Matematikgeni tog fejl i beregning af sandsynlighed i møntkast
Matematik- og computergeniet John von Neumann tog fejl, da han udregnede, hvor tyk en mønt skal være for, at den med en sandsynlighed på 1/3 ender på højkant efter et kast. Han glemte fysikken, hævder forskere fra Harvard University.
Hvor tyk skal mønten være for, den med en sandsynlighed på 1/3 lander på højkant? Det har forskere ved Harvard University nu udregnet.
Læs mere om
Dokumentation
Ifølge en anekdote svarede matematikeren John von Neumann, der var en ledende skikkelse i udviklingen af de første computere, øjeblikkeligt ’en delt med to gange kvadratroden af to’ – eller ca. 0,357 – da han blev spurgt om, hvor tyk en mønt skulle være i forhold til dens diameter, for at sandsynligheden for, at mønten lander på højkant, er en tredjedel.
Professor Lakshminarayanan Mahadevan og ph.d.-studerende Ee Hou Yong fra Harvard University i USA har fundet et nyt svar: ’en delt med kvadratroden af 3’ – eller 0,577. Og de har udført en lang række forsøg, der bekræfter deres teori.
Det forlyder ikke, hvordan von Neumann lynhurtigt kunne komme med sit svar, men Mahadevan og Yong formoder, at han har benyttet simple symmetribetragtninger og antaget, at alle orienteringer af mønten er lige sandsynlige.
Under disse forudsætninger skal arealerne knyttet til møntens tre udfaldsmuligheder (krone, plat og højkant) være ens, når de projiceres på en kugle (se en mere detaljeret beskrivelse i figur 3 i dette dokument).
Under disse forudsætninger er det forholdsvis enkelt at bestemme forholdet mellem højde og diameter – ikke mindst for et matematikgeni som von Neumann.
Glem ikke fysikken
Et er dog matematik, noget andet er fysik.
Mahadevan og Yong forklarer, at der er to afgørende forhold, man skal have styr på.
Dynamikken når den roterende mønt er i luften, som involverer to ligninger for hastighed og vinkelhastighed.
Hvad der sker på mønten rammer overfladen og mister bevægelsesenergi.
Joseph Keller fra Stanford University – der i øvrigt i 1979 blev udnævnt til æresdoktor ved DTU – analyserede i 1986 i en artikel i American Mathematical Monthly de fysiske processer for møntkast.
Keller betragtede en ideel mønt uden tykkelse, men hans analyse er udgangspunktet, som Mahadevan og Yong bygger videre på.
En væsentlig og afgørende egenskab er, at en roterende mønt skal overholde loven om bevarelse af impulsmoment.
Det betyder, at alle orienteringer af mønten ikke er mulige – og dermed bortfalder grundlaget for von Neumanns udregning, og det fører forskerne fra Harvard University frem til et andet resultat.
Fra teori til praksis
Et er dog teori, noget andet er eksperiment.
Mahadevan og Yong besluttede sig for at teste deres teori med amerikanske 25 cent mønter (quarters) med en diameter på 24 mm og en tykkelse på 1,75 mm.
De blev limet sammen til N-mønter, eksempelvis en 3-mønt bestående af tre sammenlimede quarters. Hver N-mønt blev kastet 100 gange, hvor den landede på et uelastisk underlag bestående af en kasse med ris dækket med et tyndt lag plastik.
Forholdet mellem tykkelse og diameter for 8-mønten er 0,583 - ganske tæt på 0,577.
Derfor burde 8-mønten i en tredjedel af kastene lande på højkant - hvad man også kan se var tilfældet af figur 5 i den videnskabelige artikel, forskerne har skrevet om sandsynligheder, geometri og dynamik for kast med tykke mønter.
