Gør det iøvrigt slet ikke indtryk på dig at autoriteter på området siger at opgaven er tvetydig og reelt utilstrækkeligt defineret og måske bedre kan siges at have svaret 1/2?
Hvilke autoriteter siger, at opgaven måske BEDRE kan siges at have svaret 1/2?
Martin Gardner f.eks. Men jeg synes at det er en intellektuel falliterklæring for dig, hvis du er modtagelig for argument ud fra autoritet.
En mand stiller en opgave. I den opgave træffer han et valg. Jeg har endnu ikke set et eneste fornuftigt argument for, at dette valg ikke skulle være det samme som det, du kalder mandens præference, når han kun stiller opgaven én gang.
Jeg tror du skal i gang med at sætte dig ind hvad sandsynlighed egentlig betyder.
Du ser jo rent faktisk bort fra det, manden siger, til fordel for noget, du selv antager. Sær logik.
Det fortvivlende er, at det at du kan skrive ovenstående, viser at du slet ikke har forstået et enste ord af hvad jeg har skrevet.
Jeg ser på ingen måde bort fra noget som helst som han siger, og jeg antger på ingen som helst måde noget selv.
I øvrigt må alle øvrige fædres såkaldte præferencer være ligegyldige.
Nej, er her er vi tilbage ved at du skal tænke over, hvad sandsynlighed egentlig betyde. Du kan til en start fundere over, om man kan sige noget om sandsynligheden for udfaldet af en bestemt hændelse, ved kun at undersøge et enkelt udfald af denne hændelse.
Hvis jeg stiller dig den terningeopgave ovenfor på dine præmisser (det vil sige, at jeg udviser sekser-præference), ændrer det næppe den betingede sandsynlighed for to seksere, at en anden mand, der ejer to terninger, kunne tænkes at stille en tilsvarende opgave med præference for toere.
Det har du ret i, og det er netop pointen. Tænk lidt over det.
Ellers er der mange tilfældighedsspil med mønter og terninger, jeg dæl'me gerne vil spille med dig...
Det vil jeg meget stærkt frarråde dig. Mit greb om sandsynlighedsregning er ikke så lidt bedre end dit.
Hvis alle mulige andre end opgavestillerens præferencer skulle have betydning, kommer man jo i en situation, hvor snart sagt enhver opgave med mønter tillægges løsningen ½ og snart sagt enhver opgave med terninger tillægges løsningen 1/6.
Nej, det gør man ikke. Hvis opgaven stilles i præcise det sprogbrug, man plejer at gøre brug af når man stilles matematiske øvelsesopgaver (ala. en far udtages af mægnde af fædre med to børn og mindst en søn) så har man igen problemer. Hvis man er lidt for smart i forsøget på at stille en opgave, så går det som det gik Foshee.
Der er vist nogen, der tidligere har kaldt det matematisk misbrug eller noget i den retning. Og det er jeg enig i.
Det uendeligt triste, er at du føler dig retfærdigt bedrevidende, men i realitet intet har fattet af opgavens problem. Nu følger en længer redegørelse for opgaven, som jeg meget vil anbefale dig at læse.
-------------------------------------
En mand stiller sig på en konference op og fortæller. ”Jeg har to børn, hvoraf mindst en søn.” Hvad er sandsynligheden for at manden har to sønner?
Her er det umiddelbare og korrekte svar, at da børnenes køn bestemmes ved fødslen, og da fødslerne er uafhængige hændelser, er det ene barns køn uden betydning for det andet barns køn, og svaret et derfor ½ (vi forudsætter som alle gode matematikere at der fødes lige mange piger og drenge). Så enkelt, så kort og så simpelt er det. Og egentlig burde det så være slut her Men…..
Analysen der lyder så rigtig (og er dejlig kort)
Så enkelt er det ikke, siger så den snedige matematiker, der har stillet opgaven. Husk på, at der er fire mulige kombinationer der er lige sandsynlige, når man får to børn. Lad os kalde de fire mulige udfald af hændelsen få-to-børn for DD for Dreng-Dreng, DP for Dreng-Pige, PD for Pige-Dreng og PP for Pige-Pige. Så har vi at,
P(DD)=P(DP)=(PD)=P(PP)=1/4
Og dermed altså at sandsynligheden for at få to drenge er P(DD)=1/4, og sandsynligheden for mindst en dreng, som vi jo ved at manden har, er P(DD)+P(DP)+P(PD)=3/4. Sandsynligheden for at manden har to drenge, når vi ved at han har mindst en søn er altså 1/4 divideret med 3/4 = 1/3. Idet vi husker på at sandsynligheden generelt er sandsynligheden for søgte hændelser divideret med sandsynligheden for alle betragtede hændelser.
Altså, resultatet er 1/3 og ikke en 1/2 som vi lige først troede. Vi blev narret af vores intuition, men matematikken kom til vores redning.
Men hov….er der ikke noget galt her….det eneste forudsætning for resultatet 1/2 var jo at dreng/pige udfaldet for hver af de to fødsler var uafhængige. Er uafhængige hændelser ikke uafhængige længere?
Det er nu det gælder om ikke bare at hænge hatten op, konstatere at matematikken har talt, og så skyde fornemmelsen af at noget er helt galt i baggrunden.
Analysen der er rigtig (men noget længere)
Så hvad er der galt. Vi prøver lige igen forfra…HELT forfra. Vi kigger på, hvad der egentlig spørges om i opgaven.
Altså, en mand fortæller os uopfordret, at han har to børn hvoraf mindst én søn. Hvad kan vi sige om mænd, der uopfordret fortæller os, at de har to børn hvoraf mindst én søn. Lad os forestille os at vi går i en tur i byen, og mænd med to børn uopfordret (lige som manden til konferencen) fortæller os det ene barns køn, når vi møder dem. En sær gåtur, men det er hvad opgaven går ud på; en mand med to børn der uopfordret fortæller os det ene barns køn.
Når sådan en mand fortæller os, at det ene barn er en dreng, hvad kan vi så sige om sandsynligheden for at begge børn er drenge? Vi konstaterer igen, at der er fire mulige udfald for børnenes køn, med
P(DD)=P(DP)=(PD)=P(PP)=1/4
Men der er jo altså også den spidsfindighed, at for fædrene med kombination DP og PD kan vi ikke vide, om fædrene vil fortælle os om kønnet på pigen eller på drengen. Valget er deres eget frie valg, som vi intet aner om, når de sådan uopfordret uden nogen krav eller betingelser oplyser det ene barns køn. Opgaven indebærer som stillet faktisk en ekstra hændelse, med følgende to udfald; faderen fortæller at det ene barn er en dreng (lad os kalde dette udfald for d), og faderen fortæller at det ene barn er en pige (lad os kalde dette udfald for p). Der gælder så
ved DD er P(d)=1 og P(p)=0
ved PP er P(d)=0 og P(p)=1
Ved DP og PD kender vi ikke P(d) og P(p). Men det naturlige er at antage, at halvdelen af tobørnsfædrer vil fortælle om drengen og halvdelen vil fortælle om pigen….med mindre naturligvis helt særlige præferencer gør sig gældende for den slags blandt tobørnsfædrer. Altså regner vi med, at
ved DP er p(d)=p(p)=1/2
ved PD er p(d)=p(p)=1/2
Altså, der er i den stillede opgave faktisk 8 mulige og tilsammen udtømmende udfald med
P(DDd)=P(DD) x P(d ved DD)=1/4 x 1= ¼
P(DDp)=P(DD) x P(p ved DD)=1/4 x 0= 0
P(PPp)=P(DD) x P(p ved PP)=1/4 x 1= ¼
P(PPd)=P(DD) x P(d ved PP)=1/4 x 0= 0
P(DPd)=P(DP) x P(d ved DP)=1/4 x 1/2= 1/8
P(DPp)=P(DP) x P(p ved DP)=1/4 x 1/2= 1/8
P(PDd)=P(PD) x P(d ved PD)=1/4 x 1/2= 1/8
P(PDp)=P(PD) x P(p ved PD)=1/4 x 1/2= 1/8
Igen beregner vi sandsynligheden for søgte hændelser (dem med to sønner og faderen oplyser at der er en søn) divideret med sandsynligheden for alle betragtede hændelser (dem hvor faderen oplyser at der er en søn).
P(DDd)/( P(DDd)+P(DPd)+ P(PDd))=(1/4) /(1/4+1/8+1/8)=1/2
Skønt. Svaret er 1/2 og uafhængige hændelser er igen uafhængige.
Naturligvis kunne vi forudsætte, at alle tobørnsfædrer vil vælge at oplyse om en søns køn hvis de har muligheden; og altså ved DP og PD sætte P(d)=1 og P(p)=0, og få resultatet 1/3. Men den stillede opgave nævner intet som helst om en sådan arbitrær og sær forusætning.
En gang til for øvelsens skyld
Så er der måske dem der vil protesterer, og sige; hov hov, nu regner du jo PP-udfaldene med, og vi ved jo at der ingen piger er.
Nuvel lad os for øvelsens lade PP-udfaldene helt ude af betragtning lige fra starten. Igen sætter vi er p(d)=p(p)=1/2 ved både DP og PD. Den stillede opgave har så 6 mulige og tilsammen udtømmende udfald med
P(DDd)=P(DD) x P(d ved DD)=1/3 x 1= 1/3
P(DDp)=P(DD) x P(p ved DD)=1/3 x 0= 0
P(DPd)=P(DP) x P(d ved DP)=1/3 x 1/2= 1/6
P(DPp)=P(DP) x P(p ved DP)=1/3 x 1/2= 1/6
P(PDd)=P(PD) x P(d ved PD)=1/3 x 1/2= 1/6
P(PDp)=P(PD) x P(p ved PD)=1/3 x 1/2= 1/6
Hvor det søgte svar er
P(DDd)/( P(DDd)+P(DPd)+ P(PDd))=(1/3) /(1/3+1/6+1/6)=1/2
Svaret er ingen1/2 og uafhængige hændelser er stadigvæk uafhængige.
Og tirsdagsdrengen?
Opgaven om tirsdagsdrengen er principielt fuldstændig magen til den hvor kun kønnet angives. Tirsdagsoplysningen for det ene barn har lige så lidt indflydelse som oplysningen om køn for det ene barn, Igen kan vi nemlig ikke vide, om det er tirsdagsdrengen som tobarnsfaren med en tirsdagssøn vælger at oplyse os om, eller om det er pigen eller den anden dreng der er født en onsdag.
Der er flere udfald end når vi kun kigger på kønnet, men analysen går på præcis samme vis. Resultatet er igen ½, og uafhængige udfald vedbliver stædigt ved med at være uafhængige.
Hvis vi kort skal kigge på opgaven, så er der for hvert barn 14 muligheder (2 køn x 7 ugedage). Dvs. 14 x 14= 196 muligheder for kombinationer af to børn. For hver af disse 196 muligheder er der så igen 2 muligheder for om faderen oplyser køn og alder for det ene barn eller for det andet barn. Opgaven har således 2 x 196 = 392 tilsammen udtømmende udfald, hvoraf det er de 54, der indeholder en tirsdagssøn, der interesserer os. Der hvor de der får resultatet 13/27 går galt er, at de stopper ved de 196 mulige udfald, og ikke husker den ekstra hændelser, der kommer af, at faderen, for alle kombinationerne med en tirsdagssøn undtagen en, har et frit valg mellem om han oplyser køn og alder for en tirsdagssøn eller for det andet barn.
Hvorfor er det så at det går galt for matematikeren?
Egentlig er intet af det her jo svært, så hvorfor er det så, at det går så galt for den ivrige matematiker med hans opgave. Ja sagen er jo nok den, at han tænker, at de fleste ”almindelige mennesker” intuitivt vil mene, at der er tre muligheder for to børn, nemlig DD, PP og blandet; alle med sandsynlighed 1/3. Når man spørger et ”almindeligt menneske” om hvad sandsynligheden er, for at en far, valgt blandt tobørnsfædrer med mindst en søn, har to sønner , vil svaret nok være ½ ræsonnerer matematikeren. Men det rigtigt svar er jo 1/3, så det kunne være sjovt at stille denne opgave og lige give al folket en lille aha-oplevelse. Men her er det så, at det går galt. Opgaven skal jo lige pakkes ind og stilles på en spidsfindig måde, så flest mulig dumper i. Og i sin iver for at pakke opgaven snedigt ind ender matematikeren med at stille en helt anden opgave, men opdager det aldrig, da han er helt sikker på hvad det er for en opgave han gerne vil stille.
Han vil gerne stille opgaven
”Hvad er sandsynligheden for, at en far, VALGT BLANDT tobørnsfædrer med mindst en søn, har to sønner?”
Men han ender med at stille opgaven
”Hvad er sandsynligheden for, at en far, DER OPLYSER at han har to børn hvoraf mindst en søn, har to sønner?”
Forskellen er lille og subtil. Men det er to forskellige opgaver, med forskellige resultater.
Ja det er svært at læse korrektur på det man selv har skrevet, og endnu sværere at tænke korrektur på egne tanker. Men man kan nok med rimelighed undre sig over, at matematikeren ikke finder det sært, at uafhængige hændelser pludselig ikke længere er uafhængige.
At vi andre lader os forlede er vores egen skyld. Men matematikerens analyse lyder jo så forjættende rigtig, og de fleste af os har rigtigt svært ved at putte fingeren præcis på hvor det går galt. Så vi stiller os tilfreds med svaret 1/3, selvom der heldigvis hos mange er noget der gnaver oppe i hjernen og siger, at dette simpelthen kan ikke være rigtigt. Måske er det derfor det er så rart, at få sat fingeren på problemet…så er der ikke længere en kognitiv dissonans der gnaver.
:){kind=link}
