På sporet af primtallenes skjulte mønster
Spanske forskere har opdaget en hidtil overset egenskab ved primtals fordeling.
Læs også
Læs mere om
Der findes ingen enkel metode, hvis man vil afgøre, om et vilkårligt tal er et primtal. I princippet må man prøve sig frem og udelukke alle eventuelle divisorer, før det kan slås fast, om et tal er et primtal eller ej.
Derfor går der også år imellem, at der findes nye primtal med mere end ti millioner cifre. Det er en kæmpe regneopgave at finde så store primtal.
Primtal har mange unikke egenskaber - en af dem er, at de er noget af det mest tilfældige, der findes i denne verden. Tager man et meget stort antal primtal og undersøger fordelingen af det første ciffer, finder man da også, at denne er næsten jævn. Der er altså lige mange primtal, der begynder med tallet 1 som med tallet 2 og så videre.
Det er dog mere overraskende, end man umiddelbart skulle forvente, for hos andre talsæt, som også virker tilfældige, er fordelingen af begyndelsescifre meget ujævn.
For naturkonstanter gælder det nemlig, at tallet 1 optræder som første ciffer med en sandsynlighed omkring 30 pct. Tallet 2 optræder med en sandsynlighed på cirka 18 pct., og de efterfølgende tal optræder med gradvist faldende sandsynlighed, så et 9-tal kun er første ciffer med en sandsynlighed lige under 5 pct.
Det samme gælder for opgørelser af formuer, indkomster, indbyggerantal i byer osv. Sådanne talsæt følger Benfords lov, som siger, at sandsynligheden for, at første ciffer er d, er givet ved:
P(d) = log(d + 1) logd
Benfords lov kan lettest forklares med, at eksempelvis penge på en bankkonto er udtryk for eksponentiel vækst.
Det betyder, at det tager lige så lang tid for et beløb på 1.000 kr. at vokse til 2.000 kr., som det tager et beløb på 4.000 kr. at vokse til 8.000 kr. - i første tilfælde er første ciffer altid 1, i den anden situation skifter første ciffer fra 4 til 5, 6 og 7.
Når naturkonstanter også følger Benfords lov, er det fordi, de er skalainvariante. Fordelingen skal være den samme, uanset om man eksempelvis skifter enhed fra meter til fod - og det fører frem til den logaritmiske fordeling, som Benfords lov udtrykker
Da primtal jo netop ikke er udtrykt i nogen bestemt enhed eller har noget med eksponentiel vækst at gøre, så er der alligevel ved nærmere eftertanke ikke noget, der skulle tilsige, at Benfords lov har noget med primtal at gøre.
Men det har den alligevel - i en generaliseret form.
Tager man et mindre sæt af primtal (som de 5.761.455 primtal mellem 1 og 108) finder man nemlig, at tallet 1 optræder som første ciffer i flest tilfælde, ca. 11,9 pct. Herefter kommer tallene 2-9 i rækkefølge, så 9-tallet kun er først i 10,7 pct. af tilfældene.
Tager men et større interval som 1-1011 (med godt 4,1 milliarder primtal) finder man noget tilsvarende, Forskellen er dog indsnævret, så 1-tallet nu kun er først for 11,7 pct. af primtallene, og 9-tallet er først i 10,9 pct. af tilfældene.
Der sker altså en overgang fra en ujævn fordeling til en jævn fordeling, des flere primtal, man medtager i sin analyse.
Bartolo Luque og Lucas Lacasa fra Universidad Politécnica de Madrid i Spanien har i en ny artikel i Proceedings of the Royal Society A vist, at fordeling af primtal i givet interval er givet ved en "generaliseret Benfords lov":
P(d) = [1/(10
x = (d + 1)(1-alpha) -d(1-alpha)
Dette udtryk er ikke defineret for a=1, men jo mere a nærmer sig 1, jo mere nærmer dette udtryk sig Benfords lov. Hvis a=0 er det en jævn fordeling.
De spanske matematikere har fundet, at fordelingen af primtal i de to intervaller 1-108 og 1-1011 svarer til den generaliserede Benfords lov med henholdsvis alpha=0,0513 og alpha=0,0414.
Der findes en sammenhæng mellem fordelingen af primtal og nulpunkterne for den komplekse zeta-funktion - som er en såkaldt analytisk fortsættelse i den komplekse plan af funktionen:
zeta(s) = 1 + 1/2s + 1/3s + 1/4s + ...
Bernhard Riemann postulerede i 1851, at alle de såkaldt ikke-trivielle nulpunkter (hvoraf der findes uendeligt mange) for den komplekse zeta-funktion har realdel på 1/2.
Som omtalt i Ingeniøren ved flere lejligheder er Riemanns hypotese det største uløste problem i matematikken. Mange matematikere har viet deres liv og udsigten til evig berømmelse til at bevise (eller modbevise) Riemanns hypotese, men endnu uden held.
Luque og Lacasa underbygger sammenhængen mellem primtallenes fordeling og nulpunkterne for zeta-funktionen ved at vise, at også zeta-funktionens ikke-trivielle nulpunkter følger en generaliseret Benfords lov.
