Simpel matematikopgave er en hård sproglig nød
Tirsdagsdrengene er blevet årets helt store matematikproblem – internationalt og i Danmark. Matematikken er simpel, men opgaven er åben for en sproglig fortolkning, der har ført til ophidset debat flere steder i verden.
Gary Foshees drilske matematikproblem har udløst en hektisk debat både internationalt og ikke mindst her på ing.dk
Læs også
Læs mere om
Dokumentation
Utallige artikler, blogindlæg er skrevet og youtube-indslag lagt på nettet om matematikopgaven, som nu blot kendes om tirsdagsdrengene. Den er blevet en verdensomspændende matematisk epidemi.
Den måske ivrigste diskussion af alle steder er foregået på ing.dk, hvor der nu er mere end 1.200 debatindlæg til den artikel, som jeg for to måneder siden skrev om Gary Foshees drilske spørgsmål: ”Jeg har to børn. Det ene er en dreng født en tirsdag. Hvad er sandsynligheden for, jeg har to drenge?”
Udgangspunktet for den internationale udbredelse er forfatteren og journalisten Alex Bellos. Debatten på Alex Bellos’ egen hjemmeside har også været overvældende, men antallet af kommentarer på godt 400 blegner dog noget i forhold til ing.dk.
Både hos Bellos og på ing.dk diskuteres det ivrigt, om den løsning jeg gengav, hvor svaret er 13/27 er rigtig - eller om svaret ikke mere rettelig er 1/2.
Fra ord til ligninger
Jeg har hårdnakket i artiklen, i kommentarer i debattråden og i mails direkte til læsere argumenteret for, at 13/27 er det rigtige svar. Men jeg skal gerne indrømme, at opgaven har et problem. Ikke et matematisk, men et sprogligt.
Opgaven er formuleret i ord og ikke som matematisk ligning. Og derfor må den nødvendigvis oversættes fra sprog til matematik. Denne oversættelse kan diskuteres, og det har en betydning for svaret.
I debattens første tid var oversættelsen fra sprog til matematik dog ikke det helt store tema. Mange læsere forsøgte at overbevise mig om, at 13/27 under alle omstændigheder var et forkert svar. Det er det ikke – og det vil jeg til alle tider argumentere for.
Jeg vil endda hævde, at det er det mest logiske svar. Men efterhånden som debattråden er blevet længere og længere, er problemet med den sproglige fortolkning blevet mere fremtrædende, og jeg indrømmer gerne, at der også godt kan argumenteres for, at svaret kan være 1/2.
Oceanografen, lektor emeritus Niels Kristian Højerslev, var nok den første til at gøre mig opmærksom herpå. Allerede i slutningen af juni skrev han følgende til mig:
”I den gamle Mellemskole blev de tekstede opgaver kun bestået af de få, hvilket ikke altid var skolelæreren selv. Ligninger med x-er og y-er skulle aldrig afkodes, men blot løses.”
Andre læsere har siden hen været inde på noget tilsvarende. Det samme har matematikeren Keith Devlin i en kommentar hos Mathematical Association of America.
Keith Devlin skriver bl.a. følgende: ”Var problemet formuleret på følgende måde: Under forudsætning af at en mand, som er tilfældigt udvalgt, har to børn, hvoraf mindst en er en dreng født på en tirsdag, hvad er så sandsynligheden for at han har to drenge? Så er svaret er 13/27.”
Dette svar er for de fleste – mig selv inklusive - meget overraskende og anti-intuitivt. For hvorfor har tirsdagsoplysningen en betydning? Udlader man ordene "født på en tirsdag" i ovenstående spørgsmål er svaret 1/3.
Det var det, som fik mig til at skrive min artikel, hvor hovedbudskabet var, at sandsynlighedsregning og intuition er en farlig cocktail. Det mener jeg stadig.
Keith Devlin gør dog også opmærksom på, at det er almindeligt at personliggøre og omskrive opgaver og eksplicit undgå at nævne standardforudsætninger "som tilfældigt udvalgt", når opgaven formuleres.
Har man først forstået denne kode, vil Foshees formulering: ”Jeg har to børn og en er dreng født en tirsdag, hvad er så sandsynligheden for, at jeg har to drenge” ifølge Devlin betragtes som værende identisk med det mere rigoristisk formulerede spørgsmål.
Keith Devlin skriver: ”Så længe alle kender koden og er indstillet på at følge den, så fungerer det”.
Jeg valgte også den korte personliggjorte formulering i min artikel – det var måske ikke hensigtsmæssigt, for jeg kunne jo ikke være sikker på, at koden ville blive accepteret af alle. Og vælger man en anden fortolkning af denne formulering, kan man sagtens argumentere for, at svaret er 1/2.
Det simple problem
Det er måske lettest at forstå, hvis vi betragter det simplere problem: "Jeg har to børn, den ene er en dreng, hvad er sandsynligheden for, at jeg har to drenge?"
Har man forstået afkodningens kunst for sandsynlighedsregningsopgaver, så vil det helt naturligt at fortolke dette som værende det samme problem som: Givet at en mand, som er tilfældigt udvalgt, har to børn, hvoraf mindst en er en dreng, hvad er så sandsynligheden, for at han har to drenge. Så er svaret 1/3. Indiskutabelt.
Har man derimod opfattelsen af, at manden stammer fra en kultur, hvor det er obligatorisk altid at nævne det ældste barn før yngre søskende, så er svaret 1/2. Også andre fortolkninger og antagelser kan føre til 1/2 som svar.
Nyligt afdøde Martin Gardner var allerede inde på disse betragtninger i slutningen af 1950’erne. Flere læsere fremfører i debatten om tirsdagsdrengene de samme argumenter.
Fra de seneste indlæg i debatten vil jeg eksplicit fremhæve indlæg af Niels Berg Olsen og Jens Olsen, som ud over at været aktive i debattråden begge har sendt udbydende forklaringer direkte til redaktionen.
Efter min mening er de alternative fortolkninger og antagelser dog mindre logiske at tage i brug end den afkodning, som bl.a. Devlin henholder sig til. Men jeg indrømmer, at det er et synspunkt, som kan diskuteres, og at andre vil hævde, at dette ikke er tilfældet. Men så har vi i det mindste fået problemet reduceret til et sprogligt problem og ikke et matematisk problem.
Gammel opgave
Godt nok raser debatten i 2010, men det viser sig, at opgaven slet ikke er ny.
Som jeg skrev i min artikel var det Gary Foshee, der stillede spørgsmålet på symposiet Gathering for Gardner (G4G) i Atlanta, USA i april. Jeg blev opmærksom på problemet via Alex Bellos, som selv var til stede ved G4G.
I en nylig artikel på sit website har Bellos undersøgt, hvor spørgsmålet kommer fra.
Gary Foshee har forklaret til Bellos, at han har hørt det fra en ven, som havde hørt det hos en anden ven, som havde set det på en undervisnings-dvd, "What Are The Chances? Probability Made Clear" lavet af professor Michael Starbird fra University of Texas i 2006.
Michael Starbird forklarer i en email til Bellos, at han er kommet i tvivl om, hvorvidt det er et godt spørgsmål, da så mange åbenlyst er vrede over det.
Bellos konkluderer derimod: ”Jeg synes, at Michel har gjort verden en tjeneste ved at tage det med på sin dvd – det har fået folk til at tale om matematik, og det er fantastisk.”
Bellos bemærker, at debatindlæggene på hans blog rummer alt fra vrede til forvirring og entusiasme. Det samme er tilfældet på debattråden på ing.dk. Tak til alle som har bidraget, og som derved har hjulpet til allerede nu at gøre artiklen til en klassiker på ing.dk
