Vi har alle lært om heltal, rationelle tal, reelle tal, komplekse tal osv. Men hvor mange af jer har hørt om "ubestemte tal" ?
På engelsk kaldes de "Uncertain Numbers", tal vi ikke er sikre på værdien af.
Denne obskure sidegren af matematikken er, som mange andre spøjse ting, opstået i kølvandet af atombomber, hvor man har haft behov for at lave riskoberegninger på alt der kommer i nærheden af en bombe.
Ubestemte tal er sjældent ukendte tal, vi kan f.eks vide at risikoen for at tabe i plat og krone er ca. 50% +0/-2% hvis der er polske 1EURO mønter involveret, eller vi kan igennem en forsøgsrække have fundet et gennemsnit fra 5.2 til 5.6 og standardafvigelser fra 1.1 til 1.4.
Jeg stødte ind i ubestemte tal ad omveje og fandt et glimrende paper fra Sandia National Laboratory som jeg læste i går aftes.
Idag regner vi ofte parallelt: Vores bedste skud på et udfald i én kolonne og en usikkerhed i kolonnen ved siden af og langt de fleste mennersker aner ikke hvorledes de skal regne på tallene for at få et relevant resultat.
Reglerne for at regne på ubestemte tal er mildest talt kryptiske: Hvordan dividerer man en normalfordeling med resultatet af en enkelt stikprøve som man mistænker for ikke at være repræsentativ ?
Men reglerne er efterhånden ved at være udledt og der findes specialiserede programmer der kan regne med dem.
Hvad vi virkelig har brug for, er at få lært almindelige regneark om ubestemte tal, så alle kan få et værktøj der kan hjælpe dem med at håndtere ubestemtheder.
Hvis vores regneark kendte til ubestemte tal, kunne vi tilføje både den bule teenageren laver i bilen og lottogevinsten, med tilhørende chancer/risiko, angive næste års løn som et interval med tilhørende sandsynligheder for givne størrelser af bonus eller nedskæringer osv. og få at vide hvor stor chancen er for at vi har råd til at installere solceller på taget.
phk
11. okt 2010 kl 13:49
Fuzzy logic er ikke nyt i proceskontrollernes verden. Drengene hos FLSchmidt bruger det til hverdag for at styre cement ovne.
Beginning with the first industrial fuzzy logic application in 1971 and incorporating growing in-house process knowledge, FLSmidth has developed new generations of advanced process control employing the latest technologies such as Model Predictive Control.
Fuzzy logic er ikke nyt [...]
11. okt 2010 kl 14:16
da vi på et tidspunkt havde styringen ude, kunne det godt se ud til at være rigtigt :-)
Beskæftige sig med "bistromatics" læren om at tal ikke er absolutte men derimod afhængige af observertørens bevægelse.
Se f.eks http://everything2.com/title/r...uson
Jeg prøvede for nogle år siden at regne på usikkerheden for Pioneer sonden, via en simple N-body simulering (sol, jupiter, og andre planeter, + sonde)...I ved, for at kigge på den berømte Pioneer 10 anomali.
Sammensatte simuleringen af Newtons lov, massen af sol, jupiter, osv., og usikkerhed i masse for objekterne og gravitationskonstanten --- teknisk set løst via Boost/C++ (www.boost.org) interval aritmetik.
Det var interessant, men usikkerheden for en sådanne simuleringer gror (eksponentiel eller power udvikling) for hver iteration, således at man efter et par hundrede eller tusinder steps har en stortset uendelig usikkerhed.
Udregning via interval aritmetik kan dog bruges mere fornuftigt inden for andre emner....
Mvh
Carsten
Det var interessant, men usikkerheden for en sådanne simuleringer gror (eksponentiel eller power udvikling) for hver iteration
[...]
11. okt 2010 kl 16:35
Nogen burde skrive en python-pakke til beregning med ubestemte tal...
Poul-Henning
Groft sagt, er intervalaritmetik ikke det korrekte at bruge i det tilfælde: Der skulle du have brugt normal-fordelte ubestemte tal på input data.
såsom "python-uncertainities":
[...]men et interessant spørgsmål om man ikke bare kan regne på Gaussisk/normalfordelt data men også på f.eks. Poisson fordelte data?
11. okt 2010 kl 19:19
Computere husker ikke tallene eksakt, men kun med en vis præcision. Skulle computeren regne korrekt, burde den derfor altid tage hensyn til den regnefejl som begås.
Mange modeller har feedback, og det er stor sandsynlighed for, at digitaliseringen medfører problemer med resultatets kvalitet. Alligevel, anvendes modeller med feedback, både til beregning af vejr, og aktieanalyser. Mange vigtige spådomme, og årsager til forkerte beslutninger, ligger der computermodeller med feedback til baggrund for.
Hvis computerne kunne oplyse om usikkerheden på værdien, og endog angive en stokastisk fordeling, for sandsynligheden af værdien, så kunne det ske, at vi blev fri for mange af de forkerte beslutninger, som idag foretages på baggrund af modeller, med ulinær feedback.
Computere husker ikke tallene eksakt, men kun med en vis præcision. Skulle computeren regne korrekt, burde den derfor altid tage hensyn til den regnefejl som begås.
@Carsten
Kender du noget til numerisk analyse? Ellers kan jeg anbefale dig at studere en bog som f.eks. "Introduction to Numerical Computation", som har en af de fornemmeste pladser i min egen bogreol.
Efter de første to kapitler, har du helt styr på hvordan du analyserer udtryk repræsenteret med flydende tal. Dvs. hvor mange rigtige cifre der er i resultatet efter n antal +/* operationer som hver afrunder til 23 eller 52 bit (single eller double). Matlab er et fantastisk software til formålet. Det står for Matrix Lab (og ikke som jeg engang troede for Math Lab). Men det kender alle ingeniører vel?
12. okt 2010 kl 09:03
'Vi har alle lært om heltal, rationelle tal, reelle tal, komplekse tal osv. Men hvor mange af jer har hørt om "ubestemte tal" ?'
.... Falken, Øresundsbroen, Metro, DR-Byen ...... :-)
Et lille eksempel på et værktøj til beregning med sandsynligheder i diskrete sæt er Troll (http://topps.diku.dk/torbenm/t...sp). Troll er mest rettet mod terningkast, men kan f.eks. også regne med at udtage X ud af Y værdier.
Et lille eksempel på et værktøj til beregning med sandsynligheder i diskrete sæt [...]
12. okt 2010 kl 11:21
Jeg arbejder (bl.a.) med værdiansættelser og anlægsprojekter, hvor vi modellerer usikkerheder ind. Der er mange fordele ved det - fx. at vi kan isolere de største usikkerhedskilder i forbindelse med offentlige anlægsprojekter og derigennem arbejde med risikoen, vi kan isolere hvilke faktorer, der har størst effekt på virksomhedsværdien (skal vi sende et working capital-team ind eller er det mere profitabelt at omlægge lånene?) etc. (jeps, jeg er DJØF'er, skyd mig bare :)).
Så vidt muligt bygger vi i excel (for det forstår vores kunder), og til usikkerhederne bruger vi dels @Risk fra Palisade (http://www.palisade.com/) eller Crystal Ball fra Oracle (http://www.oracle.com/appserve...ml).
Begge er MC-simulatorer, med de værktøjer har du adgang til en række distributioner - hvis det ikke er nok kan du også bootstrapppe din egne.
I øvrigt har Palisade også en række andre sjove værktøjer - en lommeudgave af Neural Networks, et ok evolver-værktøj og et statistics suite, der udvider dine statistiske værktøjer i Excel.
/Mikael
12. okt 2010 kl 17:48
Hvor har PHK fundet en Polsk Euro?
Hvor har PHK fundet en Polsk Euro?
@Rasmus
Efter de første to kapitler, har du helt styr på hvordan du analyserer udtryk repræsenteret med flydende tal. Dvs. hvor mange rigtige cifre der er i resultatet efter n antal +/* operationer som hver afrunder til 23 eller 52 bit (single eller double).
@Carsten
Hvad angår de matematiske standardfunktioner, er du er nødt til at studere dokumentationen for den algoritme der er brugt til f.eks. sin(x). I Matlab f.eks., er std-funktionerne implementeret ved FDLIBM, et frit tilgængeligt mat-bibliotek fra Sun som kan findes på bl.a. www.netlib.org.
Selvom der findes utallige forskellige algoritmer til f.eks. sin(), er de alle baseret på iterations-metoder, dvs. uendelige rækker der konvergerer mod sin(x). Iterationsmetoder akkumulerer ikke afrundingsfejl (de retter dem selv undervejs). Et kald til sin(x) returnerer dermed sin(x) plus en enkelt afrundingsfejl; det er jeg temmelig sikker på altid må være tilfældet...
Hvad kan man sige om præcisionen og usikkerhed i udtrykket 'y=sin(x)'?
Hov, eksemplet var med fejl! Bare se bort fra det...
15. okt 2010 kl 08:39
Det omtalte fænomen er jo blot basal sandsynlighedesregning: at lægge ubestemte tal (også kaldet "stokastiske variable") til hinanden (eller trække fra, som essentielt er det samme) kaldes at "folde fordelinger", eller "convolution" på engelsk.
I nogle fordelinger kan det nemt lade sig gøre (f.eks. er normalfordelingsklassen lukket over for foldninger, dvs. summen af to normalfordelte variable er igen normalfordelt med passende parametre), mens det i andre fordelinger er praktisk talt umuligt at komme frem til analytiske resultater (f.eks. log-normal fordelingen: hvis X er normalfordelt er exp(X) log-normalfordelt.).
Til gengæld kan nogle stokastiske variable nemt "ganges sammen". Lognormalfordelte variable ganget sammen er igen log-normalfordelte (den kvikke læser vil nu se, at det at gange log-normal fordelingen blot svarer til at lægge normalfordelinger sammen). Til gengæld fås ikke noget pænt ud af at gange normalfordelinger sammen.
I praksis kan man undersøge resultatet numerisk: Til dette bruges Monte Carlo metoder (dvs. simulation). Hvis man f.eks. vil finde fordelingen af summen af to log-normal fordelte variable kan man simulere en masse replikationer af de to, og så lægge simulationerne sammen. Summerne giver nu en empirisk fordeling: en approksimation til den rigtige fordeling.
Dette kan man gøre i større setups, og det bliver også i stor stil anvendt. Monte Carlo teknikker er ganske udbredte, og et felt med store interesser, både i den akademiske verden og i erhvervslivet.
Jeg skal på falderebet blankt erkende, at jeg ikke har læst artiklen. Mit indlæg skal ses i lyset deraf.
Med Venlig Hilsen
Kristian
18. okt 2010 kl 21:48
såsom "python-uncertainities":
Nej, Python kan ikke alt: den pakke kan kun regne med normalfordelte (gauss-fordelte) tal.
Her er to vigtige formler til analysering af beregninger med flydende tal:
y = x1 +/- x2 ==> |Dy| < |Dx1| + |Dx2|
y = x1 */div x2 ==> |Dy/y| < |Dx1/x1| + |Dx2/x2|
19. okt 2010 kl 13:02
Dog gør jeg det fuldautomatisk via et library, så selv ikke monotone funktioner som 'sin(x)' bliver behandlet korrekt.
Hej Carsten,
Hvis vi deler fejl op i unøjagtigheder (præcision) og usikkerhed vdr. målingerne så er gravitationskonstanten f.eks. givet ved
G = 6.6742 ± 0.0010 · 10^-11 m^3 kg^-1 s^-2
og det interessante består nu i at fortolke dette som f.eks. en normalfordeling om mu=6.6742*10^-11 med sigma=0.0010 *10^-11, dvs i formen
X = mean ± sigma
Det var interessant, men usikkerheden for en sådanne simuleringer gror (eksponentiel eller power udvikling) for hver iteration, således at man efter et par hundrede eller tusinder steps har en stortset uendelig usikkerhed.
1
