Talsystemer

Det kan man vel - jeg er ikke særlig meget matematiker. Men de tidligere og til dels overlevede engelske måle- og pengeenheder er (så vidt jeg ved) baseret på en blandning af 10- og 12talssystem…

Re: Talsystemer

Det kan man vel - jeg er ikke særlig meget matematiker. Men de tidligere og til dels overlevede engelske måle- og pengeenheder er (så vidt jeg ved) baseret på en blandning af 10- og 12talssystem…

Re: Talsystemer

Kig på:

http://da.wikipedia.org/wiki/T...dtal

(base = grundtal)

http://en.wikipedia.org/wiki/N...tail

Golden ratio base:
http://en.wikipedia.org/wiki/G...base

Non-integer representation:
http://en.wikipedia.org/wiki/N...tion

Base pi:
http://en.wikipedia.org/wiki/N...F.80

http://en.wikipedia.org/wiki/N...ties
Citat: "...
In no positional number system can every number be expressed uniquely. For example, in base 10, the number 1 has two representations: 1.000... and 0.999....
..."

-

Non-standard positional numeral systems:
http://en.wikipedia.org/wiki/N...tems

Negative base:
http://en.wikipedia.org/wiki/N...base

Quater-imaginary base:
http://en.wikipedia.org/wiki/Q...base

Mixed radix:
http://en.wikipedia.org/wiki/M...adix

Matematikere er kreative ;-)

Godt spurgt !

Re: Talsystemer

@Ole: Jo selvfølgelig er 12 et positivt heltal, men jeg ved ikke om man kan lave talsystemer med mindre end 1 - eller mindre ned nul (negative tal)

Positionstalsystemer

Det kommer list an paa hvad du kraever af et talsystem. Fx er romertallene ikke baseret paa tal som vi kender dem og de komplekse tal og kvarternioner involverer ogsaa bogstaver.

Det vi bruger til daglig, er positionstalsystemer, dvs hvor ciffer i (hvor vi taeller 9876543210,-1-2-3-4-5-6-7-8-9) angiver antallet af n^i'ere, hvor n er basen for talsystemet, fx 2, 8, 10, 16. Det giver regnestykker som
101b = 1 * 2^2 + 0 * 2^1 + 1 * 2^0 = 4 + 1 = 5
idet n^0 = 1 for n # 0. Decimalerne kommer ved at n^-i = 1/n^i.

Af dette kan vi se at stambroeker (broeker med 1 i taelleren) giver andledning til at man vender tallet om og flytter kommaet en tak.

Tallet 1 som base skiller sig ud ved det, det er sin egentlig inverse stambroek. Det er ikke muligt at udtrykke tal under 0 eller 1 (efter temperament). De har ogsaa den specielle egenskab, tallets laengde er lineaert i stoerrelsen af tallet, hvor tal med en heltallig base over 1 kun er logaratimisk langt i forhold til stoerrelsen (det bruges fx i kompleksitetsteori i datalogi, hvor man antager, tal angives med base mindst 2).

Talsystemer med en ikke-stambroek som base giver nogle finurligheder. Fx giver base 3/2 (3/2)^i = 3^i/2^i, saa det i'te ciffer udtaler Sig nu om halve, fjerdedele, osv. Jeg erindrer ikke min algebralaeredom godt nok til at sige noget 100% sikkert, men mener man stadig, hvis vi antager broeken er over 1 og helt reduceret, med op til lige saa mange cifre som i taeller eller naevner eller dderes mindste faelles multiplum vil kunne representere alle tal, omen nogle tal, vi i dag kan representere med et endeligt antallet cifre vil kraeve uendeligt mange cifre (fx kan 1/2 representeres som 0,5 mens 1/3 kraever 0,333 efterfulgt af uendeligt mange 3-taller).

0 duer ikke, da 0^i ikke er defineret for i <= 0 og desuden bare giver 0 for alle positive i.

Negative tal bliver boevlede igen, da tallet pludselig skifter fortegn. Fx giver base -2 vaerdierne 1, -2, 4, -8, ... til de foerste par cifre. Vi faar fx
0 = 0
1 = 1
10 = -2
11 = -1
100 = 4
101 = 5
110 = 2
111 = 3

Det betyder fx at almindelige regneregler ikke gaelder mere, fx 1 + 1 = 110 hvor almindelige regler siger, det bliver 10. Til gengaeld har vi ikke mere brug for minus.

Hvis du vil vide mere om talsystemer kan jeg anbefale dog at kigge paa talteori, moduloregning og algebra.

Beklager stavefejl og den slags - ordbogen paa en iPad molestrerer ord uden at goere opmaerksom paa det.

Re: Positionstalsystemer

Hvordan bestemmer du hvilket fortegn følgende binære tal har?

1011010011100110100110

Jeg har vist angivet 24 bit. ;-D
Du må gerne tage udgangspunkt i -2 basen du beskriver.

Et rundt talsystem

Hvis man konstruere et talsystem, hvor rette linier ikke kan forekomme, burde det være muligt at regne rumfanget af en kugle helt nøjagtigt ud, spørgsmålet er så bare om man kan konvertere det til vores normalt brugte talsystemer og dermed noget en computer kan regne på. PI er jo ikke nøjagtigt.

Re: Positionstalsystemer

Med en negativ base forstås i denne sammenhæng at hvert andet ciffer har negativ vægt, altså kan værdien af 1011010011100110100110 regnes ud således:

+0*(-2)^0
+1*(-2)^1
+1*(-2)^2
+0*(-2)^3
+0*(-2)^4
+1*(-2)^5
+0*(-2)^6
+1*(-2)^7
+1*(-2)^8

osv.

Det er let at bestemme at bestemme fortegnet, det er nemlig altid det samme som den mest betydende bits fortegn, så i dette tilfælde er tallet negativt, da den 22. position har vægten (-2)^21. Så vidt jeg kan regne ud er det tal du har skrevet - 2 299 806.

IT verdenen..

Ikke at jeg vil svare på spørgsmålet, men de 'garvede' IT folk arbejder også med 'Oktaler'/'Nibbels'.

Packed decimal kaldes det vist også.

Re: Positionstalsystemer

Det kræver, at man har specificeret et fast antal bits for et tal. Hvis man regner med fortegn i binære tal, er det normalt forreste bit (0 for plus, 1 for minus), der bestemmer fortegnet, og af regnetekniske årsager bruger man normalt et to-komplementssystem, hvor de negative tal starter "oppefra" med -1 (i 8 bit: 1111 1111=-1, 1111 1110=-2 ... 1000 0000=-128). Hermed kan man lægge sammen og trække fra på samme måde, som hvis man ikke regnede med fortegn.

Re: Positionstalsystemer

Jens Peter Jensen, det er et helt andet system du snakker om. Det vi her snakker om er et talsystem, ikke hvorledes tallene fungerer i computere. Prøv at sætte dig ind i hvad det er debatten handler om før du skriver.

PI eller e .. ?

Det er ikke rigtig noget jeg har tænkt over, men af og til tænker jeg på hvordan vor matematik ville se ud hvis grundtallet var enten PI eller e.

At vi har valgt 10-tals systemet tror jeg bunder i, at vi har 10 fingre.

Måske kunne man plædere for 20-tals systemet, da vi også har 10 tæer.

Jeg undlader at nævne, at dem med ulige CPR-numre kunne bruge 21-tals systemet, da det ville være diskrimination;)

Jeg tror dog ikke at vor begrebsverden ville ændre sig hvis man antager nogle af disse talsystemer.

Skulle man 'ændre' verden, burde man nok tage udgangspunkt i nogle 'naturkonstanter'.

Re: PI eller e .. ?

Det er ikke rigtig noget jeg har tænkt over, men af og til tænker jeg på hvordan vor matematik ville se ud hvis grundtallet var enten PI eller e.

Re.Positionstalsystemer

Jo de romerske tal DE er et 10 talssystem!

Prøv at se
wwww.rechenwerkzeug.de
og så kikke under den første.

Den første af talregnerne er fundet i et lag for 2500 år siden (500 år før vor tidsregning).

Her er der med tydelighed, at de primere er 1, X, C, M og så videre. De andre V, L eller D er kun til at "folk" skal huske det.

Redundante talsystemer

Jeg er lidt i tvivl, om alle ovenstående talsystemer, med ikke heltalligt grundtal, kan kaldes "rigtige" talsystemer. For de fleste sædvanlige talsystemer, er der en enentydig sammenhæng, mellem talrepræsentation og værdi. Meddens, der for nogle af de "skæve" talsystemer er tal, hvor samme værdi kan repræsenteres på flere måder. Selvom et grundtal er "skævt" betyder det dog ikke, at der nødvendigvis er tal der kan repræsenteres på flere måder, eller som ikke kan repræsenteres. Som eksempel, Donald Knuth's Quater-imaginary base. Her kan vi måske nærmere spørge, om de normale talsystemer, nu har fået alle tal med.

Et specielt eksempel på "talsystemer", er residue number systems. Her er der ikke et grundtal i traditionel forstand, men mange grundtal, der er indbyrdes primiske. http://en.wikipedia.org/wiki/R...stem
Residue number systems, kan med fordel ofte bruges i beregningskredsløb, f.eks. ved signalbehandlingskredsløb og lignende.

20talsystem?

@Stig Johansen:
Jeg mener at huske noget om grønlænderes talsystem, eller tællemåde, som er et 20talsystem med både fingre og tæer. Jeg kan ikke ord nok på grønlandsk til at beskrive det; nogen kan måske?

alternative talsystemer (kun for sjov)

Dette indlæg er mest for sjov..
se dette link hvor Sundhedsstyrelsen har baseret temperaturskalaen på 2/3 talsystemet :-) (kig nederste højre hjørne af plakaten)

http://www.sst.dk/publ/Publ200....pdf

Dette logo er brugt overalt i SST kommunikation om H1N1 influenza (!!)

Matematik

Man kan ikke ændre de grundlæggende fysiske fænomener ved at ændre på betegnelserne, ændrer vi + til - (og - til +), gøres der ingen fysisk forandring.
På samme sæt og vis med matematikken.
Vi kan ændre på betegnelser - tælle omvendt - ændre vilkårlig indførte talsystemer o.s.v. men altså ikke ændre på den grundlæggende matematik.
Det ser ud som om fysikken har et indgående kendskab til matematik, og at matematikken har et indgående kendskab til fysikken.

Et spøjst talsystem

Jeg tror kke at der er nogen, der har snakket om "mixed-radix" talsystemer i denne tråd. Det er jo en mangel, så her er et, hvor pi er
0.2222222222222...

http://www.cut-the-knot.org/Cu...html

Tal er vel en repræsenter for enheder

Jeg er ikke for klog ud i dette emne, men jeg vil mene at talsystemer er til for at kunne ordne enkelte enheder i mængder, der har en logisk relation til hinanden.
Hvis enheden er repræsenteret én gang, må det være det første i rækken. Næste gang den kan genkendes, er det 2 enheder. På den måde vil der altid være en optælling at forholde sig til.

Når der skal regnes, vil disse enheder (i selvstændige "bunker") også skulle påvirke resultatet på lige fod.

Hvad værdien af en enhed må være, kan man selv bestemme, og for så vidt også om du vil "vende" ved 2, 10, 25 eller en gang i morgen. Man kunne opfinde en talrække, med en enhedsværdi på bogstaverne fra A til U og vende i forhold fibonacci-tallene og hvor bogstaverne fra A til U går i løkke indtil det tal der vendes ved er nået.

Problemet er jo at vi vil vende tilbage til vores decimaler når vi skal forholde sig til dem. Tag f.eks. romertallene - der spørger vi altid, hvad der står, når der står MCVII. Jeg plejer at svare "MCVII" og har derfor tit mere ret end dem der siger 1107. :-)

Bare lige mit indspark til et godt spørgsmål.

Spørgsmålet kan ikke besvares

For at besvare det oprindelige spørgsmål, må du først definere, hvad du mener med et talsystem. (det er ikke trivielt)

Spøjse talsystemer...

Et spøjst talsystem
Jeg tror kke at der er nogen, der har snakket om "mixed-radix" talsystemer i denne tråd. Det er jo en mangel, så her er et, hvor pi er
0.2222222222222...

Re: Redundante talsystemer

Jeg kunne engang det meste af: "The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics" by Jakow Trachtenberg.

Mange af metoderne er baseret på konverteringer mellem det normale base-10 talsystem til andre, hvor det er lettere at dividere med f.ex. 11 og tilbage igen. Den slags "hacks" og "shortcuts" er normale indenfor signalbehandling.

I 1950'erne var det magi ;-). Der var endda skoler der underviste bogholdere i systemet.

Re: PI eller e .. ?

eller et femtalsystem?
som på grønland,
det er nok kultur bestemt, hvor langt man skullr tællle, 5 sæler og 5 koner var nok rigeligt?og så kunnne man beholden ene vante på, inden der skulle tællles menter, på den anden, Med 10 - TAL SYSTEMET, skullle kamikkerne jo af. Andre primitive samfund, havde talsystemet" en-to-mange" . 20 tal systemet, med snese og ol , har også været i brug,Ligesom 12 tal med dusin og gros.for ikkke at tale om tidsregningen, år måneder, døgn, dage, timer, min,sek.

men der mangler jo et nul

hvad med nul?

Re: 20talsystem?

det lyder ulogisk, at de skulle have brug for så store mængdeangivelser, at en hånd ikke var nok, og hvornår har du set en grønlænder på bare tær, på indlandsisen?20-talsystemet må være fra afrika, men hvad så med menten?-brugte man andre legemsdele til dette: 2 hænder plus2 fødder=1 næse?

Re: 20talsystem?

hvorfor mon man kun optalte til 4 snese=ol?
Brugte man mon:
hage- mund -næse- pande?

Det er jo stadig positive heltal

Alt det der med hænder og fødder forholder sig jo stadig til heltal. For at kunne besvare det originale spørgsmål, må man fjerne sig fra den indledende præmis om, at enhederne er enkeltstående, lige størrelser. Ellers vil man altid falde i det hul, der giver "1-2-3-4-5 enheder.".

Apropros Trachtenberg, så har jeg stadig bogen. Den er faktisk virkelig munter interessant. En søgning på nettet kan sagtens støve nogle af reglerne af igen.

Re: Det er jo stadig positive heltal

teoretisk kan man vel benyttte andre grundtal?
men et talsystem giver vel kun mening hvis det entydigt beskriver en mængde?
mængden,kan være både debit og kredit.

Re: Redundante talsystemer

Jeg kunne engang det meste af: "The Trachtenberg Speed System of Basic Mathematics" by Jakow Trachtenberg.

Mange af metoderne er baseret på konverteringer mellem det normale base-10 talsystem til andre, hvor det er lettere at dividere med f.ex. 11 og tilbage igen. Den slags "hacks" og "shortcuts" er normale indenfor signalbehandling.

I 1950'erne var det magi ;-). Der var endda skoler der underviste bogholdere i systemet.

Grønlandske tal.

En bemærkning vedr. det grønlandske maksimum på 20:
Jeg mener at være blevet erkyndiget om, at det grønlandske ord for 20 betyder "hele manden." - Og så var der altså ikke flere tal på grønlandsk, hvorefter man nu tæller videre med de danske. Det bemærkede man lejlighedsvis, dengang de grønlandske nyheder blev sendt i radioen på grønlandsk.

Interessant spørgsmål

der som i et tidligere indlæg får mig til at notere, at matematikken antager
de negative tals eksistens og fysikken bekræftiger deres eksistens.
Således at hvis noget positivt, så er "det modsatte" negativt og omvendt.
Måler jeg pos., KAN jeg altså måle neg.
Kæd nu sammen med at legemet (hed det vist i folkeskolen) for komplekse
tal er en udvidelse fra reelle tal og komplekse tal er de eneste af de to
legemer, der fx beskriver højfrekvens bølgers udbredelse, kan man vel
tale om 4 modsætninger.
Det sidste ses selvfølgelig i de komplekse tals koordinatsystem.

Der er rigtigt mange muligheder

Fra min universitets tid kan jeg huske at skæve talsystemer bruges en del til at optimere addition, multiplikation osv. i lavniveau implementationer.

F.eks. er det et udbredt trick at bruge base 2, sammen med talsættet
{-1,0,1} eler {0,1,2,3}. Men også kvatrartrod(-2) kan bruges, kombineret med cifrene {-1,0,1} er den er god til at regne med komplekse tal.

Typisk bruger man det udvidede (redundante) talsæt under beregningerne, og så konverterer man til binær når resultatet skal overføres til computerens hukommelseslager.

I princippet kan man skabe uendeligt mange forskellige talsystemer, fantasien er den største begrænsning!

Re: Der er rigtigt mange muligheder

.. men det er alligevel imponerende at det altsammen kan udtrykkes som et binært tal. At de to små cifre 0 og 1 kan udtrykke hvilket som helst tal på talrækken. Det er nemlig så viseligt indrettet at et stort 0 dækker talrækken helt op til der hvor et lille 1-tal tager over,

Undskyld - det må være varmen stadig 26° her midt om natten.

Forresten - en nipple er blot et andet ord for en halv byte / 4 bits. Packed decimal (som jeg bruger helt rutinemæssigt på en administrativt IBM-system) kaldes den datarepræsentation hvor der benyttes en halv byte til hvert decimale ciffer. Et trettencifret tal fylder 7 bytes (af den sidste halvbyte benyttes kun een bit - fortegnet)