Hvad gik spørgsmålet ud på?

1. gevinst = 3/5
1 nitte = 2/5

gev+nitte = 3/5 * 1/2 = 3/10 (*2) = 6/10
nitte + nitte = 2/5*1/4 = 1/10
gev+gev=3/5*1/2 = 3/10

økonomi:
gev+gev = 3/10*15 kr=4,5
gev+nitte=6/10*-10=-6
nitte+nitte=0

altså er man dømt til at tabe.

Jeg ville ikke spille

Det er godt nok længe siden jeg har arbejdet med matematiske opgaver, og er ikke ingeniør (kun en "sølle" maskinmester ;-)), men er kommet frem til følgende:
30% mulighed for at vinde
60% mulighed for at tabe
10% mulighed for "nitte"

En "gennemsnitlig gevinst" på -1,5 kr (eller tab om man vil).

Edit: kan se at Stig skrev samtidigt med mig, men ser ud til vi har regnet på samme måde!

Tjaaah

Sandsynligheden for at trække en nitte er 2/5. Sandsynligheden for at trække en vinder er 3/5.

Dvs. 2 vinderkugler på være 6/20 = 30 %
2 nitte kugler må være 2/20 = 10 %

En nitte og en vinder må være 2/5*3/4 + 3/5*2/4 = 12/20 = 60%

Så jeg tror ikke jeg ville spille mod Henning i denne situation.

20 mulige udfald - mener jeg

Hvis man numererer kuglerne 1-5, og trækker en kugle ad gangen, vil man se at der er 20 mulige udfald.
2 af disse giver gevinst = 10% af udfaldene
11 af disse giver tab = 55% af udfaldene
7 af disse giver hverken tab eller gevinst = 35% af udfaldene

Eller er jeg helt galt på den?

Re: 20 mulige udfald - mener jeg

Ideen er ikke dum, men jeg tror du har talt forkert.
6 gevinst = 6 * 15 = 90 kr gevinst
12 tab = 12 * 10 = 120 kr tab
2 nulbonner = 0 kr gevinst
dvs for hver 20 spil taber man i snit 30 kr, så den
gennemsnitlige "gevinst" er et tab på halvanden krone.

Re: 20 mulige udfald - mener jeg

Ja, nu kan jeg godt se jeg lavede en fejl - jeg går tilbage til tænkeboksen.

Trækker man ikke altid en nitte først..

...det plejer jeg da at gøre når jeg spiller lotto

nitte+gevinst = 2/5*3/4 ......?

Glædeligt - eller kedeligt

Hmmm, det ser ud til, at mit lotterispil kan gennemskues af både maskinmestre og andet godtfolk. Så måske må jeg droppe at tjene lidt ekstra på den måde. På den anden side er der nok nogle mindre skarpe hjerner, der vil hoppe på den. Hvorom alt er, så er det da glædeligt, at der trods alt er nogle, der kan deres sandsynlighedsregning.

Hva med denne her

Vinderscenariet (gevinst+gevinst):

Gevinst i 1. træk = 3/5
Gevinst i 2. træk = 2/4
Gevinst i både først og andet træk = 3/5*2/4 = 3/10


Taberscenariet (gevinst+nitte eller nitte+gevinst)

Gevinst i 1. træk = 3/5
Nitte i 2. træk = 2/4
Gevinst første træk og nitte andet træk = 3/5*2/4 = 3/10

Nitte i 1. træk = 2/5
Gevinst i 2. træk = 3/4
Nitte første træk og gevinst andet træk = 2/5*3/4 =3/10

dvs: vinde : tabe = 1:1 = et overskud på en rund femmer

eller er det for godt til at være sandt?

Du glemmer noget

@claus Krogh Madsen

Du glemmer at lægge de to sandsynligheder i taberscenariet sammen.

Tegn et koordinatsystem

Hejsa!

Tegn blot et simpelt skema med 5 x 5 felter. (gevinst 1, gevinst 2, gevinst 3, nitte 1 og nitte 2)

Streg så selvfølgelig diagonalen over og også gerne den ene halvdel. Ja - der er i princippet 20 udfald, men rækkefølgen for udfaldene er jo ligegyldig. Om man trække gevinstkugle 1 og derefter nitte 2. Eller først nitte 2 eller gevinstkugle 1 - der er irrelevant, men ændre heller ikke resultatet.

Så kan man ellers bare markere felterne og finder.

3 af 10 felter med 15 kroner
6 af 10 felter med - 10 kroner
1af 10 felt med 0 kroner


Gang det hele sammen og så finder man et underskud på i snit -1,5 kroner.

Venligst
Peter

Udvidelse af opgaven

Enig med:

http://ing.dk/artikel/112183-r...4685

Man kunne for sjov skyld udvide opgaven og spørge om det vil være til nogen fordel at få vist den ene kugle først og derefter beslutte om man vil fortsætte spillet eller stoppe og prøve igen...

Re: Glædeligt - eller kedeligt

Hmmm, det ser ud til, at mit lotterispil kan gennemskues af både maskinmestre og andet godtfolk. Så måske må jeg droppe at tjene lidt ekstra på den måde. På den anden side er der nok nogle mindre skarpe hjerner, der vil hoppe på den. Hvorom alt er, så er det da glædeligt, at der trods alt er nogle, der kan deres sandsynlighedsregning.

Svar?

Jeg spiller gerne!!

I snit vil du vinde 60 øre pr. spil. Udfaldet vil være:

36 % for to gevinstkugler.
48 % for en gevinstkugle og en nittekugle.
16 % for to nittekugler.

Og pga. præmierne vil jeg vinde:
0.36*15kr-0.48*10+(0.16*0)=0.6kr

Jeg har endda lavet en fin tegning, der viser min teori:
http://i54.tinypic.com/2vlkzzd....jpg

Svar? For sent

Nå lader til jeg kommer for sent med min løsning, som jo så er forkert.. hmm

Re: Svar? For sent

Dumt! Har set min fejl.. ;)

1.5 kr gennemsnits nettotab per trækning

Ja, jeg er så nået frem til samme resultat som flere andre, men på en anden måde.
Må hellere sige jeg heller ikke er ingenør men 'kedelig' farmaceut, og sandsynlighedsregning ligger langt væk kan jeg mærke...

Mulige udtrækningskombinationer: 5*4/2 (da udtræknings rækkefølgen er underordnet for det endelige resultat) = 10
Derfra fjogede jeg en del rundt i hvordan man regner de enkelte scenarier ud, men en tegnet tabel hjalp.

Gevinst + Gevinst = 3/10
Gevinst + Nitte = 6/10
Nitte + Nitte = 1/10

En trækning giver altså en gennemsnitsgevinst på 15 kr * 0.3 = 4.5 kr og et gennemsnitstab på 10 kr * 0.6 = 6 kr, altså et nettotab på 1.5 kr per trækning, hvilket selvfølgelig ikke kan betale sig.

Re: Udvidelse af opgaven

Ja, det kunne da være en god idé. Det er dog væsentligt forskelligt, om man trækker to kugler samtidigt eller man har information om første kugle, inden man trækker den anden. Ekstra information til spilleren vil alt andet lige øge hans gevinstchance - forudsat vedkommende anvender informationen optimalt.

Re: Tegn et koordinatsystem

Det med at tegne et koordinatsystem, er en rigtig god idé. Det samme kunne man have gjort med tirsdagsdrengene, for så ville man ikke være i tvivl om det rigtige svar.

Jeg vil godt spille spillet

Hvis jeg får >= 1,5 kr. per skud.

Der er binom(5,2)=10 delmængder af de 5 kugler, og det ses let at første kategori omfatter 3 (vælg hvilken gevinstkugle der ikke er med), den anden kategori 6 (vælg en gevinst kugle, vælg en nittekugle - 3x2) og den sidste er der klart 1 af. Altså:

10 * 15 = 4,5
6/10 * -10 = -6
1/10 * 0 = 0
-----------------------------
Sum: -1,5 kr.

Jeg synes godt at professoren kunne give en sværere opgave - gerne sværere end tirsdagsdrengene.

Re: Udvidelse af opgaven

Så vil jeg gerne spille!
Får det til gennemsnitlig gevinst på 1,5 kr, ved at frasortere alle de gange man trækker en nitte i første træk.

Re: Svar?

Det er ikke altid, man får regnet rigtigt i første hug. Så du må i gang igen.

Re: Jeg vil godt spille spillet

Hvis jeg får >= 1,5 kr. per skud.

Der er binom(5,2)=10 delmængder af de 5 kugler, og det ses let at første kategori omfatter 3 (vælg hvilken gevinstkugle der ikke er med), den anden kategori 6 (vælg en gevinst kugle, vælg en nittekugle - 3x2) og den sidste er der klart 1 af. Altså:

10 * 15 = 4,5
6/10 * -10 = -6
1/10 * 0 = 0
-----------------------------
Sum: -1,5 kr.

Jeg synes godt at professoren kunne give en sværere opgave - gerne sværere end tirsdagsdrengene.

Re: Jeg vil godt spille spillet

OK - sorry! Håber på en ny opgave.

Re: Tegn et koordinatsystem

Det med at tegne et koordinatsystem, er en rigtig god idé. Det samme kunne man have gjort med tirsdagsdrengene, for så ville man ikke være i tvivl om det rigtige svar.

Re: Tegn et koordinatsystem

Det med at tegne et koordinatsystem, er en rigtig god idé. Det samme kunne man have gjort med tirsdagsdrengene, for så ville man ikke være i tvivl om det rigtige svar.

Det er vi en hel del, som er ganske enige i, og der er lavet mange tabeller, simuleringer og hvad ved jeg i debattens løb.

Men vent du bare til især tre debattører sikkert snart falder over dig med en påstand om, at du slet ikke kan bruge betinget sandsynlighed og tabeller, fordi opgavestilleren kunne have valgt at spørge om alt mulig andet, hvorfor opgaven i virkeligheden handler om noget helt andet :-).

(Ikke at du har uret, men de vil opfinde en umanerlig række af nye argumenter, som de vil bede dig tage stilling til - stort set lige som konspirationsteoretikerne i debatten om de sammenstyrtede bygninger i New York.)

Med eller uden tilbagelægning?

Eller er det mig der ikke kan læse :)

Re: Med eller uden tilbagelægning?

Jeg kan ikke læse "Kom og træk to tilfældige kugler" som andet end
"uden tilbagelægning".

Henning Søgaard vil dog sikkert gerne have at du lægger de to kugler tilbage bagefter. Men det er jo ikke det, opgavestillere plejer at mene med "tilbagelægning" :- )

Meget simpel opgave

Jeg mindes opgaver i sandsynlighedsregning på gymnasiet som var betydelig sværere end denne :-D
Dette er en helt simpel opgave med symmetrisk sandsynlighedsrum som ikke udfordrer til forskellige fortolkninger.

Re: Udvidelse af opgaven

Ja, det kunne da være en god idé. Det er dog væsentligt forskelligt, om man trækker to kugler samtidigt eller man har information om første kugle, inden man trækker den anden. Ekstra information til spilleren vil alt andet lige øge hans gevinstchance - forudsat vedkommende anvender informationen optimalt.

Re: Tegn et koordinatsystem

Men vent du bare til især tre debattører sikkert snart falder over dig med en påstand om, at du slet ikke kan bruge betinget sandsynlighed og tabeller, fordi opgavestilleren kunne have valgt at spørge om alt mulig andet, hvorfor opgaven i virkeligheden handler om noget helt andet :-).

Fra Monty Hall til tirsdagsdrengene

30%/60%/10%, -1,50 kr i gennemsnit, det bliver der vist ikke meget debat ud af da der ikke er nogen fælder i opgaven.

Jeg går ud fra at du Henning Søgaard er bekendt med Monty Hall problemet, og i øvrigt også er enig i at man der skal skifte dør for at opnå en gevinstsandsynlighed på 2/3. Lad os sammenligne to spileksempler:

1. Deltageren vælger den venstre dør, og den midterste åbnes.
2. Deltageren vælger den højre dør, og den midterste åbnes.

I begge tilfælde har vi altså fået et stykke information med ordlyden: "Der er en ged bag den midterste dør."

Alligevel leder denne information opgaveløseren til to forskellige sandsynlighedsfordelinger. Hvorfor? Fordi informationen er givet ud fra to forskellige præmisser, og vi kender disse præmisser.

I tirsdagsdrenge får vi information uden præmisser. Vi kan forsøgsvis stille nogle forskellige præmisser op, og derved få forskellige svar.

Henning Søgaard, kan du fortælle mig hvorledes Gary Foshee udvalgte sit spørgsmål, samt den information som han valgte at give?

spil ikke med lektoren

3/10 chance for win (15 kr)
6/10 chance for tab (10 kr)
1/10 chance for even
Altsaa 20>15 betyder tab.

Arduino siger....

Ca.: -1.52 pr. spil

Kode:
unsigned long topNumber = 50000;

void setup(){
Serial.begin(9600);
randomSeed (analogRead(0));
}

void loop(){
long sum = 0;
for (long i = 0; i < topNumber; i = i+1){
int array[5] = {1,1,1,0,0};
int r1 = 0;
int r2 = 0;
while (r1 == r2) { // quick and dirty!
r1 = random(0,5);
r2 = random(0,5);
}
if ((array[r1] + array[r2]) == 2) sum = sum + 15;
if ((array[r1] + array[r2]) == 1) sum = sum - 10;
}
Serial.print("Ca.: ");
Serial.print(float(sum)/topNumber);
Serial.println(" pr. spil");
delay(1000);
}

Med eller uden tilbagelægning?

Uden tilbagelægning er udfaldsrummet 10 forskellige udfald:
3 á gevinst kr. 15
6 á gevinst kr. -10
1 á gevinst kr. 0
Her vil jeg nok ikke spille med!

Med tilbagelægning er udfaldsrummet 15 forskellige udfald:
6 á gevinst kr. 15
6 á gevinst kr. -10
3 á gevinst kr. 0
Her ville jeg gerne spille med

Nemt med Troll

Den slags opgave er oplagt for Troll (http://topps.diku.dk/torbenm/t....msp), som er et værktøj til beregning af sandsynligheder. Her beskriver du problemet således:

x := sum ({0,0,1,1,1} pick 2);
if x=2 then 15 else if x=1 then -10 else 0

Og får så at vide, at gennemsnitsværdien er -1,5, spredningen 11,19 og middelafvigelsen 10,2.

Manglende analytiske tilgang?

På opfordring fra flere vil jeg gerne forklare hr Henning Søgaard min løsning af opgaven denne tråd i virkeligheden handler om, nemlig Foshee's opgave:

”Jeg har to børn. Det ene er en dreng født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, jeg har to drenge?”

Når man ser på et enkelt udfald er det nødvendigt at vide, hvordan udfaldet er opstået. Er det udvalgt, gentaget eller dannet af individuelle sandsynligheder.

Hvis faderen er udvalgt blandt fædre med to børn hvoraf mindst en dreng (født en tirsdag) er sandsynligheden for to drenge 1/3 (13/27), da den kendte dreng kan være yngst for nogen fædre og ældst for andre.

Men der er intet i opgaven der indikerer, at han er udvalgt eller flere fædre siger det samme. Det er en enkelt mand, der fortæller om sin familie. Han har en dreng, som er enten yngst eller ældst, og sandsynligheden for at hans andet barn også er en dreng er naturligvis 1/2.

Keith Devlin fra Stanford University har erkendt fejltagelsen og rettet sin opgave til at faderen er udvalgt.

Opgaven er helt analog til kast af to mønter, hvor vi får at vide hvad den ene mønt viser. Herefter skulle sandsynligheden for to ens falde fra 1/2 til 1/3!

Forøvrigt er det en storm i et glas vand. En rigtig opgave i betinget sandsynlighed vil altid omhandle udvælgelse eller gentagelse.

Fine odds

Jeg tror ikke, det er nødvendigt at tegne store kvadrater.

P(to gevinstkugler) = 3/5 * 2/4 = 0,3
P(to nittekugler) = 2/5 * 1/4 = 0,1
P(en gevinstkugle og en nittekugle) = resten = 1 - 0,3 - 0,1 = 0,6

Gennemsnitlig gevinst = 0,3*15kr + 0,1*0 - 0,6*10kr = -1,5kr

Svaret til opgavestilleren er JA, jeg tør godt spille med de odds.

Ganske vist taber jeg 1,5kr i gennemsnit, men du skal vel også have lidt for at turde stille op på gågaden med et skilt :-)

I øvrigt er dine odds meget bedre, end noget danske spil kan tilbyde (tilbagebetalingsprocenten i lotto/joker er omkring 50).

Hold nu op folkens.

Der er 4 mulige trækninger.

nn , ng , gn, gg

nn = 2/5*1/4*0 = 0
ng = 2/5*3/4*(-10) = -3
gn = 3/5*1/2*(-10) = -3
gg = 3/5*1/2*15 = 4,5

0 - 3 - 3 +4,5 = -1,5

Du vil i gennemsnit tabe 1½ krone.

Tak til Vagn

Kan kun være enig, tænk at lektoren bibringer sine studerende dette vrøvl:

»Det tog mig dog kun fem minutter at få dem til at forstå den rigtige løsning ved at tegne et kvadratnet med 14x14 lige sandsynlige felter og udpege de relevante af disse. Jeg synes, det er beskæmmende, at ingeniører, som formodes at have en analytisk tilgang til problemløsning, kan få en diskussion ud af en sådan opgave,« forklarer Henning Søgaard.

Re: Med eller uden tilbagelægning?

Eller er det mig der ikke kan læse :)

Re: Arduino siger....

Jeg har også simuleret spillet, og det giver en rimeligt tilnærmet værdi, hvis man simulerer fx 1000000 spil.

Re: Meget simpel opgave

Jeg mindes opgaver i sandsynlighedsregning på gymnasiet som var betydelig sværere end denne :-D
Dette er en helt simpel opgave med symmetrisk sandsynlighedsrum som ikke udfordrer til forskellige fortolkninger.

Re: Udvidelse af opgaven

Ja, det kunne da være en god idé. Det er dog væsentligt forskelligt, om man trækker to kugler samtidigt eller man har information om første kugle, inden man trækker den anden. Ekstra information til spilleren vil alt andet lige øge hans gevinstchance - forudsat vedkommende anvender informationen optimalt.

Hej Henning,

Jeg havde mere forestillet mig, at der i hvert tilfælde blev trukket 2 kugler samtidigt (uden at vise dem) og spilleren fik oplyst hvad den ene viste og derefter skulle tage stilling til om der skulle spilles eller stoppes.

Re: Fra Monty Hall til tirsdagsdrengene

30%/60%/10%, -1,50 kr i gennemsnit, det bliver der vist ikke meget debat ud af da der ikke er nogen fælder i opgaven.

Jeg går ud fra at du Henning Søgaard er bekendt med Monty Hall problemet, og i øvrigt også er enig i at man der skal skifte dør for at opnå en gevinstsandsynlighed på 2/3. Lad os sammenligne to spileksempler:

1. Deltageren vælger den venstre dør, og den midterste åbnes.
2. Deltageren vælger den højre dør, og den midterste åbnes.

I begge tilfælde har vi altså fået et stykke information med ordlyden: "Der er en ged bag den midterste dør."

Alligevel leder denne information opgaveløseren til to forskellige sandsynlighedsfordelinger. Hvorfor? Fordi informationen er givet ud fra to forskellige præmisser, og vi kender disse præmisser.

I tirsdagsdrenge får vi information uden præmisser. Vi kan forsøgsvis stille nogle forskellige præmisser op, og derved få forskellige svar.

Henning Søgaard, kan du fortælle mig hvorledes Gary Foshee udvalgte sit spørgsmål, samt den information som han valgte at give?

Re: Nemt med Troll

Den slags opgave er oplagt for Troll (http://topps.diku.dk/torbenm/t....msp), som er et værktøj til beregning af sandsynligheder. Her beskriver du problemet således:

x := sum ({0,0,1,1,1} pick 2);
if x=2 then 15 else if x=1 then -10 else 0

Og får så at vide, at gennemsnitsværdien er -1,5, spredningen 11,19 og middelafvigelsen 10,2.

Re: Manglende analytiske tilgang?

På opfordring fra flere vil jeg gerne forklare hr Henning Søgaard min løsning af opgaven denne tråd i virkeligheden handler om, nemlig Foshee's opgave:

”Jeg har to børn. Det ene er en dreng født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, jeg har to drenge?”

Når man ser på et enkelt udfald er det nødvendigt at vide, hvordan udfaldet er opstået. Er det udvalgt, gentaget eller dannet af individuelle sandsynligheder.

Hvis faderen er udvalgt blandt fædre med to børn hvoraf mindst en dreng (født en tirsdag) er sandsynligheden for to drenge 1/3 (13/27), da den kendte dreng kan være yngst for nogen fædre og ældst for andre.

Men der er intet i opgaven der indikerer, at han er udvalgt eller flere fædre siger det samme. Det er en enkelt mand, der fortæller om sin familie. Han har en dreng, som er enten yngst eller ældst, og sandsynligheden for at hans andet barn også er en dreng er naturligvis 1/2.

Keith Devlin fra Stanford University har erkendt fejltagelsen og rettet sin opgave til at faderen er udvalgt.

Opgaven er helt analog til kast af to mønter, hvor vi får at vide hvad den ene mønt viser. Herefter skulle sandsynligheden for to ens falde fra 1/2 til 1/3!

Forøvrigt er det en storm i et glas vand. En rigtig opgave i betinget sandsynlighed vil altid omhandle udvælgelse eller gentagelse.

Re: Fine odds

Jeg tror ikke, det er nødvendigt at tegne store kvadrater.

P(to gevinstkugler) = 3/5 * 2/4 = 0,3
P(to nittekugler) = 2/5 * 1/4 = 0,1
P(en gevinstkugle og en nittekugle) = resten = 1 - 0,3 - 0,1 = 0,6

Gennemsnitlig gevinst = 0,3*15kr + 0,1*0 - 0,6*10kr = -1,5kr

Svaret til opgavestilleren er JA, jeg tør godt spille med de odds.

Ganske vist taber jeg 1,5kr i gennemsnit, men du skal vel også have lidt for at turde stille op på gågaden med et skilt :-)

I øvrigt er dine odds meget bedre, end noget danske spil kan tilbyde (tilbagebetalingsprocenten i lotto/joker er omkring 50).

Re: Manglende analytiske tilgang?

Hr Søgård, tak fordi du erkender at jeg har ret.

Re: Fine odds

Du har ret i det hele.

Søgaards spil er "Fair-Play på Strøget"

Så vidt jeg kan se, har Søgaard konstrueret et spil, hvor hverken han, eller strøgspilleren, vinder/taber i det lange løb. Han er fair, ikke en bondefanger.

Der er tre muligheder, idet vi kalder gevinst-kugle for G, og nitte-kugle for N, og idet vi husker, at kuglerne trækkes uden tilbagelægning i urnen/posen:

GG: Chancen for at få to GG-kugler er (3/5)*(2/4)=6/20
NN: Chancen for at få to NN-kugler er (2/5)*(1/4)=2/20
Pointen i spillet er, at der er TO muligheder for at få en Gevinst- og en Nitte-kugle, så selv om Gevinst-præmien er større en Tabsgevinsten, vinder man alligevel ikke noget.
NG eller GN: Chancen for at få en af disse er: (3/5)*(1/4)+(2/5)*(3/4)=9/20
Hvis man spiller spillet en hel masse gange, vinder man altså i gennem snit:
(6/20)*15 + (9/20)*(-10) + (2/20)*0 = 0 !!

Tak for opgaven. Den er sjov!
Hilsen
Niels Berg Olsen

Og til Søgaard må vi vel sige, at den lange debat om Foshee's opgave især handlede om, hvorvidt den opgave, han stillede, var en opgave stillet af en konkret, tilstedeværende person, der havde to sønner, hvoraf en var en TirsdagsDreng, eller om, hvad jeg selv gik ud fra, at Foshee er en matematiker, så hans opgave omhandlede et uendeligt stort sample af to-børnsfædre, hvoraf nogle havde en, dvs. mindst en, altså en eller to, TirsdagsDrenge. I sidste tilfælde er løsningen 13/27, som Søgaard sikkert viste sine studerende via sin 14*14 matrix.
Debattørerne troede/gik ud fra, at Foshee er et MENNESKE, der stillede en opgave, men Hallo, Du Dér: han er MATEMATIKER ;-)

Re: Fra Monty Hall til tirsdagsdrengene

Begge spil er entydige. Ellers fozzy tekst du skriver.

Der er ikke noget at tage fejl af.

Re: Fine odds

Roulette er SVJH det spil med den største 'tilbagebetaling'.

Spørgsmål til Henning Søgaard

og alle andre, der løser Foshee's opgave med resultatet 13/27:

To mønter Kastes en enkelt gang, den ene viser plat, vi ved ikke hvilken.

1 Er sandsynligheden for to plat 1/2?
2 Er sandsynlighed det samme for børn og mønter?
3 Er det korrekt at tilføre en matematikopgave oplysninger, der ikke skal bruges?
4 Har jeg ret i at Foshee's opgave ikke indeholder forudsætninger om udvælgelse, gentagelse eller andet, som kun en matematiker kender?

Hvis nogen svarer nej til et eller flere af disse spørgsmål kan vi måske komme et skridt nærmere til at forstå uenigheden om opgaven.

Re: Fine odds

I rouletten kan du altid vinde ... spil på enten rød eller sort og fordoble din indsats hver gang du taber. Så vil du i sidste ende vinde din grundindsats.
(fx 100, 200, 400 og så stoppe når man vinder første gang)

Re: Spørgsmål til Henning Søgaard

To mønter Kastes en enkelt gang, den ene viser plat, vi ved ikke hvilken.

1 Er sandsynligheden for to plat 1/2?

.

Skal vi spille?

@Ole
Jeg vil gerne kaste mønter med dig. Jeg kaster to mønter, hver gang fortæller jeg hvad den ene mønt viser. Du får 4 kroner hvis der er to forskellige, jeg får 5 kroner hvis der er to ens, tør du spille?.

Re: Skal vi spille?

@Ole
Jeg vil gerne kaste mønter med dig. Jeg kaster to mønter, hver gang fortæller jeg hvad den ene mønt viser. Du får 4 kroner hvis der er to forskellige, jeg får 5 kroner hvis der er to ens, tør du spille?.

To mønter Kastes en enkelt gang, den ene viser plat, vi ved ikke hvilken.

1 Er sandsynligheden for to plat 1/2?

Re: Skal vi spille?

Hvis du mener at jeg skal sige plat hver gang, siger du nej til spørgsmål 4, da det vil kræve udvælgelse (annullering af spil med udfaldet to krone).

Besynderligt

Det er da besynderligt, som nogle søger at tilpasse opgaven til det svar, de ønsker.

Ved kast med to mønter gælder blandt andet:

* Sandsynligheden for to plat er 1/4
* Hvis en af mønterne er plat, er sandsynligheden for to plat 1/3
* Sandsynligheden for to ens er ½

Men hvis man spørger til det ene, kan man da ikke bagefter ændre opgaven til at spørge om det andet.

Hvis man spørger, som du gjorde sidst, er sandsynligheden ½. Det er ligegyldigt, om du fortæller, hvad den ene mønt viser, når opgaven kun går på ens eller forskellig.

Hvis man spørger, som du gjorde først, er sandsynligheden 1/3.

Det er to forskellige opgaver med to forskellige svar.

@Henning

Du har ret. Det er beskæmmende med den manglende analytiske tilgang.

Re: Skal vi spille?

(annullering af spil med udfaldet to krone).

Roulette..

Jo, jeg kender ganske udmærket 'systemspil', men dels er der loft, og dels bliver man 'banned' hvis man kører systemspil, så det er ikke dér man bliver rig.

Jeg henførte mere til 'tælfældigt' spil, eks. sort og rød, men der er jo lige denne 'dark horse' aka 0=grøn, som ikke udløser gevinster til hverken rød eller sort.

Møntkast..

Analog med den tidligere opgave, kan man starte med at sige:
- Jeg har kastet 2 mønter, hvad er sandsynligheden for 2 plat.
udvid 'opgaven med'
- Jeg har kastet 2 mønter, hvoraf den ene er plat, hvad er sandsynligheden for 2 plat.
Indtil videre er der ikke indført nogle '3.parts' oplysninger, eller konditioner.
Udvid opgaven til:
- Jeg har kastet 2 mønter på et skakbrædt. Den ene er plat, på et hvidt felt, hvad er sandsynligheden for 2 plat.
Her indfører vi en ekstra kondition, som ikke har ret meget med udfald at gøre, men reducerer 'populationen' - altså undtager f.eks. 2 plat på sorte felter.
osv. osv.

Jeg mangler stadig forståelse for _brugbarheden_ af en sådan opgave, da essensen i virkeligheden er manglende evne til at præcisere forudsætningerne - altså en p*k måling udi sproglige fortolkninger, og ikke matematisk logik.

Re: Møntkast..

Jeg mangler stadig forståelse for _brugbarheden_ af en sådan opgave, .

Re: Spørgsmål til Henning Søgaard

og alle andre, der løser Foshee's opgave med resultatet 13/27:

To mønter Kastes en enkelt gang, den ene viser plat, vi ved ikke hvilken.

1 Er sandsynligheden for to plat 1/2?
2 Er sandsynlighed det samme for børn og mønter?
3 Er det korrekt at tilføre en matematikopgave oplysninger, der ikke skal bruges?
4 Har jeg ret i at Foshee's opgave ikke indeholder forudsætninger om udvælgelse, gentagelse eller andet, som kun en matematiker kender?

Hvis nogen svarer nej til et eller flere af disse spørgsmål kan vi måske komme et skridt nærmere til at forstå uenigheden om opgaven.

Diskussionen ruller af sig selv

Nu ruller diskussionen af sig selv og tager finurlige drejninger ind imellem. Jeg trækker mig ud af diskussionen, idet jeg kan sige "Mission Accomplished" - dvs. jeg har konstateret, at min ret nemme opgave omgivet af en lidt provokatorisk indpakning har sat en diskussion i gang, som i princippet kunne køre evigt, da der efterhånden bringes alverdens mere eller mindre relaterede diskussionsemner i spil. I virkeligheden er kødet nok for længst gnasket af det oprindelige ben.

Re: Spørgsmål til Henning Søgaard

@Henning

Du udfordres hermed til møntkast.

Jeg kaster to mønter, hver gang fortæller jeg hvad den ene mønt viser. Du får 4 kroner hvis der er to forskellige, jeg får 5 kroner hvis der er to ens.

Hvis du mener at jeg skal sige plat hver gang, siger du nej til spørgsmål 4, da det vil kræve udvælgelse (annullering af spil med udfaldet to krone).

Vagn, samme rille om igen

Du snakker (igen) om to forskellige opgaver, ligesom i den oprindelige tråd med børnene ... suk

Re: Spørgsmål til Henning Søgaard

@Henning

Du udfordres hermed til møntkast.

Jeg kaster to mønter, hver gang fortæller jeg hvad den ene mønt viser. Du får 4 kroner hvis der er to forskellige, jeg får 5 kroner hvis der er to ens.

Hvis du mener at jeg skal sige plat hver gang, siger du nej til spørgsmål 4, da det vil kræve udvælgelse (annullering af spil med udfaldet to krone).

Re: Spørgsmål til Henning Søgaard

Hvis jeg skal sige plat hver gang må jeg jo lyve, hvis der er to krone eller annullere kastet, er det virkelig så svært at forstå?

Re: Spørgsmål til Henning Søgaard

Kommentarer til Hennings kommentarer:

Ad 1: Lad os se om han vil spille! Hvad kan man bruge løsningen 1/3 til? Henning taber med garanti vores møntkast. Hvordan ville han mon formulere Foshee's opgave, hvis han ønskede løsningen 1/2? Ville han så afsløre om drengen er yngst eller ældst?

Ad 2: Vi er enige.

Ad 3: Henning hælder til at alle oplysninger skal bruges. Det vil i så fald betyde at opgaven skal løses med betinget sandsynlighed.

Jeg er ikke helt enig i forklaringen om matematikopgaver som dagligdags fænomener, jeg mener de skal være helt entydige, specielt når opgaven er så enkel som denne. Hvis Henning mener mere komplicerede opgaver er popularisering næppe aktuel.

Ad 4: Henning mener tydeligvis at opgaven skal løses med betinget sandsynlighed, det alene er en forudsætning, der er helt uforståelig for andre end matematikere.

Jeg kan ikke konkludere andet end at vi stadig er uenige, Henning bruger forudsætninger, der ikke giver mening for almindelige mennesker. Hvis nogen definerer et regelsæt for sådanne opgaver, kan vi sikkert blive enige.

Forøvrigt vil jeg godt takke Henning for et seriøst svar, det var meget bedre end det foregående.

Re: Spørgsmål til Henning Søgaard

Hvis jeg skal sige plat hver gang må jeg jo lyve, hvis der er to krone eller annullere kastet, er det virkelig så svært at forstå?

Re: Spørgsmål til Henning Søgaard

Undskyld hvis jeg har beskrevet spillet uklart.
Jeg kaster to mønter. Nu er sandsynligheden for to ens 1/2.
Jeg fortæller dig hvad den ene mønt viser, nu skulle sandsynligheden for to ens være 1/3 og sandsynligheden for to forskellige 2/3.
Det var første spil, næste foregår på samme måde.

Re: Spørgsmål til Henning Søgaard

Ad 4: Henning mener tydeligvis at opgaven skal løses med betinget sandsynlighed, det alene er en forudsætning, der er helt uforståelig for andre end matematikere.

Ja, ham Henning er sørme dygtig!

»Det tog mig dog kun fem minutter at få dem til at forstå den rigtige løsning ved at tegne et kvadratnet med 14x14 lige sandsynlige felter og udpege de relevante af disse. Jeg synes, det er beskæmmende, at ingeniører, som formodes at have en analytisk tilgang til problemløsning, kan få en diskussion ud af en sådan opgave,« forklarer Henning Søgaard.

Flot. Han kan regne simple kombinatorikopgaver men er ude at stand til at indse den simple ting, at problemet er sprogligt og ikke matematisk. Hans intellektuelle udsyn er vist yderst begrænset.

Iøvrigt taber man i gennemsnit 1½ kr pr spil , hvis ellers min hurtigt hovedregning fungerer her sent fredag (det er ikke en opgave jeg gider spilde papir på).

Re: Ja, ham Henning er sørme dygtig!

Spillet skulle blot vise at sandsynligheden 1/3 ikke kan bruges til odds for et enkelt udfald.

Jeg mangler svar fra Henning på, hvad han kan bruge den til og hvilken sandsynlighed man så skal bruge til odds..

Re: Spørgsmål til Henning Søgaard

Jeg er ikke helt enig i forklaringen om matematikopgaver som dagligdags fænomener, jeg mener de skal være helt entydige ...

Re: Spørgsmål til Henning Søgaard

Tak for svaret Henning, den køber jeg.

Re: Spørgsmål til Henning Søgaard

Ad 4: Henning mener tydeligvis at opgaven skal løses med betinget sandsynlighed, det alene er en forudsætning, der er helt uforståelig for andre end matematikere.

Nu blev opgaven sådan set stillet i en matematisk kontekst i en forsamling af matematikere.

Hvis ikke-matematikere så vil blande sig, må de lære lingo'en først.

Re: Spørgsmål til Henning Søgaard

[
Nu tror jeg, at jeg langt om længe har fattet, hvad du mener, når du taler om, at "Foshee's opgave ikke indeholder forudsætninger om udvælgelse, gentagelse eller andet". Hvis jeg har fattet det rigtigt, så er vi rendt ind i en diskussion, som lærde har haft igennem mange, mange år. Der er nemlig to "skoler" som strides, nemlig frekventistskolen og Bayesianer-skolen.

Den Olsen, den Olsen

Hvoraf al denne selvhævdelsestrang? Manglende selvtillid? Dårlige karakterer i skolen? Eller er den bare lille? Man fatter ikke al den overfusning skulle være nødvendig.

Re: Spørgsmål til Henning Søgaard

Swooossshhhh, og så røg pointen igen hen over hovedet på Henning Søgaard, der åbenbart stadigvæk ikke har forstået hvad diskussion drejede sig om.

Henning Søgaard

Henning, din beskrivelse af frekventistskolen og Bayesianer-skolen er i bedste fald ekstremt forsimplet og jeg vil snarere sige helt forfejlet. Desuden har den intet med denne opgave at gøre. Såvel frekventister som bayesianere ville udregne denne opgave på samme måde - selvom der sikkert internt i begge grupper ville være uenigheder jf. diskussionerne på ing.dk... men der vil ikke være signifikant forskel mellem grupperne!

Jeg synes du har optrådt ret arrogant i diskussionerne og forstår slet ikke du så herefter kommer med en latterligt simpel opgave som i denne tråd.

Jeg er iøvrigt selv på bayesianer, og er på 13/27 holdet, og kom frem til svaret som værende det indlysende rigtige efter 2 minutter da en kollega stillede opgaven. Men jeg har også en matematisk baggrund og arbejder med statistik til dagligt, så jeg er indoktrineret i hvordan opgaver af denne type "skal læses".

Men jeg kan godt se den alternative tolkning af opgaven - jeg mener dog at en sådan opgave må forventes at læses under standardforudsætninger og her vil jeg mene at tolkningen "faderen er en tilfældig i subgruppen hvor oplysningerne passer" er standard og dette giver så svaret 13/27. Hvis folk vil klynge sig til den anden fortolkning, så må de erklære at opgaven ikke kan løses og er for upræcis. Mange argumenterer imidlertid for andre svar, og det holder ikke. Så "13/27" eller "intet svar" er de eneste korrekte svar til opgaven.

Re: Henning Søgaard

Morten, tak for det udmærkede svar. Ja, jeg er meget arrogant. Ja, opgaven er ekstremt simpel og er ikke en diskussion værdig.

Re: Henning Søgaard

sådan opgave må forventes at læses under standardforudsætninger

Re: Henning Søgaard

Vagn, nej jeg har ikke fulgt med. Jeg blev stillet opgaven af en kollega dengang, og jeg var også lige inde og se debatten, men på det tidspunkt så det mest ud til at handle om folk der slet ikke forstod sandsynlighedsregning, og anvendte deres egne adhoc regler og synsvinker med tvivlsomt resultat til følge.

Det var først i forbindelse med denne opgave jeg blev klar over, at diskussionen af "tirsdagsdrengene" faktisk havde kørt lige siden!

Jeg kan godt se pointen med at opgaven ikke er 100% skarpt formuleret, hvorfor oversættelsen til en opgave om betingede sandsynligheder ikke er krystalklar. Jeg kan dog også fortsat se en masse 'støj' fra folk der generelt ikke forstår sandsynlighedsregning, og det er nok derfor de reelle indvendinger ikke har fået så stor opmærksomhed.

Men ja, jeg synes heller ikke opgaven fortjener så meget diskussion. Når man har lagt sig fast på sin tolkning er det en ganske simpel opgave.

Og nej, jeg tror ikke det morer matematikere at spilde folks tid. Jeg tror svaret 13/27 ville overraske en del der ikke er vant til betinget sandsynlighed, selv hvis opgaven havde været formuleret rigtigt, så på den måde er det en udmærket opgave.

Re: Henning Søgaard

@Morten

Du får en undskyldning fra mig, men andre matematikere må have røde ører, hvis du har ret.

Re: Henning Søgaard

Hej Vagn, helt ok :) Ret i hvad? At der er flere måder at tolke det på? Jeg vil tro de fleste matematikere vil være enige, men mange har måske zappet væk da de så de andre pseudo-argumenter og har ikke orket at deltage.

Jeg Googlede mig lidt frem og fandt:

http://en.wikipedia.org/wiki/B...adox

Her er en detaljeret gennemgang af hvordan forskellige formuleringer af opgaven kan give anledning til forskellige svar, ligesom visse formuleringer åbner mulighed for flere svar. Bemærk iøvrigt at denne er uden tirsdagsoplysningen, men problemstillingen/stridens kerne er den samme. 13/27 svarer således til fortolkningen der giver 1/3 i ovenstående opgave. 1/2 svarer til 1/2.

Re: Henning Søgaard

@Morten

Keith Devlin har for eksempel ikke nævnt standardbetingelser. Hvis vi havde kendt dem tror jeg ikke opgaven havde fået over 500 indlæg. Løst med betinget sandsynlig er den da meget pudsig for ikke-matematikere.

Mange indlæg bunder i dyb frustration over at den påståede løsning er indlysende forkert uden standardbetingelser,.

Hvis du ikke vil mig noget vigtigt vil jeg godt stoppe her.

Re: Henning Søgaard

Hej Vagn, jeg har heller ikke mere at tilføje. Jeg er da glad for hvis mine indlæg har bragt en følelse af 'closure' over debatten :)

Og så er der vist sagt nok om denne opgaven.

Re: Henning Søgaard

Jeg er iøvrigt selv på bayesianer, og er på 13/27 holdet, og kom frem til svaret som værende det indlysende rigtige efter 2 minutter da en kollega stillede opgaven.

Men jeg har også en matematisk baggrund og arbejder med statistik til dagligt, så jeg er indoktrineret i hvordan opgaver af denne type "skal læses".

jeg mener dog at en sådan opgave må forventes at læses under standardforudsætninger og her vil jeg mene at tolkningen "faderen er en tilfældig i subgruppen hvor oplysningerne passer" er standard og dette giver så svaret 13/27

Hvis folk vil klynge sig til den anden fortolkning, så må de erklære at opgaven ikke kan løses og er for upræcis.

Præcis. Selvom jeg vil hævde, at en umiddelbar og naturlig læsning af opgaven giver svaret 1/2, hvilket også er grunden til at den skurer så meget imod kognitivt.

Jeg elsker spil!!

At tabe 1½ krone i gennemsnit er ikke en god odds men det er heller ikke en god odds at satse på Brøndby IF pt, så hvorfor ikke bare spille ...

Fejl i lærebog

Fjerde bind af matematiksystemet for gymnasiet "IND I MATEMATIKKEN" hedder "Sandsynlighedsregning og statistik", Munksgårds forlag 1995.

På side 30-31 står følgende eksempel 11:

Der udtrækkes to af følgende kort: hjerter konge, klør konge, ruder 10 og ruder 2.

1) Sandsynligheden for to konger angives korrekt til 1/6.

2) Spilleren røber, at han har fået hjerter konge. Sandsynligheden for 2 konger angives nu til 1/3. Igen rigtigt, da kortet er præcist identificeret.

3) Spilleren røber, at han har fået en konge. Nu afslører forfatteren sig som en sand tryllekunstner ved at påstå, at sandsynligheden for to konger er ændret til 1/5.

Det fremgår tydeligt af teksten, at oplysningerne i 2) og 3) er fremkommet ved at spilleren har kigget på de helt tilfældigt udtrukne kort, hvorfor betinget sandsynlighed ikke kan bruges. Kongen er en tilfældighed, ikke en betingelse. Det ene kort er afsløret, vi skal blot finde sandsynligheden for at det andet kort også er en konge. Både 2) og 3) har 3 muligheder: den anden konge, ruder 10 eller ruder 2, altså er sandsynligheden 1/3 i begge tilfælde.

Det er åbenbart en almindelig fejltagelse, som er svær at udrydde, fordi den ikke opstår i "rigtige" opgaver. Det er beskæmmende, at en lærebogsforfatter er så opsat på at vise et simpelt og instruktivt eksempel, at han afslører sin egen manglende forståelse for sandsynlighed!

Til alle lærebogsforfattere og undervisere:

Kan vi ikke blive fri for lignende fejltagelser i kommende lærebøger og undervisning i sandsynlighedsregning?

På forhånd tak!

http://ing.dk/debat/131004

Hvordan

skal man kunne uddanne dygtige matematikere og ingeniører, når nogle lærere og lærebøger end ikke forstår det allermest grundlæggende i betinget sandsynlighed?

Betinget sandsynlighed handler om betinget udvælgelse. Betingelserne skal naturligvis være opfyldt under udvælgelsen, at tilknytte nye betingelser efter udvælgelsen er det rene nonsens.

Dette er en enestående lejlighed for nogle studerende til at sætte deres lærer eller lærebog på plads!

Re: Fejl i lærebog

Der ingen der har kommenteret dette indlæg. Det skyldes forhåbentlig at ingen har læst det, for sikke noget vrøvl.

Eksempel 11 i "IND I MATEMATIKKEN" er et glimrende eksempel, det er mig selv, der har blandet to ting sammen. Der er sket en klar udvælgelse i modsætning til opgaven med to børn.

Jeg beklager fejlen og siger undskyld til forfatteren.