2
vi søger P/4
P/4=pi/4(r/g)^0,51,16=1,822(R/g)^0,5
2. halvvej af Tarzans rute tager ved simpel mekanik:
(2R/g)^0,5=1,414(R7g)^0,5
Svinget tager altså (1,822/1,414=1,29) 29% længere tid end droppet.
Det kan forstås ved at 1. halvvej jo ikke er et frit fald, da rebbet jo modvirker et frit fald ved at trække ind mod centrum af cirkelbanen - derfor tager det længere tid at tilbagelægge samme lodrette distance.
Elastisk lian.
Et godt bud kunne være at afstemme fjerderkraften, således at en halv periode overlejres netop inden for den tid, hvor Tarzan har kontakt med Lianen. Det vil give radiel indafrettet "mer-hastighed" i slip øjeblikket, men denne mer-hastighed er jo ikke kun lodret, men også lidt bagudrette i slippunktet, derfor skal der nok lige lige nogle iterationer med, hvor altså ny: svingtid, fjerderkraft og nyt slippunkt beregnes igen og igen...for at finde længste totale hop.
Elasticitet er ikke godt..
...hvis det er længden af hoppet der tæller. Ved lidt regneark-hjælp ser det ud som om længden med stift reb ikke kan overskrives med elastisk reb. Ved f.eks R=10 h=20 hoppes "stift" - ved 28 grader - ud på 37,2 m. Ved E=10N/m/kg kan man komme ud på 36,3 m. Jeg har prøvet flere muligheder på R og H men har altså ikke kunne finde et længere hop med afstemt elasticitet.
Kommentarer (13)