I Casino Royale er James Bond oppe mod selveste Tallet, Le Chiffre. Men Bond er som bekendt også en talmand, og han har lagt navn til en kategori af tal, der kaldes James Bond primtal. Det er selvfølgelig primtal, der ender på 007. De tre første James Bond primtal er 4007, 6007 og 9007 – hvis man altså ikke accepterer skrivemåden 007 for 7.

Det er en af de mere kuriøse oplysninger, man kan finde i David Wells' bog om primtal, som nu er udgivet på dansk – oversat af Poul G. Hjort, der er lektor ved Matematisk Institut på DTU.

Nyt Teknisk Forlag lancerer bogen som "årtiers mest nørdede tal-bog" – langt det meste primtalsmatematik kan dog håndteres på elementært gymnasieniveau, så det bør ikke afholde Ingeniørens talglade læsere for at gå i gang. Og responsen på tidligere artikler om primtal i Ingeniøren og på ing.dk fortæller mig, at primtal er et populært emne for Ingeniørens nørdede læsere.

Der er næppe det primtalsemne, som bogen ikke tager fat i. Bogen er da også nærmest at betragte som et primtalsleksikon, der i alfabetisk rækkefølge behandler et par hundrede forskellige emner og personer – nogle på ganske få linier og andre mere uddybende over flere sider. Det er både bogens styrke og dens svaghed. Alt, der er værd og underholdende at vide om primtal, kan man finde oplysninger om, og bogen kan læses i små bidder. Men alle leksika lider af den skavank, at de ikke gode til at prioritere i emnerne, og de ikke giver en flydende læseoplevelse. Men som oversigt over primtallenes mange besynderlige egenskaber slår den alt.

Det følgende bliver altså kun et par uddrag af, hvad man kan forvente at finde i bogen med nogle uddybende tilføjelser, som jeg har fundet ved søgning på Internettet – for ofte sad jeg tilbage med opfattelse af, at et emne vist nok kunne fortjene en mere indgående behandling end den som Wells og Hjort giver.

Det burde næppe være nødvendigt at erindre om, at primtal er alle tal, der ikke kan skrives som et produkt undtagen som tallet selv gange 1 – det giver os primtallene 2, 3, 5, 7, 11, 13 osv. Værd at bemærke er dog. at tallet 1 ikke regnes som primtal i dag. Det gjorde man tidligere, men mange egenskaber med primtallene er lettere at definere og har færre undtagelser, hvis man ikke regner 1 med som et primtal.

Den britiske matematiker Robert C. Vaughan fra Penn State University i USA skrev i 1998: “Det er tydeligt, at primtallene er tilfældigt fordelt, men desværre ved vi ikke, hvad "tilfældigt" betyder".

En stor del af fascinationen ved primtal er netop, at det tilfældige er forbundet med en lang række besynderlige egenskaber, som umiddelbart kan synes i modstrid med det tilfældige. Mange af disse egenskaber er stadigt ubeviste – de er kun formodninger.

Den mest berømte formodning, Riemann-formodningen, knytter sig til fordelingen af primtal, som ikke er helt tilfældig og derved sætter Vaughans udsagn i et større perspektiv. Riemann-formodningen har jeg tidligere skrevet en større artikel om, så lad os i stedet se på Goldbachs formodning, som til trods for sin enkelhed stadig volder matematikerne hovedbrud.

"Ethvert lige tal (med undtagelse af 2) kan skrives som summen af to primtal."

Formodningen har sin oprindelse i et brev, som Christian Goldbach (1690-1764) skrev 7. juni 1742 til Euler om sine overvejelser om primtal. Specifikt mente han, at ethvert heltal kunne skrives som summen af tre primtal.

At alle ulige tal er sum af tre primtal, er man meget tæt på at have bevist, men det er dog stadig en formodning, som i dag kaldes den svage Goldbach formodning. Den stærkere påstand, at alle lige tal kan skrives som summen af to primtal, er man meget langt fra at kunne bevise, uanset at Jörg Richstein fra Dalhousie University i Nova Scotia, Canada har checket alle tal op til 4 x 1014 og ikke fundet eksempler i strid med formodningen. Så mon ikke Goldbachs formodning er rigtig. Den person, der kan bevise eller modbevise Goldbach formodning, er i hvert fald sikker på evig berømmelse. I bogen kan man læse mere om Goldbachs formodning på side 132 (132 = 127+5 eller 73+59).

En anden af Goldbachs formodninger er dog modbevist. I endnu et brev til Euler i 1752 skrev Goldbach, at alle ulige tal er summen af et primtal (hvortil Goldbach også regnede 1) og det dobbelte af et kvadrattal (0, 1, 4, 9, 16 osv.). Eksempelvis har vi: 19= 11+2x 22.

Euler tjekkede, at udsagnet var korrekt op til 2.500, men godt hundrede år efter i 1856 fandt Moritz Stern, som efterfulgte Gauss som matematikprofessor i Göttingen, sammen med sine studerende, at det ikke gælder for 5.777 og 5.993 – disse tal kan man derfor passende kalde for stern-tal. Under sit arbejde med at checke alle tal op til 9.000 opdagede Stern endvidere, at tallene 17, 137, 227, 977, 1187 og 1493 er de eneste primtal, der ikke kunne skrives om p+2a2, hvor p er et andet primtal – disse tal kaldes for stern-primtal.

Laurent Hodges fra Iowa State University har i 1993 checket alle tal op til en million, og hverken fundet nye stern-tal eller stern-primtal. Hans formodning er, at der ikke er andre stern-tal eller stern-primtal.

Sådan kan den ene formodning i primtallenes verden lede til den næste og den næste igen.

Lad os tage endnu en besynderlighed fra primtallenes verden, som leder frem til en overraskende formodning.

Det hyppigste spring mellem to på hinanden følgende primtal mindre end et tal x kaldes springmester for tallet x.

1 er springmester op til 6. For 6 35 dominerer herefter 6, som siden hen bliver afløst af 30 og 210, som kommer ind i billedet omkring 10425.

Vi har altså følgende tal som springmestre: 1, 2, 4, 6, 30 og 210. Ser vi bort fra tallene 1 og 4 er det rækkefølgen for primulteter! Og hvad er så lige det, vil mange sikkert spørge. Primultet af et primtal p betegnes som p# og er produktet af alle primtal mindre end eller lig med p – det minder altså lidt om fakultet af et tal.

Rækkefølgen af primulteter 2, 6, 30, 210, 2310, 30.030, 510.510 …

Formodningen er nu, at springmestre er tallene 1, 4 og primulteterne, dvs. næste dominerende springmester er 11# = 2310. Men hvorfor? Det har jeg ikke kunnet finde bare antydningen af en forklaring på. Primtallene gemmer stadig på mange hemmeligheder. Det er også en del af fascinationen.