Spørg Læserne: Kan man bevise at 1 plus 1 er 2?

Klaveret spiller bare sådan

Så vidt jeg husker fra min skoletid, så er det G. Peanos tælle-aksiom (og nej, det står ikke for "Grand Piano"), vi skal have fat i her. Sagt på en anden måde: Det kan bevises, fordi vi har vedtaget, at det er sådan, det forholder sig.

1+1 = ??

Tjah, 1+1=10 er lige så korrekt ;o)

..

Vi har defineret at det er sådan, via en induktiv definition. Sådan har jeg ihvertfald lært det.

Russell har et bevis

Det kan man godt. Se Bertrand Russells Principia Mathematica. Her er et link til omtalen på wikipedia

http://en.wikipedia.org/wiki/P...tica

Citat:
From this proposition it will follow, when arithmetical addition has been defined, that 1+1=2."

Re: 1+1 = ??

Omend jeg synes dit svar er SJOVT! Så skylder du at nævne, at det er i det binære talsystem.

Ved omvendt "logik"

2 = 1 + 1

Ergo så er 1 + 1 = 2

Hvad man så ellers vil definere som værende 1 - er vel irellevant.

Altså 2 = 1 + 1 og derfor er 1 + 1 = 2

Peano-aritmetik siger ja

Det kan man.

Man skal have fat i lidt Peano-aritmetik. Det går ud på man definerer symbolet 0 (nul) og symbolet S (for successor eller efterfølger). S er en funktion, der tager en parameter. Tænk på det som:
0 = 0
1 = S(0)
2 = S(1) = S(S(0))
osv.

Derefter skal vi definere plus. Den er defineret rekursivt, dvs. for 0 og for ethvert x = S(y). + er defineret som
x + 0 = x
x + S(y) = S(x + y)

Så får vi:
1 + 1 = (def. af 1)
S(0) + S(0) = (2. del af def. af +)
S(S(0) + 0) = (1. del af def. af +)
S(S(0)) = (vores forståelse af S)
2

Re: Peano-aritmetik siger ja

Det kan man.

Man skal have fat i lidt Peano-aritmetik. Det går ud på man definerer symbolet 0 (nul) og symbolet S (for successor eller efterfølger). S er en funktion, der tager en parameter. Tænk på det som:
0 = 0
1 = S(0)
2 = S(1) = S(S(0))
osv.

Derefter skal vi definere plus. Den er defineret rekursivt, dvs. for 0 og for ethvert x = S(y). + er defineret som
x + 0 = x
x + S(y) = S(x + y)

Så får vi:
1 + 1 = (def. af 1)
S(0) + S(0) = (2. del af def. af +)
S(S(0) + 0) = (1. del af def. af +)
S(S(0)) = (vores forståelse af S)
2

Talsystemet bestemmer

Da vi selv har defineret vores talsystem, herunder tallene 1 og 2 vil resultatet altid være rigtigt.
At det så også stemmer i andre af de talsystemer vi har er en anden sag.
Havde det nu været 10 + 10, ville resultatet ikke nødvendigvis være 20, da vi bruger samme tegn til andre talsystemer, det hexadecimale eller andre.
Når jeg nævner dette er grunden at der ikke står noget om hvilket talsystem der anvendes.
Binært er 1 + 1 jo 10...

Re: Re: Peano-aritmetik siger ja

Men står vi så ikke bare tilbage med noget andet som vi "bare har vedtaget"?

Med andre ord: Der er nogle grundlæggende aksiomer som man må gå ud fra. Et af dem kunne være 1+1=2 - eller det kunne være Peanos aksiomer.

"Aksiomssættet for eksempelvis en matematisk teori kan ses som de grundlæggende regler, som man frit fastlægger"

Boolsk bevisteori

Den her med hvis 2+2=4, 3+3=6 ....9+9=18, så er der al sandsynlighed vor at 1+1=2.

I andre "ikke-matematiske" idéanalyser kan man vise alternative udfald.

Historisk

Spørgsmålet er faktisk ikke værre end som så, for nej er svaret.

Det kan vel forstås på to 2 (ikke "to" :) måder; enten om hvorvidt selve de tegn er valgt af en grund, eller - som jeg tror det skal tolkes - om det de står for kan bevises.

Men desværre giver det ikke rigtig mening at prøve at bevise det, for selve talsystemet er grundbasis for alle operationer man kan udføre og alle teorierne omkring at regne med det talsystem. Altså vil alle formler/teorier være baseret på talsystemet. Det er ulogisk og forkert at benytte et værktøj baseret på noget, til at bevise det som det er baseret på. værktøjet er ikke "upartisk" om man vil... Håber i følger mig her. :)

Ud over det, er vores talsystem (ligesom næsten alle) baseret på virkeligheden, nærmere bestemt på det princip der hedder "antal". Talsystemet er navngivet efter forskellige værdier vi tillægger begrebet antal, hvilket er det bedste bevis jeg kan komme på (nærmere en definition).

jo men

hvis 1+1=11
så har jeg flere penge i banken end regnede med.
nu skal jeg så lige forklare det for bankdirektøren

Et supplerende spørgsmål

Jeg synes Michael Westergaards svar er meget overbevisende.

Men: forudsætter udtryk som 2=S(S(0)) ikke at man kan tælle antallet af S'er, dvs. en cirkulær definition: "tallet 2 defineres som operatoren S brugt 2 gange på 0-elementet"?

Brug romertal

Beviset for 1+1=2 maa være uafhængig af hvilke symboler man bruger for tallene. Hvis man bruger romertal har man:
I I = II

QED

Its true theoritically,BUT NOT practical

In practical sense, 1+1=2+'x'.

'x' is the noise adds during the addition operation of 1'+'1.

The value of x depends on the environment of addition operation.

;-)

2 = 1

Hold fast:

a = b

a^2 = a*b

a^2+c = a*b+c

a^2+a^2-2*a*b = a*b+a^2-2*a*b

2*a^2-2*a*b = a^2-a*b

2*(a^2-a*b) = a^2-a*b

2 = 1 :O

Re: Its true theoritically,BUT NOT practical

In the environment of this answers page, x is potentially huge ;-)

Re: Næste semester

1+1= x
I næste semester gør vi det en smule sværere - så skal vi lære hvad er:
2 * 2 = ?

/PH

Re: 2 = 1

Hold fast:

a = b

a^2 = a*b

a^2+c = a*b+c

a^2+a^2-2*a*b = a*b+a^2-2*a*b

2*a^2-2*a*b = a^2-a*b

2*(a^2-a*b) = a^2-a*b

2 = 1 :O

Kan man bevise at 1 plus 1 er 2?

...absolut tåbelig spørgsmål...
...kan du bevise at du eksisterer ?

Re: Kan man bevise at 1 plus 1 er 2?

...kan du bevise at du eksisterer ?

Re: Re: Kan man bevise at 1 plus 1 er 2?

...man kan også vælge den hårde vej og give tvivleren en lussing ;o)

Bevis for 1+1=2 i Ill. Videnskab?

Jeg mener at huske, at Illustreret Videnskab, vistnok for cirka tre år siden, havde en artikel, der netop handlede om, at man først lige da på det tidspunkt var blevet i stand til egentlig at bevise at 1 + 1 = 2?

Mvh.

Illustreret Videnskab?

...nej det vil jeg gerne tro at de ikke kan :o)

Er 1+1 = 2 i vores "fysiske" verden?

Et er, at matematikken påstår at 1+1=2. Men, hvordan ser det ud i virkeligheden?

Einstein, krumme rum, krumme overflader, kvantisering osv. er bare nogle af de problemer, der kommer i vejen for den perfekte addition.

Addition er matematik, som ikke gælder i virkeligheden...

Læs selv Russell, hvis du tør

Jeg nævnte Bertrand Russells bevis for 1 +1 = 2 tidligere med en wikipedia-henvisning, men I skal ikke snydes for originalen, som findes her.

http://quod.lib.umich.edu/cgi/...=100

Find side 379.

Re: Bevis for 1+1=2 i Ill. Videnskab?

Jeg mener at huske, at Illustreret Videnskab, vistnok for cirka tre år siden, havde en artikel, der netop handlede om, at man først lige da på det tidspunkt var blevet i stand til egentlig at bevise at 1 + 1 = 2?

Simpel tælleproces og symbolforkortelser

Hvis man har lært at tælle, så er det vel indlysende, at der gælder følgende:
Et (1) æble og (+) et (1) æble mere, er lig med (=) det, som man har vedtaget, at betegne med to (2) æbler.
Symbolsk og forkortet har man vedtaget, at ovenstående sammenlægningsproces af f.eks. to æbler kan skrives forkortet og symbolsk som 1+1 = 2.
En genstand og en genstand mere giver samlet to genstande.
(Men får man for mange genstande, ja så begynder man måske at tælle forkert!)

Hilsen fra
Louis Nielsen

Re: Simpel tælleproces og symbolforkortelser

En genstand og en genstand giver samlet 2 genstande..
Hvis du skovler 2 bunker sand sammen, hvor mange bunker har du så?

Re: Re: Simpel tælleproces og symbolforkortelser

...du glemmer at fortælle at bunkerne fylder 2 gange det rum én bunke fylder og hvis det er en homogen masse så vejer denne nye bunke det dobbelte... 1+1=2 ...ikke at kunne bevise det er vist et underlig argument...

...det er vist kun lommefilosoffer der diskuterer den slags spørgsmål.

Re: Ved omvendt "logik"

2 = 1 1
...

Rettelse...

Rettelse:

...
http://en.wikipedia.org/wiki/R...g_Z4
Citat: "...
Properties of this ring
* In general, given any two integers, x and y, if x plus y = 0, then either x is 0 or y is 0. It is interesting to note that this does not hold for the ring (Z4, plus, *):

2 * 2 = 0

although neither factor is 0.
..."

...

1+1 = 2

Beviset lægger i at kan tælle.

Så i 1 kl. lære man at 1 æble og nok et æble er lig. 2 æbler.

Hvis ikke det enkelte i overstående et bevis nok, kan vi lige så godt skrotte alt og kravle tilbage til jordhulerne.
Alt andet er ...bladder.
Det eller så sidder der nogle matematikkere og lign og har ikke en skid at lave, andet end at lave lort i den.

At folk, kludder en masse filosofi og matematik ind i problemet er en fis i en hornlygte.

Forstår godt spørgsmålet er lagt ud til læserne.

Re: 1+1 = 2

Hej Bent

Jeg forstår godt din holdning, men jeg vil her forsøge at forsvare andre synsvinkler end din holdning.

Beviset lægger i at kan tælle.

Så i 1 kl. lære man at 1 æble og nok et æble er lig. 2 æbler.

Hvis ikke det enkelte i overstående et bevis nok, kan vi lige så godt skrotte alt og kravle tilbage til jordhulerne.

Alt andet er ...bladder.
Det eller så sidder der nogle matematikkere og lign og har ikke en skid at lave, andet end at lave lort i den.

At folk, kludder en masse filosofi og matematik ind i problemet er en fis i en hornlygte.

Forstår godt spørgsmålet er lagt ud til læserne.

Re: 1+1 = 2

...
Det eller så sidder der nogle matematikkere og lign og har ikke en skid at lave, andet end at lave lort i den.

At folk, kludder en masse filosofi og matematik ind i problemet er en fis i en hornlygte.
...

Re: Re: 1+1 = 2

Tja - hvis 1:1 = 1, hvad er så 0:0 ?
1 eller uendelig

Re: Re: Re: 1+1 = 2

Tja - hvis 1:1 = 1, hvad er så 0:0 ?
1 eller uendelig

Re: Re: Re: Re: 1+1 = 2

Praktisk demonstration af division med nul - det vides ikke om historierne er autentiske:

http://rinkworks.com/stupid/cs...html
"...
This story was told by people from Motorola and is supposedly included in every microcontroller training course Motorola gives.

Test flights of F-16's were being conducted in Israel. The F-16's were doing low height rounds. On approach to the Dead Sea, the whole navigation system suddenly reset itself. The daring pilot landed the bird. HQ called up Motorola and ordered a team on the spot ASAP. The
ground tests went perfectly, but every time the bird went airborn, it rebooted.

The pilots were getting restless. Flying on the border of hostile territory without navcom, with the Arabs pointing their earth-to-air missiles at anything that moves, wasn't that pleasant. Neither was debugging the whole navcom in-flight. Then someone figured it out.

The height of the Dead Sea relative to world sea level is -400 meters. As soon as the F-16 reached sea level, the navcom did a divide by zero, crashed, and rebooted.
..."

-

En anden urelateret historie:

http://rinkworks.com/stupid/cs...html
"...
Our company's website has a section for press releases that's
automatically updated. On January 2, 2000, it proudly presented the
following:

29.12.99 (...some headline...)
29.12.99 (...some headline...)
30.12.99 (...some headline...)
02.01.100 Success! No Y2K bugs!
..."

Re: Re: Re: Re: Re: 1+1 = 2

Andre praktiske test udfordringer - vi venter spændt på den selvkørende bil:

F-16 Problems (from Usenet net.aviation):
http://catless.ncl.ac.uk/Risks...ubj1
Citat: "...
So when they were 'flying' the F-16 in simulation over the equator, the computer got confused and instantly flipped the plane over, killing the pilot [in simulation]. And since it can fly forever upside down, it would do so until it ran out of fuel.
...
One of the first things the Air Force test pilots tried on an early F-16 was to tell the computer to raise the landing gear while standing still on the runway. Guess what happened? Scratch one F-16. (my friend says there is a new subroutine in the code called 'wait_on_wheels' now...) [weight?]
...
One of the early problems with that was the fact that you could flip the plane over and the computer would gladly let you drop a bomb or fuel tank. It would drop, dent the wing, and then roll off.
..."

...

7x13=28

videnskabs teori

hey, nu går jeg på htx i vejle. og her har vi fået en smule undervisning i videnskabsteori. og her har vi lært at det eneste vi ved, er at vi ingen ting kan vide(jeg ved godt det modsiger sig selv, men det er lige meget så længe i forstår meningen). jeg kan ikke ordentligt forklare teorien, så vil lade være med at prøve, og går ud fra at i godt kender til den. men en af grundpillerne der i er at vi angiver noget til at være noget, for eksempel at en sten kalder vi en sten fordi det forstår vi alle sammen at den så er. det er lidt det samme med tal. de er angivet til at være noget som det så bare er, uden at vi helt i bund og grund kan forklare dem. altså er der en person der engang har taget et æble ned af træet og angivet den til at være 1 æble, og så 2 æbler til at være 2, osv. og på den måde så kan vi så se at der er 1 æble, og så når vi har et æble mere har vi to, fordi det kommer efter hinanden i tal rækkefølgen. igen er det bare noget vi har angivet det til at være, for ellers ville det ikke være det.

Re: videnskabs teori

Andreas Grønkjær:

hey, nu går jeg på htx i vejle. og her har vi fået en smule undervisning i videnskabsteori. og her har vi lært at det eneste vi ved, er at vi ingen ting kan vide

Re: Ved omvendt "logik"

Reneé Østerballe:

2 = 1 + 1
Ergo så er 1 + 1 =

Re: Re: Re: 1+1 = 2

Tja - hvis 1:1 = 1, hvad er så 0:0 ?
1 eller uendelig

Grundregl Nr.1

Det er jo evident at verden består at 3 slags mennesker, dem der kan regne og dem der ikke kan !

Re: Re: videnskabs teori

ja, vi har sgu ikke lærere, men kun pædagoger der prøver at holde os i snor

Findes praktiske eksempler?

Findes praktiske eksempler, fra den virkelige fysiske verden, der faktisk beviser at 1+1=2?

Eller, vil der altid være støj, kvanteteori, krumme einsteinske rum, og problemer med lyset, der gør at addition umuligt fungerer?

Re: Kan man bevise at 1 plus 1 er 2?

...absolut tåbelig spørgsmål...
...kan du bevise at du eksisterer ?

Kan man bevise at 1 plus 1 er 2?

Svært spørgsmål. :-)
I skolen lærte jeg følgende:
I matematik er 1 + 1 = 2
I kemi er 1 + 1 = 1
I biologi er 1 + 1 = 3

Re: Kan man bevise at 1 plus 1 er 2?

I matematik er 1 + 1 = 2

I kemi er 1 + 1 = 1

I biologi er 1 + 1 = 3

Hvad er et bevis

Et bevis er blot en velkendt argumentation.

Re: Re: Kan man bevise at 1 plus 1 er 2?

De fleste af de præsenterede beviser virker som efterrationalisering.
Som andre er inde på, så er det almindelig tælling, og man har så defineret at to stykker kaldes "to" eller med tal 2.
Jeg mener ikke der er noget at bevise, da det er her det hele starter.
Det minder lidt om skolernes mængdelære, som kan være udmærket, når man har lært at tælle og regne, men ikke kan bruges til at lære børn den basiske regning.

Re: Simpel tælleproces og symbolforkortelser

Hvis man har lært at tælle, så er det vel indlysende, at der gælder følgende

Re: Re: Simpel tælleproces og symbolforkortelser

Hvis man har lært at tælle, så er det vel indlysende, at der gælder følgende

At noget er indlysende, er ikke det samme som, at det er bevist.

Re: Re: Re: Simpel tælleproces og symbolforkortelser

...synet af mig er i allerhøjeste grad "indlysende" og ...er bevis på min eksistens !

Re: Re: Re: Re: Simpel tælleproces og symbolforkortelser

Når jeg ser to æbler er det for mig et BEVIS på, at jeg enten er skeløjet, eller at der ER to æbler, en af dem til venstre for den anden !

Bevis?

At noget er indlysende, er ikke det samme som, at det er bevist.

Sandsynlighed, bevis og antagelser.

Ok, en mand og en kvinde skylles i land på en øde ø, de lever der 15 år og da de bliver fundet, er der et 10 år gammel barn hos kvinden. Hvis nu der aldrig har været andre mænd på øen i den tid, skal man nu bevise at en jomfrufødsel er årsagen til barnets tilstedeværelse, eller anser man det for givet (bevist) at manden er faderen ? Det er da i hvert fald indlysende at manden er faderen, eller ikke ? ..

Re: Re: Kan man bevise at 1 plus 1 er 2?

...kan du bevise at du eksisterer ?

Det kunne Descartes.

Jeg tvivler, altsaa tænker jeg. Jeg tænker, altsaa eksisterer jeg.

Re: Re: Re: Kan man bevise at 1 plus 1 er 2?

1 æble til dig og 1 æble til mig er = æbler til 2 personer . Sådan lærte vi det i 1.klasse

Forbandet roderi

o+o=oo (2 o'er)
h+h=hh (2 h'er)
G+G=GG ( 2 G'er)
T+TT=TTT (3 T'er)
1+1 = 11 Nej her er det tal, ikke bogstaver, men rigtigt nok 2 stk. 1'er
Beviset ligger i at tælle antal.

Det er noget forbandet nosseri disse tosserier.
Og det ender med en forbandet masse ordkløverier til ingen nytte.
Der samme med " Lever jeg" ?

Hvis man begynder at regne eller tvivle på om man lever, glemmer man det, at leve, og derved spilder man sit liv.

Bent Hansen

Re: Re: Simpel tælleproces og symbolforkortelser

= 1 i anden

Ja og nej til det oprindelige spørgsmål

Ja: når man forudsætter at der er tale om de naturlige tal og benytter Peano's aksiomer og definition af '+' så er beviset som angivet i det udmærkede svar ovenfor af Michael Westergaard.

Nej: hvis man ikke forudsætter at udsagnet er forstået i en algebra (defineret ved en mængde symboler, nogle operationer samt et antal aksiomer), så kan man ikke bevise udsagnet fordi et bevis nødvendigvis må kunne føres tilbage til algebraens definition. Man ender derfor med forskellige varianter af dette ofte benyttede "bevis": med høj og selvsikker stemmeføring at konstatere at "dette ses let!" (samt efterfølgende intimidering af dem der stiller yderligere spørgsmål).

Re: Sandsynlighed, bevis og antagelser.

Descarte

Rigtig tanke - forkert spørgsmål

Det var den slags tanker, som forårsagede min dårlige mat-fys studentereksamen. Hæh, selv havde jeg klogeligt valgt sproglig, men genierne i lærerkollegiet blev forfærdede.

Mit forslag er, at droppe den slags tanker og spille spillet, og så klarer du dig strålende.

1+1=3 ;)

..et par korte vitser beslægtede til emnet -
1+1=3 for meget store værdier af 1..
Der findes 3 slags mennesker; Dem der kan tælle og Dem der ikke kan.. ;)

Digitaliseret logik

Jeg læste engang, at matematik er en slags digitaliseret (eller måske kvantiseret) logik. Den skulle udspringe af logikkens grundlov, som blev formuleret af Aristoteles : A=A, - med andre ord: Loven om identitet.
Altså : hvis vores forsøg med de to æbler tilsiger os, at hvis æblet til højre og æblet til venste er IDENTISK med det vi vælger at kalde to æbler (og det er det, for det er jo nøjagtigt de samme æbler), så har vi lov til at sige at et æble plus et æble er lig med to æbler. (det samme som Louis Nielsen sagde). I øvrigt skulle en væsentlig del af matematikken være en flot, men kompliceret videreudnyttelse af loven om identitet (A=A), men jeg har ikke så meget forstand på det.
Til Berndt. Jeg har lige udført æbleforsøget i praksis, og det ene æble ligger atså til HØJRE for det andet. Jeg har selv taget en bid af det.
Vh Steen

Re: Digitaliseret logik

Til Berndt. Jeg har lige udført æbleforsøget i praksis, og det ene æble ligger atså til HØJRE for det andet. Jeg har selv taget en bid af det.
Vh Steen

højre/venstre

SELVFØLGELIG. Æblerne kan ses fra to sider. Hvordan kunne jeg dog overse dét ? Jeg trækker min kategoriske påstand og takker for korrektionen. Vh Steen

Ny i skolen

Dét er kedeligt!
I går lærte vi at lægge sammen.
I dag lærte vi så at trække fra...
Det er som om vi ikke kommer nogen vegne....

Re: ...

7x13=28