Filosofisk cocktail

Tallet 0 kan deles i to lige store stykker, idet 0 = 0+0. Dermed er 0 et lige tal.

Re: Filosofisk cocktail

Eller: er alef = alef *alef?

Det må være nej

Mvh Søren

Re: Re: Filosofisk cocktail

@Berndt: Ja, at 0 = 0+0+0 betyder blot at 0 er divisibel med 3, og tilsvarende er 0 faktisk divisibel med alle andre hele tal. Egenskaben "at være divisibel med 2" har vi bare et specielt navn for (lige). Vi har ikke (mig bekendt) andre ord for at være divisibel med andre heltal. [Måske, lidt søgt, kan man sige at "hel" er et ord for at være divisibel med 1, hvis man med "a er divisibel med b" eller "b går op i a" mener at der skal findes et heltal d så a = b*d]. Uendelig, i alle dets inkarnationer, er IKKE tal i nogen gængs betydning af ordet tal (for de flestes vedkommende er et "tal" et element i R eller eventuelt C, uden i øvrigt at komme nærmere ind på hvordan disse mængder og regneoperationerne på dem defineres). Derfor giver det ikke mening at sige "alef er lige" eller "alef er divisibel med 5".

@Søren: Man kan godt definere en kalkule med (også uendelige) kardinaltal. Hvis a og b er kardinaltal, lad A og B være diskunkte mængder med kardinaliteter a og b. Da defineres "summen" af a og b til at være kardinaliteten af foreningsmængden af A og B, og produktet af a og b defineres til at være kardinaliteten af det Cartesiske produkt AxB. Hvis a og b er ikke-negative heltal opfører disse to operationer helt som man er vant til. Hvis en eller begge af a og b er uendelige kardinaltal sker der dog visse mystiske ting. 0 (kardinaliteten af den tomme mængde) opfylder stadig at 0+b = b for alle b og 0xb = 0 for alle b. 1, kardinaliteten af en et-punktmængde, opfylder også at 1xb = b for alle b. Men man har ikke længere en regneregel der siger "a+b = c+b medfører a = c". Faktisk gælder det at summen af to kardinaltal, hvor mindst et er et uendeligt kardinaltal, er lig det største af de to kardinaltal (så noget endeligt plus alef = alef; alef + alef = alef, mens alef + et større kardinaltal er lig det større kardinaltal). Og ja, alef*alef = alef. For at bevise det skal man lave en bijektion mellem mængden N af naturlige tal og mængden NxN, men det er ret let. Man nummererer bare par (p,q) først efter deres sum, og derefter efter p. Så:

0 -> (0,0)
1 -> (0,1)
2 -> (1,0)
3 -> (0,2)
4 -> (1,1)
5 -> (2,0)

etc. Det er klart at dette giver en 1-1-korrespondance mellem N og NxN.

Er uendelig et heltal?

:o)...er uendeligt multipliceret med PI ?

2 gange uendeligt?

Der er et eller andet galt, med en teori om at det dobbelte af uendeligt, er lig med uendeligt. Beviset er, at hvis det er sandt, da er uendelighed lig med nul.

Som, måske er sandt. Som at se sig selv langt om i nakken.

I praksis, dog, er uendelighed snarere som en vej udad i noget, hvor enden er fjern. Og vedbliver med at være fjern.

Dermed, hvis man vil rode med matematik og uendelighed, kan man tale om »fart« i en bevægelse derudad. Hvor hurtigt bevæger en formels resultat sig derudad, i forhold til en anden formels resultat? Dette vil give fornuftsresultater, som at sammenligne to forskellige vinkler for en raket at flyve opad i himlen udad imod rummet. En højere vinkel vil måske føre hurtigere derud.

Derimod, at tale om at to raketter, der starter samtidig, og hvor den ene flyver med dobbelt hastighed, at påstå at de begge havner i samme mål på samme tid, uanset hvor længe de flyver, er vås. For, hvis det er sandt, da svarer det til at to fluer pludselig hamrer imod en glasrude, altså standser før forventet af dem. I så fald taler vi om at universet er endeligt.

Matematik er, som bekendt, en universal måde at filosofere over universet.

For at vende tilbage: Hvis det dobbelte af uendelighed er lig med uendelighed, da er universet enten lig nul, eller afgrænset. Ingen af disse muligheder er verificeret af noget eksperiment endnu.

Symbol

Traditionelt set opfatter man ikke 0 som et naturligt tal - det er korrekt at man oftest i abstrakt algebra gør det. I hvert fald i Danmark (andre lande gør det vist anderledes).

Derudover opfatter jeg mere uendeligt som et symbol og ikke et tal - men måske jeg er skadet af matematisk analyse. De reelle tal indeholder derfor ikke "uendelig" som et tal - men man indfører det som et symbol og kalder denne foreningsmængde for de udvidede reelle tal. Eller sådan kan man eksempelvis gøre det :-). Jeg synes dog, at det giver god mening. Eksempelvis kan grænseværdien for en talfølge noteres til at være uendelig, hvis den ikke konvergerer osv. Det giver derfor heller ikke mening at snakke om 0 * uendelig; det er udefineret (tak for hjælpen, l'Hopital) - for hvad skulle det give? Og hvad med uendelig - uendelig. Uendelig er altså ikke "fast" (eller absolut), så derfor skal man være varsom, når man er i nærheden af det (hvis man dog nogensinde kommer det, he he :-)).

Så altså: uendeligt mener jeg bør opfattes som et symbol og ikke som et tal. Og 0 er ikke et naturligt tal, netop jf. lignende argumenter som dem Vagn Lundsgaard Hansen fra DTU fremfører.

Re: 2 gange uendeligt?

Der er et eller andet galt, med en teori om at det dobbelte af uendeligt, er lig med uendeligt.

Beviset er, at hvis det er sandt, da er uendelighed lig med nul.

Matematik er, som bekendt, en universal måde at filosofere over universet.

For at vende tilbage: Hvis det dobbelte af uendelighed er lig med uendelighed, da er universet enten lig nul, eller afgrænset.

Re: Symbol

Eksempelvis kan grænseværdien for en talfølge noteres til at være uendelig, hvis den ikke konvergerer osv.

Det giver derfor heller ikke mening at snakke om 0 * uendelig; det er udefineret (tak for hjælpen, l'Hopital) - for hvad skulle det give? Og hvad med uendelig - uendelig.

Så altså: uendeligt mener jeg bør opfattes som et symbol og ikke som et tal.

Og 0 er ikke et naturligt tal, netop jf. lignende argumenter som dem Vagn Lundsgaard Hansen fra DTU fremfører.

Uendelighedsmaskine

Undskyld at jeg forstyrrer debatten, for jeg forstrår ikke mege af hvad den handler om.
Når jeg alligevel gør det, er det fordi jeg ikke bare har opfundet, men også konstrueret en uendelighedsmaskine.

Min maskine er blot et gear, bestående af to planethjulssæt, hvorved en hvilhen somhelst udveksling kan opnås.

Hvis de to planethjulssæt er ens, bliver udvekslingen uendelig.
At udvekslingen er uendelig vil sige at uanset hvor stort et moment der lægges på indgangsakslen, vil udgangsakslen ikke dreje sig. Omvendt vil man frit kunne dreje indgangsakslen, uden at udgangsakslen rører sig.

Håber det kan være en hjælp til at definere et eller andet. Jeg har ikke kunnet finde andre der kan bruge det.

Re: Re: Symbol

Længden af en streng eller et array kan sagtens være 0. Men den tomme streng og det tomme array er _ikke_ den samme ting. Matematisk skal man passe på med at sige hvornår to ting er "ens".

Men man kan aldrig fra matematikkens præmisser deducere sig til viden om den fysiske virkelighed.

Tilføjelser, anekdoter

Om tomheder og uendeligheder:

En pige siger til sin mor: »Se, derovre er der ingen bil.«
Hendes bror siger: »Og derovre, Mor, er en bil forsvundet.«

Hvad er forskellen?

En fysiker siger: »Jeg er Verden.«
En anden siger: »Jeg peger på Verden.«

Er de måske en meter fra hinanden?

I matematikken, i datalogien, er forskellene ernorme. Det er ikke ligegyldigt, om en variabel indeholder noget, eller om den peger på noget. Hvis en variabel udtrykker tomhed, da vil en variabel, der peger derpå, ikke indholde tomhed, men et udsagn om tomhed. I den virkelige verden, vil det svare til to forskellige universer på én gang. Uanset om det ene er tomt.

I eksemplet med børnene, er det relevant at vide, om den forsvundne bil er synlig fordi der er en tomhed midt i en række af biler og at han husker at sådan var rækken ikke i går, for eksempel.

Og, om hans søster, om hun måske ser på en helt tom parkeringsplads. En detalje kan være, om der er spor efter dæk. Har bilen været der, eller har den aldrig eksisteret?

Dette er ikke ligegyldigt i matematik, eller i statistik, og ofte heller ikke i den virkelige verden. I matematik, desuden, kan det gå rivende galt, hvis man dividerer med sådanne oplysninger, i formler, i mellemregninger, hvis man ikke ved hvad man har at gøre med: Forsvundet, eller aldrig eksisteret?

Pigen siger til sin far: »Mormor talte uafbrudt i det uendelige.«
Broderen tilføjer: »Men så døde hun.«
Faderen svarer: »Hvis hun talte tal, og hvis hun startede bagfra som nyfødt, med Uendelig, hvor gammel skulle hun så være, for at kunne nå at nå ned til Nul?«
Pigen svarer: »Hvis fem tusinde millioner fantasier, da cirka halvfems år, tror jeg.«
Broderen siger: »Jeg tror, at hun skulle være lige så gammel som min datter, når jeg får én.«
Pigen siger: »Ha! Som et gammelt Æsel, skulle hun være.«

Moderen spørger: »Hvad taler I om?«
Hendes mand svarer: »Vi mindes og taler godt om din mor.«

Hun svarer igen: »Jeg har jo sagt det, at hvis vi havde lånt af hende i tide, da havde vi haft en svømmepøl nu.«

Sønnen spørger: »Du mener, Mor, fem hundreder kroner om måneden?«

Moderen svarer irriteret: »Nej, for hun var en svindler. Jeg mener én million på én gang.«

Datteren råber: »Så! Så er vort svømmebassin forsvundet!«

(Har hun ret, eller har det aldrig eksisteret?)

Re: Re: Symbol

En divergent følge divergerer ikke nødvendigvis så pænt at den divergerer mod uendelig.

Hvorvidt 0 kaldes et naturligt tal er udelukkende et definitionsspørgsmål.

Rækker

En anden lidt "spøjs" ting er begrebet rækker. Matematisk set er rækker undelige summer. Her gælder på samme måde som ved talfølger, at de kan konvergere. Altså: hvis man tager en uendelig sum af nogle led, vil det i visse tilfælde konvergere mod et tal - men kun hvis der er uendelig mange led. I modsætning til talfølger, hvor grænseværdien godt kan indgå i talfølgen ({1, 1, 1, ...} konvergerer mod 1), kan det ikke det i rækker (vist bortset lige fra - apropos - 0). Så altså rækker, der konvergerer summer aldrig op til grænseværdien, men kommer vilkårligt tæt på. Et eksempel på en række er den populære geometriske række, der består af summen fra k = 1 til uendelig af x^k hvor |x| < 1. Denne række vil konvergere mod (x)/(1-x), men hvis man tager et endeligt antal led vil summen aldrig blive (x)/(1-x). Netop rækker synes jeg derfor er et godt eksempel på, hvor svært det kan være at forstå tal.

Rækker (take two)

Jeg skal naturligvis lige indskyde, at der er (uendeligt) mange endelige summer, der naturligvis giver en endelig værdi - men de kaldes blot summer og ikke rækker.

Synlig uendelighed

Den eneste synlige uendelighed er en den endeløse cirkel. Uendeligheden kan også ses i dens indre .

Den matematiske uendelighed

Tallene kan opstilles på rækker, med uendeligheden som mål: 1111111111...... og 2222222222 og 3333333333....... og 1234567.... og 2345678..... og 3456789...... og 1212121212..... og 321321321321.... og 123123123123.... o.s.v.
I den fysiske verden vil målet aldrig kunne realiseres, da opstillingen vil foregå i tid, og ethvert angivet tal vil fysisk være en begivenhed i nutiden , de foregående tal i rækken er fortid, og de kommende tal være fremtiden. Dette bygger på at fysisks tid, er knyttet til begivenhed således: Nutid har foran sig en tid kaldet førtid (fortid), og efter sig en tid kaldet eftertid (fremtid).

Hotel-anekdoten

Forestil jer et hotel med uendeligt mange værelser, nummereret fra 1 til "uendeligt".

Alle værelserne er optagede.

Der ankommer en ny gæst til hotellet og beder om et værelse. Hoteldirektøren beder så alle gæster flytte til det værelse, hvis nummer er een højere end det de nu bor på. Vupti - Nu er værelset med nummer 1 ledigt til den nyankomne gæst.

Så kommer der (underligt nok) uendeligt mange nye gæster og beder om et værelse. Hoteldirektøren beder derfor alle om at flytte til det værelse, hvis nummer er det dobbelte af det værelsesnummer de nu bor på. Vupti - alle værelser med ulige værelsesnumre er nu ledige. De uendeligt mange nyankomne gæster flytter ind i de uendeligt mange ledige værelser .

Indtjening

Hej Lars.
På dit hotel koster et værelse 100 kr. Ejeren tjener uendelig mange penge, men er grådig og fordobler lejen, men opdager at han stadig kun tjener uendelig mange penge, surt ikke.
Det hele er bare en leg hvor vi sammenblander fiktion og virkelighed, ligesom Mary Poppins og Supermand kun kan fungere ved sammenblandning; fiktionen er uden grænser, virkeligheden er begrænset.

Re: Den matematiske uendelighed

1 er det uendelige tal 1+1=2+1=3+1=4 osv.
Uendelighed er
uendelig hastighed x uendelig fart = uendelighed

Re: Re: Den matematiske uendelighed

1 er det uendelige tal 1+1=2+1=3+1=4 osv.
Uendelighed er
uendelig hastighed x uendelig fart = uendelighed

Re: Re: Re: Den matematiske uendelighed

Det er vist også noget vås, at
1+1=2+1=3+1=4.

Det er rigtigt nok, at 1+1=2, 2+1=3, 3+1=4, men at skrive det i én smøre er vist lige vovet nok.

Re: Re: Re: Re: Den matematiske uendelighed

T´ja , jeg må vel indrømme at mangle en matematisk eksamen og tankeeksperimentet er måske lidt for vidtgående . Men det var et forsøg på at fyre lidt op under debatten i en ny vinkel.

nul og uendelig er det samme tal

Herlig debat. Vi har endnu ikke forstået begreberne nul og uendelig. For mig er det samme tal, som har den egenskab, at det er lig med sin egen reciproke værdi lige som tallet eet. Min datamat (på NuDansk min computer) har et begrænset talområde. Når jeg har brug for uendelig i forbindelse med en ideel operationsforstærker så dividerer jeg da bare med nul ;-). Afstanden mellem plus uendelig og minus uendelig er nul ligesom afstanden mellem plus nul og minus nul er nul. Når du går mod uendelig i en 2-dimensional plan er der uendelig mange punkter at gå imod. Det giver kun mening hvis der et eet og kun eet uendelig
fjernt punkt. Universiet er en uendelig stor relaxations oscillator med uendelig periode mellem uendelig mange big bangs ;-).

nul og uendelig er det samme tal

Herlig debat. Vi har endnu ikke forstået begreberne nul og uendelig. For mig er det samme tal, som har den egenskab, at det er lig med sin egen reciproke værdi lige som tallet eet. Min datamat (på NuDansk min computer) har et begrænset talområde. Når jeg har brug for uendelig i forbindelse med en ideel operationsforstærker så dividerer jeg da bare med nul ;-). Afstanden mellem plus uendelig og minus uendelig er nul ligesom afstanden mellem plus nul og minus nul er nul. Når du går mod uendelig i en 2-dimensional plan er der uendelig mange punkter at gå imod. Det giver kun mening hvis der et eet og kun eet uendelig
fjernt punkt. Universiet er en uendelig stor relaxations oscillator med uendelig periode mellem uendelig mange big bangs ;-).

0'et

0 eller nullet, er tegnet for uendelighed, det var først da man gen-opdagede nullet, at livets sprog matematikken blev komplet.
Kig gennem hullet i nullet, opad de store tal, 'makro', eller nedad de små tal 'mikro'.
Nullet repræsenterer helheden, og rummer i princippet alle tal.
Der er 'kun' ni tal, 9 er det højeste.
Matematikken er det samme som livets grund-analyse, 'det levende væsen' = Jeg'et + bevidstheden + legemet/stoffet.
Jeg'et er 0'et, tallene er stoffet/bevægelse/legemet, og 'udregningen' er bevidstheden/bevægelse.
X0 = det levende væsen = Jeg'et/X1 + bevidstheden/X2 + legeme/X3.
0'et, udregningen og tallene = det evige levende væsen. eller skaberen, skabe-evnen, og det skabte, om man vil
i korthed.

-

-

HVad så med....

Hvis alef + alef = alef, så kunne man jo antage, ved at omskrive ligningen lidt, at alef = alef - alef, hvilket jo kunne være noget forvirrende eftersom at hvis alef eksisterer, så må man også antage at en matchende negativ alef eksisterer, hvorfor alef - alef burde give 0... men jeg antager (uden at være matematiker overhovedet) at i realiteten så må alef - alef => +-0.

Bare lidt tankespind... ved ikke lige om det hænger sammen :)

mvh
Kim Madsen
kbm@kbmitexperts.dk

Re: HVad så med....

På Wikipedia er der en forklaring på, hvorfor 0.999 (fortsat i det uendelige) i følge matematikerne er det samme som 1. Det er fordi, det ikke kan være et andet tal, som er mindre. Men køber vi påstanden ? Njaøh. Måske både-og. Det er jo umuligt, at en decimalbrøk, som ender på 9 kan være lige præcis 1. Der må da mangle noget. Men det er jo rigtigt, at uendelighed er et begreb (en slags potentiale), som ikke kan realiseres i den fysiske verden på gr. af en tidsfaktor. Det er i det hele tages noget paradoksbefængt stads, som har irriteret utallige tænkere og drevet resten til vanvid eller druk. Vh Steen

Re: Re: HVad så med....

sikke noget ævl (wikipedia altså)
der vil jo altid være et uendeligt antal tal mellem
0,999....9999 og 1.
Og det er jo endda kun rationelle tal.
vi kan jo bare påføre et vilkårligt antal cifre til 0,999.....

Re: Re: Re: HVad så med....

Jo men decimalbrøken forudsættes at være uendelig. Det er jo derfor, de mener, at der ikke kan klemmes noget ind. Eller hvad. Steen

ulogisk

5 grise ved vi, hvad er, og det er forskelligt fra 5 cykler. Men 0 grise og 0 cykler er det samme, nemlig ingenting

uendelighed...

Uendelighed er noget sjovt noget... Jeg kan huske noget med nogle formler hvor ligningen blev drejet omkring X-aksen, og når vi regnede på dem viste det sig at volumet var et endeligt tal, men overfladen var uendelig... Dvs. hvis man fik en malerbøtte i den given form, kunne man fylde den med maling, men ikke male indersiden... (ja ja vil ikke fungerer i praksis da molekyler har en udstrækning og på et tidspunkt ikke kan komme tætter på nul)

Jeg kan desværre ikke huske formlerne, måske andre kan huske dilemmaet ellers må jeg hjem og se mine notater igennem :)

Re: ulogisk

Jeg mener det er ulogisk at sige at 0 grise og 0 cykler er det samme.

nul og uendelig

Euklid opfandt den rette linie, som må være en del af en cirkel med uendelig diameter, hvis der skal være mening i galskaben.

Et vilkårligt punkt på linien kan markeres som nul, og punktet uendelig må så være punktet på den anden side af cirklen. Plus uendelig og minus uendelig må være det samme ligesom plus nul og minus nul er det samme.

Hvis vi vælger et punkt i (på ?) en flad plan og kalder det nul, så må denne flade plan være en del af en kugle med uendelig diameter, så punktet uendelig kommer til at ligge over for punktet nul på den anden side af kuglen.

Hvis vi trykker kuglen sammen, så nul og uendelig bliver det samme punkt, så bliver kuglen til en torus uden hul svarende til en tredimensional model af universet.

Nul og uendelig er ikke tal, men begreber, som vi endnu ikke har forstået.

Re: ulogisk

Jeg mener det er ulogisk at sige at 0 grise og 0 cykler er det samme.

Tal har ikke dimensioner. 5 grise er ikke et tal (det er et antal), men 5 er et tal.

Re: ulogisk

0 grise er et antal grise og 0 cykler er et antal cykler og det er ulogisk at sige det er det samme som Vagn Lundsgaard Hansen paastaar

Re: nul og uendelig

Nul og uendelig er ikke tal, men begreber, som vi endnu ikke har forstået.

Re: nul og uendelig

hvorfor skulle 0 nu ikke være et tal mere, sammen med 1 er det da de to vigtigste tal?

ja

eftersom 1 må være lig med uendelig, er uendelig et heltal
der er jo ikke uendelig og lidt mere, eller en uendelighed der er kun er 99% uendelig

Re: nul og uendelig

nu er alle andre tal jo også bare en afart af 1
man kan så også sige 1 gange 1 er stadig kun 1
og lige så sjovt at 1 divideret med 1 er 1
så 1 er vel lige så meget i familie med uendeligheden

Ja,

Ja, 0'et der er Altets kerne, er Et (1) 0, det evige navnløse noget.

herlig læsning, uendeligt

Men er Uendeligt/Uendelig ikke blot en benævnelse for en størrelse vi endnu ikke kender.

Lidt som i starten var man bange for at sejle ud over kanten på verden.
Troede at rummet stoppede der hvor kikkerten ikke kunne se længere.

Pokkers, nu dukkede den op igen, igen

ikke for at afspore tråden, men bare for at lufte den.

I teorien, mig bekendt er det ikke muligt at bevæge sig hurtigere en lysets hastighed.
Hvis overstående er sandt, så er her noget jeg har rodet med siden jeg var knægt og første gang så det på skrift...

Lad os antage at vi har fremstillet en type motor (XX) der kan drive et obejkt op til lyets hastighed.
-for letheden og forståelighedens skyld kan vi vælge en Ford Escort mkII (den firkantede).

Motoren (XX) driver langsomt Ford'en op i hastghed, på vej væk fra jorden.
da Ford'en har nået lysets hastighed, så tændes lyset på på bilen, og alle pære virker som de skal.

Men hvad sker der ?
1: kommer der lys ud af forlygterne, og med hvilken hastighed
2: kommer der lys ud af baglyterne, og med hvilken hastighed

Hvis man så flyver 5 kmt under lysets hastighed, vil forlygters lys (da de tændes) så ud brede sig med 5kmt frem efter.

-jow jow, godt der findes Ueneligt, det er klart nemmere at forholde sig til

Re: uendelighed...

Uendelighed er noget sjovt noget... Jeg kan huske noget med nogle formler hvor ligningen blev drejet omkring X-aksen, og når vi regnede på dem viste det sig at volumet var et endeligt tal, men overfladen var uendelig... Dvs. hvis man fik en malerbøtte i den given form, kunne man fylde den med maling, men ikke male indersiden... (ja ja vil ikke fungerer i praksis da molekyler har en udstrækning og på et tidspunkt ikke kan komme tætter på nul)

Jeg kan desværre ikke huske formlerne, måske andre kan huske dilemmaet ellers må jeg hjem og se mine notater igennem :)

Re: Pokkers, nu dukkede den op igen, igen

I teorien, mig bekendt er det ikke muligt at bevæge sig hurtigere en lysets hastighed.

Hastighed er relativ,

Det er en vildfarelse, eller en forhastet konklusion, at 'lysets hastighed' udgør grænsen for hastighed.
Telepati er om tilstand og hensigt,
'fysisk transport' er om afstand og hastighed.

Ved telepati er hastighed ikke en begrænsning, men kun hvis der er 'optaget på linien'.

Nul og uendelig

Kender I pølseparadokset ?
Kl. 0 lægger man en pølse under en specielt konstrueret pølsedeler. Efter et halvt minut hakker deleren pølsen over i to stykker. Et kvart minut efter dette hakkes hver af de to dele over i 4 dele. Efter 1/8 minut hakkes disse 4 dele over i 8 dele og så fremdeles. Hvis maskinen gør sit arbejde som den skal, vil der efter et minut ligge en pølse, som er hakket i uendelig mange uendedelig tynde skiver. Færdigt arbejde. MEN, ingen af disse skiver kan være tykkere end nul, for enhver tykkelse tykkere end nul, vil ikke repræsentere et uendeligt antal delinger, men kun et endeligt antal delinger, og det var der jo ikke tale om. Da nu alle delene efter et minut får tykkelsen 0, betyder det, at præcis et minut efter at pølsen blev lagt under deleren, forsvinder den igen. Men hvor bliver den af ?
Det var pølseparadokset, som jeg engang så her på nettet i en artikel om uendelighed (desværre uden løsning). Jeg har siden tænkt over det og fundet en slags løsning. Nu er det jo svært at lime en delt pølse sammen igen, men det ser vi lige bort fra. Jeg mener ikke pølsen vil forsvinde, men at det vil være sådan, at hvis man (rent hypotetisk) vil hævde at der er realiseret (eller aktualiseret) uendelig mange dele, vil det betyde, at der slet ingen dele er mere. Der vil ikke være afstand (diskretion) imellem f. eks.del 1 og del 3, for delene vil ikke eksistere længere, så pølsen vil ligge lige så fin og udelt (KONTINUERLIG), som inden vi startede alt det delepjat. Altså uendelig mange dele (af en pølse) er det samme som INGEN dele. Det minder om, at uendelig og nul er i familie.
I øvrigt vil gælde, At uendelig mange uendelighedsdele (samme tal i tæller og nævner) af 1 (pølse) = 1 (pølse).
Det var vidst det, man kalder pølsesnak. Steen

fejl i pølsehistorien

Jeg beskrev delingerne lidt misvisende. Maskinen hakker hvergang de eksisterende dele over på midten, så der hver gang bliver dobbelt så mange, som der var i forvejen.
P.S. Er der nogen, som kan give en nærmere beskrivelse af det uendelighedsgear, som Jørgen Jacobsen beskrev 27.mar. 08. 23.47.
(Måske ham selv). Jeg forstår det ikke, men synes, det lyder interessant.
Til Holger René Jørgensen : Hvordan måler man hastigheden af telepati ?
Steen

Re: uendelighed...

Du tænker på Gabriels horn: http://www.h33.dk/gabriel_inde...html



Det sjove er, som skrevet, at det kan fyldes med maling, men da overfladen er uendelig kan denne maling aldrig male hele overfladen.

Hvis overfladens areal er lig "inderfladens" areal, så burde "inderfladen" jo være malet al den stund at hornet er fyldt med maling. Og det kan så ikke lade sig gøre. Dette er i sandhed et paradoks!



Matematik er en sjov ting!

Re: Hotel-anekdoten

Forestil jer et hotel med uendeligt mange værelser, nummereret fra 1 til "uendeligt".



Alle værelserne er optagede.



Der ankommer en ny gæst til hotellet og beder om et værelse. Hoteldirektøren beder så alle gæster flytte til det værelse, hvis nummer er een højere end det de nu bor på. Vupti - Nu er værelset med nummer 1 ledigt til den nyankomne gæst.



Så kommer der (underligt nok) uendeligt mange nye gæster og beder om et værelse. Hoteldirektøren beder derfor alle om at flytte til det værelse, hvis nummer er det dobbelte af det værelsesnummer de nu bor på. Vupti - alle værelser med ulige værelsesnumre er nu ledige. De uendeligt mange nyankomne gæster flytter ind i de uendeligt mange ledige værelser .

Natur

Naturen kender to matematiske størrelser, den endelige størrelse og den uendelige størrelse.
Den endelige størrelse angives ved et helt tal, den uendelige størrelse angives ikke ved et helt tal.
Er derfor uendelig et helt tal - nej disse er reserveret naturens endelige størrelser.

Tal

Et uendeligt tal eksisterer ikke, men et symbol (og ikke et tal) kan angive en uendelig størrelse.

Lige

eller ulige. Hvad er et uendelig stort tal. Det er ikke et tal, og derfor hverken lige eller ulige - en egenskab der er tilknyttet tallene alene.

Uendelig

Hvad er matematisk uendeligt.
Det er den størrelse der kar eksistens mellem to ulig store endelige størrelser.
Hvad er matematisk endeligt.
Det er den størrelse der har eksistens mellem to ulige uendeligheder.

1/2

Er 1/2 et tal.
Nej, det er blot opstilling af en divisionsopgave, der består af to tal og en operationsangivelse.
Er 0,999999999999999...... et tal. Nej, det er en kombination af et tal (0,999999999999999) og et symbol på uendelig (......).
Men er det da = 1. Nej, intet uendeligt er = 1 da 1 er tilknyttet egenskaben endelighed !
Slut med legen.

0.9999999999999999

Men det kan heller ikke være mindre end 1, for vi forudsætter, at rækken af nitaller er uendelig, og da enhver værdi mindre end 1 kan nås med et endeligt antal nitaller uanset, hvor tæt vi ønsker at komme på 1, kan 0.999999999999999ue. altså ikke være mindre end 1. Den uendelige decimalbrøk kan altså hverken være 1 eller mindre end 1, hvilket bare viser, at uendelighed er noget paradoksbefængt stads. Slut med legen igen. Steen

0.9

Steen
0,999999999999ue er ikke et tal - men et tal bestående af 0,999999999999 samt et symbol (ue) for uendelig.
Et tal og et symbol er aldrig = et tal, men er lig tallet og et symbol.
Intet tal er uendeligt, tal er altid diskontinuerlige. Uendelig er kontinuerligt og må noteres med symboler.
Hvad med pi - det er da et uendeligt tal ? Nej det er et symbol på en uendelighed, og kan ikke angives pr. tal.

Matematik

- er naturens sprog tilknyttet naturens kvantiteter.
Kvantiteter findes diskontinuerligt og kontinuerligt.
Matematikkens uendeligheder findes mellem dets endeligheder: Mellem 1 og 2 findes en uendelighed (mellem to uens endeligheder findes uendeligheden), og ikke (efter mit hoved) i abstrakte angivelser som: "Uendelig er den størrelse der vokser ud over alle grænser".
Sådanne angivelser er forskningsplat.

Re: fejl i pølsehistorien

@ steen ørsted
[quote}

P.S. Er der nogen, som kan give en nærmere beskrivelse af det uendelighedsgear, som Jørgen Jacobsen beskrev 27.mar. 08. 23.47.

(Måske ham selv).
Jeg forstår heller ikke uendelighedsgearet, men jeg kan beskrive funktionen for en uendelig variabel gearkasse bestående af: Indgangsaksel, udgangsaksel og styreaksel. Akslerne er i indgreb med en tandhjulskombination jeg selv har lavet.

Funktionssekvensen er følgende:

Indgangsakslen påtrykkes 2000 O/M hvorved også udgangsakslen har 2000 O/M, styreakslen har ingen rotation. Accelereres styreakslen trækkes O/M fra udgangsakslen og ved konstant acceleration nås ingen rotation på udgangsaksel og kan derfor tilskrives uendelighedssymbolet nul.
Roterer styreakslen med konstant rotation forbliver udgangsakslen uden rotation.
Ved sekvensens begyndelse var udvekslingsforholdet 2000 : 2000 = 1.
Dvs. at der kan realiseres uendelige udvekslingsforhold mellem 1 og 0

Re: fejl i pølsehistorien

Til Einar. Tak for svar. Jeg forstår det stadig ikke. Men det skal ikke være dit problem. Det nærmeste, jeg kan komme en forståelse, er, at det er noget, der måske minder om kraftoverførelsen i differentialeudvekslingen mellem en bils to forhjul. Det ene hjul kan stå stille mens det andet kører og udvekslingen imellem de to hjul er total trinløs = uendelig, selvom den er baseret på tandhjul med endelige antal tænder. Jeg ved ikke om det handler om noget tilsvarende, men det er også ligemeget.
Til Kim. For mig er uendelighed en idé eller et begreb. Et slags hypotetisk potentiale, som ikke kan realiseres konkret i den fysiske verden, men som godt kan have et konkret indhold f.eks. 1 (pølse). Ingen (bortset fra pølsehakkemaskinen, som får uendelig travlt det sidste mikrosekund) kan hakke en pølse i uendelig. mange stykker, selvom pølsen har et hypotetisk potentiale for at blive det.
Og nej 0.99999999999ue. er nok ikke et tal (det er vel ikke engang en decimalbrøk) og uendelig mange er ikke et antal, og det er vel det, der påstås, hvis man vil sige, at det er det samme som 1. Steen

Tal

Steen
Tallenes fundamentale egenskaber afviser nemt 0,999999.... som værende = 1. Problemet er at matematikeren ikke har undersøgt sagen tilfredsstillende, og det begrunder jeg med egen matematiklæsning hvor denne matematik er fremstillet ikke tilfredsstillende og med mange misforståelser.
Men den "fungerer", og bankpersonalet klarer sig uden en grundlæggende forståelse for hvad de hver dag har mellem hænderne.

Re: tal

Missæren synes jeg består i, at et nital er en konkret ting, og jeg tror ikke, man kan have et uendeligt stort antal af noget konkret. Antallet kan være vilkårlig stort (så stort det skal være), men ikke uendeligt. Men et tal er jo også en konkret ting,så hvis man skal være krakilsk (og det skal man vel i sådanne spørgsmål), er det så ikke også forkert at sige, at der er uendelig mange tal mellem 1 og 2. Er sandheden ikke snarere, at der van være et vilkårlig stort antal tal mellen 1 og 2 men ikke uendeligt ? Tal er jo noget digitalt/diskret(adskilt i dele) menneskeskabt noget, mens pølsen (afstanden mellem 1 og 2) ligger der udelt og kontininuerligt. Men jeg indrømmer, det måske er fluebiiiiiiiiip, at skelne mellem et vilkårlig stort antal og uendelig mange. Steen

Re: tal

Der er ikke uendelig mange tal mellem 1 og 2: MULIGHEDEN for de uendelig mange tal er tilstede, men kan ikke realiseres.
Denne mulighed er en konsekvens af den matematiske afstand mellem 1 og 2, denne afstand er uendelig (og dermed kontinuerlig).
I øvrigt meget enig med i en del af dine betragtninger.

Re: tal

Der er ikke uendelig mange tal mellem 1 og 2

Intet tal er uendeligt, tal er altid diskontinuerlige

Følelse

Jan
I mit indlæg står at der ikke er uendelig mange tal mellem 1 og 2, men MULIGHEDEN er til stede for uendeligheden men denne mulighed kan ikke realiseres. Hvor mange tal er der så ml. 1 og 2.
Hvis et barn viser dig 10 tal beliggende ml. 1 og 2 - så er grænsen 10.
Hvis en gymnasieelev viser os 100000 tal - så er grænsen 100000.
Hvis en matematiklærer på sin pc viser os 100 mia. tal - så er grænsen 100 mia.
Både barnet/eleven/læreren har mulighed for at vise os endnu større tal, men uendeligheden kan ikke realiseres - og bliver aldrig realiseret. Det skyldes at der ml. 1 og 2 ikke findes uendelig mange tal, selv om 1000000 mia. følelsesmæssigt måtte forekomme at være uendeligt.
Til angivelse af uendelighed benyttes symboler, og et symbol er ikke et uendelig tal (dette tal eksisterer ikke) men blot et symbol.

Endnu værre

Jan
Dine brøker er ikke tal, men en brøk er opstilling på en divisionsopgave - bestående af to tal og en operationsangivelse (division).
Resultatet af divisionsopgaven 1/3 kan ikke angives ved et tal, men vi må ty til 0,3333333333........ Dette er et tal 0,3333333333 samt et symbol ......... på uendelighed = et tal og et symbol. Et tal og et symbol giver altid - et tal og et symbol.

Ros

Men ellers fint med seriøs kritik, Jan.

enden på komedie'n,

Kære Kim,
Hvis Du nu fortsætter hvor barnet/eleven/læreren slap,
hvornår bliver Du så færdig ?
driller Holger,

Drilleri

Kære Holger
Det ved jeg ikke.
Måske når konen råber "der er mad".
Fortsættes der, er det udholdenheden/trætheden der afslutter opgaven.
Fortsættes der, er det døden der afslutter opgaven.
Fortsættes der, er det solen som rød kæmpe opslugende jorden der afslutter opgaven.
Fortsættes der, er det universets emplotion der afslutter opgaven.
Fortsættes der, er det et nyt BB der afslutter opgaven.
Fortsættes der .............
Altså - det uendelig store tal eksisterer ikke.
Enhver opgave har en start og en slutning.

Suk

Jeg gentager bare:

Definition: "De reelle tal er alle tal, der kan skrives som en endelig decimalbrøk eller uendelig decimalbrøk".

Forhold dig til det. Det er ganske grundlæggende matematik.

Enhver brøk er pr. definition et tal - også de uendelige decimalbrøker.

Der er uendeligt mange tal mellem to andre tal - uanset, hvad disse er. Det er helt grundlæggende.

Du må da gerne lave din egen, hjemmestrikkede matematik med egne regler - men det holder ikke en millimeter.

Re: Endnu værre

Jan
Dine brøker er ikke tal, men en brøk er opstilling på en divisionsopgave - bestående af to tal og en operationsangivelse (division).
Resultatet af divisionsopgaven 1/3 kan ikke angives ved et tal, men vi må ty til 0,3333333333........ Dette er et tal 0,3333333333 samt et symbol ......... på uendelighed = et tal og et symbol. Et tal og et symbol giver altid - et tal og et symbol.

Tal

Tak Jan for kritikken.
Her har du en moddefinition: "En brøk er opstilling af en divisionsopgave".
Brøken er ikke et tal - men to tal og en operationsangivelse.
Rod 4 er ikke et tal, men opstilling af en ligningsopgave x*x = 4. Opgaven er uløst - et tal 2 er opgavens løsning.

NB Et tal er ikke to tal, og da slet ikke to tal og en operationsangivelse.
6/3 = 2 På venstre side står divisionsopgaven 6/3, på højre side står resultatet tallet 2. Venstre side er den uløste opgaveopstilling, højre side er den løste opgavestilling.
Brøker kan være ganske nyttige, men tal er det ikke men derimod uløste divisionsopgaver. Hjemmestrik - men godt strikket.

En eller to

Sig mig engang, er jeg blevet skiløjet: 1/2 er da ikke et (men to) tal.
Fjern / og man har tallet 12.
Et tal er ikke to tal.
To tal er ikke et tal.
Et tal og et symbol er ikke et tal.
Et symbol er ikke et tal.
Men:
Et tal er et tal.
To tal er to tal...............
Et symbol er et symbol.
To symboler er to symboler.
Nu har jeg snart fået strikket en hel trøje.

Re: Tal

Tak Jan for kritikken.
Her har du en moddefinition: "En brøk er opstilling af en divisionsopgave".
Brøken er ikke et tal - men to tal og en operationsangivelse.

Og så alligevel en lille tilføjelse

Jeg vil anbefale Kim at skelne mellem begrebet tal og repræsentation af tal.

Tallene kan skrives som arabertal, romertal, hieroglyffer, binære tal, hexadecimale tal, babylonisk kileskrift og masser af andre måder, der hver har deres fordele og ulemper.

De har det til fælles, at de de bruger symboler til at repræsentere tallene.

At vi bruger cifrene 0 til 9 i et decimalsystem betyder ikke andet, end at vi har valgt denne måde at beskrive de uendeligt mange tal på. Derfor må vi også leve med uendelige decimalbrøker, som er en konsekvens af repræsentationen - ikke af, at der er huller i tallegemet.

Hvis vi i stedet valgte en repræsentation med 28 forskellige symboler, kunne der være talcifre for 0, 1/3, 2/3, 3/3, 4/3 .....27/3.

Så ville 1/3 pludseligt være et tal, Kim. Hvordan vil du forklare, at definitionen af tal pludselig afhænger af repræsentationen...

Som sagt, du er ikke matematiker, og dermed forlader jeg endeligt tråden.

Re: Drilleri

Det ved jeg ikke.
Måske når konen råber "der er mad".
Fortsættes der, er det udholdenheden/trætheden der afslutter opgaven.
..snip..
Enhver opgave har en start og en slutning.

Kone

Finn - jo, øh Newton var ikke gift og sagde om hans arbejdsmetode "Jeg tænker vedvarende på løsning af videnskabelige spørgsmål".
Han ligner mange af de store - hos Bohr var der dog plads til en stor og lykkelig familie (jeg gætter, at konen havde forståelse for kreativitet).

Tal

Jan
Det er ligegyldigt på hvilket sprog matematik drøftes eller hvorledes du lader tallene fremgå - det væsentlige er tallenes egenskaber.
Fundamentale egenskaber er
Et tal er et tal
To tal er to tal
Et symbol (for en størrelse der ikke kan fremstå som et tal) er et symbol
To symboler er to symboler

To tal kan blive til et tredie ved en matematisk operation, det forudsætter to tal og en operationsangivelse. Enhver operation tager tid, og er derfor tilknyttet en operationens førtid (opgaveopstilling) - operationens nutid (opgaveløsning) - operationens eftertid (konklusion).
4:2 = 2 - her har du en opstilling (4:2) en løsning (=) samt konklusion (resultatet 2). Du ser gerne at opgavens førtid og eftertid er eet fedt. Var det tilfældet opstår store grundlæggende vanskeligheder for matematikken, vanskeligheder der kun bør tillægget fantasien.

0.00000000000000...............1

Mener matematikerne også, at nul komma ue. mange nuller efterfulgt af et ettal er det samme som nul ?
Jeg synes jo umiddelbart, at det lille 1 (ude bag horisonten) må ødelægge regnskabet, uanset hvor uendelig mange nuller, man har læsset foran. Forskellen vil selvfølgelig være fuldstændig betydningsløs i praksis, men det betyder ikke, at den ikke er der - i hvertfald ikke i min stakkels hjerne. Steen

Stakkel

Hej Steen
Skal du angive en kontinuerlig størrelse K (uendelig er kontinuerlig), kan det diskontinuerligt (tal) kun gøres tilnærmet.
Denne tilnærmelse vil være
1) > K
2) < K
Der er en grænse mellem 1) og 2) der er = K, K kan ikke angives diskontinuerligt - men kan angives abstrakt med et symbol.

Trekant. I mange trekanter kan hypotenusen angives eksakt og de to kateter er angivet ueksagt - og hvis de to kateter angives eksakt er angiveslen af hypotenusen ueksagt. Arrrrg

Re: Stakkel

Hej Steen

Skal du angive en kontinuerlig størrelse K (uendelig er kontinuerlig), kan det diskontinuerligt (tal) kun gøres tilnærmet.

Denne tilnærmelse vil være

1) > K

2) < K

Der er en grænse mellem 1) og 2) der er = K, K kan ikke angives diskontinuerligt - men kan angives abstrakt med et symbol.

Re: Stakkel

Til Kim! For mig er der stadig et problem, også selvom man sætter et uendelighedssymbol på. Jeg synes jo, at 0,999999999999ue. ikke helt er 1. der vil altid mangle et uendelig lille stykke, som gør, at det ikke kan nå grænsen 1. Forskellen vil være uendelig lille, og til det vil en matematiker sikkert sige, at uendelig lille er det samme som 0, fordi det ikke kan være større uden at kunne beskrives med et endeligt tal.
Men for mig er uendelig lille også noget, der nærmer sig 0 uden nogensinde at kunne nå helt frem
Humlen ligger bl.a. i at man på matematisk accepterer en realiseret uendelighed her og nu af f.eks. nitaller, selvom man ikke kan se dem.
Men selvom, jeg også accepterer dette, er det svært for mig at tro, at nitaller alene skulle kunne give lige præcis 1 selvom man har uendelig mange af dem. Men der er vel ting, man bare må leve med.
Til Einar: Hvordan et "uendelighedsgear" virker, har jeg stadig svært ved at se for mig, men det kan jeg også sagtens leve med. Steen

Bil

Einar
Vi har to biler:
1) med en kontinuerlig variabel gearkasse
2) med en gearkasse med et uhyre antal gearskift

1) kan ikke laves med manuel betjening (var det tilfældet er det en gearkasse 2), men virker ved "automatik" f.eks. ved den kontinuerlige gravition
2) antallet af gear er endeligt og betjenes manuelt. Mellem to nærmeststående gearskift er der kontinuerligt uendelig mange muligheder for gearskift - uheldigvis har konstroktøren her ikke udarbejdet nogen gearskift.

På luftpudebænken kan 1) vises ved en vogn med et lod gravitionelt virkende over en trisse vinkelret på kørselsesretningen. Accelerationen er jævn. En jævn acceleration er kontinuerlig.

I en lille modelbil med mange gearskift kan 2) vises - og denne model accelererer "ujævnt".
Øh kom jeg for langt fra emnet.

minimum

hvis man har et molekyle af et æble, kan man så sige man har en bid af et æble?
hvis atomerne i kofangerne svinger fremad, kan man så sige at man er i gang med en overhaling?
er alting delelige i stadig mindre dele, eller deler man ingenting når man deler mange gange nok?
er de uendeligheder der er afhængig af andre uendeligheder mindre end disse?
eller er det ikke den historiske viden der er afgørende for at man kan afgøre om noget har en effekt?

Grænse

Steen
Når du skal nå en grænse (eller angive denne), må du bevæge dig hen til den (eller forestille dig at den nås). Du må gøre holdt for at tjekke ud om den er nået - hvis ikke bevæges der påny. Har grænsen en afstand med en diskontinuerlig egenskab, vil den nås i et endelig antal bevægelsesforsøg (min. 1 forsøg).
Har grænsen en afstand med en kontinuerlig egenskab, vil den aldrig nås i et endelig antal bevægelsesforsøg - men denne grænse kan nås i min. uendelig mange forsøg.
Selv om man har mange forsøg, har man aldrig uendelig mange. Det skyldes at uendelig mange forsøg ikke eksisterer. Til gengæld eksisterer uendelig mange muligheder, men alle disse kan ikke realiseres.
Emperien - erfaringen - viser os dette igen og igen og igen og igen (jeg havde nær sagt i en uendelighed).

Sådan har naturen bestemt det.
PS Ofte rodes det hele rundt, og tillægges betegnelsen abstrakt.

Re: Grænse

Kim: Hvad mener du med bevægelseforsøg ? Kan man ikke bare i èt forsøg bevæge sig gennem en kontinuerlig afstand hen til et mål, man kan se foran sig ? Steen

Re: Bil

Kim, Steen

Der findes i dag uendelige variable gearkasser og i patentdatabaser kan man læse om hvordan de fungerer. Fælles for dem er, at de er en kombination af en kontinuert variabel gearkasse og et planet gear, de bygger alle på friktionsprincippet samt hydraulik. Så vidt jeg ved er der ingen på tandhjulsbasis. Ved at fokusere på patenter på disse gear for man illustreret at uendelig variabel er et symbol. Det er i hvert fald sådan jeg har forstået hvad uendelig variabel er.

Re: Bil

Kim, Steen

Der findes i dag uendelige variable gearkasser og i patentdatabaser kan man læse om hvordan de fungerer. Fælles for dem er, at de er en kombination af en kontinuert variabel gearkasse og et planet gear, de bygger alle på friktionsprincippet samt hydraulik. Så vidt jeg ved er der ingen på tandhjulsbasis. Ved at fokusere på patenter på disse gear for man illustreret at uendelig variabel er et symbol. Det er i hvert fald sådan jeg har forstået hvad uendelig variabel er.

A og B

Steen
To usamstedige punkter A og B.
Du bevæger dig fra A til B - i mindst eet forsøg. For kort og vi må forsøge igen, for langt og vi forsøger igen. I et endelig antal forsøg når vi B. Det er faktisk ikke så nemt at ramme plet.
Afstanden IA BI er som du skriver kontinuerlig, du har mulighed for uendelig mange stop undervejs - men du er ude af stand til at udnytte samtlige disse muligheder.
Man kan lave megen matematisk smartness, men naturens fundamentale egenskaber lader sig ikke rokke.
Som du ser skelner jeg mellem muligheder og faktiske gennemførelser.
Det forbløffende er nu at uanset hvor lille afstanden IA BI er, så vil denne være kontinuerlig og med mulighed for uendelig mange delinger.

Et er at sige at man vil vinde Tour De France (vi har alle den mulighed), et andet er at realisere det.

Re: Stakkel

Jeg synes jo, at 0,999999999999ue. ikke helt er 1.

Re: Tal

Du ser gerne at opgavens førtid og eftertid er eet fedt. Var det tilfældet opstår store grundlæggende vanskeligheder for matematikken, vanskeligheder der kun bør tillægget fantasien.

Frækt

Troels
Det lille bevis har to dele, hvor den første er rigtig - men anden del er forkert.
Sorry.
Det rigtige er: (10*0,999..... - 0,999.....)/9 = (9,99..... - 0,999.....)/9 = 0,999.....

Pointen er at 0,999..... er forskellig fra 0,99..... Hvis vi fusker forskelligheden bort med en lighed, kan vi få "bevist" at 0,99999...... = 1.

Vi skal errindre at 0,999..... er et tal 0,999 og et symbol ..... på uendeligt.
Et tal er altid diskret og aldrig uendeligt (hvorfor vi må ty til symboler for angivelse af uendeligt).

Vanskeligheder

Troels
Gør vi en matematisk opgave (opgaveopstilling/løsning/konklusion) alene til en nutid (i stedets for opgavens førtid/nutid/eftertid), har vi den umiddelbare vanskelighed - i strid med erfaringen - at opgaven ikke kan opstilles og derfor ikke kan løses (opstillingen er en forudsætning for løsningen). Endvidere udebliver konklusionen, da denne som forudsætning har opgaveopstilling og løsning.
Vi er her inde og se på matematikkens fundamentale grundlag.

Re: Frækt

0,999..... er forskellig fra 0,99.....

Re: Vanskeligheder

Kim
Du skrev længere oppe:

Brøken er ikke et tal - men to tal og en operationsangivelse.

Nej

Troels
1/2 = 1:2 - er to ensbetydende opstillinger på en matematisk opgave, bestående af to tal og en operationsangivelse.
At kalde 1/2 for et tal går ikke an - enhver kan se at det er to tal og operationssymbolet for division.
Fundamentalt er et tal et tal, to tal er to tal, tre tal er tre tal ........

1/2 opfylder netop forudsætningen for den grundlæggende matematiske opgaveopstilling: to tal og en operationsangivelse.

1/2 Her har vi en opgaven 1/2 (eller 1:2)
1/2 = Her har vi opgaven samt spørgsmålet = (er lig med?)
1/2 = 0,5 Her har vi opgaven samt løsningen = (er lig med). Endelig har vi konklusionen 0,5.
Der er altså forskel på om du betragter = fra venstre eller du betragter = fra højre. Fra venstre er = et spørgsmål, fra højre er = et svar - og et spørgsmål og et svar er ikke eet fedt.
Alt under forudsætning for den almindelige vedtaget læseretning.

Matematiske smartness opstillinger ændrer ikke på naturens fundamentale egenskaber.

Uendelighed

Når man kommer lidt væk fra matematikkens dagligdags anvendelser sker det ofte at de algebraiske resultater kommer i konflikt med intuitionen.

Mht. uendelighed i forbindelse må man forstå at dette er helt forskelligt fra "et meget stort tal". Beskrivelsen af "Hilberts Hotel" illustrerer dette. En mængde med uendelig mange elementer er karakteriseret ved, at der kan etableres en én-til-én mapning mellem mængden selv og en ægte delmængde af mængden. Dette er helt forskelligt fra endelige mængder, uanset hvor store de måtte være og helt forskelligt fra noget man kan afprøve i den fysiske verden.

0,999999999999999............

Troels
Jeg gjorde noget så banalt som at regne efter på en lommeregner.
Som med brøken, kan enhver se at 0,999 ikke er lig 0,99.
Den er indiskutabel.
Snakken handler ikke om tallet men om symbolet .........
- og symboler er jo taknemmelige, de protesterer ikke som tallene ville gøre.
Definition på uendelig, "En uendelighed er en kontinuerlig størrelse der har matematisk eksistens mellem to uens diskontinuerlige størrelser".
Den matematiske afstand mellem 1 og 2 er uendelig, der er mulighed for uendelig mange tal herimellem - men muligheden kan ikke matematisk realiseres, så "tallet" 0,999999....... eksisterer ikke, og kommer aldrig til det. Men er 0,999999...... da ikke bare = 1, nej men 1 = 1. Tallene er altid sig selv lig, og ikke lig andre tal.

0,999...... Er et tal og et symbol - 0,99...... Er et mindre tal og et symbol
Hverken 0,999 eller 0,99 er uendeligt - men ...... er et uendelighedssymbol og ikke et tal. Men kan ...... gøre 0,999 uendeligt? Nej, for dette uendelige tal har ingen eksistens. Det skyldes at tal er diskrete, hvorimod uendelig er kontinuert.

Jeg snakker for meget, slut.

Re: Nej

@Kim Sahl: Jeg er ked af at måtte sige det så direkte, men: læs svarene fra Troels igen. Han har væsentlig mere styr på dette end dig.

Hvis man endelig vil vide hvad 1/2 er i den abstrakte algebra skal man forstå hvordan de rationale tal fremkommer som brøklegeme (engelsk: quotient field) af de hele tal.

0,9u = 1

Hej Kim

0,9u (altså 0,999... med uendelig antal 9'taller) findes. Det er summen den uendlige række af 1/(2^i) for i = 1 til i = uendelig.

Matematisk set er 0,9u det samme som 1 idet der ikke findes noget tal A for hvilket det gælder: 0,9u<A<1.

-Eivind

Re: Frækt

Et tal er altid diskret og aldrig uendeligt

Wiki

Wiki. Jeg oversætter:
"Brøkstregen adskiller brøkens to tal".
Jeg er enig, og skrev tidligere: "En brøk er to tal og en operationsangivelse" - operationsangivelse og brøkstreg skal ikke skille os.
Var det muligt at starte en bred enighed her. Hvis ikke taler vi nok ikke samme sprog.
VH det matematiske 0

Re: Nej (Jo)

Kim

At kalde 1/2 for et tal går ikke an - enhver kan se at det er to tal og operationssymbolet for division.

A rational number is a number that can be expressed as a fraction p/q where p and q are integers and q!=0.

Men kan ...... gøre 0,999 uendeligt? Nej, for dette uendelige tal har ingen eksistens.

Tal

Eivind
Inden for samme talalfabet (f.eks. 10 tal systemet), er et tal aldrig = et andet tal.
Vi har 0,9 = 0,9 og 4 = 4 og 1 = 1. Jeg behøver ikke tilføje at to forskellige tal altid er hinanden ulig.
Ligeledes med symboler.
0,999..... og 0,99..... er hinanden ulig - symbolerne er ens men tallene er uens. Jeg syntes ikke at man med noget smartness kan ændre på naturens fundamentale egenskaber.

tal

1=10/10

!

Kurt
Den overgåes vel kun af en spændt forfatter der om sin ny bog skrev "?".
Forelæggeren svarede "!".

Tolnø skriver om brøkers forkortningsregel: a/b = a/k:b/k
Jeg har rettet det til a/k:b/k = a/b.
Ændrer vi den alm. læseretning venstre - højre, til højre - venstre må jeg ind og rette til Tolnøs oprindelige.

Arbejde

Troels
Hvad er op og ned, hvad er rigtigt og hvad er forkert.
I matematisk leksikon står "Uendelig er en størrelse der vokser ud over alle grænser".
Det lyder abstrakt, hvad det også er. Vi skal passe på at det ikke bliver så abstrakt, at det tager sig ud som videnskabeligt plat.
Men hvad der for den ene er plat, kan for en anden være en åbenbaring.
Når en brøk kaldes for et tal, er det undskyld mig - bøffet. Enhver kan se de to tal (og endda en operationsangivelse) - det medgiver Wiki da også. Brøken kan måske erstattes af et tal - men først efter opgavens løsning.
Men sådan er der så meget.

Re: Arbejde

Brøken kan måske erstattes af et tal - men først efter opgavens løsning.

VH det matematiske 0

Frækt, huller o.a.

Til Troels o.a.
Det lille frække bevis synes jeg ikke virker fordi : Hvis x er lig med alle nitallerne efter kommaet, som skulle være det samme som 1, er det klart, at 9 komma x minus 0 komma x er lig med 9. og hvad så ? Det er også klart, at 9 divideret med 9 er lig med 1, og hvad så ? Hvad beviser det ? Måske har jeg ikke forstået det helt.
Jeg hører til dem, der også mener, der er huller i talrækken mellem 1 og 2 fordi: Hvis to tal er forskellige, må der være et lille hul imellem dem. Det kan ingen lave om på, og det er vel forskellige tal, vi taler om ? Steen

Blød i bolden

Anders
Jeg kan se at det er på tide at få afgjort vores lille brøkstrid.
Fandt på nettet: "Enhver brøk er et tal..." og "Brøkstregen adskiller brøkens to tal" - hvad så? er en brøk eet eller to tal.
Enhver idiot kan se at det er to tal, så Anders du er i undertal (det er godt nok idioter, men der er mange af dem). Det er Wiki der idiodisk hævder de to tal, og tilføjer endda en brøkstreg: To tal adskilt af en operationsangivelse, minder mistænkeligt meget om en matematisk opgaveopstilling. Man skal nok være blød i bolden for at kunne se det.

Øh du mener at opgaver er løst endda før de er opstillet, men hvordan ved naturen hvilke opgaver vi opstiller. Eller har naturen allerede gennemregnet samtlige opgaver.

Tallenes notation er underordnet, enig. Men tallenes fundamentale egenskaber kan der ikke ruttes med, omend man kan være uenig og mene at en brøk er henholdsvis et tal eller opstilling på en divisionsopgave.

Beholder det matematiske 0 lidt endnu

Hul igennem

Steen
Vil du udfylde alle huller mellem 1 og 2, skal du bruge uendelig mange tal.
Så mange findes der ikke, og der vil altid være huller at stoppe.
Men vi kan blive ved at fylde huller, og når aldrig det enestående: at udfylde det sidste hul. Det er de matematiske egenskaber der råder, og kun lader dig tilnærme fantasitallet uendelig.
Men det er vi vist enige i.

Re: Frækt, huller o.a.

Hvis x er lig med alle nitallerne efter kommaet, som skulle være det samme som 1, er det klart, at 9 komma x minus 0 komma x er lig med 9. og hvad så ? Det er også klart, at 9 divideret med 9 er lig med 1, og hvad så ? Hvad beviser det ?

Re: Blød i bolden

@Kim

Fandt på nettet: "Enhver brøk er et tal..." og "Brøkstregen adskiller brøkens to tal" - hvad så? er en brøk eet eller to tal.

Tallenes notation er underordnet, enig.

Re: Frækt, huller o.a.

Jeg hører til dem, der også mener, der er huller i talrækken mellem 1 og 2 fordi: Hvis to tal er forskellige, må der være et lille hul imellem dem. Det kan ingen lave om på, og det er vel forskellige tal, vi taler om ? Steen

Re: Blød i bolden

Anders
Jeg kan se at det er på tide at få afgjort vores lille brøkstrid.
Fandt på nettet: "Enhver brøk er et tal..." og "Brøkstregen adskiller brøkens to tal" - hvad så? er en brøk eet eller to tal.
Enhver idiot kan se at det er to tal, så Anders du er i undertal (det er godt nok idioter, men der er mange af dem). Det er Wiki der idiodisk hævder de to tal, og tilføjer endda en brøkstreg: To tal adskilt af en operationsangivelse, minder mistænkeligt meget om en matematisk opgaveopstilling. Man skal nok være blød i bolden for at kunne se det.

Øh du mener at opgaver er løst endda før de er opstillet, men hvordan ved naturen hvilke opgaver vi opstiller. Eller har naturen allerede gennemregnet samtlige opgaver.

Matematikkens fantastiske egenskaber

Frit efter hukommelsen en vittighed, der fortæller meget om, hvor fantastisk matematik er.

Tre mænd - en biolog, en ingeniør og en matematiker - er på vandretur. De finder en hytte og konstaterer, at den er tom.

Så beslutter de sig at sætte sig på en bakketop og holde øje med hytten.

Lidt efter dukker der to personer op, og de går ind i den hidtil tomme hytte. Efter et par minutter kommer der tre personer gående ud.

"De må være reproduktion, de har formeret sig", siger biologen.

"Nja", siger ingeniøren, "det er kan også være en måleusikkerhed. Måske talte vi forkert".

Matematikeren siger ingenting, før der lidt senere atter går en person ind i hytten.

Så siger han: "Ja, så er hytten tom igen".

Re: Hul igennem

Vil du udfylde alle huller mellem 1 og 2, skal du bruge uendelig mange tal.
Så mange findes der ikke, og der vil altid være huller at stoppe.

Er de ens ?

Til Anders.
De uendeligt mange tal, der gør talrækken sammenhængende - er de forskellige allesammen ? Steen

Lidt

Til alle
Vi må underrsøge lidt på matematikken grundlag, set gennem mine briller - lader dem gå lidt ned på næsen, så syner jeg af lidt mere:

Et tal representerer sig selv og er en matematisk størrelse. Denne representation udgør tillige en størrelse kaldet et antal.
Et tal kan være neutralt (indgår ikke i nogen sammenhæng udover at være sig selv lig), eller det kan være uneutralt (det indgår i en sammenhæng der er tallet lig eller ulig).
2 er her neutralt, har værdien "2" og er i antal benævnt "1".
2+5 samt 2+0 er alle uneutrale, har værdierne 2 5 2 0 og er i antal fire.
Uneutrale tal indgår i sammenhænge kaldet matematiske operationer. Disse har altid en helt usædvanlig egenskab, de accepterer kun og alene to led i operationen (samt operationangivelsen): Et grundlæggende led og en operand.
2+5 er en matematisk operationsopgave bestående af et grundlæggende led (2) en operationsangivelse (+) og en operand (5): Vi lægger 5 til 2.
Kunne vi ikke lægge 2 til 5? Jo, men jeg holder mig til en systematik der kan gennemføres ved de øvrige matematiske operationer:
4-1 her trækkes 1 fra 4.
4*5 her ganges 5 med 4.
4:2 her divideres 2 ind i 4.
Må stoppe, eller smider min pc mig af tråden.

1 uendelighed

kan man i det hele taget have 1 af dem?
altså den mænge et antal rummer
altså kan man kalde det for for 1 uendelighed, for man kan jo ikke have 2 af den samme uendelighed
er det ikke snarere uendeligheden af dit og dat som hverken kan være 1 eller 113, men selvfølgelig godt kan være "en uendelighed" som henviser til den specifikke uendelighed
det er jo et problem at sige man har 1 uendelighed, hvordan ved man det?
eller kan noget som er uendeligt være 1, det må da være det væltet 8-tal man har og ikke 1= uendelig, lige som man heller ikke har 1= pi

Operation

Videre.
En matematisk operation er en funktion der ikke er en del af noget tal, og har ikke selv nogen matematisk størrelse. Funktionen frembringer i en matematisk opgave, en ny størrelse forskellig fra opgavens to led (0 og 1 er undtaget opgaven).
Er 12 et tal? Ja, og det representerer sig selv.
Er 1 og 2 et tal? Nej, det er to tal representerende sig selv.
Er 2/ et tal? Nej, det er et tal og en operationsangivelse, hver representerende sig selv.
Er 1/2 et tal? Nej, det er en matematisk opgave - 1/2 opfylder opgavens forudsætning: Et grundtal en operationsangivelse og en operand.
1/2 er altså to tal og en operationsangivelse, samlet kaldes en matematisk opgave.
Nu glider brillerne snart af næsen.

Re: Er de ens ?

Til Anders.
De uendeligt mange tal, der gør talrækken sammenhængende - er de forskellige allesammen ? Steen

Re: Er de ens ?

At du nævner to måder at skrive 1 på, hvordan beviser det, at de uendelig mange tal i talrækken er forskellige ? Jeg er ikke med. Steen

Wiki

Med et mat. lex "Enhver brøk er et tal", har vi en uoverensstemmelse med min "En matematisk operation er en funktion der ikke er en del af noget tal" - idet der i enhver brøk indgår en operationsangivelse.
Tager vi i 4/2 operationsangivelsen bort har vi ingen brøk (men to neutrale tal), forbliver angivelsen har vi en brøk men ikke et tal da angivelsen "ikke er en del af noget tal". Ergo er en brøk ikke et tal.
Den er Wiki helt med på: "Brøkstregen adskiller brøkens to tal".

Re: Hul igennem

Anders havde tre spørgsmål. Svar:

1) Mellem 1 og 2 eksisterer der en mulighed for uendelig mange tal.
Det skyldes at "afstanden" er kontinuerlig, og er den kontinuerlig er den uendelig. Da 1 og 2 er forskellige og er diskrete, opfyldes "Mellem to ulig store diskrete størrelser, eksisterer en matematisk uendelighed".
Der findes ikke realiseret uendelig mange tal mellem 1 og 2.
2) Det størst realiserbare tal mellem 1 og 2, er ikke statisk men dynamisk -det ændres over tid.
3) Ja

Grænse

I et mat. lex læste jeg engang "Uendelig er en størrelse der vokser ud over alle grænser".
Dette er i strid med "Mellem to ulig store diskret størrelser, eksisterer en matematisk uendelighed" - vi må tilføje et kun: "Kun mellem to ulig store størrelser, eksisterer en matematisk uendelighed".
Den uendelighed der er mellem 1 og 2 kan ikke vokse ud over 1 og 2, kan ikke "vokse ud over alle grænser".
På denne måde er der lidt styr på den ustyrlige uendelighed.

2+2

Anders
Enig i at 2+2 = 4, og at dette er statisk - at det er uafhængig af tid.
Når barnet skal lære dette, bliver det en opgave der er dynamisk og afhængig af tid.
Da en flad jord nævnes sammen med mit navn, beholder jeg mit 0 (her altså ikke bare matematisk, men nu også et måske bredere videnskabeligt 0).
Gud ved om jeg nogen sinde slipper af med det sølle 0.

Re: Blød i bolden

Troels
Skulle mene at et talalfabet konstrueres ud fra et diskret grundtal.
Tallet optræder så numerisk i ethvert tal et bestemt (og altså diskret) antal gange, i tallet 1 een gang.
I 0 dog 0 gange, i uendelig dog uendelig mange gange.
Tallene er for hvert trin en vekselvirkning mellem lige og ulige. 0 er lige og u er ikke tilknyttet denne lige/ulige egenskab, da u ikke er et diskret tal k (som alle de andre tal). Vi har følgende egenskab tilknyttet tallene og den matematiske uendelighed u:
..... u k u k u k u k u k u k u k u k u k u k u k u k u k .......
To nærmeststående k'er er aldrig lige store.
Mellem to uens store diskrete størrelser, findes en uendelighed.

(Ryster på hovedet og forlader tråden)

Manden er lige så rablende gal som de værste konspirationsteoretikere - eller måske endda værre.

.... u k u k u k u k .....

I ovenstående ...... u k u k u k u k u k ...... indsættes:
...... 3 u 4 u 5 u 6 u 7 ....... og
....... 0,3 u 0,4 u 0,5 u 0,6 ...... og
....... 5000 u 6000 u 0,4 u 0,000000000002 u 1 u 9 ......
Disse er matematikkens størrelsers fundamentale egenskaber.

I den anden ende af matematikken, har vi de fundamentale egenskaber vedr. 0. Mellem to ens diskrete størrelser, findes 0:
....... 0 k 0 k 0 k 0 k 0 k 0 k 0 k 0 .......
To nærmeststående k'er er her altid lige store
Vi indsætter:
.... 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 1 0 ......
..... 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 0 4 .....
..... 345 0 345 0 345 0 345 0 345 .....

Værre

Anders
Jeg tror dog på at menesket har været på månen, og som Holbergs Montanus at jorden er rund.
Men nullet beholdes.

Re: Hulproblemet igen

Til Anders :
Hvis der er er huller i talrækken mellem 1 og 2 kan vi bare fylde tal i.
Men, hvis det er en grundlæggende sandhed, at der er altid vil være et hul mellem to forskellige tal, kan vi da ikke løse problemet ved hjælp af tal, så må vi putte noget andet i hullerne.
Du siger selv, at alle tallene er forskellige, og jeg går ud fra, at når vi bruger ordet "et tal", taler vi om en konkret størrelse. Steen

Hul

Steen
Tror at Anders er ude, men her forsøg på et svar:
Et tal er diskret eller som du skriver af en konkret størrelse.
Jo der er altid et hul mellem sådanne to, hvis de er forskellige.
Forskelligheden sikrer hullet.
To ens tal og huller er væk, det noteres med et 0.
Hvad kan udfylde hullet mellem to diskrete (forskellige) tal - det kan en kontinuerlig størrelse kaldet uendelig.
Det er vist ikke meget vi er uenige i.

Symbol

En kontinuert størrelse kan ikke angives med et diskret tal, men vi må ty til symboler:
0,9........... her ligger u mellem 0,9 og1
0,99........... her ligger u mellem 0,99 og 1
Derfor er 0,9......... og 0,99........... ikke ens.

Og

0,55555555........ her ligger u mellem 0,55555555 og 0,6
Vi kunne skrive 0,55555555......0,6 eller 0,55555555u0,6 - u er ikke en en diskret størrelse (men en kontinuert størrelse) hvorfor intet tal erstatter u.
Vi kan også vedtage andet, men u mellem to uens diskrete tal kommer vi ikke uden om.

Forsvindingsnummer

Har vi tallene 4 og 2, er der herimellem en matematisk uendelighed.
Den forsvinder i resultatet af tallenes indsættelse i opgaven 4/2, da 4/2 = 2 og 2 er diskret.
Her forsvinder "det matematiske 0".

meningsløse tal

er der nogen der kender de meningsløse tal
det er de tal der ikke eksisterer i den virkelige virkelighed

Er uendelig et heltal

Sådan lød trådens spørgsmål. Jeg forlader tråden med en opsamling.
Uendelig er ikke et tal, idet alle tal er diskrete og uendeligheden er kontinuerlig:
Den matematiske afstand mellem to forskellige tal er altid uendelig, og den matematiske afstand mellem to ens tal er altid 0.
Matematikkens diskrete størrelser angives ved tal, matematikkens kontinuerlige størrelser angives ved symboler.
Et tal bør indenfor eet og samme talalfabet altid angives ved eet og samme tegn (herved undgås det urigtige 0,9999999u = 1 eller 1 = 0,9999999u - her er kun 1 = 1 rigtigt).

Enhver matematisk kvantitet kan være endelig eller uendelig, dette kan vises ved analytisk geometri hvor kvantitetens egenskab afhænger af analyseiagttagelsen. Denne iagttagelse er som en musisk duet.
VH det matematiske 0

Re: Kim Sahl

Hej Kim

Jeg vil ikke gå i detaljer med dine mange sidste indlæg, blot komme med et par observationer:

1) Det virker som om du har en reel og brændende interesse for matematik! Sådan - det er et spændende felt. Der er _uendeligt_ meget at lære ;-)

2) Du tænker over tingene. Fedt. Uden denne egenskab kommer man ingen vegne. Kudos! Super!

3) Det er tydeligt at du ikke er skolet i faget matematik. Og jeg mener MEGET tydeligt.

OK - og hvad så... Mange vil sige "det er fedt, så finder du nok på noget nyt."

Ja, det gør du måske. Og måske ikke.

Euklid, Newton, Leibniz, Riemann, Cauchy, Cantor og mange andre havde væsentligt mere interessant at sige om uendelighed, infinitesimaler, geometri, de reelle tal, følger og rækker end du har demonstreret i denne tråd.

Faktum er, at mennesket har beskæftiget sig med matematik i minimum 2500 år. Vi kan nu ganske trivielt løse problemer der var uoverstigelige for de gamle grækere (eks.: find arealet under en parabel), men det er da ikke fordi vi er klogere - det er fordi vi, idag, står på skuldrene af 2500 års kritisk, disciplineret og rationel tænkning.

Det DU forsøger er, at starte fra bunden. Fair nok. Fint! Meget fint. Held og lykke med det, og god vind.

Men Kim: JEG har sgu ikke tænkt mig at vente 2500 år før du med dine nye systemer finder ud af at hvordan man integrerer indikatorfunktionen hen over en ellipsoide eller beregner rumfanget af en kugle. Du er omkring 2500 - (2011 - 1675) = 2164 år * en menneskehed af kloge hjerner fra at imponere mig.

Jeg sætter meget stor pris på folk der tænker ud af boksen, men jeg lytter ikke meget til folk der forkaster flere årtusinders viden til fordel for deres egne garageargumenter - og dine ovenstående falder i sidste kategori.

Kim, jeg vil anbefale dig at tage et eller flere kurser i Matematisk Analyse. Køb evt. Ebbe Tue Poulsens bog "Funktioner af en og flere variable" (titel frit efter hukommelsen) - noget af det bedste matematik jeg har læst.

De bedste hilsener!
Troels Mikkelsen

Re: Re: Kim Sahl

Ebbe Tue Poulsens bog "Funktioner af en og flere variable"

Re: Kim Sahl

Hej Kim

Jeg vil ikke gå i detaljer med dine mange sidste indlæg, blot komme med et par observationer:

1) Det virker som om du har en reel og brændende interesse for matematik! Sådan - det er et spændende felt. Der er _uendeligt_ meget at lære ;-)

2) Du tænker over tingene. Fedt. Uden denne egenskab kommer man ingen vegne. Kudos! Super!1

3) Det er tydeligt at du ikke er skolet i faget matematik. Og jeg mener MEGET tydeligt.

OK - og hvad så... Mange vil sige "det er fedt, så finder du nok på noget nyt."

Ja, det gør du måske. Og måske ikke.

Euklid, Newton, Leibniz, Riemann, Cauchy, Cantor og mange andre havde væsentligt mere interessant at sige om uendelighed, infinitesimaler, geometri, de reelle tal, følger og rækker end du har demonstreret i denne tråd.

Faktum er, at mennesket har beskæftiget sig med matematik i minimum 2500 år. Vi kan nu ganske trivielt løse problemer der var uoverstigelige for de gamle grækere (eks.: find arealet under en parabel), men det er da ikke fordi vi er klogere - det er fordi vi, idag, står på skuldrene af 2500 års kritisk, disciplineret og rationel tænkning.

Det DU forsøger er, at starte fra bunden. Fair nok. Fint! Meget fint. Held og lykke med det, og god vind.

Men Kim: JEG har sgu ikke tænkt mig at vente 2500 år før du med dine nye systemer finder ud af at hvordan man integrerer indikatorfunktionen hen over en ellipsoide eller beregner rumfanget af en kugle. Du er omkring 2500 - (2011 - 1675) = 2164 år * en menneskehed af kloge hjerner fra at imponere mig.

Jeg sætter meget stor pris på folk der tænker ud af boksen, men jeg lytter ikke meget til folk der forkaster flere årtusinders viden til fordel for deres egne garageargumenter - og dine ovenstående falder i sidste kategori.

Kim, jeg vil anbefale dig at tage et eller flere kurser i Matematisk Analyse. Køb evt. Ebbe Tue Poulsens bog "Funktioner af en og flere variable" (titel frit efter hukommelsen) - noget af det bedste matematik jeg har læst.

De bedste hilsener!
Troels Mikkelsen

Kender du typen

Hej Troels
Kender du typen - et TV show hvor man ofte forbløffende indetificerer en x person.
Din beskrivelse af mig rammer ganske godt. Måske du stiller op i et nyt show "Gæt den videnskabelige person x".

Helt rigtigt, jeg er startet fra bunden - egentlig med fysik hvor jeg har løst flere fundamentale ældgamle problemstillinger. Blot et eks. Inertiel bevægelse/hvile - definition:
1) et fysisk system hvorfra der observeres, er altid i hvile
2) et fysisk system der observeres, er altid i bevægelse
Det er indlysende og smukt konstrueret af naturen. Engang vil det stå i enhver fysikbog!

Arbejdet med fysik er selfølgelig også matematisk, og jo jeg er igang med den grundlæggende matematik. Men her kommer jeg i en konflikt: Nogle af de grundlæggende aksiomer forekommer at være så abstrakte at de ender i urigtigheder - men jeg kan tage fejl som alle andre. Jeg har smidt et par at mine observationer ud i debatten her.
Og så - arbejder jeg flittigt på min første artikel "Naturens grundlæggende egenskaber", grundforskning med stort G, hvor det søges at få et overblik over "det fuldstændig altomfattende" - for nu at citere fra indledningen.
Senere vil jeg helt sikkert kaste mig over matematikkens grundlag, et grundlag der hvile på nævnte artikel.
Venlige hilsner det matematiske 0.

Re: Kim Sahl

sikke en masse energi at bruge uden at beskriv hvad du finder forkert ved kims argumenter

Fidus

Troels
Jeg må give Kurt en smule ret, du har ikke just vist mig gode argumenter for at mine påstande er forkerte. Du har henvist til de gamle store, til forskellige definitioner et galt bevis m.v.
Det er udmærket at studere de gamle, foreløbig har jeg sagt at matematiske problemer ikke løses med matematisk smartness - hverken af de gamle eller nye.
Definitionerne er ikke altid overbevisende:
"Enhver brøk er et tal"
"Brøkstregen adskiller brøkens to tal".
Den ene definition siger at en brøk er et tal, den anden at det er to tal (og en brøkstreg).
Dit bevis er forkert efter mit ærlige hovede, men man kan selvfølgelig tolke definere og pådutte det rigtighed - men det bliver det ikke mere rigtigt af.

Lige lidt om uendelighed.
Vi har selfølgelig en korrespondens mellem 0.999...........9 og 1,000...........1 idet de to "tal" ligger lige langt fra 1:
Er 0,9u9 = 1 og 1,0u1 = 1 fås 0,9u9 = 1,0u1.
Nu begynder det virkeligt at vende sig i mig - det er helt galt, da 1 kun kan skrives som "1".
At 1 = 1 betyder at det første ettal kan erstattes af en opgaveopstilling (bestående af to tal adskilt af en operationsangivelse). Men kunne vi ikke angive alle tal ved hjælp af opgaver - nej - for opgaver er afhængige af tallene der forudsættes ved opgaveopstillingen. Hvad kom først, hønen eller ægget - det gjorde tallet.

Arrrrg

En cirkel.
Kendes diameter er omkredsen ukendt - kendes omkredsen er diameter ukendt. Allerede de gamle Grækere vidste det.
Mange har siden arbejdet med stoffet, men problemet er uløst - hvis man dog ikke vil stille sig tilfreds med smartness matematik.

Kendt. Et kendt tal bør i et talalfabet skrives på een og kun een måde.
Et ukendt tal skrives ved et algebra symbol - da uendeligheden også er ukendt noteres den ligeledes ved et symbol.

2

sjovt nok er 2 også et regnestykke, da 2 er lig med 1+1
kun 1 og 0 er sig selv, noget eller intet, 1 enhed eller 0 enhed
2 enheder er det dobbelte af 1 enhed og dermed et produkt af 1

2500

Troels
Jeg har to ønsker. At afsløre fysikkens accelerations bevægelse/hvile og afsløre og afslutte med indsigt matematikkens uendelige størrelser.
Og så få lukket den bog. Der skulle næppe gå 2500 år.
Men det bliver jo jul igen, så måske mine bønner bliver hørt.
Mit udgangspunkt er ikke smartness matematik, som man ellers så fornøjet omgiver sig med.

Regler

Kurt
Når vi opstiller de matematiske regler, skal vi altid passe på 1 og 0.
Men i opgaveopstillinger gør de ikke så megen vrøvl: 4-3 = 1 og -3 + 3 = 0.
Vi skal medregne alle tal, disse balancerer omkring 0 og har mulighed for at brede sig uendelig langt bort fra 0, en mulig der aldrig kan realiseres (men det er rart at have muligheden).

Re: 2

sjovt nok er 2 også et regnestykke, da 2 er lig med 1+1

kun 1 og 0 er sig selv, noget eller intet, 1 enhed eller 0 enhed

2 enheder er det dobbelte af 1 enhed og dermed et produkt af 1

Re: 2

sorry det var for sort snak til mig

Gåde ?

Vi har en løber, som lever evigt. Er det for ham muligt, at løbe lige så mange gange rundt om stadion, som det er muligt ? :-) Steen

Re: Gåde ?

he he

Hjerte

Steen
Lever vores løber evigt, må hans hjerte slå uendelig mange gange (hjerteslagene er en forudsætning for hans levende liv).
Tæller vi slagene har vi realiseret uendelig mange tal.
Hvis han lever uendeligt og tæller slagene, er det i strid med uendelighedens grundlæggende egenskaber - så hvordan får vi ham aflivet?

Selvmord

Han tager livet af sig selv, det sker når han begynder at tælle.
Han bevarer dog muligheden (som alle os andre) for evigt liv, men muligheden kan ikke realiseres - fordi livet er forbundet med tælling.

Humm

Hej Kim

Du skriver: "Er 0,9u9 = 1 og 1,0u1 = 1 fås 0,9u9 = 1,0u1."

Tja.
Tallet 0,9u (altså uendelig antal 9'taller efter kommaet findes) og dette tal er = 1.
Tallet 1,0u1 (altså uendelig antal 0'taller efter kommaet efterfulgt af et 1'tal) findes ikke!!

Har du bestået matematisk analyse 1 og 2 (eller tilsvarende) på uni?

-Eivind

Analyse

Eivind
Enig i at 1,0u1 ikke findes, derfor findes heller ikke 0,9u9.
Det skyldes deres korrespondance, deres tilnærmelse til 1.
På den ene side (0,9u9 siden) nærmes 1 jo flere nitaller der meddeles, og korresponderende (1,0u1 siden) nærmes 1 jo flere nuller der meddeles.
Findes den ene side ikke kan den anden side heller ikke findes.
Deres eksistens afhænger af hinanden.

Havde vi udviklet en matematik ville acceptere 1,0u1, men afviste eksistensen af 0,9u9 - ville korrespondancen stadig aflive begge "tal".

Har ikke gået på uni.

Ende

Når vi infinitesimalt kan nærme os 1 "nedefra" - kan vi naturligvis gøre det samme "oppefra".
Disse to sider er matematisk ligeberettiget, omend tallene er en smule klodsede til denne visning.
Sig mig får denne tråd aldrig ende, og bliver dermed i strid med uendelig mange tal (vi kan jo tælle indlæggene). Et uendeligt antal accepteres ikke af matematikkens forældre, men det uartige barn (smartness matematik) forsøger at snyde far og mor.

Re: Hjerte

Jeg glemte at sige, at vores løber ikke er uendelig gammel. Han blev født d. 16/1- 1999 med en genfejl, der betyder, at han vil bevare evigt liv og evig sundhed. Han vil også overleve universets kollaps og deltage i samtlige fremtidige universer, og hvis der engang ikke bliver flere universer, kan han sagtens klare sig uden disse. Han løber bare videre.
Men alligevel behøver han ikke at bekymre sig om sine hjerteslag eller selvmord i den anledning, for et hjerteslag er en konkret begivenhed, og konkreter (som f.eks indlæg i en debat) kan kun findes i endelige antal, så selvom han løber til evig tid, vil antallet af hans hjerteslag på på ethvert konkret tidspunkt aldrig kunne blive uendeligt. Det vil altid være at finde et sted på talrækken, og selvom denne er uendelig, findes der kun endelige tal på den. Steen

0,9u findes

Hej Kim

Du skriver "Enig i at 1,0u1 ikke findes, derfor findes heller ikke 0,9u9."

Tallet 0,9u findes. Som jeg tidligere skrev er det summen af den uendelige række: 1/(2^i) for i = 1 til i = uendelig.

0,9u = 1
Dels findes der ikke noget tal som du kan "putte ned mellem" 0,9u og 1 og dels konveger den urendelig række til 1 jfr. L'Hôpitals regl.

-Eivind

Re: 0,9 findes

Undskyld, jeg blander mig Eivind.
Jeg hører også til dem, der ikke mener, at o,9ue. findes.
Du beder om et konkret tal, man kan putte ned imellem 0,9u og 1, men det er ikke et rimeligt krav, for forskellen på 0,9u og 1 er uendelig lille, og lige så lidt som 0,9u er et konkret tal, er uendelig lille et konkret tal, men forskellen vil altid være så lille, at den lige akkurat kan puttes ned mellem 0,9ue og 1, (mener jeg). Steen

Re: 0,9 findes

PS. Jeg mener også, at 0,den uendelige række nitaller konvergerer MOD grænseværdien1 uden nogensinde at nå helt frem (hvis den når helt frem, kan antallet af nitaller ikke være uendeligt, og hvis det ikke er det, kan rækken ikke nå helt frem så der er indbygget en selvmodsigelse, hvis man vil hævde, at 0,9u og 1 er det samme). Steen

Re: 0,9 findes

PS. Jeg mener også, at 0,den uendelige række nitaller konvergerer MOD grænseværdien1 uden nogensinde at nå helt frem (hvis den når helt frem, kan antallet af nitaller ikke være uendeligt, og hvis det ikke er det, kan rækken ikke nå helt frem så der er indbygget en selvmodsigelse, hvis man vil hævde, at 0,9u og 1 er det samme). Steen

Re: 0,9 findes

Tak for klart svar Rasmus. Jeg er helt med på det, Men forestil dig to børn med forskellig alder : Den ene er dobbelt så gammel som den anden (f.eks. 2 og 4 år) aldersforskel udtrykt i % 100 (set fra den yngste). Som tiden går, vil deres procentvise aldersforskel skrumpe, hvilket man også tydeligt kan se på dem. De vil tilsyneladende blive mere og mere jævnaldrende. Efter uendelig mange år, vil den procentvise aldersforskel være skrumpet ind til 0, og det må medføre, at de nu er blevet lige gamle. Men hvis de er lige gamle er der 0 års forskel på deres alder, men da den ene stadig er to år ældre, vil det betyde, at 2 år = 0 år. Er det noget vrøvl, eller er det uendeligheden, det er galt med? Steen

Re: 0,9 findes

Prøv så at vende tiden, dvs. lade lillebrors alder gå mod nul, hvad sker der så med den procentvise aldersforskel?

1,1 og 0,9

Forskellen mellem 1,1 og 1 er 0,1.
Vil vi mindske denne "afstand", duer 1,10 1,100 1,1000 .... ikke.
Så gør vi så : 1,1 1,01 1,001 1,0001 ....
Jo flere 0'er jo nærmere kommer vi 1, men når aldrig 1.

Forskellen mellem 0,9 og 1 er 0,1.
Vil vi mindske denne "afstand", duer 0,90 0,900 0,9000 .... ikke.
Så gør vi så: 0,9 0,99 0,999 0,9999 ....
Jo flere 9'er jo nærmere kommer vi 1, men når aldrig 1.

Disse metoder er matematisk ligeberettiget, hvilket betyder at er den ene rigtig er den anden det også - og er den ene forkert er den anden det også. Tallene viser det en smule klodset. Geometri er bedre til opgaven, suppleret med algebra. Vi kan naturligvis nærme os 1 både "nedefra" såvel som "oppefra". Og disse tilnærmelser kan gøres korresponderende, med vores talalfabet dog ikke særlig smukt.

Klodset

0,9999u eksisterer ikke, var påstanden (uendeligt har eksistens mellem to diskrete/forskellige størrelser). Men så må vi skrive 0,9999u som 0,u9u9u9u9. Vi sletter u i 0,9999u da det ikke opfylder definitionen.

Liv

Steen
Vi lader din løber leve evigt.
Betingelsen er at der ikke er noget tælligt i hans liv.
Det kan man kalde et uforstyrret liv.

Fjern

Vi kan nærme os 1 i ovenstående, og naturligvis også fjerne os fra 1.
- Både "opad" (mod > 1) og "nedad" (mod < 1). Disse op og ned kan sættes i en symmetrisk korrespondance.
Hvad er nu de to allerallerførste tal der opstår i denne korrespondance.
På den ene side må det være 0,999e (læs e som endelig).
På den anden side må det være 1,0e1.
Men hvad er 0,999e lig med? - med et e er spørgsmålet jo rimeligt
Hvad er 1,0e1 lig med? - med et e er spørgsmålet jo rimeligt.

Hvad jeg her har lagt frem, viser problemerne med at nærme/fjerne sig fra en diskret matematisk størrelse.
Løsningen er åbenbart dobbelt: At kalde mig tosset og uskolet samt at benytte sig af abstrakt smartness matematik.
Når nøden er størst, er smartness matematik nærmest.

Re: Liv

Til Kim : Endelig noget, vi kan være lidt uenige om. Nu skal du huske på, at vores løber med mutationen kun er tyve år, og indtil videre har der været masser, der kunne tælles f.eks: hjerteslag, minutter, timer, dage, fødselsdage, og lige nu er han ved at tælle sine omgange på stadion, og sådan vil det også fortsat blive ved og ved, men uanset hvor meget han tæller til, er han nødt til bestandig at bruge tal fra talrækken, og ALLE disse er, som sagt ENDELIGE, selvom han lever og løber evigt, og talrækken er uendelig.
Og der vil altid være ting, der forstyrrer ham også i hans mere end almindeligt lange fremtid. Steen

efter som matematik er afhængig af intil

efter som matematik er afhængig af intelligens ophører uendeligheden i matematikke den dag intelligens ikke er der mere
synd for intelligensen at det er se uendeligheden grænse hænger sammen med egen grænse

Jeg kan ikke nå min øl

Kim: Fint nok at du vil opfinde din egen matematik, men jeg har lidt af et problem med at nå min øl. Kan du (med din matematik) forklare mig hvordan jeg når øllen

Jeg er her og min øl er 1 m væk. Jeg starter med at bevæge mig halvdelen af vejen altså 1/2 meter og det går rigtig fint men nu komme problemet. Næste trin bliver så halvdelen af det som er tilbage altså 1/4 meter. På en eller anden måde bevæget jeg mig kun halvdelen af den afstand der er tilbage. Hvordan når jeg det sidste stykke - og jeg er ved at være noget tørstig?

Steen: Når begge børn er blevet uendelige år gamle så er de lige gamle idet uendelig + 2 = uendelig.
Hvis du forstiller dig en snor som er uendelige lang og du går hen til snoren og klipper den over og holder hver ende i hver af dine hænder. Hvilken ende er længst? Hvis du nu binder en knude på snoren og træder 2 skridt til den ene side, klipper snoren over igen og holder enderne. Hvilken ende er nu længst?

-Eivind

uendeligt

er noget der har en start uendelig?
det har mindst en ende

Øl

Eivind
Et godt råd. Lyt ikke til Zenon.
Drikker du 1/2 øl så 1/4 så 1/8 så 1/16 kommer du aldrig til at bunde (øllen er homogen, og ikke bestående af diskrete kemiske ølpartikler).
At du aldrig når bunden afstedkommes af de mange stop der skyldes tællingen.
Så øllen skal ned i en slurk, så kan du se bunden.
Jo flere stop undervejs, jo senere må beverdingen lukke. Uendelig mange stop, og der er altid åbent.
Tæller du de mange sjatter undervejs, skulle du ende ud i en uendelighed - men så mange tal kan ikke realiseres, så en endelig sidste tår afslutter forsøget (selv om der skulle være en smule øl tilbage. Snupper du den skal det gøres i een slurk - og med denne slurk lukker og slukker værtshuset).

Snor

Ovennævnte snor er ikke uendelig lang, idet enhver afstand er tilknyttet en "startpunkt" a og et "slutpunkt" b. Afstanden Ia bI er kontinuerlig (uendelig).
Med et nyt punkt (overklipningspunktet) fås IacI + IcbI = IabI, og de nye halve snore er begge kontinuerlige: "Mellem to ulig diskrete kvantiteter, eksisterer en matematisk uendelighed kaldet kontinuerlig".

Re: Øl

Til Eivind. Jeg kan godt forstå, at du er tørsdig, men inden du kan drikke din øl, som jo er en hel meter væk, skal du hen til den.
Det gøres sådan her : Først beslutter du dig til at gå to meter. Når du så er kommet gennem den halvdel, du SKAL igennem først, er du henne ved øllen. Herefter skynder du dig at kyle den ned i ét drag (uden at tælle til noget somhelst).
Jeg er ked af, at jeg først så dit indlæg nu, men hvis du ikke er gået i seng endnu, kan du stadig nå, at få din øl, og jeg under dig den.

Til Kim. Jeg går ud fra, at du er enig med mig i mit sidste indlæg om den udødelige løber. Steen

Konen

De nattergale synger sådan omtrent, "Konen er skredet, nå hva, men der var ingen øl og det er noget lort".
Steen
Er ikke helt klar på dit sidste indlæg.

Re : Gåde, hjerte, selvmord, liv

Til Kim ! Meningen med min gåde 11.aug. 22.18, som du kar kommenteret under de overskrifter, jeg har angivet ovenfor, var såmænd bare at sætte fokus på forskellen på et vilkårligt (kæmpe)stort antal og uendeligt.
Selvom den tyveårige løver har en evig fremtid, vil den situation, at han har løbet uendelig mange gange rundt være uden for hans muligheder. På trods af hans uendelige liv, vil han aldrig kunne sige " Jeg klarede det". Det lader sig ikke gøre, så svaret på gåden er "nej". En omgang på en bane, eller et år i hans liv er konkrete ting, og sådanne findes kun i endelige antal, som kan være vilkårligt store (men altid endelige). Selvom talrækken er uendelig (ikke konkret) er alle tal på den konrete og kan derfor kun være endelige. Det var bare mit ærinde, og derfor synes jeg dine kommentarer var lidt mystiske. Steen

Om de to børn med forskellig alder som bliver lige gamle, når de har levet uendelig længe må man vel sige, at heldigvis ligger denne situation uden for deres muligheder, selvom de havde evigt liv. Hvis vi kører deres alder baglæns, vil den procentvise aldersforskel vel vokse og blive uendelig, når det ene barn når en alder på 0, men så må man spørge sig selv, om et barn med en alder på 0 findes ? Men det var en helt anden diskussion. Steen

Worlds in Collision

Når vi overhovedet ryger ud i disse diskussioner, tror jeg, det skyldes, at vi har to verdener - en fysisk, som vi bor i, og en idéernes og begrebernes verden, som bor i os (that was a good wending). I den fysiske verden er tingene konkrete og kan tælles i endelige antal (tid og rum holdes udenfor). I idéernes og begrebernes verdes kan der findes mærkelige ting f.eks. punkter uden udstrækning (hvad er det for noget- de findes jo slet ikke) og uendeligheder realiseret her og nu (men det kan jo ikke lade sig gøre).
I den fysiske verder er uendelig noget, der forsætter uden at stoppe nogensinde, men som på ethvert KONKRET tidspunkt er endeligt. I idéernes og begrebernes verden er uendelighed en speciel mængde, som er større end alt andet og ikke ikke kan blive større ligemeget hvad. Den kan heller ikke blive mindre, selvom man deler den eller trækker noget fra.
Til matematikerne : Matematikken indeholder jo konkrete ting f.eks. tal, som symboliserer konkrete størrelser, men rummer også de andre mærkelige ting, og jeg kunne godt tænke svar på følgende:
Hvis vi deler 1 med 10 uendelig mange gange, får vi den uendelige lange decimalbrøk 0,000u1, som jo fra matematisk side hævdes at være det samme som 0. Mit spørgsmøl er : Er det muligt matematisk at komme tilbage til 1 ved at gange 0 med ti uendelig mange gange ?
I øvrigt har jeg tænkt på om Zenons uendelighedsparadokser peger på, at folk som Louis Nielsen, der jo ligesom kvantemekanikerne (plancktid og -afstand) taler om en mindste tids og afstandsenhed, har ret. Det ville jo skaffe os af med den irriterende uendelighed, hvad bevægelse angår og sætte Eivind i stand til at få sin øl nårsomhelst.
Men den det er jo svært for almindelige mennesker at forestille sig, at en afstand, som jo ikke består af noget somhelst (der kan gå i stykker (som en pølse)) kan være så lille, at den ikke kan deles bare en enkelt gang mere.
Hermed tror jeg også, jeg er ved at være færdig for denne gang, men jeg vil gerne lige have svar må det matematiske spørgsmål. Steen

Re: Worlds in Collision

Hvis vi deler 1 med 10 uendelig mange gange, får vi den uendelige lange decimalbrøk 0,000u1, som jo fra matematisk side hævdes at være det samme som 0. Mit spørgsmøl er : Er det muligt matematisk at komme tilbage til 1 ved at gange 0 med ti uendelig mange gange ?

Re: Worlds in collision

Tak for svar Niels. Jeg kunne godt lide det, med at al tiden var brugt den ene vej, men jeg tror lige, jeg strammer den lidt, for det påstås jo, at 0,999ue. er det samme som 1 også her og lige nu. Vi skal slet ikke spilde tid på at regne os frem, så jeg spørger igen : kan 0 gange 10 uendelig mange gange udført her og nu være 1 ? Steen

Re: Worlds in collision

Jeg vil mene principielt ja, men problemet er, at det også bliver lig med alt muligt andet end. Uendeligt mange forskellige resultater.

Niels

Re: Øl

Til Eivind. Jeg kan godt forstå, at du er tørsdig, men inden du kan drikke din øl, som jo er en hel meter væk, skal du hen til den.

Det gøres sådan her : Først beslutter du dig til at gå to meter. Når du så er kommet gennem den halvdel, du SKAL igennem først, er du henne ved øllen. Herefter skynder du dig at kyle den ned i ét drag (uden at tælle til noget somhelst).

Jeg er ked af, at jeg først så dit indlæg nu, men hvis du ikke er gået i seng endnu, kan du stadig nå, at få din øl, og jeg under dig den.



Til Kim. Jeg går ud fra, at du er enig med mig i mit sidste indlæg om den udødelige løber. Steen

Øl og andet

Er der nogen, der har fortjent sin øl Einar, så er det dig. Godt gået. At der altid vil blive en uendelig lille sjat tilbage må du prøve at leve med.

Niels. Meget kan du bilde mig ind, mææææn (jeg var lige ved at skrive uendelig mange æ´er, men det siger jo bare mæææææ osv.), der er dog grænser. På den anden side kan jeg godt se, at hvis man tager udgangspunkt i 1 (eller hvadsomhelst andet og dividerer det med 10 uendelig mange gange, så det bliver 0, og ettallet (eller hvadsomhelst andet) ikke er smidt helt ud, men bare sat uden for døren af de uendelig mange nuller, kan man måske genskabe 0 til hvadsomhelst, man påstår var udgangspunktet. Men det synes jeg er snyd. Nul er nul, og så kan man ikke samtidig have ettaller (eller andet) i baghåndeni til senere brug. Så synes jeg, at man må nøjes med at sige at forskellen på et rigtigt 0 og et "0", der kan blive til f.eks 1 er uendelig lille. Her tror jeg matematikerne vil sige: Uendelig lille er også nul, men der er jeg uenig, (og jeg tror også Kim er), for jeg mener, at uendelig lille er en ikke konkret størrelse, som er større end nul, men mindre end ethvert tal, du kan finde på.
Sådan ser jeg i hvertfald på det lige nu. Steen

Re: Øl og andet

Jamen jeg mener også at præmisen for spørgsmålet er det rene sludder - rent logisk set. Hvis man dividerer 1 med 10 uendelig mange gange, bliver man aldrig færdig !

Når så spørgeren insisterer og spørger, "Jamen hvis vi nu lader som om at vi kan udføre alle disse uendeligt mange divisionen "på een gang" - hvad så ? Ja, når man lader hånt om fysikkens love, så får man i bedste fald et yderst teoretisk svar - som ikke giver meget mening, men som ikke desto mindre - teoretisk - er korrekt.

Så når spørgeren spørger

kan 0 gange 10 uendelig mange gange udført her og nu være 1 ?

Er 0,9... = 1 ?

Matematisk kontekst ønskes.

Er 0,9... = 1 ?

Prøv at opstille ligningen :

1 - 1/10^n = 0,9... for n gående mod uendeligt og n tilhører N.

Benyttes Weierstrass grænseværdibegreb kan man skrive

lim(1 - 1/10^n) = 1 for n gående mod uendeligt.

Problemet er reduceret til et spørgsmål om man anderkender og accepterer uendeligheds aksiomet. Gør man ikke det må mængden af naturlige tal jo være endelige og derfor have et overtal.

Og i min optik er der ikke tale om matematisk "smartness" men om matematisk elegance.

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

antallet af tal

principielt kan der ikke eksistere flere meningsfulde tal end dem der skal til at beskrive et hvert muligt scenarie i universet, men det er dog også en del

0,0u...1? hvem melder sig til at sætte 1tallet på sin plads

Re: Øl og andet

Hvis man dividerer 1 med 10 uendelig mange gange, bliver man aldrig færdig !

Er uendeligt et heltal ?

Spørgsmålet blev også stillet i foråret 2008.

Se flg. link:

http://ing.dk/artikel/86657-er...ltal

Professor Thomas Bolander har er par gode bud.

Venlig hilsen Peter Vind Hansen

Valg

Hvem skal jeg stemme på?
Spørgsmålet forudsætter som eksistens noget at stemme på - dette er indiskutabelt.

Er uendelig u et heltal?
Spørgsmålet forudsætter eksistensen af et et tal u - dette er indiskutabelt.
Derfor, er u et tal?
Hvis ja, skal u have så mange (og helst alle) af tallenes egenskaber - tallenes karakteristika.

Nu er spørgsmålet ikke om u er et heltal eller overhovedet et tal, men derimod hvad et tal er for noget og dermed hvilke egenskaber begrebet skal omfatte - og ikke mindst IKKE omfatte.
Jeg lukker her, og ser lige på Peters link.

Fri fugl

Steen og Anders:
"Hvis man dividerer 1 med 10 uendelig mange gange bliver man aldrig færdig" - "Jo da".
Kommentar. Den nævnte division kan ikke gennemføres, men så længe det forsøges er uendeligheden en mulighed.

"Resultatet findes allerede før udregningen".
Kommentar. Et resultat findes ikke før en udregning slutter, men uendelig mange resultater har eksistens før udregningen.

"At inddrage tiden i regnestykker er noget sludder".
Men Anders strøer om sig med tids gloser "allerede før"/"har altid været" - på hans vegne må vel tilføjes "og også efter".
Netop før og efter er nogle af tidens allerstærkeste karakteristika.

Verdenen er via tiden en uendelighed af muligheder, og så langt fra alle disse muligheder realiseres. Matematikken må pænt indordne sig på denne natur, eller bilde sig ind at den er en smartness fri fugl.