Findes der komplekse tal i flere dimensioner?

Søren Hartmann Kristensen vil gerne vide, om der findes komplekse tal i tre eller flere dimensioner:

"Findes der komplekse tal i flere end to dimensioner? Komplekse tal anvendes jo til gøre matematiske udtryk mere overskuelige og lette udledning og beregning af komplekse problemstillinger. Den anden dag slog det mig, at komplekse tal kun forekommer i to dimensioner. Kunne man ikke forestille sig en problemstilling, hvor det kunne være en fordel med komplekse tal i tre eller flere dimensioner? Eller måske findes det allerede?"


Vagn Lundsgaard Hansen, professor på Institut for Matematik, DTU, svarer:

"Et rigtigt godt spørgsmål, som kræver et relativt komplekst svar.

Jo, der findes tal i nogle få andre dimensioner som man kan regne med næsten som med de reelle tal R (dimension 1) og de komplekse tal C (dimension 2), men dog ikke helt så bekvemt som med disse.

De komplekse tal C kan opfattes som mængden af ordnede par af reelle tal i det 2-dimensionale talrum R² [tænk på koordinatsættene for punkterne i planen udstyret med et sædvanligt retvinklet koordinatsystem]. For ethvert helt tal n ≥ 2, findes et tilsvarende n-dimensionalt talrum Rⁿ af ordnede n–sæt af reelle tal [i tre dimensioner kan man tænke på koordinatsættene for punkterne i rummet udstyret med et sædvanligt retvinklet koordinatsystem].

Det er et dybtliggende resultat i matematikken, at man inden for rammen af Rⁿ kun i fire tilfælde, nemlig i dimensionerne n = 1, 2, 4 og 8, kan definere en addition a + b og en multiplikation a ⋅ b af talsæt a og b i Rⁿ, som opfylder regneregler svarende til velkendte regneregler fra tallene og hvor a ⋅ b = 0 medfører, at enten a = 0 eller b = 0. Dette bemærkelsesværdige resultat er en af mange konsekvenser af et dybtliggende resultat i en helt anden matematisk disciplin, nemlig i den algebraiske topologi, bevist i 1959 af den engelske matematiker John Frank Adams (1930-1989).

I dimension 1 har vi de reelle tal R, i dimension 2 de komplekse tal C, i dimension 4 de såkaldte kvaternioner Q, og i dimension 8 de såkaldte Cayley tal K. For de reelle tal R og de komplekse tal C er alle de velkendte regneregler opfyldt. I kvaternionerne Q mister man den kommutative regel, dvs. det gælder ikke nødvendigvis, at a ⋅ b = b ⋅ a. I Cayley tallene K mister man yderligere den associative regel, således at det nu ikke nødvendigvis gælder, at (a ⋅ b) ⋅ c = a ⋅ (b ⋅ c).

Kvaternionerne er særdeles velegnede til at beskrive rotationer i det fysiske rum, og de anvendes derfor ved teoretiske studier af robotbevægelser. Cayley tallene giver eksempler på algebraiske strukturer i tilknytning til regning med differentialformer, som også udnyttes i teoretiske studier af mekanik.

Hvis bare man kan regne, er der ingen grænser for hvad det kan bruges til, når der skal trylles med tallene."

Søren Hartmann Kristensen vinder to billetter til Tycho Brahe Planetarium for sit spørgsmål.

Er du rigtig klog? Nu kan du udfordre dine venner med ekspert-spørgsmål fra Scientariet i Ingeniørens nye Facebook-quiz "Så ka' du lære det!". Klik her for at deltage i quizzen og teste dine venner.

Spørg Scientariet er i dag redigeret af Julie M. Callesen, jmc@ing.dk.